যে মানুষ এমন পদ্ধতি খুঁজে থাকে যা নির্দিষ্ট সমস্যার মনে রাখা ছাড়া, তিনি প্রায়শই বেঁচে থাকেন না। - ডি। হিলবার্ট

9.1 পরিচিতি

ক্লাস এক্সআই ও এখানের বইয়ের অধ্যায় 5-এ, আমরা একটি প্রদত্ত ফাংশন $f$ এর প্রাপ্য চলকের প্রাপ্য চলকের সাপেক্ষে কীভাবে বিশ্লেষণ করা হয় তা নিয়ে আলোচনা করেছি, অর্থাৎ একটি প্রদত্ত ফাংশন $f$ এর $f^{\prime}(x)$ কীভাবে নির্ণয় করা হয় তা নিয়ে আলোচনা করেছি যা এর সংজ্ঞায়নের বিস্তারিত ডোমেইনে প্রতিটি $x$-এ। আরও একটি বিষয় হল সমাকলন গণিতের অধ্যায়, যেখানে আমরা কীভাবে একটি ফাংশন $f$ খুঁজে বের করা হয় যার বিশ্লেষণযুক্ত হয় ফাংশন $g$, যা নিম্নলিখিত ভাবেও গঠন করা যেতে পারে:

একটি প্রদত্ত ফাংশন $g$ এর জন্য, এমন একটি ফাংশন $f$ খুঁজুন যার

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

হেনরি পোয়েন্কার $(1854-1912)$

এই ধরনের সমীকরণটি হল ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ। এর জন্য একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা পরবর্তীতে দেওয়া হবে।

এগুলি পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, জীববিজ্ঞান, মানববিজ্ঞান, ভূবিজ্ঞান, অর্থনীতি ইত্যাদি বিভিন্ন অ্যাপ্লিকেশনে দেখা যায়। অতএব, ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলির গভীর অধ্যয়ন আধুনিক বিজ্ঞানী গবেষণায় প্রধান গুরুত্ব অর্জন করেছে।

এই অধ্যায়ে আমরা ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ সম্পর্কিত কিছু মৌলিক ধারণা, ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের সাধারণ ও বিশেষ সমাধান, ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ গঠন, প্রথম ক্রম-প্রথম মাত্রা ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ সমাধানের কিছু পদ্ধতি এবং বিভিন্ন ক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের কিছু প্রয়োগ নিয়ে আলোচনা করব।

9.2 মৌলিক ধারণা

আমরা ইতোমধ্যে এমন সমীকরণগুলির সম্পর্কে জেনে আছে:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি বিবেচনা করি:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

আমরা দেখব যে সমীকরণ (1), (2) ও (3) শুধুমাত্র স্বাধীন ও/অথবা প্রাপ্য চলক (চলক) ব্যবহার করে কিন্তু সমীকরণ (4) প্রাপ্য চলক $y$ এবং স্বাধীন চলক $x$ এর সাপেক্ষে প্রাপ্য চলকের বিশ্লেষণযুক্ত হয়। এই ধরনের সমীকরণটিকে ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ বলা হয়।

সাধারণত, একটি সমীকরণ যা প্রাপ্য চলকের বিশ্লেষণযুক্ত হয় স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে বলা হয় ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ।

একটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ যা শুধুমাত্র একটি স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে প্রাপ্য চলকের বিশ্লেষণযুক্ত হয় তাকে সাধারণ ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ বলা হয়, উদাহরণস্বরূপ,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ হল একটি সাধারণ ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ } $

অবশ্যই, একাধিক স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে বিশ্লেষণযুক্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ রয়েছে, যাকে আংশিক ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ বলা হয়, কিন্তু এই ধাপে আমরা শুধুমাত্র সাধারণ ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলি নিয়ে কাজ করব। এরপর, আমরা ‘ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ’ শব্দটি ‘সাধারণ ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ’ এর জন্য ব্যবহার করব।

নোট

1. আমরা বিশ্লেষণগুলির জন্য নিম্নলিখিত নোটেশন ব্যবহার করব:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. উচ্চক্রম বিশ্লেষণের জন্য, এত বহুল ড্যাশ ব্যবহার করা অসুবিধাজনক হবে তাই, আমরা $n$তম বিশ্লেষণ $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ এর জন্য $y_n$ নোটেশন ব্যবহার করব।

9.2.1 ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের ক্রম

একটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের ক্রম বলতে বোঝায় যে সমীকরণটিতে প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে ব্যবহৃত প্রাপ্য চলকের স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে উচ্চতম ক্রমের বিশ্লেষণের ক্রম।

নিম্নলিখিত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলি বিবেচনা করুন:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

