সব গণিতীয় সত্যই আপেক্ষিক এবং শর্তাধীন - সি. পি. স্টাইনমেটজ

4.1 পরিচিতি

আগের অধ্যায়ে আমরা ম্যাট্রিক্স এবং ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত নিয়ে আলোচনা করেছি। আমরা জানতে পারছি যে বীজগণিতের একটি সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে। অর্থাৎ, এমন একটি লিনিয়ার সিস্টেম যেটি নিম্নে দেখানো হয়েছে

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

এটি ম্যাট্রিক্সের আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$। এখন, এই সিস্টেমের সমাধান একক কিনা তা নম্বর $a_1 b_2-a_2 b_1$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। (মনে করুন যে $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ বা $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ হলে, লিনিয়ার সিস্টেম

পি. এস. ল্যাপলাস $(1749-1827)$ সমাধান একক হবে)। সমাধানের এককতা নির্ধারণকারী নম্বর $a_1 b_2-a_2 b_1$ ম্যাট্রিক্স $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ এর সাথে যুক্ত এবং এটিকে ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক বা det A বলা হয়। নির্ধারকের বিশাল ব্যবহার প্রযুক্তি, বিজ্ঞান, অর্থনীতি, সামাজিক বিজ্ঞান ইত্যাদিতে রয়েছে।

এই অধ্যায়ে আমরা শুধুমাত্র প্রকৃত উপাত্ত সহ তৃতীয় পর্যন্ত এর নির্ধারক নিয়ে আলোচনা করব। আবার, আমরা নির্ধারকের বিভিন্ন গুণগত বৈশিষ্ট্য, সাপেক্ষ নির্ধারক, সহসাপেক্ষ নির্ধারক এবং ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে নির্ধারকের ব্যবহার, একক ম্যাট্রিক্সের সহগ এবং প্রতিসাম্য, লিনিয়ার সিস্টেমের স্থিতিশীলতা এবং অস্থিতিশীলতা পরীক্ষা এবং ম্যাট্রিক্সের প্রতিসাম্য ব্যবহার করে দুটি বা তিনটি চলকের লিনিয়ার সমীকরণের সমাধান নিয়ে আলোচনা করব।

4.2 নির্ধারক

প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্স $A=[a _{i j}]$ যার ক্রম $n$, আমরা একটি নম্বর (প্রকৃত বা জটিল) যাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ধারক বলে, যেখানে $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ হল A এর উপাদান।

এটি একটি ফাংশন হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে যা প্রতিটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি অদ্বিতীয় নম্বরে (প্রকৃত বা জটিল) যুক্ত করে। $M$ হল বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট, $K$ হল নম্বরের সেট (প্রকৃত বা জটিল) এবং $f: M \to K$ যদি $f(A)=k$ দ্বারা প্রভাবিত হয়, যেখানে $A \in M$ এবং $k \in K$, তাহলে $f(A)$ হল $A$ এর নির্ধারক বলা হয়। এটিকে $|A|$ বা $det A$ বা $\Delta$ দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়।

$A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ হলে, A এর নির্ধারক $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ দ্বারা লেখা হয়

মন্তব্য

(i) ম্যাট্রিক্স A এর জন্য, $|A|$ হল $A$ এর নির্ধারক হিসাবে পড়া হয় এবং $A$ এর পরিমাপ নয়।

(ii) শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক আছে।

4.2.1 এক ক্রমের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক

$A=[a]$ হল এক ক্রমের ম্যাট্রিক্স, তাহলে $A$ এর নির্ধারক হবে $a$

4.2.2 দুই ক্রমের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক

$\text{যদি}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ হল দুই ক্রমের ম্যাট্রিক্স, তাহলে,} $

$A$ এর নির্ধারক নিম্নরূপ বলা হয়:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

উদাহরণ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান আমাদের $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$।

উদাহরণ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ এর মান নির্ণয় করুন

সমাধান আমাদের

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 তৃতীয় ক্রমের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক $3 \times 3$

তৃতীয় ক্রমের ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক দ্বিতীয় ক্রমের নির্ধারকের আকারে প্রকাশ করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এটিকে একটি সারি (বা কলাম) এর সাথে বিস্তার বলা হয়। তৃতীয় ক্রমের একটি নির্ধারক বিস্তার করার জন্য তিনটি সারি $(R_1, R_2.$ এবং $.R_3)$ এবং তিনটি কলাম $(C_1, C_2.$ এবং $C_3)$ এর সাথে প্রতিটি উপরের দিকে সমান মান দেওয়া হয়েছে।

