3.1 ভূমিকা

গত অধ্যায়ে আমরা একটি বস্তুর সরাসরি লাইনে গতি বর্ণনার জন্য পজিশন, বিসর্জন, গতি এবং ত্বরণের ধারণা বিকাশ করেছি। আমরা পাই যে এই পরিমাপগুলির দিকনির্দেশ পরিমাপের সাথে + এবং - চিহ্ন দ্বারা নিয়ন্ত্রিত করা যায়, কারণ এক আয়তনে শুধুমাত্র দুই দিক সম্ভব। কিন্তু একটি বস্তুর গতি দুই আয়তন (একটি পর্যায়) বা তিন আয়তন (অবস্থান) এ বর্ণনা করতে আমাদের উপরোक্ত প্রকৃতির পরিমাপগুলিকে বর্ণনা করতে বেক্টর ব্যবহার করতে হবে। অতএব, প্রথমেই আমাদের বেক্টরের ভাষার শিক্ষা নেওয়া প্রয়োজন। বেক্টর কী? বেক্টরগুলি কীভাবে যোগ, বিয়োগ এবং গুণ করা হয়? একটি বেক্টরকে একটি বাস্তব সংখ্যায় গুণ করার ফলাফল কী? আমরা এটি শিখব যাতে আমরা পর্যায়ে গতি এবং ত্বরণ সংজ্ঞায়িত করতে বেক্টর ব্যবহার করতে পারি। এরপর আমরা একটি বস্তুর পর্যায়ে গতি নিয়ে আলোচনা করব। একটি পর্যায়ে গতির একটি সহজ কেস হল স্থির ত্বরণের সাথে গতি এবং প্রজ্যোত গতি নিয়ে আলোচনা করা হবে। ঘূর্ণাকার গতি একটি পরিচিত গতির শ্রেণি যা দৈনন্দিক পরিস্থিতিতে বিশেষ গুরুত্ব পায়। আমরা সুস্থ ঘূর্ণাকার গতি নিয়ে কিছু বিস্তারিত আলোচনা করব। এই অধ্যায়ে পর্যায়ে গতির জন্য বিকাশিত সমীকরণগুলি তিন আয়তনের ক্ষেত্রে সহজে বর্ধিত করা যায়।

3.2 স্কেলার এবং বেক্টর

পদার্থবিজ্ঞানে, আমরা পরিমাপগুলিকে স্কেলার বা বেক্টর হিসাবে শ্রেণীবিভাজন করতে পারি। মৌলিকভাবে, এই পার্থক্য হল যে একটি বেক্টরের সাথে একটি দিক যুক্ত থাকে কিন্তু একটি স্কেলারের সাথে নয়। একটি স্কেলার পরিমাপ হল শুধুমাত্র পরিমাণ সম্পন্ন একটি পরিমাপ। এটি একটি সংখ্যার সাথে সঠিক এককের সাথে সম্পূর্ণরূপে নির্দেশিত হয়। উদাহরণগুলি হল: দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, একটি বস্তুর ভর, একটি শরীরের তাপমাত্রা এবং একটি নির্দিষ্ট ঘটনার ঘটনাকাল। স্কেলারগুলি যোগফলের নিয়মগুলি সাধারণ বীজগণিতের নিয়মগুলি। স্কেলারগুলি সাধারণ সংখ্যাগুলির মতোই যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ যথাক্রমে 1.0 মিটার এবং 0.5 মিটার হয়, তবে এর প্রায়শই চারটি পাশের দৈর্ঘ্যের যোগফল হবে 1.0 মিটার + 0.5 মিটার + 1.0 মিটার + 0.5 মিটার = 3.0 মিটার। প্রতিটি পাশের দৈর্ঘ্য একটি স্কেলার এবং প্রায়শই একটি স্কেলার। আরেকটি উদাহরণ: একটি নির্দিষ্ট দিনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন তাপমাত্রা 35.6 °C এবং 24.2 °C হলে, দুটি তাপমাত্রার মধ্যে পার্থক্য 11.4 °C। একইভাবে, যদি একটি এলুমিনিয়ামের একটি স্থির বস্তুর পাশ 10 সেমি এবং ভর 2.7 কেজি হয়, তবে এর আয়তন 10–3 মিটার³ (একটি স্কেলার) এবং ঘনত্ব 2.7×103 কেজি মিটার–3 (একটি স্কেলার)। একটি বেক্টর পরিমাপ হল পরিমাণ এবং দিক উভয়ই সম্পন্ন একটি পরিমাপ এবং যোগফলের ত্রিভুজ নিয়ম বা সমানত্রিভুজ নিয়ম অনুযায়ী যোগফল করে। অতএব, একটি বেক্টর একটি সংখ্যায় একটি পরিমাণ এবং একটি দিক দ্বারা নির্দেশিত হয়। বেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত করা হয় কিছু প্রকৃতির পরিমাপ হল বিসর্জণ, গতি, ত্বরণ এবং বল।

