প্রায়ই প্রায়শই আমরা এমন প্রশ্নগুলির সম্মুখীন হই - আপনার উচ্চতা কত? ফুটবল খেলোয়াড় কীভাবে বলটি ধরে তার দলের অন্য খেলোয়াড়কে পাঠাতে পারে? প্রথম প্রশ্নের একটি সম্ভাব্য উত্তর হতে পারে ১.৬ মিটার, এমন একটি পরিমাণ যা শুধুমাত্র একটি মান (পরিমাণ) বুঝিয়া দেয় যা একটি বাস্তব সংখ্যা। এসব পরিমাণকে স্ক্যালার বলা হয়। তবে দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর হলো একটি পরিমাণ (জোর নামে পরিচিত) যা মাথাপিছু শক্তি (পরিমাণ) এবং দিক (অন্য খেলোয়াড় যে দিকে অবস্থিত) দুটি উপাদান নিয়ে গঠিত। এসব পরিমাণকে ভেক্টর বলা হয়। গণিত, প্রাকৃতিক বৈজ্ঞান এবং প্রকৌশলে, আমরা প্রায়ই উভয় ধরনের পরিমাণের সম্মুখীন হই, অর্থাৎ দৈর্ঘ্য, ভর, সময়, দূরত্ব, গতি, ক্ষেত্রফল, আয়তন, তাপমাত্রা, কাজ, মুদ্রা, ভোল্টেজ, ঘনত্ব, প্রতিরোধ ইত্যাদি নামে স্ক্যালার পরিমাণ এবং স্থানান্তর, গতি, ত্বরণ, বল, ওজন, লব্ধি, বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের কম্পাঙ্ক ইত্যাদি নামে ভেক্টর পরিমাণ।

W.R. হ্যামিল্টন $(1805-1865)$

এই অধ্যায়ে আমরা ভেক্টরগুলি সম্পর্কে কিছু মৌলিক ধারণা, ভেক্টরগুলির বিভিন্ন অপারেশন, এবং তাদের বীজগণিতিক ও জ্যামিতিক গুণগত বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করি। এই দুটি ধরনের গুণগত বৈশিষ্ট্য একসাথে বিবেচনা করলে ভেক্টরের ধারণাটি সম্পূর্ণরূপে বোঝা যায়, এবং উপরোক্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে তাদের গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার ঘটে।

১০.২ কিছু মৌলিক ধারণা

যেকোনো সরলরেখা ’ $l$ ’ যদি পর্যবেক্ষণ করা হয় তবে এটি প্লেন বা ত্রিমাত্রিক স্পেসে একটি সরলরেখা হিসাবে দুটি দিকে গঠিত হয়। এই সরলরেখাটিকে তীরচিহ্ন দ্বারা দুটি দিক নির্দেশ করা যায়। এই দুটি দিকের মধ্যে একটি দিক নির্ধারণ করা থাকলে সেই সরলরেখাকে একটি নির্দেশিত সরলরেখা বলা হয় (ছবি ১০.১ (i), (ii))।

ছবি ১০.১

এখন পর্যবেক্ষণ করুন যে যদি আমরা সরলরেখা $l$ কে শুধুমাত্র শীর্ষবিন্দু A এবং শেষবিন্দু B এর মধ্যকার সংকট সীমাবদ্ধ করি, তবে সরলরেখা $l$ এ একটি পরিমাণ নির্ধারণ করা হয় যার দুটি দিক আছে, যাতে আমরা একটি নির্দেশিত সংকট পাই (ছবি ১০.১(iii))। অতএব, একটি নির্দেশিত সংকটের ক্ষেত্রে পরিমাণ এবং দিক উভয়ই নির্ধারণ করা হয়।

সংজ্ঞা ১ পরিমাণ এবং দিক উভয়ই থাকা এমন একটি পরিমাণকে ভেক্টর বলা হয়।

নোট করুন যে একটি নির্দেশিত সংকট হলো একটি ভেক্টর (ছবি ১০.১(iii)), যা $\overrightarrow{{}AB}$ এর রূপে বা শুধুমাত্র $\vec{a}$ এর রূপে লেখা হয়, এবং পড়া হয় ‘ভেক্টর $\overrightarrow{{}AB}$ ’ বা ‘ভেক্টর $\vec{a}$ ‘।

