প্রবলেমিট্রির থিওরি হল এমন একটি বিজ্ঞান যা লজিককে পরিমাপযোগীভাবে ব্যবহার করে - সি. এস. পাইর্স

13.1 পরিচিতি

পিয়ের দে ফার্ম্যাট $(1601-1665)$

আগের শ্রেণীতে আমরা প্রবলেমিট্রিকে একটি একক পরীক্ষার একটি এলোমেলো ঘটনার অনিশ্চয়তার পরিমাপ হিসাবে অধ্যয়ন করেছি। আমরা রাশিয়ান গণিতবিদ এ. এন. কোলমোগোরফ (1903-1987) দ্বারা গঠিত অভিধানিক দৃষ্টিভঙ্গি আলোচনা করেছি এবং প্রবলেমিট্রিকে পরীক্ষার ফলাফলের একটি ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করেছি। আমরা একই সম্ভাব্য ফলাফলের ক্ষেত্রে অভিধানিক থিওরি এবং প্রবলেমিট্রির শ্রেণীবিধিকে সমতুল্যতা দেখিয়েছি। এই সম্পর্কের ভিত্তিতে, আমরা সমবেদী নমুনা স্পেসের সম্পর্কিত ঘটনার প্রবলেমিট্রি পাইয়েছি। আমরা প্রবলেমিট্রির যোগ নিয়মও অধ্যয়ন করেছি। এই চ্যাপ্টারে, আমরা একটি ঘটনার প্রবলেমিট্রিকে প্রদত্ত করা হলে অন্য একটি ঘটনার ঘটনার প্রবলেমিট্রি বোঝার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাধীন প্রবলেমিট্রির গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি আলোচনা করব, যা বেইজিয়ান থিওরি, প্রবলেমিট্রির গুণন নিয়ম এবং ঘটনার স্বাধীনতা বোঝার ক্ষেত্রে সহায়ক হবে। আমরা একটি ঘটনার প্রবলেমিট্রি বিতরণ এবং একটি প্রবলেমিট্রি বিতরণের মান এবং বৈকল্পিকতা অধ্যয়ন করব। চ্যাপ্টারের শেষ অধ্যায়ে আমরা বাইনারি বিতরণ নামে একটি গুরুত্বপূর্ণ নমুনা প্রবলেমিট্রি বিতরণ অধ্যয়ন করব। এই চ্যাপ্টারের সমগ্রে আমরা একই সম্ভাব্য ফলাফল সম্পন্ন পরীক্ষার সম্পর্কে আলোচনা করব, কেননা অন্যথায় বলা হয়েছে।

13.2 শর্তাধীন প্রবলেমিট্রি

প্রবলেমিট্রিতে আমরা ঘটনার প্রবলেমিট্রি পেতে যে পদ্ধতিগুলি আলোচনা করেছি, সেগুলি আলোচনা করা হয়েছে। যদি একই নমুনা স্পেস থেকে দুটি ঘটনা থাকে, তবে একটি ঘটনার ঘটনার তথ্য অন্য ঘটনার প্রবলেমিট্রিকে প্রভাবিত করে? আমরা এই প্রশ্নের উত্তর দেখতে চাই এমন একটি এলোমেলো পরীক্ষার সম্পর্কে যেখানে ফলাফলগুলি একই সম্ভাব্যতা দিয়ে ঘটতে পারে।

তিনটি ন্যায়তন্ত্রী তীক্ষ্ণ তীর বিস্ফোরণের পরীক্ষার উদাহরণ নেওয়া হল। পরীক্ষার নমুনা স্পেস হল

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

তীরগুলি ন্যায়তন্ত্রী, তাই আমরা প্রতিটি নমুনা বিন্দুকে প্রবলেমিট্রি $\frac{1}{8}$ দেওয়া যায়। যদি $E$ হল ‘কমপক্ষে দুটি তীর হাঁটু দেখায়’ এবং $F$ হল ‘প্রথম তীর হল হলুদ’, তবে

