গণিত, সাধারণত, মৌলিকভাবে আদর্শ এবং সম্পর্কের বিজ্ঞান। — ফেলিক্স ক্লাইন

2.1 পরিচিতি

অধ্যায় 1-এ আমরা জেনেছি যে একটি ফাংশন $f$ এর বিপরীত, যা $f^{-1}$ দ্বারা চিহ্নিত হয়, $f$ একক এবং অনুপ্রাণিক হলে বিদ্যমান। অনেক ফাংশন যেগুলো একক নয়, অনুপ্রাণিক নয় বা উভয়ই নয় এবং তাই আমরা তাদের বিপরীত ফাংশন সম্পর্কে কথা বলতে পারি না। ক্লাস XI-এ, আমরা জেনেছি যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন তাদের প্রাকৃত ডোমেইন এবং রেঞ্জে একক এবং অনুপ্রাণিক নয় এবং তাই তাদের বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান নয়। এই অধ্যায়ে, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডোমেইন এবং রেঞ্জের সীমাবদ্ধতা সম্পর্কে জেনে নেব যা তাদের বিপরীত ফাংশনের বিদ্যমানতা নিশ্চিত করে এবং গ্রাফিকাল প্রতিফলনের মাধ্যমে তাদের আচরণ পর্যবেক্ষণ করব। এছাড়াও, কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য আলোচনা করা হবে। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ক্যালকুলাসে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ তারা অনেক সমাকলন সংজ্ঞায়িত করে। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ধারণাগুলো বৈজ্ঞানিক এবং প্রকৌশলেও ব্যবহৃত হয়।

আর্যভট্ট

($476-550$ খ্রিষ্টাব্দে)

2.2 মৌলিক ধারণা

ক্লাস XI-এ, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলো নিয়ে আলোচনা করেছি, যা নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

সাইন ফাংশন, অর্থাৎ সাইন: $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

কোসাইন ফাংশন, অর্থাৎ $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ট্যাঙ্গেন্ট ফাংশন, অর্থাৎ $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

কোট্যাঙ্গেন্ট ফাংশন, অর্থাৎ $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

সেকেন্ট ফাংশন, অর্থাৎ সেক: $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

কোসিকেন্ট ফাংশন, অর্থাৎ $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

আমরা অধ্যায় 1-এ জেনেছি যে $f: X \rightarrow Y$ হলে $f(x)=y$ একক এবং অনুপ্রাণিক, তাহলে আমরা $g: Y \rightarrow X$ একটি অনন্য ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি যাতে $g(y)=x$, যেখানে $x \in X$ $y=f(x), y \in$ Y। এখানে, $g=$ এর ডোমেইন $f$ এর রেঞ্জ $g=$ $f$ এর ডোমেইন। ফাংশন $g$ কে $f$ এর বিপরীত ফাংশন বলা হয় এবং $f^{-1}$ দ্বারা চিহ্নিত হয়। আরও, $g$ একক এবং অনুপ্রাণিক এবং $g$ এর বিপরীত হল $f$। তাই, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$। আমরা আছিলাম

এবং $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

কারণ সাইন ফাংশনের ডোমেইন সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট এবং রেঞ্জ হল $[-1,1]$ এর বন্ধ বিন্যাস। যদি আমরা তার ডোমেইনকে $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ এ সীমাবদ্ধ করি, তাহলে এটি $[-1,1]$ এর রেঞ্জের সাথে একক এবং অনুপ্রাণিক হয়ে যায়। বাস্তবে, সাইন ফাংশন যে কোনও এই বিন্যাসগুলো $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ ইত্যাদি এ সীমাবদ্ধ হলে একক হয় এবং তার রেঞ্জ $[-1,1]$। তাই, আমরা এই প্রতিটি বিন্যাসে সাইন ফাংশনের বিপরীত ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি। আমরা সাইন ফাংশনের বিপরীত ফাংশন কে $\sin ^{-1}$ (আর্ক সাইন ফাংশন) দ্বারা চিহ্নিত করি। তাহলে, $\sin ^{-1}$ হল একটি ফাংশন যার ডোমেইন $[-1,1]$ এবং রেঞ্জ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ বা $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ ইত্যাদি যে কোনও বিন্যাস হতে পারে। এই প্রতিটি বিন্যাসের সাথে, আমরা ফাংশন $\sin ^{-1}$ এর একটি শাখা পাই। রেঞ্জ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ সম্পন্ন শাখা কে ফাংশন $\sin ^{-1}$ এর মূল মান শাখা বলা হয়, অন্যান্য বিন্যাস যেমন রেঞ্জ দিয়ে অন্য শাখাগুলো $\sin ^{-1}$ এর বিভিন্ন শাখা দেয়। যখন আমরা ফাংশন $\sin ^{-1}$ সম্পর্কে উল্লেখ করি, তখন আমরা এটি বুঝি যে এর ডোমেইন $[-1,1]$ এবং রেঞ্জ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$। আমরা লিখি $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞার প্রকাশ থেকে অনুসরণ করা যায় $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ হলে $-1 \leq x \leq 1$ এবং $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ হলে $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$। অন্যভাবে বললে, $y=\sin ^{-1} x$ হলে $\sin y=x$।

