বিজ্ঞানের সমগ্র বিষয়বস্তু শুধু প্রতিদিনের চিন্তার একটি উন্নতি।" - আলবার্ট আইন্সটাইন

5.1 পরিচিতি

এই অধ্যায়টি প্রায়ই ক্লাস XI-তে কোনো ফাংশনের সম্পাদকীয়তা নিয়ে আমাদের অধ্যয়নের একটি অব্যাহতি। আমরা পূর্বে ফলিন এবং ত্রিকোনমিতিক ফাংশনের মতো কিছু ফাংশনের সম্পাদকীয়তা নিয়ে জানতাম। এই অধ্যায়ে আমরা নিয়ত, সম্পাদকীয়তা এবং তাদের মধ্যে সম্পর্কের খুব গুরুত্বপূর্ণ ধারণা পরিচিত করব। আমরা আবর্তনমিতিক ফাংশনের সম্পাদকীয়তা নিয়ে জানব। আরও একটি নতুন ফাংশনের শ্রেণী নিয়ে জানব যাকে বলা হয় এক্সপোনেনশিয়াল এবং লগারিদমিক ফাংশন। এই ফাংশনগুলি সম্পাদকীয় গণিতের দক্ষতা বাড়ায়। আমরা সম্পাদকীয় গণিতের মাধ্যমে কিছু জ্যামিতিকভাবে স্পষ্ট শর্তগুলি তুলে ধরব। এই প্রক্রিয়ায় আমরা এই ক্ষেত্রের কিছু মৌলিক উপপাদ্য জানব।

5.2 নিয়ত

এই অধ্যায়টিতে আমরা নিয়তের অনুভূতি পেতে দুটি অনুমানগত উদাহরণ দিয়ে শুরু করব। ধরুন ফাংশনটি

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

এই ফাংশনটি অবশ্যই প্রতিটি বাস্তব রেখার বিশেষণে সংজ্ঞায়িত। এই ফাংশনের আকৃতি আকৃতি 5.1-এ দেওয়া আছে। আকৃতি থেকে বোঝা যায় যে $x$-অক্ষে নিকটবর্তী বিশেষণগুলিতে ফাংশনের মান একসাথে কমে যায় ব্যতিক্রম $x=0$-এ ছাড়া। $-0.1,-0.01,-0.001$-এর মতো শূন্যের বাম ও ডান দিকে বিশেষণগুলিতে, ফাংশনের মান 1। $0.1,0.01$-এর মতো শূন্যের বাম ও ডান দিকে বিশেষণগুলিতে, 0.001, ফাংশনের মান 2। বাম ও ডান হ্যান্ড লিমিটের ভাষায়, আমরা বলতে পারি যে $f$-এর $x=0$-এ বাম (বা ডান) হ্যান্ড লিমিট 1 (বা 2)। বিশেষত বাম ও ডান হ্যান্ড লিমিট একসাথে নয়। আমরা আবার দেখতে পাই যে $x=0$-এ ফাংশনের মান বাম হ্যান্ড লিমিটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। লক্ষ্য করুন যে আমরা আকৃতি আঁকার চেষ্টা করলে, আমরা এটিকে একসাথে আঁকতে পারব না, অর্থাৎ কাগজের স্তর থেকে আলতো উঠানো ছাড়া এই ফাংশনের আকৃতি আঁকা যায় না। বাস্তবে, আমরা আলতো উঠাতে হবে যখন আমরা বাম দিক থেকে 0 এ আসছি। এটি ফাংশনের $x=0$-এ নিয়ত না হওয়ার একটি উদাহরণ।

এখন, ফাংশনটি নিয়ে চিন্তা করুন যা সংজ্ঞায়িত করা হয়

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

এই ফাংশনটি প্রতিটি বিশেষণে সংজ্ঞায়িত। $x=0$-এ বাম ও ডান হ্যান্ড লিমিট উভয়ই 1-এর সমান। কিন্তু $x=0$-এ ফাংশনের মান 2 যা বাম ও ডান হ্যান্ড লিমিটের সাধারণ মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়। আবারও, আমরা দেখতে পাই যে আমরা ফাংশনের আকৃতি আঁকতে পারব না আলতো উঠানো ছাড়া। এটি ফাংশনের $f$-এ নিয়ত না হওয়ার আরেকটি উদাহরণ।

অনুমানগতভাবে, আমরা বলতে পারি যে একটি ফাংশন একটি নির্দিষ্ট বিশেষণে নিয়ত হয় যদি আমরা ফাংশনের আকৃতি সেই বিশেষণের চারপাশে আঁকতে পারি কাগজের স্তর থেকে আলতো উঠানো ছাড়া।

গণিতে, এটি নিম্নলিখিতভাবে স্পষ্ট করা যেতে পারে:

সংজ্ঞা 1 ধরুন $c$ বাস্তব সংখ্যার একটি উপসেটের উপর একটি বাস্তব ফাংশন $f$ এবং $f$ হল $c$-এর ক্ষেত্রেশ্রেণীতে একটি বিশেষণ। তবে $x=c$ নিয়ত $f$-এ হয় যদি

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

আরও বিস্তারিতভাবে, যদি বাম হ্যান্ড লিমিট, ডান হ্যান্ড লিমিট এবং $x=c$-এ ফাংশনের মান বিদ্যমান হয় এবং একই মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে $x=c$ বলে যে $x=c$-এ নিয়ত। যদি ডান হ্যান্ড এবং বাম হ্যান্ড লিমিট $x=c$-এ একই মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়, তবে আমরা বলি যে সাধারণ মান $x=c$-এ ফাংশনের লিমিট। অতএব, আমরা নিয়তের সংজ্ঞাটিকে নিম্নলিখিতভাবে পুনরায় লিখতে পারি: একটি ফাংশন $x=c$-এ নিয়ত হয় $x=c$-এ যদি ফাংশন $f$-এ সংজ্ঞায়িত হয় এবং $c$-এ ফাংশনের মান $f$-এ ফাংশনের লিমিটের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। $c$ নিয়ত না হলে, আমরা $c$ বলে $f$-এ বিচ্যুতি হয় এবং $f$ বলে $f(x)=2 x+3$-এর বিচ্যুতির বিশেষণ।

