অধ্যায় 1 একক এবং পরিমাপের অনুশীলন
অনুশীলন
দ্রষ্টব্য: সংখ্যাগত উত্তর দেওয়ার সময়, তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কের যত্ন নিন।
1.1 শূন্যস্থান পূরণ করুন
(ক) একটি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $1 \mathrm{~cm}$ হলে এর আয়তন হবে ….. $\mathrm{m}^{3}$
(খ) ব্যাসার্ধ $2.0 \mathrm{~cm}$ এবং উচ্চতা $10.0 \mathrm{~cm}$ বিশিষ্ট একটি নিরেট সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হবে … $(\mathrm{mm})^{2}$
(গ) $18 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে চলমান একটি যানবাহন $1 \mathrm{~s}$ সময়ে …. $\mathrm{m}$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
(ঘ) সীসার আপেক্ষিক ঘনত্ব 11.3। এর ঘনত্ব হল …. $\mathrm{g} \mathrm{cm}^{-3}$ অথবা …. $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}$
Show Answer
উত্তর
(ক) 1 সেমি $=\frac{1}{100} ~m$
ঘনকের আয়তন $=1 ~cm^{3}$
কিন্তু, $1 ~cm^{3}=1 ~cm \times 1 ~cm \times 1 ~cm=(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m$
$\therefore 1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$
সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য $1 ~cm$ বিশিষ্ট একটি ঘনকের আয়তন $10^{-6} ~m^{3}$ এর সমান।
(খ) ব্যাসার্ধ $r$ এবং উচ্চতা $h$ বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হল
$S=2 \pi r(r+h)$।
প্রদত্ত,
$r=2 ~cm=2 \times 1 ~cm=2 \times 10 ~mm=20 ~mm$
$h=10 ~cm=10 \times 10 ~mm =100 ~mm$
$\therefore S=2 \times 3.14 \times 20 \times(20+100)=15072=1.5 \times 10^{4} ~mm^{2}$
(গ) রূপান্তর ব্যবহার করে,
$1 ~km / h=\frac{5}{18} ~m / s$
$18 ~km / h=18 \times \frac{5}{18}=5 ~m / s$
অতএব, দূরত্ব নিম্নলিখিত সম্পর্ক ব্যবহার করে পাওয়া যাবে:
দূরত্ব $=$ বেগ $\times$ সময় $=5 \times 1=5 ~m$
সুতরাং, যানবাহনটি $1 ~s$ সময়ে $5 ~m$ দূরত্ব অতিক্রম করে।
(ঘ) কোনো পদার্থের আপেক্ষিক ঘনত্ব নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,
আপেক্ষিক ঘনত্ব $=\frac{\text{ Density of substance }}{\text{ Density of water }}$
জলের ঘনত্ব $=1 ~g / ~cm^{3}$
সীসার ঘনত্ব $=$ সীসার আপেক্ষিক ঘনত্ব $\times$ জলের ঘনত্ব
$ =11.3 \times 1=11.3 g / ~cm^{3} $
আবার, $1 g=\frac{1}{1000} kg$
$1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$
$1 g / ~cm^{3}=\frac{10^{-3}}{10^{-6}} kg / ~m^{3}=10^{3} kg / ~m^{3}$
$\therefore 11.3 g / ~cm^{3}=11.3 \times 10^{3} kg / ~m^{3}$
1.2 উপযুক্ত একক রূপান্তর করে শূন্যস্থান পূরণ করুন
(ক) $1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}=\ldots . . \mathrm{g} \mathrm{cm}^{2} \mathrm{~s}^{-2}$
(খ) $1 \mathrm{~m}=\ldots . .1 \mathrm{ly}$
(গ) $3.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=\ldots . \mathrm{km} \mathrm{h}^{-2}$
(ঘ) $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2}(\mathrm{~kg})^{-2}=\ldots(\mathrm{cm})^{3} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{~g}^{-1}$.
