গাণিতিক গঠনের মাধ্যমে মাতৃভূমি শুধুমাত্র গাণিতিক গঠনের মাধ্যমেই সৌন্দর্যবোধ করা যায়। - বির্কহফ

8.1 পরিচিতি

জ্যামিতিক ক্ষেত্রে, আমরা বিভিন্ন জ্যামিতিক আকৃতির ক্ষেত্রফল গণনার সূত্র শিখেছি, যার মধ্যে ত্রিভুজ, আয়তক্ষেত্র, ট্র্যাপেজিয়া এবং বৃত্ত অন্তর্ভুক্ত। এই সূত্রগুলি গাণিতিক গঠনের অনেক বাস্তব সমস্যায় প্রয়োগের জন্য মৌলিক। প্রাথমিক জ্যামিতির সূত্রগুলি আমাদের অনেক সাধারণ আকৃতির ক্ষেত্রফল গণনার ক্ষমতা দেয়। তবে, তারা বাহ্যিক আকৃতি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল গণনার জন্য অপর্যাপ্ত। এর জন্য আমাদের সমাকলনের কিছু ধারণা প্রয়োজন।

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে, আমরা বাহ্যিক আকৃতি $y=f(x)$, অর্ডিনেট $x=a$, $x=b$ এবং $x$-অক্ষের দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সময় সুনির্দিষ্ট সমাকলন সূত্রের সীমার হিসাবে গঠন শিখেছি। এখানে, এই অধ্যায়ে, আমরা সমাকলনের প্রয়োগের জন্য একটি নির্দিষ্ট প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা করব, যেখানে আমরা সহজ আকৃতির নিচের ক্ষেত্রফল, লাইন এবং বৃত্ত, প্যারাবোলা এবং

A.L. কসি (1789-1857) এলিপস (শুধুমাত্র আদর্শ সংজ্ঞা) এর আয়তক্ষেত্র নির্ণয় করব। আমরা উপরোক্ত আকৃতি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সাথে যোগাযোগ করব।

8.2 সহজ আকৃতির নিচের ক্ষেত্রফল

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে, আমরা সুনির্দিষ্ট সমাকলন সূত্রের সীমার হিসাব এবং গাণিতিক সূত্রের মৌলিক তত্ত্ব ব্যবহার করে সুনির্দিষ্ট সমাকলন নির্ণয়ের পদ্ধতি শিখেছি। এখন, আমরা বাহ্যিক আকৃতি $y=f(x), x$-অক্ষ এবং অর্ডিনেট $x=a$ এবং $x=b$ এর মধ্যে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সহজ এবং স্বাভাবিক পদ্ধতি বিবেচনা করব। আকৃতির নিচের ক্ষেত্রফল বলে মনে করা যায় যে এটি অনেক বড় বড় খুব হালকা উলম্ব বাঁশের দ্বারা গঠিত। একটি যেকোনো বাঁশের উচ্চতা $y$ এবং প্রস্থ $d x$ ধরে, $d A$ (প্রাথমিক বাঁশের ক্ষেত্রফল) $=y d x$, যেখানে, $y=f(x)$।

এই ক্ষেত্রফলটি প্রাথমিক ক্ষেত্রফল বলে পরিচিত, যা একটি যেকোনো অবস্থানে অন্তর্ভুক্ত হয় যা $x$ এর কোনো মান দ্বারা নির্দেশিত হয় যা $a$ এবং $b$ এর মধ্যে থাকে। আমরা বলতে পারি যে মোট ক্ষেত্রফল A এই অঞ্চলের মধ্যে $x$-অক্ষ, অর্ডিনেট $x=a, x=b$ এবং বাহ্যিক আকৃতি $y=f(x)$ এর মধ্যে প্রাথমিক বাঁশের ক্ষেত্রফল যোগ করে গঠিত হয় যা অঞ্চল PQRSP এর মধ্যে হয়। প্রত্যক্ষভাবে, আমরা এটি প্রকাশ করি

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

বাহ্যিক আকৃতি $x=g(y), y$-অক্ষ এবং লাইন $y=c$, $y=d$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল $A$ এই সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

এখানে, আমরা আকৃতির নিচের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আকৃতির উপরের দিকে হয়ে থাকা অতিকম হয়ে থাকা অনুভূমিক বাঁশ ব্যবহার করি যেমন আকৃতি 8.2 এ দেখানো হয়েছে।

আকৃতি 8.2

মন্তব্য যদি বিবেচনার বাহ্যিক আকৃতির অবস্থান $x$-অক্ষের নিচে থাকে, তবে $x=a$ থেকে $x=b$ পর্যন্ত $f(x)<0$ থেকে এটি আকৃতি 8.3 এ দেখানো হয়েছে, তাহলে বাহ্যিক আকৃতি, $x$-অক্ষ এবং অর্ডিনেট $x=a, x=b$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হয়ে যায়। কিন্তু, ক্ষেত্রফলের শুধুমাত্র সংখ্যাগত মান বিবেচনা করা হয়। তাই, যদি ক্ষেত্রফল ঋণাত্মক হয়, তবে আমরা এর পরিমাণগত মান নেই, অর্থাৎ, $|\int_a^{b} f(x) d x|$।