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

অথবা $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

তাই $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

অথবা $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

সহ $\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$

তাই $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

এখন, যদি আমাদের জানা থাকে যে প্রথম তীর হলুদ দেখায়, অর্থাৎ F ঘটেছে, তবে $E$ ঘটনার প্রবলেমিট্রি কত? $F$ ঘটনার ঘটনার তথ্যের সাথে, আমরা নিশ্চিত যে প্রথম তীর হলুদ হওয়া উচিত নয় এমন ঘটনাগুলি $E$ প্রবলেমিট্রি পেতে দেখা যাবে। এই তথ্য আমাদের নমুনা স্পেসকে $S$ সেট থেকে $F$ এর একটি উপসেটে সীমাবদ্ধ করে $E$ ঘটনার ক্ষেত্রে। অন্যভাবে বললে, এই অতিরিক্ত তথ্য আমাদেরকে বলে যে পরিস্থিতিটি একটি নতুন এলোমেলো পরীক্ষার মতো বিবেচনা করা যেতে পারে যার নমুনা স্পেস শুধুমাত্র সেগুলি ফলাফলগুলি গঠন করে যা $F$ ঘটনার ঘটনার জন্য উপযোগী।

এখন, $F$ এর নমুনা বিন্দু $E$ ঘটনার জন্য উপযোগী হল THH।

এভাবে, $E$ প্রবলেমিট্রি $F$ নমুনা স্পেস $=\frac{1}{4}$ হিসাবে,

অথবা $\quad$ $E$ ঘটনার প্রবলেমিট্রি $F$ ঘটনার ঘটনার জন্য $=\frac{1}{4}$

এই ঘটনা $E$ এর প্রবলেমিট্রি হল $E$ ঘটনার শর্তাধীন প্রবলেমিট্রি $F$ ঘটেছে, এবং $P(E \mid F)$ দ্বারা চিহ্নিত হয়।

তাই $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

$F$ এর উপাদানগুলি $E$ ঘটনাকে সমর্থন করে $E$ এবং $F$ এর সাধারণ উপাদান, অর্থাৎ $E \cap F$ এর নমুনা বিন্দু।

তাই, আমরা শর্তাধীন প্রবলেমিট্রি লিখতে পারি $E$ $F$ ঘটেছে এমন $P(EIF)$ হিসাবে

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

নমুনা স্পেসের মোট প্রাথমিক ঘটনার সংখ্যা দিয়ে সংখ্যকমান এবং প্রান্তিক সংখ্যকমান ভাগ করলে, আমরা দেখতে পাই $P(EIF)$ একই রকম লেখা যেতে পারে

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

দ্রষ্টব্য যে (1) শুধুমাত্র তখনই বৈধ $P(F) \neq 0$ অর্থাৎ $F \neq \phi$ (কেন?) তাই, আমরা শর্তাধীন প্রবলেমিট্রি নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি :

সংজ্ঞা 1 $E$ এবং $F$ একই এলোমেলো পরীক্ষার নমুনা স্পেসের সম্পর্কিত দুটি ঘটনা হলে, $E$ ঘটনার শর্তাধীন প্রবলেমিট্রি $F$ ঘটেছে, অর্থাৎ $P(E \mid F)$ দ্বারা প্রদত্ত হয়

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 শর্তাধীন প্রবলেমিট্রির গুণগত মান

$E$ এবং $F$ হল একটি পরীক্ষার নমুনা স্পেস $S$ এর ঘটনা, তাহলে আমরা পাই

গুণগত মান $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

আমরা জানি যে $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

তাই $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

অথবা $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

গুণগত মান 2 যদি $A$ এবং $B$ হল নমুনা স্পেস $S$ এর যেকোনো দুটি ঘটনা এবং $F$ হল $S$ এর একটি ঘটনা যেখানে $P(F) \neq 0$, তবে