Show Answer
উত্তর
(ক) $1 kg=10^{3} ~g$
$1 m^{2}=10^{4} cm^{2}$
$1 ~g m^{2} s^{-2}=1 ~kg \times 1 m^{2} \times 1 ~s^{-2}$
$=10^{3} ~g \times 10^{4} cm^{2} \times 1 ~s^{-2}=10^{7} ~g cm^{2} s^{-2}$
(খ) আলোকবর্ষ হল এক বছরে আলো দ্বারা অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব।
$1 ~ly=$ আলোর গতি $\times$ এক বছর
$=(3 \times 10^{8} ~m / s) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60 s)$
$=9.46 \times 10^{15} ~m$
$\therefore 1 ~m=\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}=1.057 \times 10^{-16} ~ly$
(গ) $1 ~m=10^{-3} ~km$
আবার, $1 ~s=\frac{1}{3600} ~h$
$1 ~s^{-1}=3600 ~h^{-1}$
$1 ~s^{-2}=(3600)^{2} ~h^{-2}$
$\therefore 3 ~m s^{-2}=(3 \times 10^{-3} ~km) \times((3600)^{2} h^{-2})=3.88 \times 10^{-4} ~km h^{-2}$
(ঘ) $1 ~N=1 ~kg m s^{-2}$
$1 ~kg=10^{-3} ~g^{-1}$
$1 ~m^{3}=10^{6} ~cm^{3}$
$\therefore 6.67 \times 10^{-11} ~N m^{2} kg^{-2}=6.67 \times 10^{-11} \times(1 ~kg m s^{-2})(1 m^{2})(1 s^{-2})$
$ \begin{aligned} & =6.67 \times 10^{-11} \times(1 kg \times 1 m^{3} \times 1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-11} \times(10^{-3} g^{-1}) \times(10^{6} cm^{3}) \times(1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-8} cm^{3} s^{-2} g^{-1} \end{aligned} $
1.3 ক্যালোরি হল তাপের একটি একক (স্থানান্তরিত শক্তি) এবং এটি প্রায় $4.2 \mathrm{~J}$ এর সমান, যেখানে $1 \mathrm{~J}=$ $1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}$। ধরুন আমরা এমন একটি একক পদ্ধতি ব্যবহার করছি যেখানে ভরের একক $\alpha$ $\mathrm{kg}$, দৈর্ঘ্যের একক $\beta \mathrm{m}$, সময়ের একক $\gamma \mathrm{s}$। দেখান যে নতুন এককগুলির পরিপ্রেক্ষিতে একটি ক্যালোরির মান $4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^{2}$।
Show Answer
উত্তর
প্রদত্ত,
1 ক্যালোরি $=4.2(1 kg)(1 m^{2})(1 s^{-2})$
ভরের নতুন একক $=\alpha kg$
সুতরাং, নতুন এককের পরিপ্রেক্ষিতে, $1 kg=\frac{1}{\alpha}=\alpha^{-1}$
দৈর্ঘ্যের নতুন এককের পরিপ্রেক্ষিতে,
$ 1 m=\frac{1}{\beta}=\beta^{-1} \text{ বা } 1 m^{2}=\beta^{-2} $
এবং, সময়ের নতুন এককের পরিপ্রেক্ষিতে,
$ \begin{aligned} & 1 s=\frac{1}{\gamma}=\gamma^{-1} \\ & 1 s^{2}=\gamma^{-2} \\ & 1 s^{-2}=\gamma^{2} \\ & \therefore 1 \text{ ক্যালোরি }=4.2(1 \alpha^{-1})(1 \beta^{-2})(1 \gamma^{2})=4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^{2} \end{aligned} $
1.4 এই বিবৃতিটি স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করুন: “একটি মাত্রাবিশিষ্ট রাশিকে তুলনার জন্য কোনো আদর্শ নির্দিষ্ট না করে ‘বড়’ বা ‘ছোট’ বলা অর্থহীন”। এই দৃষ্টিকোণ থেকে, যেখানে প্রয়োজন সেখানে নিম্নলিখিত বিবৃতিগুলি পুনর্বিন্যাস করুন:
(ক) পরমাণু খুবই ক্ষুদ্র বস্তু।
(খ) একটি জেট প্লেন অত্যন্ত দ্রুত গতিতে চলে।
(গ) বৃহস্পতির ভর অত্যন্ত বেশি।
