একজন পর্বতবাহিনী কেন পর্বতে উঠে? কারণ সে স্বয়ং সেখানে আছে। একই ভাবে একজন ভালো গণিত শিক্ষার্থী কেন নতুন নতুন বিষয় পড়ে? কারণ সেগুলো স্বয়ং তার কাছে আছে। - জেমস বি. ব্রিস্টল

7.1 পরিচিতি

বিভাজন গণিতে ব্যবহৃত হয় বৃদ্ধি পদ্ধতির সঙ্গে সম্পর্কিত। বৃদ্ধি পদ্ধতির মূল উদ্দেশ্য হলো ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক রেখা নির্ধারণ এবং ঐ রেখার স্লপ গণনা। সমাক্ষেপ গণিতে ফাংশনের গ্রাফের অনুসারে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ এবং গণনার সমস্যা থেকে উদ্ভূত হয়েছে।

যদি একটি ফাংশন $f$ একটি বিন্দুর মধ্যে $I$ বৃদ্ধিযোগ্য হয়, অর্থাৎ এর বৃদ্ধি $f$ প্রতিটি বিন্দুতে $I$ বিদ্যমান থাকে, তবে একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন উত্পন্ন হয় যে, $f^{\prime}$ প্রতিটি বিন্দুতে $I$ দেওয়া থাকলে আমরা ফাংশনটি নির্ধারণ করতে পারি কি? যে ফাংশনগুলো এমন একটি বৃদ্ধি পেতে পারে যা দেওয়া ফাংশনের হতে পারে, তাদের বলে বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা মূল) ফাংশন বা সমাক্ষেপ ফাংশন। এরপর, এই বিপরীত বৃদ্ধি ফাংশনগুলো নির্ণয় করার পদ্ধতিকে সমাক্ষেপ বা সমাক্ষেপ পদ্ধতি বলা হয়। এই ধরনের সমস্যা অনেক ব্যবহারিক পরিস্থিতিতে দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা যেকোনো সময়ে একটি জন্তুর তাত্ক্ষণিক গতি জানি, তবে একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন উত্পন্ন হয়, অর্থাৎ, আমরা যেকোনো সময়ে জন্তুর অবস্থান নির্ধারণ করতে পারি কি? সমাক্ষেপ পদ্ধতি ব্যবহার করে অনেক ব্যবহারিক এবং তত্ত্বগত পরিস্থিতিতে সমস্যা সমাধান করা হয়। সমাক্ষেপ গণিতের বিকাশ নিম্নলিখিত দুটি ধরনের সমস্যা সমাধানের চেষ্টার ফলে ঘটেছে:

(ক) যখন বৃদ্ধি দেওয়া থাকে, তখন ফাংশন নির্ণয় করার সমস্যা, (খ) যেকোনো শর্তানুসারে ফাংশনের গ্রাফের উপর আবদ্ধ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সমস্যা।

এই দুটি সমস্যা সমাক্ষেপের দুটি ধরনের উৎপত্তি ঘটায়, যেমন: অনির্দিষ্ট এবং নির্দিষ্ট সমাক্ষেপ, যা একত্রে সমাক্ষেপ গণিতের গঠন ঘটায়।

সমাক্ষেপ গণিতের সাথে বিভাজন গণিতের মধ্যে একটি সম্পর্ক বলে প্রমাণিত হয়েছে যা বলে সমাক্ষেপ গণিতের প্রমাণ থাকে। সেই সম্পর্কটি হলো সমাক্ষেপ গণিতের প্রধান প্রমাণ। নির্দিষ্ট সমাক্ষেপও অর্থনীতি, অর্থবিজ্ঞান এবং সম্ভাব্যতা নিয়ে আলোচনার মতো বিভিন্ন বিষয়ের অনেক আকর্ষণীয় সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

এই অধ্যায়ে আমরা অনির্দিষ্ট এবং নির্দিষ্ট সমাক্ষেপ এবং তাদের প্রাথমিক গুণগত বৈশিষ্ট্য নিয়ে আলোচনা করব, যার মধ্যে সমাক্ষেপ নির্ণয়ের কিছু পদ্ধতিও অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

7.2 বিভাজনের বিপরীত পদ্ধতি হিসাবে সমাক্ষেপ

সমাক্ষেপ বিভাজনের বিপরীত পদ্ধতি। ফাংশন বিভাজন করার পরিবর্তে, আমাদের একটি ফাংশনের বৃদ্ধি দেওয়া থাকে এবং আমাদের জানতে হয় যে ফাংশনটি কী ছিল, অর্থাৎ মূল ফাংশন। এই পদ্ধতিকে সমাক্ষেপ বা বিপরীত বিভাজন বলা হয়। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলো বুঝার সুবিধার জন্য দেওয়া হলো:

$$ \text{ আমরা জানি যে, }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$$ \text{ এবং }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $$

