জ্যামিতি, একটি যৌক্তিক ব্যবস্থা হিসাবে, শিশুদের মানব আত্মার শক্তি অনুভব করতে সাহায্য করে, যা তাদের নিজের আত্মার শক্তি। - এইচ. ফ্রিউডেনথাল

9.1 পরিচিতি

আমরা পূর্ববর্তী শ্রেণীতে দ্বি-আয়ত স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সম্পর্কে জেনেছি। প্রাথমিকভাবে, এটি বীজগণিত এবং জ্যামিতির একটি সমন্বয়। বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির একটি সিস্টেমেটিক অধ্যয়ন প্রথম করা হয়েছিল স্বপ্নদর্শী ফরাসি বিজ্ঞানী ও গাণিতিক রেনে ডেকার্টের দ্বারা, তাঁর বই ‘লা গেওমেট্রি’ এর মাধ্যমে, যা ১৬৩৭ সালে প্রকাশিত হয়েছিল। এই বইটি একটি স্তরের সমীকরণের ধারণা এবং জ্যামিতির অধ্যয়নে সম্পর্কিত বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিগুলি পরিচয় করিয়েছিল। ফলে এসব পদ্ধতির সমন্বয় বিশ্লেষণ এবং জ্যামিতির নামে পরিচিত হয়েছে। পূর্ববর্তী শ্রেণীতে, আমরা স্থানাঙ্ক জ্যামিতির অধ্যয়ন শুরু করেছি, যেখানে আমরা স্থানাঙ্ক অক্ষ, স্থানাঙ্ক স্থলবেষ্টি, স্থলবেষ্টিতে বিন্দুগুলির আঁকা, দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, অংশ সূত্র ইত্যাদি নিয়ে আলোচনা করেছি। এই সমস্ত ধারণা স্থানাঙ্ক জ্যামিতির মৌলিক বিষয়।

আসুন পূর্ববর্তী শ্রেণীতে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সম্পর্কে একটি সংক্ষিপ্ত পুনঃমনে করিতে যাই। পুনঃসংক্ষিপ্তকরণের জন্য, পয়েন্ট $(6,-4)$ এবং $(3,0)$ এর অবস্থান XY-স্থলবেষ্টিতে আকৃতি 9.1-এ দেখানো হয়েছে।

আকৃতি 9.1

আমরা দেখতে পাই যে পয়েন্ট $(6,-4)$ $y$-অক্ষ থেকে ধনাত্মক $x$-অক্ষের দিকে 6 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত এবং $x$-অক্ষ থেকে ঋণাত্মক $y$-অক্ষের দিকে 4 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত। একইভাবে, পয়েন্ট $(3,0)$ $y$-অক্ষ থেকে ধনাত্মক $x$-অক্ষের দিকে 3 ইঞ্চি দূরে অবস্থিত এবং $x$-অক্ষ থেকে শূন্য দূরত্বে অবস্থিত। আমরা যেসব গুরুত্বপূর্ণ সূত্র পূর্ববর্তী শ্রেণীতে অধ্যয়ন করেছি:

I. পয়েন্ট $P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ এর মধ্যে দূরত্ব

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট $(6,-4)$ এবং $(3,0)$ এর মধ্যে দূরত্ব

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. পয়েন্ট $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ এর মধ্যে যে সরল রেখার অংশ $m: n$ অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত হয়, তার স্থানাঙ্ক $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$।

উদাহরণস্বরূপ, পয়েন্ট A $(1,-3)$ এবং $B(-3,9)$ এর মধ্যে যে সরল রেখার অংশ $1: 3$ অনুপাতে অভ্যন্তরীণভাবে বিভক্ত হয়, তার স্থানাঙ্ক $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ দেওয়া হয়েছে।

III. বিশেষত, $m=n$ হলে, পয়েন্ট $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ এর মধ্যে যে সরল রেখার অংশের সমধিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$।

IV. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, যার শীর্ষবিন্দু $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ এবং $(x_3, y_3)$।