একটি বেক্টর প্রতিনিধিত করতে আমরা এই বইয়ে বোল্ড ফেস টাইপ ব্যবহার করি। অতএব, একটি গতি বেক্টর একটি পরিবর্তন চিহ্ন দ্বারা প্রতিনিধিত করা যেতে পারে। কারণ বোল্ড ফেস উৎপাদন করা কঠিন, হাতে লেখার সময় একটি বেক্টর প্রচলিতভাবে একটি তীক্ষ্ণার্দ্র দ্বারা একটি অক্ষরের উপর রাখা হয়, যেমন। অতএব, উভয় v এবং রভ গতি বেক্টরকে প্রতিনিধিত করে। একটি বেক্টরের পরিমাণ প্রচলিতভাবে এর পরিমাণ বলা হয়, যা |v| = v দ্বারা নির্দেশিত হয়। অতএব, একটি বেক্টর একটি বোল্ড ফেস, যেমন দ্বারা প্রতিনিধিত হয়, যেমন A, a, p, q, r, … x, y, যার সংশ্লিষ্ট পরিমাণ হল লাইট ফেস A, a, p, q, r, … x, y।

3.2.1 অবস্থান এবং বিসর্জণ বেক্টর

একটি বস্তুর একটি পর্যায়ে গতি বর্ণনার জন্য, আমাদের একটি সুবিধাজনক বিন্দু, যেমন O হিসাবে উৎস চয়ন করতে হবে। প এবং প′ হল বস্তুর সময় t এবং সময় t′ এর অবস্থান [আকৃতি 3.1(অ)]। আমরা O এবং P এর মধ্যে একটি সরাসরি রেখা আঁকি। তাহলে OP হল বস্তুর সময় t এর অবস্থান বেক্টর। এই রেখার শেষে একটি তীক্ষ্ণার্দ্র চিহ্ন দেওয়া হয়। এটি একটি পরিবর্তন চিহ্ন দ্বারা প্রতিনিধিত হয়, যাকে OP = র বলা হয়। বিন্দু প′ একটি অন্য অবস্থান বেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত হয়, যা র′ দ্বারা চিহ্নিত হয়। বেক্টর র দৈর্ঘ্য বেক্টরের পরিমাণ প্রতিনিধিত করে এবং এর দিক হল O থেকে P দেখতে P এ থাকা দিক। যদি বস্তু P থেকে প′ গমন করে, তবে বেক্টর পপ′ (প এর শেষ দ্বারা এবং প′ এর শীর্ষ দ্বারা) হল বিসর্জণ বেক্টর যা বিন্দু P (সময় t এ) থেকে বিন্দু P′ (সময় t′ এ) এ গতিতে প্রতিনিধিত হয়।

আকৃতি 3.1 (অ) অবস্থান এবং বিসর্জণ বেক্টর। (ব) বিসর্জণ বেক্টর পক্ব এবং বিভিন্ন গতিপথ।