ভেক্টর $A$ থেকে যে বিন্দুকে ভেক্টর $\overrightarrow{{}AB}$ শুরু হয় তাকে তার প্রারম্ভিক বিন্দু বলা হয়, এবং যে বিন্দুতে এটি শেষ হয় তাকে তার শেষবিন্দু বলা হয়। একটি ভেক্টরের প্রারম্ভিক এবং শেষবিন্দুর মধ্যকার দূরত্বকে ভেক্টরের পরিমাণ (বা দৈর্ঘ্য) বলা হয়, যা $|\overrightarrow{{}AB}|$, বা $|\vec{a}|$, বা $a$ এর রূপে লেখা হয়। তীর চিহ্ন ভেক্টরের দিকটি নির্দেশ করে।

নোট যেহেতু দৈর্ঘ্য কখনোই ঋণাত্মক হয় না, $|\vec{a}|<0$ এর নোটেশনটি কোনো অর্থ বোঝায় না।

অবস্থান ভেক্টর

ক্লাস XI থেকে মনে রাখুন যে ত্রিমাত্রিক ডানহাতের আয়তন স্থিতিশীল কোয়ার্ডিনেট সিস্টেম (ছবি ১০.২(i))। একটি বিন্দু $P$ যা মূল $O(0,0,0)$ এর প্রাপ্যতায় থাকে এবং তার থেকে থেকে থাকে $(x, y, z)$ সম্পর্কে ধরা হয়। তবে, যে ভেক্টর $\overrightarrow{{}OP}$ যার $O$ এবং $P$ হলো তার প্রারম্ভিক এবং শেষবিন্দু যার প্রাপ্যতায় থাকে $P$ বিন্দুকে মূল $O$ এর প্রাপ্যতায় $\overrightarrow{{}OP}$ বলা হয়। দূরত্ব সূত্র ব্যবহার করে (ক্লাস XI থেকে), $\vec{r}$ (বা $A, B, C$ ) এর পরিমাণ দেওয়া হয়

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

ব্যবহারে, বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর $O$, ইত্যাদি, মূল $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ এর প্রাপ্যতায় $\overrightarrow{{}OP}$, ইত্যাদি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (ছবি ১০.২ (ii))।

ছবি ১০.২

দিকসম্মিলন কোসাইনস

ধরা হয় যে একটি বিন্দু $\vec{r}$ এর অবস্থান ভেক্টর $\overrightarrow{{}OP}$ (বা $P(x, y, z)$ ) হলো ছবি ১০.৩ এ দেখানো হয়েছে। ভেক্টর $\alpha$ এর দিকে $\beta, \gamma$ এবং $\vec{r}$-অক্ষের ধকলের ধির দিকে তীর চিহ্ন দিয়া দেওয়া হয়েছে $x, y$ এবং $z$, এই তীর চিহ্ন দিয়া দেওয়া হয়েছে $\cos \alpha, \cos \beta$ এবং $\cos \gamma$ এই তীর চিহ্ন দিয়া দেওয়া হয়েছে $\vec{r}$ এর দিকসম্মিলন কোসাইনস বলা হয়, এবং সাধারণত $l, m$ এবং $n$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

ছবি ১০.৩ থেকে একটি বিষয়বস্তু হলো যে ত্রিকোণ OAP একটি বিপ্রতিকূল ত্রিকোণ, এবং এতে $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ হলো $|\vec{r}|)$। একই ভাবে, বিপ্রতিকূল ত্রিকোণ OBP এবং OCP থেকে আমরা $\cos \beta=\frac{y}{r}$ এবং $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ লিখতে পারি। অতএব, বিন্দু P এর থেকে $(l r, m r, n r)$। সংখ্যা $l r, m r$ এবং $n r$, দিকসম্মিলন কোসাইনসের সাপেক্ষে প্রতিবন্ধক হয় $\vec{r}$ এর দিকসম্মিলন হিসাব বলা হয় এবং $a, b$ এবং $c$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

