গণিতীয় সৃজনশীলতার চলমান শক্তি যুক্তিযুক্তি নয় বরং কল্পনা। - এ. ডিমোরগান

11.1 পরিচয়

ক্লাস XI-এ দ্বিমাত্রিক বিশ্লেষণ জ্যামিতি এবং ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি সম্পর্কে পরিচয় নিয়ে আমরা শুধুমাত্র কার্টেসিয়ান পদ্ধতি নিয়ে কথা বলেছি। এই বইয়ের পূর্ববর্তী অধ্যায়ে আমরা ভেক্টরের কিছু মৌলিক ধারণা নিয়ে আলোচনা করেছি। এখন আমরা ভেক্টর বীজগণিত ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি নিয়ে আলোচনা করব। ত্রিমাত্রিক জ্যামিতির এই পদ্ধতির উদ্দেশ্য হল এটি অধ্যয়নকে সহজ এবং সুন্দর করে তোলা।

এই অধ্যায়ে আমরা দুটি পয়েন্ট যুক্ত একটি রেখার দিকের কোসাইন এবং দিকের অনুপাত নিয়ে আলোচনা করব এবং অন্যদিকে অবস্থানে রেখা এবং প্লেনের সমানুপাতিক সমীকরণ, দুটি রেখা, দুটি প্লেন, একটি রেখা এবং একটি প্লেনের মধ্যে কোণ, দুটি স্কিউ রেখার মধ্যে সংক্ষিপ্ত দূরত্ব এবং একটি পয়েন্ট থেকে একটি প্লেনের দূরত্ব নিয়ে আলোচনা করব। উর্ধ্বতন ফলাফলগুলি বেশিরভাগ ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। তবে আমরা এই ফলাফলগুলি কার্টেসিয়ান সংজ্ঞায়িত করব যা কখনো কখনো পরিস্থিতির জটিল জ্যামিতিক এবং বিশ্লেষণিক চিত্র উপস্থাপন করে।

লিওনার্ড ইউলার $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 একটি রেখার দিকের কোসাইন এবং দিকের অনুপাত

অধ্যায় 10 থেকে মনে করুন যে যদি একটি নির্দেশিত রেখা $L$ মূল থেকে যায় এবং এটি আয়তন্ডের দিকের কোণ $\alpha, \beta$ এবং $\gamma$ হয় $x, y$ এবং $z$-আয়তন্ডের সাথে যথাক্রমে, তাহলে এই কোণগুলির কোসাইন, অর্থাৎ $\cos \alpha, \cos \beta$ এবং $\cos \gamma$ নির্দেশিত রেখা $L$ এর দিকের কোসাইন বলা হয়।

$L$ এর দিক বিপরীত করলে, তার দিকের কোণগুলি তাদের প্রসারিত হয়, অর্থাৎ $\pi-\alpha, \pi-\beta$ এবং $\pi-\gamma$। অতএব, দিকের কোসাইনের চিহ্নগুলি বিপরীত হয়।

রেখাংক 11.1

দ্রষ্টব্য যে একটি প্রদত্ত স্পেসে একটি রেখা দুটি বিপরীত দিকে বদ্ধ করা যেতে পারে এবং তাই এটির দুটি সেট দিকের কোসাইন রয়েছে। একটি প্রদত্ত স্পেসে একটি রেখার জন্য একক সেট দিকের কোসাইন পেতে, আমাদের প্রদত্ত রেখাটিকে একটি নির্দেশিত রেখা হিসাবে নিয়ে হতে হবে। এই একক দিকের কোসাইনগুলি $l, m$ এবং $n$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

মন্তব্য যদি একটি প্রদত্ত স্পেসে একটি রেখা মূল থেকে যায় না, তাহলে এর দিকের কোসাইন পেতে আমরা মূল থেকে একটি রেখা আঁকি যা প্রদত্ত রেখার সমান্তরাল। এরপর মূল থেকে একটি নির্দেশিত রেখা নিয়ে এর দিকের কোসাইন নির্ণয় করুন কারণ দুটি সমান্তরাল রেখার একই সেট দিকের কোসাইন রয়েছে।

একটি রেখার দিকের কোসাইনের সাথে সমান্তরাল যেকোনো তিনটি সংখ্যাকে তার দিকের অনুপাত বলা হয়। $l, m, n$ হল দিকের কোসাইন এবং $a, b, c$ হল একটি রেখার দিকের অনুপাত, তাহলে $a=\lambda l, b=\lambda m$ এবং $c=\lambda n$, যেকোনো ননজেরো $\lambda \in \mathbf{R}$ জন্য।

নোট কিছু লেখক দিকের অনুপাতকে দিকের সংখ্যা বলেও উল্লেখ করেন।

$a, b, c$ হল একটি রেখার দিকের অনুপাত এবং $l, m$ এবং $n$ হল রেখার দিকের কোসাইন (d.c’s)। তাহলে

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

অতএব $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

কিন্তু $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

অতএব $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

অথবা $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

অতএব, (1) থেকে রেখার দিকের কোসাইন হল $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

যেখানে, $k$ এর প্রত্যাশিত চিহ্নের উপর ভিত্তি করে $l, m$ এবং $n$ জন্য একটি ইতিবাচক বা একটি ঋণাত্মক চিহ্ন নেওয়া হবে। যেকোনো রেখার জন্য, $a, b, c$ হল একটি রেখার দিকের অনুপাত, তাহলে $k a, k b, k c ; k \neq 0$ একটি দিকের অনুপাতের সেটও হতে পারে। অতএব, একটি রেখার যেকোনো দুটি দিকের অনুপাতের সেটও সমান্তরাল। এছাড়াও, যেকোনো রেখার জন্য দিকের অনুপাতের অনন্ত সংখ্যক সেট রয়েছে।

