5.1 ভূমিকা

‘কাজ’, ‘শক্তি’ এবং ‘শক্তিশালীতা’ শব্দগুলি দৈনন্দিক ভাষায় প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। একজন কৃষক জমি ভুলয়ে রাখছেন, একজন নির্মাণ শ্রমিক ইট নিয়ে চলছেন, একজন ছাত্র প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য পড়ছেন, একজন শিল্পী সুন্দর ভূগোল আঁকছেন—এদের সবাইকে কাজ করছে বলে বলা হয়। কিন্তু পদার্থবিজ্ঞানে, ‘কাজ’ শব্দটির একটি নির্দিষ্ট এবং সুনির্দিষ্ট অর্থ রয়েছে। যে কেউ দিনে ১৪-১৬ ঘণ্টা কাজ করার ক্ষমতা সম্পন্ন হয়, তাকে বড় স্থায়ীতা বা শক্তির বোঝা দেওয়া হয়। আমরা একজন দীর্ঘ দূরত্ব দৌড়ানো দৌড়ীরকে তার স্থায়ীতা বা শক্তির কারণে সম্মান করি। তাই শক্তি হলো আমাদের কাজ করার ক্ষমতা। পদার্থবিজ্ঞানেও ‘শক্তি’ শব্দটি কাজের সাথে এই অর্থে সম্পর্কিত, কিন্তু উপরে উল্লেখিতভাবে ‘কাজ’ শব্দটি নিয়ে আমরা আরও সুনির্দিষ্টভাবে ব্যাখ্যা করব। ‘শক্তিশালীতা’ শব্দটি দৈনন্দিক জীবনে বিভিন্ন অর্থে ব্যবহৃত হয়। কারাটি বা বক্সিং-এ আমরা ‘শক্তিশালী’ হাতের আঘাত নিয়ে কথা বলি। এগুলি দ্রুত গতিতে দেওয়া হয়। এই অর্থটি পদার্থবিজ্ঞানে ব্যবহৃত ‘শক্তিশালীতা’ শব্দের অর্থের কাছাকাছি আছে। আমরা দেখব যে পদার্থবিজ্ঞানের সূত্রগুলির সাথে এই শব্দগুলি আমাদের মাথায় জেগে উঠা চিত্রের মধ্যে সবচেয়ে বেশি একটি লুপ্ত সম্পর্ক থাকে। এই অধ্যায়ের লক্ষ্য হলো এই তিনটি পদার্থবিজ্ঞানের পরিমাপক পরিমাণের বোঝা বিকশিত করা। এই কাজের আগে, আমাদের দুটি বীজানুয়াদি বৈশিষ্ট্য যা হলো দুটি সংবেদী সংখ্যার স্কেলর প্রোডাক্ট, তার গণিতীয় প্রয়োজনীয়তা বিকশিত করতে হবে।

5.1.1 স্কেলর প্রোডাক্ট

আমরা চ্যাপ্টার 3-এ সংবেদী সংখ্যা এবং তাদের ব্যবহার নিয়ে জেনে নিয়েছি। অক্ষবিন্দু, গতি, ত্বরণ, শক্তি ইত্যাদির মতো পদার্থবিজ্ঞানের পরিমাপক পরিমাণ সংবেদী সংখ্যা। আমরা যেমন জেনে নিয়েছি সংবেদী সংখ্যাগুলি কীভাবে যোগ বা বিয়োগ করা হয়, তেমনি আমাদের এখন জানতে হবে সংবেদী সংখ্যাগুলি কীভাবে গুণ করা হয়। আমরা দুইটি সংবেদী সংখ্যার গুণের দুই প্রকার পরিচিত হবো: একটি পদ্ধতি যা স্কেলর প্রোডাক্ট নামে পরিচিত যা দুটি সংবেদী সংখ্যা থেকে একটি স্কেলর পরিমাণ দেয় এবং অন্যটি যা সংবেদী প্রোডাক্ট নামে পরিচিত যা দুটি সংবেদী সংখ্যা থেকে একটি নতুন সংবেদী সংখ্যা তৈরি করে। আমরা সংবেদী প্রোডাক্ট নিয়ে চ্যাপ্টার 6-এ আলোচনা করব। এখানে আমরা দুটি সংবেদী সংখ্যার স্কেলর প্রোডাক্ট নিয়ে কথা বলব। যেকোনো দুটি সংবেদী সংখ্যা A এবং B এর স্কেলর প্রোডাক্ট বা ডট প্রোডাক্ট, যা A.B দ্বারা চিহ্নিত হয় ($\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$ দেখুন), এটি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা হয়ঃ

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

এখানে $\theta$ হলো দুটি সংবেদী সংখ্যার মধ্যের কোণ, যেটি আকৃতি 5.1(অ) এ দেখানো আছে। কারণ $A, B$ এবং $\cos \theta$ স্কেলর পরিমাণ, $\mathbf{A}$ এবং $\mathbf{B}$ এর ডট প্রোডাক্ট একটি স্কেলর পরিমাণ হবে। প্রতিটি সংবেদী সংখ্যা, $\mathbf{A}$ এবং $\mathbf{B}$, একটি দিকের জন্য বোঝা দেয় কিন্তু তাদের স্কেলর প্রোডাক্টের দিক নেই।