(ঘ) এই ঘরের ভেতরের বাতাসে অণুর সংখ্যা অত্যন্ত বেশি।
(ঙ) একটি প্রোটন একটি ইলেকট্রনের চেয়ে অনেক বেশি ভারী।
(চ) আলোর গতির তুলনায় শব্দের গতি অনেক কম।
Show Answer
উত্তর
প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য কারণ একটি মাত্রাহীন রাশি কোনো আদর্শ সাপেক্ষের তুলনায় বড় বা ছোট হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ঘর্ষণ গুণাঙ্ক মাত্রাহীন। পিছল ঘর্ষণের গুণাঙ্ক গড়িয়ে চলা ঘর্ষণের গুণাঙ্কের চেয়ে বেশি, কিন্তু স্থির ঘর্ষণের গুণাঙ্কের চেয়ে কম।
(ক) একটি ফুটবলের তুলনায় একটি পরমাণু খুবই ক্ষুদ্র বস্তু।
(খ) একটি সাইকেলের গতির তুলনায় একটি জেট প্লেন বেশি গতিতে চলে।
(গ) একটি ক্রিকেট বলের ভরের তুলনায় বৃহস্পতির ভর অত্যন্ত বেশি।
(ঘ) একটি জ্যামিতি বাক্সে উপস্থিত অণুর সংখ্যার তুলনায় এই ঘরের ভেতরের বাতাসে অণুর সংখ্যা অনেক বেশি।
(ঙ) একটি প্রোটন একটি ইলেকট্রনের চেয়ে বেশি ভারী।
(চ) শব্দের গতি আলোর গতির চেয়ে কম।
1.5 দৈর্ঘ্যের একটি নতুন একক এমনভাবে নির্বাচন করা হয়েছে যাতে শূন্যস্থানে আলোর গতি একক হয়। সূর্য ও পৃথিবীর মধ্যকার দূরত্ব নতুন এককে কত হবে যদি এই দূরত্ব অতিক্রম করতে আলোর $8 \mathrm{~min}$ এবং $20 \mathrm{~s}$ সময় লাগে?
Show Answer
উত্তর
সূর্য ও পৃথিবীর মধ্যকার দূরত্ব:
$=$ আলোর গতি $\times$ দূরত্ব অতিক্রম করতে আলোর গৃহীত সময়
প্রদত্ত যে নতুন এককে, আলোর গতি $=1$ একক
গৃহীত সময়, $t=8 \min 20 s=500 s$
$\therefore$ সূর্য ও পৃথিবীর মধ্যকার দূরত্ব $=1 \times 500=500$ একক
1.6 দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে কোনটি সবচেয়ে নির্ভুল যন্ত্র:
(ক) একটি ভার্নিয়ার ক্যালিপার যার স্লাইডিং স্কেলে 20টি ভাগ রয়েছে।
(খ) একটি স্ক্রু গজ যার পিচ $1 \mathrm{~mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেলে 100টি ভাগ রয়েছে।
(গ) একটি অপটিক্যাল যন্ত্র যা আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের মধ্যে দৈর্ঘ্য পরিমাপ করতে পারে?
Show Answer
উত্তর
(ক) সর্বনিম্ন গণনাযুক্ত যন্ত্রটি দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত।
ভার্নিয়ার ক্যালিপারের লঘিষ্ঠ গণনা
$=1$ আদর্শ ভাগ $(SD)-1$ ভার্নিয়ার ভাগ (VD)
$=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}=0.01 cm$
(খ) স্ক্রু গজের লঘিষ্ঠ গণনা $= \frac{\text{Pitch}}{\text{Number of divisions}}$
$=\frac{1}{1000}=0.001 cm$
(গ) একটি অপটিক্যাল যন্ত্রের লঘিষ্ঠ গণনা $=$ আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\sim 10^{-5} cm$
$=0.00001 cm$
সুতরাং, এটি অনুমান করা যায় যে দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য একটি অপটিক্যাল যন্ত্র সবচেয়ে উপযুক্ত যন্ত্র।
1.7 একজন শিক্ষার্থী 100x বিবর্ধন বিশিষ্ট একটি অণুবীক্ষণ যন্ত্রের মাধ্যমে দেখে একটি মানুষের চুলের পুরুত্ব পরিমাপ করে। সে 20টি পর্যবেক্ষণ করে এবং দেখে যে অণুবীক্ষণ যন্ত্রের দৃষ্টিক্ষেত্রে চুলের গড় প্রস্থ $3.5 \mathrm{~mm}$। চুলের পুরুত্বের অনুমান কত?
