গণিতের মূল্যবোধ তার স্বাধীনতায় অবলম্বিত। - ক্যানটর

3.1 পরিচিতি

গণিতের বিভিন্ন শাখায় ম্যাট্রিক্সের জ্ঞান প্রয়োজনীয়। গণিতে ম্যাট্রিক্স হলো সবচেয়ে শক্তিশালী সরঞ্জামের মধ্যে একটি। অন্যান্য সরাসরি পদ্ধতির তুলনায় এই গণিতের সরঞ্জামটি আমাদের কাজকে বহু সহজে করে তুলে দেয়। ম্যাট্রিক্সের ধারাবাহিকতা হলো সরল সমীকরণের সিস্টেম সমাধানের জন্য সংকীর্ণ এবং সহজ পদ্ধতি প্রাপ্তির এক চেষ্টার ফল। ম্যাট্রিক্সগুলো শুধু সরল সমীকরণের সিস্টেমের গুণগত সম্পত্তি হিসাবে ব্যবহার করা হয়, কিন্তু ম্যাট্রিক্সের ব্যবহারের উপযোগিতা তার ব্যবহারের চেয়ে অনেক বেশি। ব্যক্তিগত কম্পিউটারের ইলেকট্রনিক স্প্রেডশীট প্রোগ্রামে ম্যাট্রিক্সের নোটেশন এবং অপারেশনগুলো ব্যবহার করা হয়, যা পরে ব্যবহারকারী ব্যবসা ও বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন বাজেটিং, বিক্রির প্রক্ষেপণ, খরচের অনুমান, একটি পরীক্ষার ফলাফল বিশ্লেষণ ইত্যাদিতে ব্যবহার করা হয়। এছাড়াও, বাড়ি, ঘূর্ণন এবং একটি স্থানীয় প্লেনে প্রতিফলন ম্যাট্রিক্স দ্বারা গণিতীয়ভাবে প্রতিফলিত করা যেতে পারে। গুপ্তচরণে ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা হয়। এই গণিতের সরঞ্জামটি শুধু বিজ্ঞানের নির্দিষ্ট শাখায় ব্যবহার করা হয়, কিন্তু জেনেটিক্স, অর্থনীতি, সমাজবিজ্ঞান, আধুনিক মনোবিজ্ঞান এবং শিল্প ব্যবস্থাপনায়ও ব্যবহার করা হয়।

এই অধ্যায়ে আমরা ম্যাট্রিক্সের মৌলিক বিষয়গুলো এবং ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের সাথে পরিচয় করার কথা আগ্রহী মনে করব।

3.2 ম্যাট্রিক্স

ধরুন আমাদের লক্ষ্য হলো তথ্যটি প্রকাশ করা যে রাধা 15টি নোটবুক আছে। আমরা এটিকে [15] হিসাবে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে [ ] এর মধ্যে থাকা সংখ্যা হলো রাধার নোটবুকের সংখ্যা। এখন, যদি আমাদের লক্ষ্য হলো তথ্যটি প্রকাশ করা যে রাধা 15টি নোটবুক এবং 6টি কলম আছে। আমরা এটিকে $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ হিসাবে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে [ ] এর মধ্যে প্রথম সংখ্যা হলো নোটবুকের সংখ্যা এবং পরের সংখ্যা হলো কলমের সংখ্যা যা রাধা আছে। এখন ধরুন আমাদের লক্ষ্য হলো রাধা এবং তার দুইজন বন্ধু ফাউজিয়া এবং সিমরান দ্বারা নোটবুক এবং কলমের ধারণার তথ্যটি প্রকাশ করা:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

এখন এটি ট্যাবুলার আকারে নিম্নরূপভাবে সাজানো যেতে পারে:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

অথবা

যা নিম্নরূপভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

প্রথম সাজানোতে প্রথম কলামের উপাদানগুলো হলো রাধা, ফাউজিয়া এবং সিমরান দ্বারা ধারণ করা নোটবুকের সংখ্যা এবং দ্বিতীয় কলামের উপাদানগুলো হলো রাধা, ফাউজিয়া এবং সিমরান দ্বারা ধারণ করা কলমের সংখ্যা। একইভাবে, দ্বিতীয় সাজানোতে প্রথম সারির উপাদানগুলো হলো রাধা, ফাউজিয়া এবং সিমরান দ্বারা ধারণ করা নোটবুকের সংখ্যা। দ্বিতীয় সারির উপাদানগুলো হলো রাধা, ফাউজিয়া এবং সিমরান দ্বারা ধারণ করা কলমের সংখ্যা। উপরোক্ত ধরনের সাজানো বা প্রদর্শনকে ম্যাট্রিক্স বলা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, আমরা ম্যাট্রিক্সকে নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

সংজ্ঞা 1 ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যা বা ফাংশনের একটি ক্রমিক Retangular ব্র্যাকেট। সংখ্যা বা ফাংশনগুলোকে ম্যাট্রিক্সের উপাদান বা প্রবেশিকা বলা হয়।

আমরা ম্যাট্রিক্সগুলোকে বড় হাতের অক্ষরে চিহ্নিত করি। নিম্নলিখিত কয়েকটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ রয়েছে:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