নোট একজন ব্যক্তি নোট করতে পারে $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ কিন্তু $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$, সাধারণত।

১০.৩ ভেক্টরের ধরন

শূন্য ভেক্টর এমন একটি ভেক্টর যার প্রারম্ভিক এবং শেষবিন্দু একই হয়, এটিকে শূন্য ভেক্টর (বা নাল ভেক্টর) বলা হয়, এবং $\overrightarrow{{}0}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। শূন্য ভেক্টরের কোনো নির্দিষ্ট দিক নির্ধারণ করা যায় না কারণ এর পরিমাণ শূন্য। অথবা, বৈকল্পিকভাবে, এটি যে কোনো দিকে ধরা যায়। ভেক্টর $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ শূন্য ভেক্টরকে প্রতিফলিত করে।

একক ভেক্টর এমন একটি ভেক্টর যার পরিমাণ একক (অর্থাৎ, ১ একক) হয়, এটিকে একক ভেক্টর বলা হয়। একটি প্রদত্ত ভেক্টর $\vec{a}$ এর দিকে একক ভেক্টর $\hat{a}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

সমারম্ভিক ভেক্টর দুটি বা তার বেশি ভেক্টর যার একই প্রারম্ভিক বিন্দু আছে, তাদেরকে সমারম্ভিক ভেক্টর বলা হয়।

সমস্তসংলগ্ন ভেক্টর দুটি বা তার বেশি ভেক্টর যার একই সরলরেখার সাথে সমান্তরাল হয়, তাদের পরিমাণ এবং দিক সম্বন্ধে নির্বিশেষে তাদেরকে সমস্তসংলগ্ন ভেক্টর বলা হয়।

সমান ভেক্টর দুটি ভেক্টর $\vec{a}$ এবং $\vec{b}$ যদি তাদের প্রারম্ভিক বিন্দুগুলির অবস্থান সম্বন্ধে নির্বিশেষে একই পরিমাণ এবং দিক থাকে, তবে তাদেরকে সমান ভেক্টর বলা হয়, এবং $\vec{a}=\vec{b}$ এর রূপে লেখা হয়।

একটি ভেক্টরের ঋণাত্মক একটি ভেক্টর যার পরিমাণ একটি প্রদত্ত ভেক্টর (যেমন, $\overrightarrow{{}AB}$ ) এর সমান, কিন্তু তার দিক তার বিপরীত, তাকে প্রদত্ত ভেক্টরের ঋণাত্মক বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর $\overrightarrow{{}BA}$ হলো ভেক্টর $\overrightarrow{{}AB}$ এর ঋণাত্মক, এবং $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ এর রূপে লেখা হয়।

মন্তব্য উপরোক্ত ভেক্টরগুলি তাদের প্রারম্ভিক বিন্দুগুলির অবস্থান সম্বন্ধে নির্বিশেষে তাদের সমান্তরাল স্থানান্তর করা যায় যাতে তাদের পরিমাণ এবং দিক অপরিবর্তিত থাকে। এসব ভেক্টরকে ফ্রি ভেক্টর বলা হয়। এই অধ্যায়ের সমগ্রে আমরা শুধুমাত্র ফ্রি ভেক্টরগুলি নিয়ে কাজ করব।

উদাহরণ ১ দক্ষিণের পশ্চিমে $40 km, 30^{\circ}$ একটি স্থানান্তর গ্রাফিক্যালভাবে প্রতিফলিত করুন।

সমাধান ভেক্টর $\overrightarrow{{}OP}$ প্রয়োজনীয় স্থানান্তরকে প্রতিফলিত করে (ছবি ১০.৪)।

ছবি ১০.৪

উদাহরণ ২ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি কী ধরনের বলে শ্রেণিবদ্ধ করুন স্ক্যালার এবং ভেক্টর।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ উত্তরে

সমাধান

(i) সময়-স্ক্যালার

(ii) আয়তন-স্ক্যালার

(iii) বল-ভেক্টর

(iv) গতি-স্ক্যালার

(v) ঘনত্ব-স্ক্যালার

(vi) গতি