8.1 পরিচিতি

গণিতে, “অনুক্রম” শব্দটি সাধারণ ইংরেজিতে যেমন ব্যবহৃত হয় তেমনভাবেই ব্যবহৃত হয়। আমরা যখন বলি যে কোনো জিনিসের সমষ্টি একটি অনুক্রমে তালিকাভুক্ত হয়েছে, তখন সাধারণত আমরা বুঝার চেষ্টা করি যে সমষ্টিটি এমনভাবে ক্রমানুযায়ী সাজানো হয়েছে যাতে এটির একটি নির্দিষ্ট প্রথম সদস্য, দ্বিতীয় সদস্য, তৃতীয় সদস্য এবং তারপরও এমনভাবে চলে। উদাহরণস্বরূপ, মানুষ বা ব্যাকটেরিয়ার জনসংখ্যা যতক্ষণ পর্যন্ত পরিবর্তিত হয় তার প্রতিটি সময়ে একটি অনুক্রম গঠন করে। একটি ব্যাংকে একটি সময়কালের জন্য অনেক বছরে অন্তর্ভুক্ত ধারে অর্ডার করা টাকা একটি অনুক্রম গঠন করে। কিছু পণ্যের মূল্য কমানোর মান একটি অনুক্রমে ঘটে। অনুক্রমগুলি মানব কার্যক্রমের বিভিন্ন ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে।

নির্দিষ্ট ধরনের স্তরে অনুক্রম গড়ে থাকা হলে তাকে প্রগ্রেশন বলে। পূর্ববর্তী শ্রেণীতে আমরা আর্থিক প্রগ্রেশন (A.P) নিয়ে আলোচনা করেছি। এই অধ্যায়ে, আর্থিক প্রগ্রেশন নিয়ে আরও আলোচনা করার পাশাপাশি আর্থিক গড়, গণনামূলক গড়, আর্থিক গড় ও গণনামূলক গড়ের মধ্যে সম্পর্ক, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সংখ্যা থেকে যোগ করার ফলাফল হিসাবে প্রতি $n$ টি পদের সামগ্রিক সমষ্টি, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির বর্গের প্রতি $n$ টি পদের সামগ্রিক সমষ্টি এবং প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির ঘনবর্গের প্রতি $n$ টি পদের সামগ্রিক সমষ্টি নিয়েও আলোচনা করা হবে।

8.2 অনুক্রম

আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করিঃ

ধরুন যে একজন মানুষের পূর্বপুরুষদের মধ্যে একটি জেনারেশন গ্যাপ 30 বছর হয়, এবং আমরা জানতে চাই যে একজন মানুষের 300 বছরের জন্য কতজন পূর্বপুরুষ থাকতে পারে, অর্থাৎ তার মা-বাবা, দাদী-দাদাও, দাদী-দাদাওর দাদী-দাদাও ইত্যাদি।

এখানে, মোট জেনারেশনের সংখ্যা $=\frac{300}{30}=10$

প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, …, শেষ দশটি জেনারেশনের জন্য একজন মানুষের পূর্বপুরুষের সংখ্যা $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$। এই সংখ্যাগুলি আমরা একটি অনুক্রম বলে থাকি।

10 কে 3 দিয়ে বিভাজ্য করার প্রক্রিয়ায় আমরা যে পরস্পর পরস্পরের জন্য প্রাপ্ত ভাগফল পাই তাও একটি অনুক্রম গঠন করে। এই প্রক্রিয়ায় আমরা $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ এবং তারপরও এমনভাবে চলে। এই ভাগফলগুলিও একটি অনুক্রম গঠন করে। একটি অনুক্রমে ঘটা বিভিন্ন সংখ্যাকে তার পদ বলা হয়। আমরা একটি অনুক্রমের পদগুলিকে $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করি, যেখানে উল্লেখযোগ্য সংখ্যা পদের অবস্থান নির্দেশ করে। $n^{\text{th }}$ পদটি অনুক্রমের $n^{\text{th }}$ অবস্থানের সংখ্যা এবং $a_n$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। $n^{\text{th }}$ পদটি অনুক্রমের সাধারণ পদ বলেও থাকে।

অতএব, উপরে উল্লিখিত মানুষের পূর্বপুরুষের অনুক্রমের পদগুলি হলঃ

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

একইভাবে, পরস্পর পরস্পরের ভাগফলের উদাহরণে

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

একটি অনুক্রমে সীমিত সংখ্যক পদ থাকলে তাকে সীমিত অনুক্রম বলে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্বপুরুষের অনুক্রম হল সীমিত অনুক্রম কারণ এতে 10টি পদ থাকে (একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা)।

যদি একটি অনুক্রম সীমিত অনুক্রম না হয় তবে তাকে অসীম অনুক্রম বলে। উদাহরণস্বরূপ, উপরে উল্লিখিত পরস্পরের ভাগফলের অনুক্রম হল অসীম অনুক্রম, যা অসীম কারণ এ শেষ হয় না।

অনেক সময়, একটি অনুক্রমের বিভিন্ন পদগুলি কোনো বৈজ্ঞানিক সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, জোড় প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির অনুক্রম $2,4,6, \ldots$

$ \begin{aligned} & \text{ এখানে } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, এবং তারপরও এমনভাবে। } \end{aligned} $