11.2.1 দুটি পয়েন্ট যুক্ত একটি রেখার দিকের কোসাইন

কারণ দুটি প্রদত্ত পয়েন্টের মধ্যে একক রেখাই যায়, আমরা প্রদত্ত পয়েন্ট $P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ যুক্ত একটি রেখার দিকের কোসাইন নির্ণয় করতে পারি যেমন নিম্নে দেখানো হল (রেখাংক 11.2 (অ))।

রেখাংক 11.2

$l, m, n$ হল রেখা PQ এর দিকের কোসাইন এবং এটি আয়তন্ডের দিকের কোণ $\alpha, \beta$ এবং $\gamma$ হয় $x, y$ এবং $z$-আয়তন্ডের সাথে যথাক্রমে।

$P$ থেকে $Q$ এর $XY$-প্লেনের উপর লম্বা লম্বা লাইন আঁকুন যা $R$ এবং $S$ এ মিলে যাবে। $P$ থেকে $QS$ এর উপর লম্বা লাইন আঁকুন যা $N$ এ মিলে যাবে। এখন, লম্ব কোণের ত্রিভুজ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ (রেখাংক 11.2 (বি)) এর মধ্যে।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

অতএব এতে পয়েন্ট $P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ যুক্ত রেখার দিকের কোসাইন হবে

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

যেখানে $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

নোট পয়েন্ট $P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ যুক্ত রেখার দিকের অনুপাত নিম্নে নেওয়া যেতে পারে

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

উদাহরণ 1 যদি একটি রেখা পজিটিভ দিকের $90^{\circ}, 60^{\circ}$ এবং $30^{\circ}$ হয় $x, y$ এবং $z$-আয়তন্ডের সাথে যথাক্রমে, তাহলে এর দিকের কোসাইন নির্ণয় করুন।

সমাধান $d . c$। $s$ এর দিকের কোসাইন $l, m, n$। তাহলে $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

উদাহরণ 2 যদি একটি রেখার দিকের অনুপাত 2, - 1, - 2 হয়, তাহলে এর দিকের কোসাইন নির্ণয় করুন।

সমাধান দিকের কোসাইন হল

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

অথবা $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

উদাহরণ 3 দুটি পয়েন্ট $(-2,4,-5)$ এবং $(1,2,3)$ যুক্ত রেখার দিকের কোসাইন নির্ণয় করুন।

সমাধান আমরা জানি যে দুটি পয়েন্ট $P(x_1, y_1, z_1)$ এবং $Q(x_2, y_2, z_2)$ যুক্ত রেখার দিকের কোসাইন নিম্নে দেওয়া হয়

যেখানে $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

এখানে $P$ হল $(-2,4,-5)$ এবং $Q$ হল $(1,2,3)$।

তাহলে $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

অতএব, দুটি পয়েন্ট যুক্ত রেখার দিকের কোসাইন হল

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

উদাহরণ 4 $x, y$ এবং $z$-আয়তন্ডের দিকের কোসাইন নির্ণয় করুন।

সমাধান $x$-আয়তন্ড আয়তন্ডের দিকের কোণ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ এবং $90^{\circ}$ হয় $x, y$ এবং $z$-আয়তন্ডের সাথে যথাক্রমে। অতএব, $x$-আয়তন্ডের দিকের কোসাইন $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ যার অর্থ $1,0,0$। একইভাবে, $y$-আয়তন্ড এবং $z$-আয়তন্ডের দিকের কোসাইন $0,1,0$ এবং $0,0,1$ যথাক্রমে।

উদাহরণ 5 পয়েন্ট A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ এবং $C(3,8,-11)$ সমকোণী তুলনা করুন।

সমাধান লাইন যুক্ত A এবং B এর দিকের অনুপাত হল

$1-2,-2-3,3+4$ যার অর্থ $-1,-5,7$।

লাইন যুক্ত $B$ এবং $C$ এর দিকের অনুপাত $3-1,8+2,-11-3$, যার অর্থ $2,10,-14$।

দিকের অনুপাতের $AB$ এবং $BC$ সমান্তরাল হওয়া স্পষ্ট যাচাই করা যায়, অতএব, $AB$ সমান্তরাল $BC$। কিন্তু পয়েন্ট $B$ উভয় $AB$ এবং $BC$ এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অতএব, $A, B, C$ হল সমকোণী পয়েন্ট।

11.3 স্পেসে একটি রেখার সমীকরণ

আমরা দ্বিমাত্রিক বিশ্লেষণ জ্যামিতিতে রেখার সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করেছি ক্লাস XI-এ, এখন আমরা স্পেসে একটি রেখার ভেক্টর এবং কার্টেসিয়ান সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করব।

একটি রেখা এককভাবে নির্ধারিত হয় যদি

(ক) এটি একটি প্রদত্ত পয়েন্ট যায় এবং প্রদত্ত দিকের সাথে সমান্তরাল হয়, অথবা

(খ) এটি দুটি প্রদত্ত পয়েন্ট যায়।

11.3.1 একটি প্রদত্ত পয়েন্ট যুক্ত এবং $\vec{a}$ প্রদত্ত ভেক্টরের সাথে সমান্তরাল হওয়া রেখার সমীকরণ $\vec{b}$

$\vec{a}$ হল প্রদত্ত পয়েন্ট A এর অবস্থান ভেক্টর যা আয়তন্ড কার্টেসিয়ান সিস্টেমের মূল $O$ এর সাপেক্ষে। $l$ হল একটি রেখা �