আমরা দেখতে পাই যে (1) এ, ফাংশন $\cos x$ ফাংশন $\sin x$ এর বৃদ্ধি ফাংশন। আমরা বলি যে $\sin x$ $\cos x$ এর একটি বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা সমাক্ষেপ)। একইভাবে, (2) এবং (3) এ, $\frac{x^{3}}{3}$ এবং $e^{x}$ যথাক্রমে $x^{2}$ এবং $e^{x}$ এর বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা সমাক্ষেপ)। আবার, আমরা দেখতে পাই যে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $C$, যা ধ্রুব ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা হয়, এর বৃদ্ধি শূন্য এবং তাই, আমরা (1), (2) এবং (3) নিম্নরূপ লিখতে পারি:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

অতএব, উর্ধ্বলিখিত ফাংশনগুলোর বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা সমাক্ষেপ) একটিই নয়। বরং, এই ফাংশনগুলো প্রতিটির জন্য অসীমভাবে বিপরীত বৃদ্ধি বিদ্যমান রয়েছে যা $C$ প্রত্যাশামান থেকে বাস্তব সংখ্যাগুলো বাছাই করে পাওয়া যায়। কারণে $C$ প্রায়শই একটি প্রাকৃতিক ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত হয়। বাস্তবে, $C$ হলো প্যারামিটার, যা পরিবর্তন করলে দেওয়া ফাংশনের বিভিন্ন বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা সমাক্ষেপ) পাওয়া যায়।

আরও সাধারণভাবে, যদি একটি ফাংশন $F$ হয় যার বৃদ্ধি $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (বিন্দুর মধ্যে) থাকে, তবে যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যা $C$ (যাকে সমাক্ষেপের ধ্রুবক বলা হয়) এর জন্য,

$$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $$

অতএব, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

মন্তব্য একই বৃদ্ধি সম্পন্ন ফাংশনগুলো একটি ধ্রুবকের সাথে পার্থক্য করে। এটি দেখানোর জন্য, চিন্তা করুন $g$ এবং $h$ হলো দুটি ফাংশন যারা একটি বিন্দুর মধ্যে $I$ এ একই বৃদ্ধি সম্পন্ন হয়।

ফাংশন $f=g-h$ যা $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়

তবে $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

অথবা $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

অর্থাৎ, $f$ এর $x$ সাপেক্ষে পরিবর্তনের হার $I$ এ শূন্য এবং তাই $f$ ধ্রুবক।

উর্ধ্বলিখিত মন্তব্যের ভিত্তিতে, যে পরিবহন $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ দেওয়া ফাংশনের সমস্ত সম্ভাব্য বিপরীত বৃদ্ধি (অথবা সমাক্ষেপ) প্রদান করে এটি যুক্তিসঙ্গত।

আমরা একটি নতুন পতাকা প্রবর্তন করি, অর্থাৎ $\int f(x) d x$ যা সমস্ত বিপরীত বৃদ্ধি পরিবহন করবে যা $f$ এর $x$ সাপেক্ষে অনির্দিষ্ট সমাক্ষেপ হিসাবে পঠিত হবে।

পতাকায়, আমরা $\int f(x) d x=F(x)+C$ লিখি।

নোটেশন $\frac{d y}{d x}=f(x)$ হলে, আমরা $y=\int f(x) d x$ লিখি।

সুবিধার জন্য, নিম্নলিখিত পতাকা/শব্দ/বাক্যাংশগুলো উল্লেখ করা হলো:

টেবিল 7.1

আমরা ইতিমধ্যে অনেক গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের বৃদ্ধির ফর্মুলাগুলো জানি। এই ফর্মুলাগুলো থেকে আমরা সরাসরি এই ফাংশনগুলোর সমাক্ষেপের সাথে সংশ্লিষ্ট ফর্মুলাগুলো (যা স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলা বলা হয়) লিখতে পারি যা অন্যান্য ফাংশনের সমাক্ষেপ নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হবে।

$$ \begin{array}{ll} \text{বৃদ্ধি} & \text{সমাক্ষেপ (বিপরীত বৃদ্ধি)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{বিশেষভাবে, আমরা দেখতে পাই যে} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $$

নোট বাস্তবে, আমরা প্রায়শই বিভিন্ন ফাংশনের সংজ্ঞায়িত বিন্দুর উপর উল্লেখ করি না। তবে, যেকোনো নির্দিষ্ট সমস্যায় এটি মনে রাখা উচিত।

7.2.1 অনির্দিষ্ট সমাক্ষেপের কিছু গুণগত বৈশিষ্ট্য

এই উপধায়ে, আমরা অনির্দিষ্ট সমাক্ষেপের কিছু গুণগত বৈশিষ্ট্য নির্ণয় করব।

(ক) বিভাজন এবং সমাক্ষেপের প্রক্রিয়া একে অপরের বিপরীত পদ্ধতি হিসাবে বোঝা হয় যথাক্রমে নিম্নলিখিত ফলাফলের কারণে:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

এবং $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

প্রমাণ $F$ হলো $f$ এর যে