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

উদাহরণস্বরূপ, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, যার শীর্ষবিন্দু $(4,4),(3,-2)$ এবং $(-3,16)$।

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

মন্তব্য যদি ত্রিভুজ $ABC$ এর ক্ষেত্রফল শূন্য হয়, তাহলে তিনটি বিন্দু $A, B$ এবং $C$ একটি রেখায় অবস্থিত, অর্থাৎ তারা সমান্তরাল।

এই অধ্যায়ে, আমরা স্থানাঙ্ক জ্যামিতির অধ্যয়ন চালিয়ে যাব সরল রেখা নিয়ে জ্যামিতির সবচেয়ে সরল জ্যামিতিক আকৃতির বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব। এটির সরলতা হলেও, রেখা জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা এবং আমাদের দৈনন্দিন অভিজ্ঞতায় অনেক আকৃতির এবং উপযোগী ভাবে সম্মিলিত হয়। মূল লক্ষ্য হল রেখাটিকে বীজগণিতে প্রকাশ করা, যেখানে স্লপ হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়।

9.2 সরল রেখার স্লপ

একটি সরল রেখা স্থানাঙ্ক স্থলবেষ্টিতে $x$-অক্ষের সাথে দুটি কোণ গঠন করে, যা পরিপূরক। কোণ (ধরা যাক) $\theta$ সরল রেখা $l$ এর $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে গঠন করে এবং বিপরীত দিকের দিকে পরিমাপ করা হয়, তা হল রেখাটির আকৃতি। অবশ্যই $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (আকৃতি 9.2)।

আকৃতি 9.2

আমরা দেখতে পাই যে $x$-অক্ষের সমান্তরাল রেখা, অথবা $x$-অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলির আকৃতি $0^{\circ}$। উল্লেখ্য, উল্লম্ব রেখা ($y$-অক্ষের সমান্তরাল অথবা $y$-অক্ষের সমান্তরাল) এর আকৃতি $90^{\circ}$।

সংজ্ঞা 1 $\theta$ হল সরল রেখা $l$ এর আকৃতি, তাহলে $\tan \theta$ হল রেখা $l$ এর স্লপ বা গ্রেডিয়েন্ট।

স্লপ $90^{\circ}$ এর আকৃতি সমীকরণ করা যায় না। সরল রেখার স্লপ $m$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

অতএব, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ উল্লেখ্য যে $x$-অক্ষের স্লপ শূন্য এবং $y$-অক্ষের স্লপ সমীকরণ করা যায় না।

9.2.1 সরল রেখার স্লপ, যখন সরল রেখার যেকোনো দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া থাকে

আমরা জানি যে একটি সরল রেখা সম্পূর্ণরূপে নির্ধারণ করা হয় যখন তার উপর দুটি বিন্দু দেওয়া থাকে। অতএব, আমরা সরল রেখার স্লপকে সরল রেখার দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিতভাবে খুঁজে বের করিব।

$P(x_1, y_1)$ এবং $Q(x_2, y_2)$ হল উল্লম্ব নয় এমন সরল রেখা $l$ এর দুটি বিন্দু, যার আকৃতি $\theta$। অবশ্যই, $x_1 \neq x_2$, নহে তবে রেখা $x$-অক্ষের সমান্তরাল হয়ে যাবে এবং তার স্লপ সমীকরণ করা যাবে না। সরল রেখা $l$ এর আকৃতি হতে পারে তীব্র অথবা বিপরীত তীব্র। আমরা এই দুটি ক্ষেত্রে যাই।

$QR$ এবং $x$-অক্ষের সমান্তরাল $PM$ এবং $RQ$-অক্ষের সমান্তরাল অনুভূমিক আঁকিব। আকৃতি 9.3 (i) এবং (ii)-এ দেখানো হয়েছে।

ক্ষেত্র I যখন কোণ $\theta$ তীব্র:

আকৃতি 9.3

(i), $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

অতএব, সরল রেখা $l=m=\tan \theta$ এর স্লপ।

কিন্তু $\triangle MPQ$, আমরা $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ পাই