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

বিশেষত, $A$ এবং $B$ যদি বিরল ঘটনা, তবে

আমরা পাই $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

আমরা জানি $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(সেটগুলির যোগ এবং পরস্পরের বিভাজনের নিয়ম দ্বারা)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

$A$ এবং $B$ বিরল ঘটনা হলে,

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

$\mathrm{A}$ এবং $\mathrm{B}$ বিরল ঘটনা হলে, $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

গুণগত মান $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

গুণগত মান 1 থেকে আমরা জানি $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

এখন আমরা কিছু উদাহরণ নেওয়া হল।

উদাহরণ 1 $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ এবং $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, $P(A \mid B)$ মূল্যায়ন করুন।

সমাধান আমরা পাই $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

উদাহরণ 2 একটি পরিবারে দুটি শিশু আছে। একটিকে কমপক্ষে একটি ছেলে হওয়া দ্বারা প্রদত্ত হলে উভয়ই ছেলে হওয়ার প্রবলেমিট্রি কত?

সমাধান $b$ ছেলে হিসাবে এবং $g$ মেয়ে হিসাবে বর্ণনা করা হল। পরীক্ষার নমুনা স্পেস হল

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

$E$ এবং $F$ নিম্নলিখিত ঘটনাগুলি বর্ণনা করে :

E : ‘উভয়ই ছেলে’

$F$ : ‘কমপক্ষে একটি শিশু ছেলে’

তাহলে $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

এখন $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

তাই $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

তাই $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

উদাহরণ 3 দশটি কার্ড সংখ্যা 1 থেকে 10 পর্যন্ত একটি বাক্সে রাখা আছে, পরে একটি কার্ড এলোমেলোভাবে তুলা হল। যদি জানা থাকে যে তুলা হওয়া কার্ডের সংখ্যা 3 এর বেশি, তবে সেটি একটি জোড় সংখ্যা হওয়ার প্রবলেমিট্রি কত?

সমাধান A হল ‘কার্ডের সংখ্যা জোড়’ ঘটনা এবং B হল ‘কার্ডের সংখ্যা 3 এর বেশি’ ঘটনা। আমাদের $P(AlB)$ পেতে হবে।

এখন, পরীক্ষার নমুনা স্পেস $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

তাহলে $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

এবং $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

আবার $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

উদাহরণ 4 একটি বিদ্যালয়ে 1000 জন শিক্ষার্থী আছে, যাদের মধ্যে 430 জন মেয়ে। জানা আছে যে $430,10 \%$ মেয়েদের মধ্যে $F$ শ্রেণী XII এ অধ্যয়ন করে। একজন শিক্ষার্থী এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হলে এবং জানা থাকলে যে নির্বাচিত শিক্ষার্থী মেয়ে, তবে সেই শিক্ষার্থী ক্লাস XII এ অধ্যয়ন করছে এমন ঘটনার প্রবলেমিট্রি কত?

সমাধান E হল ঘটনা যে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত শিক্ষার্থী ক্লাস XII এ অধ্যয়ন করছে এবং $F$ হল ঘটনা যে এলোমেলোভাবে নির্বাচিত শিক্ষার্থী মেয়ে। আমাদের $P(EIF)$ পেতে হবে।

এখন $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ এবং $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$(কেন?)

তাহলে $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

উদাহরণ 5 একটি ডিজ তিনবার ফেলা হল। নিম্নলিখিতভাবে ঘটনা A এবং B সংজ্ঞায়িত হয়েছে:

A : তৃতীয় ফেলার সময় 4 আসে

B : প্রথম এবং দ্বিতীয় ফেলার সময় 6 এবং 5 আসে

B ঘটেছে এমন প্রদত্ত হলে A ঘটনার প্রবলেমিট্রি প্রদর্শন করুন।

সমাধান নমুনা স্পেসের 216 টি ফলাফল আছে।

এখন

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

এবং $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

এখন $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

তাহলে $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

উদাহরণ 6 একটি ডিজ দুবার ফেলা হল এবং প্রদর্শিত স