বর্গ ম্যাট্রিক্স $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ এর নির্ধারক বিবেচনা করুন

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

প্রথম সারি $(\mathbf{R} _1)$ এর সাথে বিস্তার

ধাপ 1 $\mathbf{R} _ {1}$ এর প্রথম উপাদান $ a _ {11}$ এবং $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ এর সাথে গুণ করুন এবং $|A|$ এর প্রথম সারি $(R_1)$ এবং প্রথম কলাম $(C _ {1})$ এর উপাদানগুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ধারক $a _ {11}$ যেখানে $ R _ {1} $ এবং $ C _ {1} $,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

ধাপ 2 $R_1$ এর দ্বিতীয় উপাদান $a _{12}$ এবং $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ এর সাথে গুণ করুন এবং $|A|$ এর প্রথম সারি $(R_1)$ এবং দ্বিতীয় কলাম $(C_2)$ এর উপাদানগুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ধারক $a _{12}$ যেখানে $R_1$ এবং $C_2$,

i.e., $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

ধাপ 3 $R_1$ এর তৃতীয় উপাদান $a _{13}$ এবং $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ এর সাথে গুণ করুন এবং $|A|$ এর প্রথম সারি $(R_1)$ এবং তৃতীয় কলাম $(C_3)$ এর উপাদানগুলি বাদ দিয়ে প্রাপ্ত দ্বিতীয় ক্রমের নির্ধারক $a _{13}$ যেখানে $R_1$ এবং $C_3$,

i.e., $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

ধাপ 4 এখন A এর নির্ধারক, অর্থাৎ $|A|$ এর বিস্তার উপরের ধাপ 1, 2 এবং 3 এ প্রাপ্ত তিনটি পদের সমষ্টি হিসাবে লেখা হয়

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

নোট আমরা চারটি ধাপকে একসাথে প্রয়োগ করব।

দ্বিতীয় সারি $(\mathbf{R} _2)$ এর সাথে বিস্তার

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ এর সাথে বিস্তার করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

প্রথম কলাম $(C_1)$ এর সাথে বিস্তার

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ এর সাথে বিস্তার করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

স্পষ্টভাবে, (1), (2) এবং (3) এ $|A|$ এর মানগুলি সমান। $|A|$ এর মান $R_3, C_2$ এবং $C_3$ এর সাথে বিস্তার করে $|A|$ এর মানের সমান হওয়া যাচাই করা ছাড়া বাকি অংশ পাঠকের ব্যবহারের জন্য ছেড়ে দেওয়া হয়েছে।

অতএব, যেকোনো সারি বা কলামের সাথে একটি নির্ধারক বিস্তার করলে একই মান পাওয়া যায়।

মন্তব্য

(i) সহজ হিসাব করার জন্য, আমরা সেই সারি বা কলামের সাথে নির্ধারক বিস্তার করব যেখানে শূন্য সংখ্যার সর্বাধিক সংখ্যা আছে।

(ii) বিস্তার করার সময়, $(-1)^{i+j}$ এর সাথে গুণ করার পরিবর্তে আমরা $(i+j)$ জন্য জোড় বা বিজোড় হিসাবে +1 বা -1 দিয়ে গুণ করতে পারি।

(iii) $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ এবং $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$ হলে, $A=2 B$ যাচাই করা সহজ। আবার $|A|=0-8=-8$ এবং $|B|=0-2=-2$।

দেখুন যে, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ বা $|A|=2^{n}|B|$, যেখানে $n=2$ হল বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ এর ক্রম।

সাধারণত, $A=k B$ হলে $A$ এবং $B$ হল ক্রম $n$ এর বর্গ ম্যাট্রিক্স, তাহলে $|A|=k^{n}$ $|B|$, যেখানে $n=1,2,3$

উদাহরণ 3 $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ এর নির্ধারক মান নির্ণয় করুন।

সমাধান ধরুন যে তৃতীয় কলামে দুটি উপাদান শূন্য। তাহলে তৃতীয় কলাম $(C_3)$ এর সাথে বিস্তার করে আমরা পাই

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

উদাহরণ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ এর মান নির্ণয় করুন

সমাধান $R_1$ এর সাথে বিস্তার করে, আমরা পাই

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

উদাহরণ 5 $x$ এর মান নির্ণয় করুন যাতে $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$।

সমাধান আমাদের $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$

i.e. $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

অতএব $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

আগের শ্রেণিতে আমরা জানতে পারছি যে ত্