সম্মিলিত সমীকরণ (5.1a) থেকে আমরা পেতে পারি

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

জ্যামিতিকভাবে, $B \cos \theta$ হলো $\mathbf{B}$ এর $\mathbf{A}$ এ প্রজেকশন, যেটি আকৃতি 5.1 (ব) এ দেখানো আছে এবং $A \cos \theta$ হলো $\mathbf{A}$ এর $\mathbf{B}$ এ প্রজেকশন, যেটি আকৃতি 5.1 (ক) এ দেখানো আছে। তাই, A.B হলো $\mathbf{A}$ এর মাত্রার গুণ $\mathbf{B}$ এর A এর সাথে অনুপাতের অংশের। বিকল্পভাবে, এটি $\mathbf{B}$ এর মাত্রার গুণ $\mathbf{A}$ এর $\mathbf{B}$ এর সাথে অনুপাতের অংশের।

সমীকরণ (5.1a) দেখায় যে স্কেলর প্রোডাক্ট পরম্পরাগত আইন অনুসরণ করে :

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

স্কেলর প্রোডাক্ট বনামধনী আইন অনুসরণ করে:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

আরও, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

যেখানে $\lambda$ একটি ভয়জ্ঞাত সংখ্যা।

উপরকল্পিত সমীকরণগুলির প্রমাণ আপনাকে একটি ব্যাপারে ছাড়া রাখা হয়েছে।

একক সংবেদী সংখ্যা $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ এর জন্য আমাদের আছে

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

যদি দুটি সংবেদী সংখ্যা

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

তাহলে তাদের স্কেলর প্রোডাক্ট হবে

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

স্কেলর প্রোডাক্টের সংজ্ঞা এবং (সমীকরণ 5.1b) থেকে আমরা পেতে পারিঃ

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

কারণ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$।

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, যদি $\mathbf{A}$ এবং $\mathbf{B}$ পারস্পেকটিভ হয়।

উদাহরণ 5.1 শক্তি $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ ইউনিট এবং অক্ষবিন্দু $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ ইউনিট এর মধ্যের কোণ নির্ণয় করুন। এছাড়াও $\mathbf{F}$ এর $\mathbf{d}$ এর উপর প্রজেকশন নির্ণয় করুন।

উত্তর $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

অতএব $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ ইউনিট

এখন $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

এবং $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

আকৃতি 5.1 (অ) দুটি সংবেদী সংখ্যা A এবং B এর স্কেলর প্রোডাক্ট একটি স্কেলর পরিমাণ হয়: A.B = A B cos θ। (ব) B cos θ হলো B এর A এ প্রজেকশন। (ক) A cos θ হলো A এর B এ প্রজেকশন।

5.2 কাজ এবং ক্যিনেটিক শক্তির ধারণা: কাজ-শক্তি তত্ত্ব

সমান্তরাল গতিবিন্দুতে স্থির ত্বরণ $a$ এর অধীনে চলার জন্য নিম্নলিখিত সম্পর্কটি চ্যাপ্টার 3-এ পরিচিত ছিল।

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

যেখানে $u$ এবং $v$ প্রারম্ভিক এবং অন্তিম গতি, $s$ হলো অতিক্রান্ত দূরত্ব। উভয় পক্ষে $m / 2$ দ্বারা গুণ করলে আমরা পেতে পারি

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

যেখানে শেষ ধাপ নিউটনের দ্বিতীয় নিয়ম থেকে অনুমোদিত। আমরা সংবেদী সংখ্যা ব্যবহার করে ত্রি-আয়তগত প্রকৃতির সমীকরণ (5.2) এর সাথে সাধারণীকরণ করতে পারি

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

এখানে $\mathbf{a}$ এবং $\mathbf{d}$ বস্তুর ত্বরণ এবং অক্ষবিন্দু সংবেদী সংখ্যা হয়। আবারও উভয় পক্ষে $\mathrm{m} / 2$ দ্বারা গুণ করলে আমরা পেতে পারি

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

উপরকল্পিত সমীকরণ কাজ এবং ক্যিনেটিক শক্তির সংজ্ঞার জন্য একটি উৎস হিসেবে ব্যবহৃত হয়। সমীকরণের বাম পক্ষে ‘মাসের অর্ধেক গতির বর্গের’ পরিমাণের পরিবর্তন তার প্রারম্ভিক মান থেকে তার অন্তিম মানের মধ্যে। আমরা এই পরিমাণগুলিকে ‘ক্যিনেটিক শক্তি’ বলে ডাকি, $K$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ডান পক্ষে অক্ষবিন্দু এবং তার সাথে অনুপাতের অংশের গুণ হয়, এই পরিমাণটি ‘কাজ’ বলে ডাকা হয় এবং W দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। সমীকরণ (5.2b) হলো

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

যেখানে $K_{i}$ এবং $K_{f}$ বস্তুর প্রারম্ভিক এবং অন্তিম ক্যিনেটিক শক্তি হয়। কাজ শক্তি এবং অক্ষবিন্দুর মধ্যে তাকে কাজ করার সাথে সম্পর্ক নির্দেশ করে। একটি শক্তির দ্বারা একটি শরীরের উপর একটি নির্দিষ্ট অক্ষবিন্দুর মধ্যে কাজ করা হয়।

সমীকরণ (5.2) কাজ-শক্তি (WE) তত্ত্বের একটি বিশেষ কেস নয়: একটি কণার ক্যিনেটিক শক্তির পরিবর্তন হলো এর উপর নেট শক্তির দ্বারা করা কাজ। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে একটি পরিবর্তনশীল শক্তির জন্য উপরকল্পিত ব্যাখ্যাটি সাধারণীকরণ করব।

উদাহরণ 5.2 এটি খুবই পরিচিত যে একটি বৃষ্টিপাত নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমরুভাগের মানচিত্রের প্রভাবে নিম্নমর