ক্যালকুলাস হলো একটি চাবি, যার মাধ্যমে গাণিতিক গুণগত মাধ্যমে প্রাকৃতিক ঘটনার প্রকৃতি সম্পর্কে সফলভাবে ব্যাখ্যা করা যায়।" - হোয়াইটহেড

6.1 পরিচিতি

অধ্যায় 5 এ আমরা শিখেছি কোম্পাজ ফাংশন, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, অপ্রকট ফাংশন, এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন এবং লগারিদমিক ফাংশনের ডিরিভেটিভ কীভাবে নির্ণয় করা হয়। এই অধ্যায়ে আমরা ডিরিভেটিভের বিভিন্ন বিষয়বস্তুতে প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা করব, যেমন: প্রযুক্তি, বিজ্ঞান, সামাজিক বিজ্ঞান এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানব কীভাবে ডিরিভেটিভ ব্যবহার করে (i) পরিমাণগুলির পরিবর্তনের হার নির্ধারণ করা হয়, (ii) একটি বিন্যাসের একটি বিন্দুতে স্পর্শ এবং স্পর্শহীন রেখার সমান্তরাল সমীকরণ নির্ণয় করা হয়, (iii) একটি ফাংশনের গ্রাফের উপর পরিবর্তনের বিন্দু নির্ণয় করা হয় যা পরে আমাদের সাহায্য করবে ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান (স্থানীয়ভাবে) কোথায় ঘটে বলে জানতে। আমরা ডিরিভেটিভ ব্যবহার করে ফাংশনটি কোথায় বাড়ছে কিনা বা কমছে কিনা তা নির্ণয় করব এবং অন্তত কিছু পরিমাণের আনুষ্ঠানিক মান নির্ণয় করব।

6.2 পরিমাণগুলির পরিবর্তনের হার

মনে করুন যে ডিরিভেটিভ $\\ \frac{ds}{dt} $ দ্বারা আমরা সময় $t$ এর সাপেক্ষে দূরত্ব $s$ এর পরিবর্তনের হার বোঝায়। একই ভাবে, যখন কোনো একটি পরিমাণ $y$ অন্য একটি পরিমাণ $x$ এর সাথে পরিবর্তিত হয় যা কোনো নিয়ম $y=f(x)$ অনুসরণ করে, তখন $\frac{d y}{d x}$ (বা $f^{\prime}(x)$) $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর পরিবর্তনের হার প্রকাশ করে এবং $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ বা $.f^{\prime}(x_0))$ $x=x_0$ এর সাপেক্ষে $y$ এর পরিবর্তনের হার প্রকাশ করে।

আরও, যদি দুটি চলক $x$ এবং $y$ অন্য একটি চলক $t$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়, যেমন $x=f(t)$ এবং $y=g(t)$, তবে চেইন নীতি দ্বারা

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

এভাবে, $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর পরিবর্তনের হার $t$ এর সাপেক্ষে $y$ এবং $x$ এর পরিবর্তনের হার ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়।

আমরা কিছু উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1 একটি গোলাকার ক্ষেত্রফলের প্রতি সেকেন্ডে তার ব্যাসার্ধ $r$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার নির্ণয় করুন $r=5 cm$ হল সময়।

সমাধান ব্যাসার্ধ $r$ এর একটি গোলাকার ক্ষেত্রফল A $A=\pi r^{2}$ দ্বারা প্রদত্ত। অতএব, ক্ষেত্রফল A এর তার ব্যাসার্ধ $r$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ দ্বারা প্রদত্ত। $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$ হল সময়। অতএব, গোলাকার ক্ষেত্রফল $10 \pi cm^{2} / s$ এর হারে পরিবর্তিত হচ্ছে।

উদাহরণ 2 একটি ঘনকক্ষের আয়তন প্রতি সেকেন্ডে 9 সেন্টিমিটার ঘনত্ব বৃদ্ধি পাচ্ছে। একটি সূচকের দৈর্ঘ্য 10 সেন্টিমিটার হল সময় তার পৃষ্ঠতল কত দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে?

সমাধান আমরা বলি $x$ হল এককের দৈর্ঘ্য, $V$ হল আয়তন এবং $S$ হল ঘনকক্ষের পৃষ্ঠতল। তবে, $V=x^{3}$ এবং $S=6 x^{2}$, যেখানে $x$ হল সময় $t$ এর একটি ফাংশন।

এখন $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (প্রদত্ত)

অতএব $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

অথবা $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

এখন $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

অতএব, $r=10 cm$ হল সময় $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

উদাহরণ 3 একটি পরিষ্কার হ্রদে একটি পাথর ডুবিয়ে দেওয়া হয় এবং তরঙ্গ প্রতি সেকেন্ডে $4 cm$ এর গতিতে গোলাকার আকৃতিতে সঞ্চালিত হয়। তরঙ্গের ব্যাসার্ধ $10 cm$ হল সময় তার আবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বৃদ্ধি পাচ্ছে?

সমাধান ব্যাসার্ধ $r$ এর একটি গোলাকার ক্ষেত্রফল $A$ $A=\pi r^{2}$ দ্বারা প্রদত্ত। অতএব, ক্ষেত্রফল A এর সময় $t$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

$\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$ প্রদত্ত

অতএব, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

অতএব, আবদ্ধ ক্ষেত্রফল $80 \pi cm^{2} / s$, $r=10 cm$ হল সময় তার হারে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

দ্রষ্টব্য $\frac{d y}{d x}$ $x$ বাড়লে $y$ বাড়লে সত্যি এবং $x$ বাড়লে $y$ কমলে নেতিবাচক।

উদাহরণ 4 একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ প্রতি মিনিটে $3 cm /$ হারে কমছে এবং প্রস্থ $y$ প্রতি মিনিটে $2 cm /$ হারে বাড়ছে। $x=10 cm$ এবং $y=6 cm$ হল সময় আয়তক্ষেত্রের (এ) পরিসর এবং (ব) ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করুন।

সমাধান কারণ দৈর্ঘ্য $x$ এবং প্রস্থ $y$ সময়ের সাপেক্ষে কমছে এবং বাড়ছে, আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আমাদের আ