বিসর্জণ বেক্টর হল প্রারম্ভিক এবং অন্তিম অবস্থানগুলিকে সরাসরি সংযুক্ত করা রেখা এবং বস্তু দুটি অবস্থানের মধ্যে যে বাস্তব পথ অনুসরণ করে তা নির্ভর করে না এটি গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, আকৃতি 4.1(ব) এ, প্রারম্ভিক এবং অন্তিম অবস্থানগুলি প এবং ক হলে, যুক্তিগত পথগুলির জন্য যেমন পএবিসক্ব, পডক্ব, এবং পবিএফক্ব, বিসর্জণ বেক্টর একই পক্ব হবে। অতএব, বিসর্জণের পরিমাণ হল বস্তুর দুটি বিন্দুর মধ্যে পথের দৈর্ঘ্যের পরিমাণের কম বা সমান। এই বিষয়টি গত অধ্যায়ে সরাসরি লাইনে গতি নিয়ে আলোচনা করার সময় তুলনামূলকভাবে উল্লেখ করা হয়েছিল।

3.2.2 বেক্টরগুলির সমানতা

দুটি বেক্টর A এবং B হল সমান যদি, এবং শুধুমাত্র যদি, তাদের একই পরিমাণ এবং একই দিক থাকে।

আকৃতি 3.2 (অ) দুটি সমান বেক্টর A এবং B। (ব) দুটি বেক্টর এবং ব′ একই দৈর্ঘ্যের হলেও তারা সমান নয়।

আকৃতি 3.2(অ) দুটি সমান বেক্টর A এবং B দেখায়। আমরা তাদের সমানতা সহজে পরীক্ষা করতে পারি। B কে সেই স্থানান্তরের মাধ্যমে স্থানান্তর করুন যাতে এর শেষ বিন্দু Q এবং A এর শেষ বিন্দু O এ মেলে, অর্থাৎ Q এ O এ মেলে। তাহলে, তাদের শীর্ষ বিন্দুগুলি S এবং P একই হয়, তবে দুটি বেক্টরকে সমান বলা হয়। সাধারণত, সমানতা হল A = B দ্বারা নির্দেশিত। আকৃতি 3.2(ব) এ দেখা যায়, বেক্টর এবং ব′ একই পরিমাণ থাকলেও তারা সমান নয় কারণ তাদের দিক আলাদা। যদিও আমরা ব′ কে সেই স্থানান্তরের মাধ্যমে স্থানান্তর করি যাতে এর শেষ বিন্দু ′ এবং ′ এর শেষ বিন্দু ′ এ মেলে, ব′ এর শীর্ষ বিন্দু ′ এবং ′ এর শীর্ষ বিন্দু ′ এ মেলে না।

3.3 বেক্টরগুলিকে বাস্তব সংখ্যায় গুণ

একটি বেক্টর A কে একটি ধনাত্মক সংখ্যা λ দিয়ে গুণ করলে একটি বেক্টরের ফলাফল পাওয়া যায় যার পরিমাণ λ এর কারণে পরিবর্তিত হয়েছে কিন্তু এর দিক A এর সমান দিক।

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

উদাহরণস্বরূপ, যদি A কে 2 দিয়ে গুণ করা হয়, তবে ফলাফল বেক্টর 2A হবে যা A এর সমান দিকে থাকবে এবং এর পরিমাণ |A| এর দ্বিগুণ হবে যেমন আকৃতি 3.3(অ) এ দেখানো হয়েছে। একটি বেক্টর A কে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা −λ দিয়ে গুণ করলে অন্য একটি বেক্টর পাওয়া যায় যার দিক A এর দিকের বিপরীত দিকে এবং এর পরিমাণ হবে λ গুণ |A|।

একটি প্রদত্ত বেক্টর A কে ঋণাত্মক সংখ্যাগুলি, যেমন –1 এবং –1.5 দিয়ে গুণ করলে আকৃতি 3.3(ব) এ