এক্ষেত্রে, আমরা দেখি যে এই অনুক্রমের $n^{\text{th }}$ পদটি $a_n=2 n$ দ্বারা লেখা যায়, যেখানে $n$ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। একইভাবে, বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির অনুক্রম $1,3,5, \ldots$ এবং $n^{\text{th }}$ পদটি $a_n=2 n-1$ সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেখানে $n$ একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা। কিছু ক্ষেত্রে, এমন একটি সংখ্যার সাজানো যেমন $1,1,2,3,5,8, .$. দৃশ্যমান কোনো স্তর নেই, কিন্তু এই অনুক্রমটি $$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$ দ্বারা প্রদত্ত পুনরাবৃত্তি সম্পর্কের মাধ্যমে তৈরি করা হয়।

এই অনুক্রমটি ফিবোনাচ্চির অনুক্রম বলে থাকে।

প্রাইম সংখ্যাগুলির অনুক্রম $2,3,5,7, \ldots$ এ, আমরা দেখি যে $n^{\text{th }}$ প্রাইমের জন্য কোনো সূত্র নেই। এই ধরনের অনুক্রমগুলি শুধুমাত্র ভাষাগত বর্ণনা দ্বারা বর্ণনা করা যায়।

প্রতিটি অনুক্রমে, আমাদের কোনো নির্দিষ্ট সূত্র দ্বারা তার পদগুলি প্রদান করা হবে এমন আশা করা উচিত নয়। তবে, আমরা পদগুলি $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ এর ক্রমানুসরণের জন্য একটি তত্ত্বগত পরিকল্পনা বা সূত্রের আশা করি।

উপরের বিবেচনার ভিত্তিতে, একটি অনুক্রমকে একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা যায় যার ডোমেইন হল প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট বা এর কোনো উপসেট। কখনও কখনও, আমরা $a_n$ এর জন্য ফাংশনাল নোটেশন a(n) ব্যবহার করি।

8.3 শ্রেণী

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, একটি প্রদত্ত অনুক্রম ধরা হল। তবে, প্রকাশ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ এই প্রদত্ত অনুক্রমের সাথে যুক্ত হয়েছে এমন একটি শ্রেণী বলা হয়। শ্রেণী হয় সীমিত বা অসীম যেন প্রদত্ত অনুক্রমটি সীমিত বা অসীম হয়। শ্রেণীগুলি প্রায়শই কম্পাক্ট ভাবে প্রকাশ করা হয়, যাকে সিগমা নোটেশন বলা হয়, যেখানে যোগফল নির্দেশ করার জন্য গ্রীক অক্ষর $\sum$ (সিগমা) ব্যবহার করা হয়। অতএব, শ্রেণী $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ হয় $\sum_{k=1}^{n} a_k$ দ্বারা সংক্ষিপ্ত করা হয়।

মন্তব্য যখন শ্রেণী ব্যবহার করা হয়, তখন এটি নির্দেশিত যোগফলকে নির্দেশ করে না তার সত্যিকারের যোগফলের কারণ একটি সীমিত শ্রেণী যাতে চারটি পদ থাকে। আমরা যখন “একটি শ্রেণীর যোগফল” শব্দটি ব্যবহার করি, তখন আমরা মানে হল পদগুলি যোগ করার ফলে ঘটা সংখ্যা, শ্রেণীর যোগফল 16 হয়।

এখন আমরা কিছু উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ 1 নিম্নলিখিত প্রতিটি অনুক্রমের প্রথম তিনটি পদ লিখুন যা নিম্নলিখিত দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়েছেঃ

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

সমাধান (i) এখানে $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ বসিয়ে পাঠালে $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

অতএব, প্রয়োজনীয় পদগুলি 7, 9 এবং 11 হল।

(ii) এখানে $a_n=\frac{n-3}{4}$। অতএব, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

অতএব, প্রথম তিনটি পদ $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ এবং 0 হল।

উদাহরণ 2 অনুক্রম সংজ্ঞায়িত হল $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ এর $20^{\text{th }}$ পদ কত? সমাধান $n=20$ বসিয়ে পাঠালে

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

উদাহরণ 3 অনুক্রম $a_n$ নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছেঃ

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

প্রথম পাঁচটি পদ খুঁজুন এবং সংশ্লিষ্ট শ্রেণী লিখুন।

সমাধান আমাদের আছে

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

অতএব, অনুক্রমের প্রথম পাঁচটি পদ $1,3,5,7$ এবং 9 হল। সংশ্লিষ্ট শ্রেণী $1+3+5+7+9+\ldots$ হল।

8.4 গণনামূলক প্রগ্রেশন (G. P.)

আমরা নিম্নলিখিত অনুক্রমগুলি বিবেচনা করিঃ

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

এই অনুক্রমগুলিতে তাদের পদগুলি কীভাবে প্রগ্রেশ করে? আমরা দেখি যে প্রতিটি পদ, প্রথম পদ ছাড়া একটি নির্দিষ্ট ক্রমে প্রগ্রেশ করে।

(i) এখানে আমাদের $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ এবং তারপরও এমনভাবে।

(ii) এখানে, আমরা দেখি, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ এবং তারপরও এমনভাবে।

একইভাবে, (iii) এর পদগুলি কীভাবে প্রগ্রেশ করে তা বলুন? একটি দৃশ্যমান স্তর হল যে প্রতিটি ক্ষেত্রে, প্রথম পদ ছাড়া প্রতিটি পদের আগের পদের সাথে একটি স্থির অনুপাতে থাকে। (i) এখানে এই স্থির অনুপাত 2; (ii) এখানে $-\frac{1}{3}$ এবং (iii) এখানে স্থির অনুপাত