আকৃতি 8.3

সাধারণত, একটি বাহ্যিক আকৃতির কিছু অংশ $x$-অক্ষের উপরে থাকতে পারে এবং কিছু অংশ $x$-অক্ষের নিচে থাকতে পারে যেমন আকৃতি 8.4 এ দেখানো হয়েছে। এখানে, $A_1<0$ এবং $A_2>0$। তাই, বাহ্যিক আকৃতি $y=f(x), x$-অক্ষ এবং অর্ডিনেট $x=a$ এবং $x=b$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল A এই সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয় $A=|A_1|+A_2$।

আকৃতি 8.4

উদাহরণ 1 বৃত্ত $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান আকৃতি 8.5 থেকে, প্রদত্ত বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ মোট ক্ষেত্রফল $=4$ (অঞ্চল AOBA এর ক্ষেত্রফল যা বাহ্যিক আকৃতি, $x$-অক্ষ এবং অর্ডিনেট $x=0$ এবং $x=a$ দ্বারা আবদ্ধ) [কারণ বৃত্ত উভয় $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের সামঞ্জস্যপূর্ণ]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ থেকে $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

আকৃতি 8.5

কারণ অঞ্চল AOBA প্রথম কোণার মধ্যে থাকে, $y$ ধনাত্মক হিসাবে গণ্য হয়। সমাকলন করে, আমরা প্রদত্ত বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ মোট ক্ষেত্রফল পাই

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

বিকল্পভাবে, আকৃতি 8.6 এ দেখানো হয়েছে যেমন অনুভূমিক বাঁশ বিবেচনা করে, বৃত্ত দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের মোট ক্ষেত্রফল

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(কেন?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

আকৃতি 8.6

উদাহরণ 2 এলিপস $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান আকৃতি 8.7 থেকে, এলিপস দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চল $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ এর ক্ষেত্রফল

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(কারণ এলিপস উভয় $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের সামঞ্জস্যপূর্ণ)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (উলম্ব বাঁশ ব্যবহার করে)

এখন $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ থেকে $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, কিন্তু কারণ অঞ্চল AOBA প্রথম কোণার মধ্যে থাকে, $y$ ধনাত্মক হিসাবে গণ্য হয়। তাই, প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (কেন) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

আকৃতি 8.7

বিকল্পভাবে, আকৃতি 8.8 এ দেখানো হয়েছে যেমন অনুভূমিক বাঁশ বিবেচনা করে, এলিপসের ক্ষেত্রফল

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

আকৃতি 8.8

বিভিন্ন উদাহরণ

উদাহরণ 3 লাইন $y=3 x+2$, $x$-অক্ষ এবং অর্ডিনেট $x=-1$ এবং $x=1$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান আকৃতি 8.9 এ দেখানো হয়েছে, লাইন $y=3 x+2$ $x$-অক্ষের $x=\frac{-2}{3}$ এ মিলে যায় এবং $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ পর্যন্ত এর আলেখ্য $x$-অক্ষের নিচে থাকে এবং $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ পর্যন্ত $x$-অক্ষের উপরে থাকে।

প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল $=$ অঞ্চল $ACBA+$ এর ক্ষেত্রফল অঞ্চল ADEA এর ক্ষেত্রফল

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

আকৃতি 8.9

উদাহরণ 4 বাহ্যিক আকৃতি $y=\cos x$ এর মধ্যে $x=0$ এবং $x=2 \pi$ এর মধ্যে আবদ্ধ ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান আকৃতি 8.10 থেকে, প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল $=$ অঞ্চল $OABO+$ এর ক্ষেত্রফল অঞ্চল $BCDB+$ এর ক্ষেত্রফল অঞ্চল DEFD।

আকৃতি 8.10

তাই, আমরা প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রফল পাই

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

সারাংশ

বাহ্যিক আকৃতি $y=f(x), x$-অক্ষ এবং লাইন $x=a$ এবং $x=b(b>a)$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল এই সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়: ক্ষেত্রফল $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$। বাহ্যিক আকৃতি $x=\phi(y), y$-অক্ষ এবং লাইন $y=c, y=d$ দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল এই সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয়: ক্ষেত্রফল $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$।

ঐতিহাসিক নোট

সমাকলনের গণিতের উৎপত্তি গণিতের প্রাচীন সময়ের শুরুতে ফিরে যায় এবং এটি প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদদের দ্বারা বিকশিত শক্তির পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত। এই পদ্ধতি পরিকল্পনা ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, উপরের ক্ষেত্রফল এবং কণা শরীরের অবকাঠামো সম্পর্কিত সমস্যার সমাধানে উদ্ভূত হয়েছিল। এই অর্থে, শক্তির পদ্ধতি সমাকলনের একটি প্রারম্ভিক পদ্