উর্ধ্বের উদাহরণগুলোতে, উপাদানগুলোর অতিরিক্ত আ� HORIZONTAL রেখাগুলোকে ম্যাট্রিক্সের সারি গঠন করে এবং উপাদানগুলোর অতিরিক্ত আ বাঁশি রেখাগুলোকে ম্যাট্রিক্সের কলাম গঠন করে। অতএব $A$ এ 3টি সারি এবং 2টি কলাম রয়েছে, $B$ এ 3টি সারি এবং 3টি কলাম রয়েছে এবং $C$ এ 2টি সারি এবং 3টি কলাম রয়েছে।

3.2.1 ম্যাট্রিক্সের ক্রম

$m$ সারি এবং $n$ কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সকে $m \times n$ ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয় বা শুধুমাত্র $m \times n$ ম্যাট্রিক্স (যা এক $m$ বাই $n$ ম্যাট্রিক্স হিসাবে পড়া হয়)। অতএব উর্ধ্বের ম্যাট্রিক্সের উদাহরণগুলোতে আমরা $A$ কে $3 \times 2$ ম্যাট্রিক্স, $B$ কে $3 \times 3$ ম্যাট্রিক্স এবং $C$ কে $2 \times 3$ ম্যাট্রিক্স বলে উল্লেখ করতে পারি। আমরা দেখতে পাই যে $A$ এ $3 \times 2=6$ উপাদান রয়েছে, $B$ এ 9টি এবং $C$ এ 6টি উপাদান রয়েছে।

সাধারণত, একটি $m \times n$ ম্যাট্রিক্স নিম্নরূপ Retangular ব্র্যাকেট দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

অথবা $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

অতএব, $i^{\text {th }}$ সারি উপাদানগুলো $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ দ্বারা গঠিত হয়, অন্যদিকে $j^{\text {th }}$ কলাম উপাদানগুলো $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ দ্বারা গঠিত হয়।

সাধারণত $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ সারি এবং $j^{\text {th }}$ কলামে অবস্থিত একটি উপাদান। আমরা এটিকে শুধুমাত্র $(i, j)^{\text {th }}$ এর $A$ উপাদান বলেও উল্লেখ করতে পারি। একটি $m \times n$ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের সংখ্যা $m n$ এর সমান হবে।

দ্রষ্টব্য এই অধ্যায়ে

1. আমরা নোটেশন অনুসরণ করব, অর্থাৎ $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ দ্বারা প্রকাশ করব যে $A$ হলো $m \times n$ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স।

2. আমরা শুধুমাত্র ঐ ম্যাট্রিক্সগুলো বিবেচনা করব যাদের উপাদানগুলো বাস্তব সংখ্যা বা বাস্তব মান নেওয়া ফাংশন।

আমরা একটি স্থানীয় প্লেনে যেকোনো বিন্দু $(x, y)$ কে একটি ম্যাট্রিক্স (কলাম বা সারি) $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (অথবা $.[x, y]$) হিসাবে প্রকাশ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু $P(0,1)$ কে ম্যাট্রিক্স প্রতিফলন হিসাবে নিম্নরূপভাবে দেওয়া যেতে পারে

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

দ্রষ্টব্য যে এইভাবে আমরা একটি বন্ধ রেক্টিলিনিয়ার আকৃতির শীর্ষবিন্দুগুলোকেও একটি ম্যাট্রিক্সের আকারে প্রকাশ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন একটি চতুর্ভুজ $A B C D$ যার শীর্ষবিন্দু হলো A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$।

এখন, চতুর্ভুজ $ABCD$ ম্যাট্রিক্স আকারে, নিম্নরূপভাবে প্রতিফলিত করা যেতে পারে

অতএব, ম্যাট্রিক্সগুলো স্থানীয় আকৃতিগুলোর শীর্ষবিন্দুগুলো হিসাবে প্রতিফলিত করার জন্য ব্যবহৃত হয়।

এখন, কিছু উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 1 তিনটি মেশিন শ্রেণি I, II এবং III এ পুরুষ এবং মহিলা শ্রমিকের সংখ্যার সম্পর্কে নিম্নলিখিত তথ্য বিবেচনা করুন

উর্ধ্বের তথ্যটি একটি $3 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের আকারে প্রকাশ করুন। তৃতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামের প্রবেশিকা কী প্রতিফলন করে?

সমাধান তথ্যটি একটি $3 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের আকারে নিম্নরূপভাবে প্রকাশ করা হয়:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

তৃতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামের প্রবেশিকা মেশিন III এ মহিলা শ্রমিকের সংখ্যা প্রতিফলন করে।

উদাহরণ 2 যদি একটি ম্যাট্রিক্সে 8টি উপাদান থাকে, তবে এটি কী সম্ভাব্য ক্রম থাকতে পারে?

সমাধান আমরা জানি যে যদি একটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম $m \times n$ হয়, তবে এর উপাদানের সংখ্যা $m n$ হবে। অতএব, 8টি উপাদান বিশিষ্ট একটি ম্যাট্রিক্সের সমস্ত সম্ভাব্য ক্রম খুঁজতে, আমরা প্রতিটি পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজিটিভ পজ