মন্তব্য

(i) আমরা অধ্যায় 1-থেকে জানি যে $y=f(x)$ হলে $x=f^{-1}(y)$। তাই, $\sin^{-1}$ ফাংশনের গ্রাফ মূল ফাংশনের গ্রাফ থেকে $x$ এবং $y$ অক্ষগুলো পরিবর্তন করে পাওয়া যায়, অর্থাৎ $(a, b)$ হল সাইন ফাংশনের গ্রাফের একটি পয়েন্ট, $(b, a)$ হল বিপরীত ফাংশনের গ্রাফের সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট। তাই, $y=\sin ^{-1} x$ ফাংশনের গ্রাফ $y=\sin x$ এর গ্রাফ থেকে $x$ এবং $y$ মানগুলো পরিবর্তন করে পাওয়া যায়। $y=\sin x$ এবং $y=\sin ^{-1} x$ এর গ্রাফ নিম্নে দেওয়া আছে আকৃতি 2.1 (i), (ii), (iii)। $y=\sin ^{-1} x$ এর গ্রাফের গাঢ় অংশ মূল মান শাখার প্রতিফলন দেখায়।

(ii) একটি বিপরীত ফাংশনের গ্রাফ সংশ্লিষ্ট মূল ফাংশনের গ্রাফ থেকে $y=x$ রেখার সাথে আলোকচিতি (অর্থাৎ আলোকপ্রতিফলন) দ্বারা পাওয়া যায় এমন প্রমাণ করা যায়। এটি $y=\sin x$ এবং $y=\sin ^{-1} x$ এর গ্রাফ একই অক্ষে (আকৃতি 2.1 (iii)) দেখে ভাবতে পারা যায়।

সাইন ফাংশনের মতো, কোসাইন ফাংশনও একটি ফাংশন যার ডোমেইন হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট এবং রেঞ্জ হল $[-1,1]$ সেট। যদি আমরা কোসাইন ফাংশনের ডোমেইনকে $[0, \pi]$ এ সীমাবদ্ধ করি, তাহলে এটি $[-1,1]$ এর রেঞ্জের সাথে একক এবং অনুপ্রাণিক হয়ে যায়। বাস্তবে, কোসাইন ফাংশন যে কোনও এই বিন্যাসগুলো $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ইত্যাদি এ সীমাবদ্ধ হলে বাইজেক্টিভ হয় এবং তার রেঞ্জ $[-1,1]$। তাই, আমরা এই প্রতিটি বিন্যাসে কোসাইন ফাংশনের বিপরীত ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি। আমরা কোসাইন ফাংশনের বিপরীত ফাংশন কে $\cos ^{-1}$ (আর্ক কোসাইন ফাংশন) দ্বারা চিহ্নিত করি। তাহলে, $\cos ^{-1}$ হল একটি ফাংশন যার ডোমেইন $[-1,1]$ এবং রেঞ্জ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ইত্যাদি যে কোনও বিন্যাস হতে পারে। এই প্রতিটি বিন্যাসের সাথে, আমরা ফাংশন $\cos ^{-1}$ এর একটি শাখা পাই। রেঞ্জ $[0, \pi]$ সম্পন্ন শাখা কে ফাংশন $\cos ^{-1}$ এর মূল মান শাখা বলা হয়। আমরা লিখি