সমীকরণ (1) এবং (2) থেকে, আমরা $\theta$ পাই

ক্ষেত্র II যখন কোণ $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ বিপরীত তীব্র:

আকৃতি 9.3

(ii), আমরা $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$ পাই।

অতএব, $l=m=\tan \theta$ এর সরল রেখার স্লপ।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

ফলে, আমরা দেখতে পাই যে উভয় ক্ষেত্রেই স্লপ $m$ হল পয়েন্ট $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ এর মধ্যে যে সরল রেখার স্লপ, $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ দেওয়া হয়।

9.2.2 সরল রেখাগুলির সমান্তরালতা এবং প্রতিসাম্যের শর্ত, তাদের স্লপের সাথে সম্পর্কে

একটি স্থানাঙ্ক স্থলবেষ্টিতে, ধরা যাক উল্লম্ব নয় এমন সরল রেখা $l_1$ এবং $l_2$ এর স্লপ হল $m_1$ এবং $m_2$, যাদের আকৃতি হল $\alpha$ এবং $\beta$। যদি সরল রেখা $\boldsymbol{l_1}$ $\boldsymbol{l_2}$ এর সমান্তরাল হয় (আকৃতি 9.4), তাহলে তাদের আকৃতি সমান, অর্থাৎ,

আকৃতি 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ এবং অতএব, } \tan \alpha=\tan \beta $

অতএব $\quad m _{1}=m _{2}$, অর্থাৎ তাদের স্লপ সমান।

বিপরীতভাবে, যদি দুটি সরল রেখা $l_1$ এবং $l_2$ এর স্লপ একই, অর্থাৎ,

$$ m_1=m_2 $$

তবে

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ট্যান ফাংশনের গুণগত গুণফল ($0^{\circ}$ এবং $180^{\circ}$ এর মধ্যে), $\alpha=\beta$।

অতএব, রেখাগুলি সমান্তরাল।

অতএব, দুটি উল্লম্ব নয় এমন সরল রেখা $l_1$ এবং $l_2$ সমান্তরাল হয় তাদের স্লপ সমান হলে এবং তাইলেই।

যদি সরল রেখা $ \boldsymbol{l_1 } $ এবং $\boldsymbol{l_2 } $ প্রতিসাম্য (আকৃতি 9.5) হয়, তাহলে $\beta=\alpha+90^{\circ}$।

আকৃতি 9.5

অতএব, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

অর্থাৎ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ অথবা $\quad m_1 m_2=-1$

বিপরীতভাবে, যদি $m_1 m_2=-1$, অর্থাৎ $\tan \alpha \tan \beta=-1$।

তবে $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ অথবা $\tan (\beta-90^{\circ})$

অতএব, $\alpha$ এবং $\beta$ $90^{\circ}$ দ্বারা পার্থক্য করে।

অতএব, সরল রেখা $l_1$ এবং $l_2$ একে অপরের সাথে প্রতিসাম্য।

অতএব, দুটি উল্লম্ব নয় এমন সরল রেখা একে অপরের সাথে প্রতিসাম্য হলে এবং তাইলেই তাদের স্লপ একে অপরের ঋণাত্মক পূরক হয়,

অর্থাৎ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ অথবা, $m_1 m_2=-1$।

আমরা নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করি।

উদাহরণ 1 সরল রেখাগুলির স্লপ খুঁজুন:

(a) পয়েন্ট $(3,-2)$ এবং $(-1,4)$ এর মধ্যে যাচ্ছে,

(b) পয়েন্ট $(3,-2)$ এবং $(7,-2)$ এর মধ্যে যাচ্ছে,

(c) পয়েন্ট $(3,-2)$ এবং $(3,4)$ এর মধ্যে যাচ্ছে,

(d) $60^{\circ}$ এর আকৃতি গঠন করে $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে।

সমাধান (a) পয়েন্ট $(3,-2)$ এবং $(-1,4)$ এর মধ্যে যে সরল রেখার স্লপ হল

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(b) পয়েন্ট $(3,-2)$ এবং $(7,-2)$ এর মধ্যে য