উদাহরণ 1 ফাংশন $x=1$-এর নিয়ত যাচাই করুন $x=1$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $x=1$-এ।

সমাধান প্রথমে লক্ষ্য করুন যে ফাংশনটি প্রদত্ত বিশেষণে সংজ্ঞায়িত এবং এর মান 5। এরপর ফাংশনের $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$-এ লিমিট খুঁজুন। স্পষ্টভাবে

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

অতএব $f$

অতএব, $x=1$ নিয়ত $f$-এ।

উদাহরণ 2 ফাংশন $f(x)=x^{2}$-এর নিয়ত যাচাই করুন $x=0$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $x=0$-এ।

সমাধান প্রথমে লক্ষ্য করুন যে ফাংশনটি প্রদত্ত বিশেষণে সংজ্ঞায়িত এবং এর মান 0। এরপর ফাংশনের $x=0$-এ লিমিট খুঁজুন। স্পষ্টভাবে

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

অতএব $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

অতএব, $f$ নিয়ত $x=0$-এ।

উদাহরণ 3 ফাংশন $f$-এর নিয়ত পর্যালোচনা করুন $f(x)=|x|$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $x=0$-এ।

সমাধান সংজ্ঞায়িত অনুযায়ী

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

স্পষ্টভাবে ফাংশনটি $f(0)=0$-এ সংজ্ঞায়িত এবং $f$। $f$-এ ফাংশনের বাম হ্যান্ড লিমিট হল

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

একইভাবে, $x=0$-এ ফাংশনের ডান হ্যান্ড লিমিট হল

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

অতএব, বাম হ্যান্ড লিমিট, ডান হ্যান্ড লিমিট এবং ফাংশনের মান $f$-এ একই মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অতএব, $x=0$ নিয়ত $f$-এ।

উদাহরণ 4 ফাংশন $x=0$-এর নিয়ত না হওয়া প্রমাণ করুন

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

দ্বারা সংজ্ঞায়িত $x=0$-এ।

সমাধান ফাংশনটি $x=0$-এ সংজ্ঞায়িত এবং $x \neq 0$-এ এর মান 1। $f$, ফাংশনটি একটি বহুপদী দ্বারা দেওয়া হয়। অতএব,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

যেহেতু $x=0$-এ $f(0)$-এর লিমিট সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, ফাংশনটি $x=0$-এ নিয়ত নয়। লক্ষ্য করুন $x=0$ হল এই ফাংশনের একমাত্র বিচ্যুতির বিশেষণ।

উদাহরণ 5 ফাংশন $f(x)=k$-এর নিয়ত যাচাই করুন।

সমাধান ফাংশনটি সমস্ত বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত এবং সংজ্ঞায়িত অনুযায়ী, যেকোনো বাস্তব সংখ্যায় এর মান $k$-এর সমান। $c$ হল যেকোনো বাস্তব সংখ্যা। তবে

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

যেহেতু $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য, ফাংশন $c$ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যায় নিয়ত।

উদাহরণ 6 প্রমাণ করুন যে বাস্তব সংখ্যাগুলির উপর শূন্যপদ ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত $f$ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যায় নিয়ত।

সমাধান ফাংশনটি প্রতিটি বিশেষণে স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত এবং $f(x)=x$ প্রতিটি বাস্তব সংখ্যার জন্য।

আরও, $f(c)=c$

অতএব, $c$ এবং অতএব ফাংশনটি প্রতিটি বাস্তব সংখ্যায় নিয়ত।

একটি ফাংশনের একটি প্রদত্ত বিশেষণে নিয়তের সংজ্ঞা পেয়ে গেলে, এখন আমরা ফাংশনের নিয়তের ব্যাখ্যার জন্য এই সংজ্ঞাটির একটি প্রাকৃতিক বিস্তারণ করব।

সংজ্ঞা 2 একটি বাস্তব ফাংশন $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$ বলে যদি $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$-এর ক্ষেত্রেশ্রেণীর প্রতিটি বিশেষণে নিয়ত হয়। এই সংজ্ঞাটির কিছু বিস্তারিত ব্যাখ্যা দরকার। ধরুন $f$ একটি বন্ধ বিন্দু $f$-এ সংজ্ঞায়িত একটি বিন্দুতে $f$, তবে $[a, b]$ নিয়ত হওয়ার আবশ্যকতা $f$-এর প্রতিটি বিশেষণে নিয়ত হওয়া অর্থাৎ শেষ বিশেষণ $[a, b]$ এবং $a$ অন্তত নিয়ত হওয়া প্রয়োজন। $b$-এ $f$-এর নিয়তত্ব অর্থাৎ $a$-এ $f$-এর নিয়তত্ব অর্থাৎ

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$b$ এবং $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ কোনো অর্থ দেয় না। এই সংজ্ঞার ফলে, $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ শুধু একটি বিশেষণে সংজ্ঞায়িত হয়, তবে সেখানে নিয়ত হয়, অর্থাৎ $f$-এর $f$ হল একটি নিয়ত ফাংশন।

উদাহরণ 7 ফাংশন নিয়ত ফাংশন কি না যা $f(x)=|x|$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত?

সমাধান আমরা $f$ পুনরায় লিখতে পারি

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, &