দুর্বল গণিতের জন্য বিশ্বের কোনো স্থায়ী জায়গা নেই… গণিতের সৌন্দর্য সংজ্ঞায়িত করা খুব কঠিন হতে পারে কিন্তু যে কোনো ধরনের সৌন্দর্যের মতো এটি একই ভাবে সত্য। আমরা একটি সুন্দর কবিতা কী বলে বুঝতে পারি না, কিন্তু তা পড়লে আমরা এটিকে চিনতে পারি। - জি. এইচ. হার্ডি

1.1 পরিচিতি

সম্পর্ক ও ফাংশন, ডোমেইন, কো-ডোমেইন এবং রেঞ্জের ধারণা ক্লাস XI-তে বিভিন্ন ধরনের নির্দিষ্ট ভগ্নাংশ মূলক ফাংশন এবং তাদের গ্রাফ সহ পরিচিত করা হয়েছে। গণিতে ‘সম্পর্ক’ শব্দের ধারণা ইংরেজি ভাষার সম্পর্কের অর্থ থেকে নেওয়া হয়েছে, অর্থাৎ দুটি বস্তু বা পরিমাণ যদি দুটি বস্তু বা পরিমাণের মধ্যে একটি চেনা যায় এমন একটি সংযোগ বা সম্পর্ক থাকে। একটি স্কুলের ক্লাস XII-এর ছাত্রদের সেট A এবং একই স্কুলের ক্লাস XI-এর ছাত্রদের সেট B হলে, এখান থেকে সম্পর্কের কয়েকটি উদাহরণ $A$ থেকে $B$ হলো

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

লেজিউন ডিরিখলেট (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$: এক ছাত্র ফলোত্তর পরীক্ষায় প্রাপ্ত মোট নম্বর অন্য ছাত্রের ফলোত্তর পরীক্ষায় প্রাপ্ত মোট নম্বরের চেয়ে কম $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ এবং $b\}$ একই এলাকায় বাস করে। তবে, এটি থেকে ব্যবহারিকভাবে, আমরা $R$ থেকে $A$ পর্যন্ত $B$ একটি সাধারণ উপসংহারে $A \times B$ এর একটি অজানা উপসংহার $R$ নির্ধারণ করি।

$(a, b) \in R$ হলে, আমরা $a$ এবং $b$ এর মধ্যে $R$ সম্পর্কে বলি $a R b$। সাধারণত, $(a, b) \in R$, আমরা $a$ এবং $b$ এর মধ্যে একটি চেনা যায় এমন একটি সংযোগ বা সম্পর্ক আছে কিনা তা নিয়ে চিন্তা করি না। ক্লাস XI-তে দেখা গেছে ফাংশন হলো একটি বিশেষ ধরনের সম্পর্ক।

এই অধ্যায়ে, আমরা বিভিন্ন ধরনের সম্পর্ক এবং ফাংশন, ফাংশনের সম্পন্ন, বার্নার অপারেশন নিয়ে আলোচনা করব।

1.2 সম্পর্কের ধরন

এই ধাপে, আমরা বিভিন্ন ধরনের সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করতে চাই। আমরা জানি যে সেট $A$ এর একটি সম্পর্ক $A \times A$ এর একটি উপসংহার হয়। অতএব, খালি সেট $\phi$ এবং $A \times A$ হলো দুটি চূড়ান্ত সম্পর্ক। উদাহরণের জন্য, ধরে নিন $R$ হলো $A=\{1,2,3,4\}$ সেটের একটি সম্পর্ক $R=\{(a, b): a-b=10\}$ দ্বারা প্রদত্ত। এটি খালি সেট, কারণ $(a, b)$ এর কোনো জোড়া $a-b=10$ শর্ত পূরণ করে না। একইভাবে, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ হলো $A \times A$ সেটের সম্পূর্ণ সেট, কারণ $(a, b)$ সেট A $\times$ A এর সব জোড়া $|a-b| \geq 0$ পূরণ করে। এই দুটি চূড়ান্ত উদাহরণ আমাদের নিম্নলিখিত সংজ্ঞাগুলি নিয়ে আসে।

সংজ্ঞা 1 সেট $A$ এর একটি সম্পর্ক $R$ হলো খালি সম্পর্ক, যদি $A$ এর $A$ এর কোনো উপাদান সম্পর্কিত হয় না, অর্থাৎ $R=\phi \subset A \times A$।

সংজ্ঞা 2 সেট $A$ এর একটি সম্পর্ক $R$ হলো সর্বসাধারণ সম্পর্ক, যদি $A$ এর $A$ এর প্রতিটি উপাদান সম্পর্কিত হয়, অর্থাৎ $R=A \times A$।

খালি সম্পর্ক এবং সর্বসাধারণ সম্পর্ক কখনো কখনো সহজ সম্পর্ক বলে ডাকা হয়।

উদাহরণ 1 $A$ হলো একটি ছেলেদের স্কুলের সব ছাত্রের সেট। $R$ সম্পর্ক $A$ এ $R=\{(a, b): a$ এর ভাইবোন $b\}$ হলে দেখান, $R=\phi$ খালি সম্পর্ক এবং $R^{\prime}=A \times A$ হলো সর্বসাধারণ সম্পর্ক।

সমাধান কারণ এটি ছেলেদের স্কুল, স্কুলের কোনো ছাত্র স্কুলের কোনো ছাত্রের ভাইবোন হতে পারে না। অতএব, $R=\phi$, $R$ খালি সম্পর্ক দেখায়। এছাড়াও, স্কুলের যেকোনো দুটি ছাত্রের উচ্চতা এর মধ্যে কম হতে হবে। এটি $R^{\prime}=A \times A$ হলো সর্বসাধারণ সম্পর্ক দেখায়।

মন্তব্য ক্লাস XI-তে, আমরা সম্পর্কের দুটি পদ্ধতি দেখেছি, যাগোল পদ্ধতি এবং সেট নির্মাতা পদ্ধতি। তবে, সেট $\{1,2,3,4\}$ এ সম্পর্ক $R$ যা $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ দ্বারা প্রস্তুত করা হয়েছে, $a R b$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যদি এবং শুধুমাত্র $b=a+1$ দ্বারা প্