সমীকরণ (6), (7) ও (8) যথাক্রমে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় ক্রমের উচ্চতম বিশ্লেষণযুক্ত হয়। অতএব, এই সমীকরণগুলির ক্রম হল 1, 2 ও 3 যথাক্রমে।

9.2.2 ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মাত্রা

একটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মাত্রা নিয়ে আলোচনা করার জন্য, কীবোধক বিষয় হল যে ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণটি বিশ্লেষণগুলির মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ হতে হবে, অর্থাৎ $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ ইত্যাদি। নিম্নলিখিত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলি বিবেচনা করুন:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

আমরা দেখব যে সমীকরণ (9) হল $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ এবং $y^{\prime}$ এর মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ, সমীকরণ (10) হল $y^{\prime}$ এর মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ (কিন্তু $y$ এর মধ্যে নয়)। এই ধরনের ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মাত্রা নির্ধারণ করা যায়। কিন্তু সমীকরণ (11) হল $y^{\prime}$ এর মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ নয় এবং এই ধরনের ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মাত্রা নির্ধারণ করা যায় না।

একটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মাত্রা, যখন এটি বিশ্লেষণগুলির মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ, তখন আমরা বোঝায় যে প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে ব্যবহৃত উচ্চতম ক্রমের বিশ্লেষণের উচ্চতম পাওয়ার (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)।

উপরের সংজ্ঞার ভিত্তিতে, একজন ব্যক্তি দেখতে পারে যে ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ (6), (7), (8) ও (9) যথাক্রমে মাত্রা এক, সমীকরণ (10) হল মাত্রা দুই অথবা ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ (11) এর মাত্রা নির্ধারণ করা যায় না।

নোট ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের ক্রম এবং মাত্রা (যদি নির্ধারণ করা হয়) সর্বদা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

উদাহরণ 1 নিম্নলিখিত প্রতিটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের ক্রম এবং মাত্রা (যদি নির্ধারণ করা হয়) নির্ণয় করুন:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

সমাধান

(i) ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে বর্তমান উচ্চতম ক্রমের বিশ্লেষণ হল $\frac{d y}{d x}$, তাই এর ক্রম এক। এটি $y^{\prime}$ এর মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ এবং $\frac{d y}{d x}$ এ উত্থাপিত উচ্চতম পাওয়ার হল এক, তাই এর মাত্রা হল এক।

(ii) প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে বর্তমান উচ্চতম ক্রমের বিশ্লেষণ হল $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, তাই এর ক্রম দুই। এটি $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ এবং $\frac{d y}{d x}$ এর মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ এবং $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ এ উত্থাপিত উচ্চতম পাওয়ার হল এক, তাই এর মাত্রা হল এক।

(iii) ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে বর্তমান উচ্চতম ক্রমের বিশ্লেষণ হল $y^{\prime \prime \prime}$, তাই এর ক্রম তিন। প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণটি এর বিশ্লেষণগুলির মধ্যে একটি পলিনোমিয়াল সমীকরণ নয় এবং তাই এর মাত্রা নির্ধারণ করা যায় না।

9.3 ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের সাধারণ ও বিশেষ সমাধান

আগের ক্লাসগুলিতে, আমরা নিম্নলিখিত ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করেছি:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

সমীকরণের সমাধান সমীকরণ (1) এবং (2) এর সমাধান সংখ্যাগুলি, বাস্তব বা জটিল, যা প্রদত্ত সমীকরণটি পূরণ করবে, অর্থাৎ যখন সেই সংখ্যাটি প্রদত্ত সমীকরণে অপরিচিত $x$ এর জন্য ব্যবহার করা হয়, তখন বাম দিক (L.H.S.) ডান দিকের (R.H.S.) সমান হয়ে যায়।

এখন ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণটি বিবেচনা করুন

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

প্রথম দুটি সমীকরণের বিপরীতে, এই ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের সমাধান হল একটি ফাংশন $\phi$ যা এটি পূরণ করবে, অর্থাৎ যখন ফাংশন $\phi$ প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণে অপরিচিত $y$ (প্রাপ্য চলক) এর জন্য ব্যবহার করা হয়, তখন বাম দিক (L.H.S.) ডান দিকের (R.H.S.) সমান হয়ে যায়।

ধারণা $y=\phi(x)$ হল প্রদত্ত ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের সমাধান কম্পাঙ্ক (সমাকলন কম্পাঙ্ক)। নিম্নলিখিত ফাংশনটি বিবেচনা করুন

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

যেখানে $a, b \in \mathbf{R}$। এই ফাংশনটি এবং এর বিশ্লেষণটি সমীকরণ (3) এ বসানো হলে, L.H.S. = R.H.S.। অ