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের গ্রাফ $y=\sin ^{-1} x$ এর গ্রাফের গ্রাফ নিয়ে আলোচনা করার মতোই আঁকা যায়। $y=\sin x$ এবং $y=\cos ^{-1} x$ এর গ্রাফ আকৃতি 2.2 (i) এবং (ii) এ দেওয়া আছে।

আকৃতি. 2.2 (i)

আকৃতি 2.2 (ii)

এখন $\csc^{-1} x$ এবং $\sec^{-1} x$ নিম্নলিখিতভাবে আলোচনা করা যাক:

কারণ, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, কোসিকেন্ট ফাংশনের ডোমেইন হল $\{x: x \in \mathbf{R}$ এবং $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ এবং রেঞ্জ হল $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ বা $y \leq -1\}$ অর্থাৎ $\mathbf{R}-(-1,1)$ সেট। এটি অর্থাৎ $y=cosec x$ সমস্ত বাস্তব মান ধারণ করে কিন্তু $-1<y<1$ ব্যতীত এবং $\pi$ এর সম্পূর্ণ গুণফলের জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। যদি আমরা কোসিকেন্ট ফাংশনের ডোমেইনকে $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ এ সীমাবদ্ধ করি, তাহলে এটি একক থেকে একক এবং অনুপ্রাণিক হয় এবং তার রেঞ্জ $\mathbf{R}-(-1,1)$ সেট। বাস্তবে, কোসিকেন্ট ফাংশন যে কোনও এই বিন্যাসগুলো $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ ইত্যাদি এ সীমাবদ্ধ হলে বাইজেক্টিভ হয় এবং তার রেঞ্জ হল সমস্ত বাস্তব সংখ্যার সেট $\mathbf{R}-(-1,1)$। তাই $cosec^{-1}$ হল একটি ফাংশন যার ডোমেইন $\mathbf{R}-(-1,1)$ এবং রেঞ্জ $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ ইত্যাদি যে কোনও বিন্যাস হতে পারে। রেঞ্জ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ সম্পন্ন ফাংশন কে $cosec^{-1}$ এর মূল মান শাখা বলা হয়। আমরা তাই প্রধান শাখা পাই

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ এবং $y=\csc^{-1} x$ এর গ্রাফ আকৃতি 2.3 (i), (ii) এ দেওয়া আছে।

আরও, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ হলে, $y=\sec x$ এর ডোমেইন হল $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ এবং রেঞ্জ হল $\mathbf{R}-(-1,1)$। এটি অর্থাৎ সেক (সেকেন্ট ফাংশন) সমস্ত বাস্তব মান ধারণ করে কিন্তু $-1<y<1$ ব্যতীত এবং $\frac{\pi}{2}$ এর বিজোড় গুণফলের জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। যদি আমরা সেকেন্ট ফাংশনের ডোমেইনকে $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ এ সীমাবদ্ধ করি, তাহলে এটি একক এবং অনুপ্রাণিক হয় এবং তার রেঞ্জ $\mathbf{R}-(-1,1)$ সেট। বাস্তবে, সেকেন্ট ফাংশন যে কোনও এই বিন্যাসগুলো $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ইত্যাদি এ সীমাবদ্ধ হলে বাইজেক্টিভ হয় এবং তার রেঞ্জ $\mathbf{R}-{-1,1}$। তাই $\sec ^{-1}$ হল একটি ফাংশন যার ডোমেইন $\mathbf{R}-(-1,1)$ এবং রেঞ্জ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ইত্যাদি যে কোনও বিন্যাস হতে পারে। এই বিন্যাসগুলোর প্রতিটির সাথে, আমরা ফাংশন $sec^{-1}$ এর বিভিন্ন শাখা পাই। রেঞ্জ $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ সম্পন্ন শাখা কে ফাংশন $sec^{-1}$ এর মূল মান শাখা বলা হয়। আমরা তাই পাই

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

ফাংশন $y=\sec x$ এবং $y=\sec^{-1} x$ এর গ্রাফ আকৃতি 2.4 (i), (ii) এ দেওয়া আছে।

<img src="