Show Answer
উত্তর
অণুবীক্ষণ যন্ত্রের বিবর্ধন $=100$
অণুবীক্ষণ যন্ত্রের দৃষ্টিক্ষেত্রে চুলের গড় প্রস্থ $=3.5 ~mm$
$\therefore$ চুলের প্রকৃত পুরুত্ব $\frac{3.5}{100}=0.035 ~mm$।
1.8 নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দিন:
(ক) আপনাকে একটি সুতা এবং একটি মিটার স্কেল দেওয়া হল। আপনি কীভাবে সুতার ব্যাস অনুমান করবেন?
(খ) একটি স্ক্রু গজের পিচ $1.0 \mathrm{~mm}$ এবং বৃত্তাকার স্কেলে 200টি ভাগ রয়েছে। আপনি কি মনে করেন যে বৃত্তাকার স্কেলের ভাগের সংখ্যা বাড়িয়ে স্ক্রু গজের নির্ভুলতা নির্বিচারে বাড়ানো সম্ভব?
(গ) একটি পাতলা পিতলের রডের গড় ব্যাস ভার্নিয়ার ক্যালিপার দ্বারা পরিমাপ করতে হবে। ব্যাসের 100টি পরিমাপের সেট শুধুমাত্র 5টি পরিমাপের সেটের চেয়ে আরও নির্ভরযোগ্য অনুমান দেবে কেন?
Show Answer
উত্তর
সুতাটিকে একটি সমান মসৃণ রডের চারপাশে এমনভাবে পেঁচিয়ে দিন যে গঠিত কুণ্ডলীগুলি একে অপরের খুব কাছাকাছি থাকে। একটি মিটার স্কেল ব্যবহার করে সুতার দৈর্ঘ্য পরিমাপ করুন। সুতার ব্যাস নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা দেওয়া হয়,
ব্যাস $=\frac{\text{ Length of thread }}{\text{ Number of turns }}$
বৃত্তাকার স্কেলের ভাগের সংখ্যা বাড়িয়ে স্ক্রু গজের নির্ভুলতা বাড়ানো সম্ভব নয়। বৃত্তাকার স্কেলের ভাগের সংখ্যা বাড়ালে শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত এর নির্ভুলতা বাড়বে।
100টি পরিমাপের সেট শুধুমাত্র 5টি পরিমাপের সেটের তুলনায় অনেক বেশি নির্ভরযোগ্য কারণ প্রথমটিতে দ্বিতীয়টির তুলনায় এলোমেলো ত্রুটি অনেক কম থাকে।
1.9 একটি বাড়ির ফটোগ্রাফ একটি $35 \mathrm{~mm}$ স্লাইডে $1.75 \mathrm{~cm}^{2}$ ক্ষেত্রফল দখল করে। স্লাইডটি একটি পর্দায় প্রক্ষেপণ করা হয় এবং পর্দায় বাড়ির ছবির ক্ষেত্রফল $1.55 \mathrm{~m}^{2}$। প্রক্ষেপক-পর্দা বিন্যাসের রৈখিক বিবর্ধন কত?
Show Answer
উত্তর
স্লাইডে বাড়ির ক্ষেত্রফল $=1.75 cm^{2}$
পর্দায় গঠিত বাড়ির ছবির ক্ষেত্রফল $=1.55 m^{2}$
$=1.55 \times 10^{4} cm^{2}$
ক্ষেত্রফলগত বিবর্ধন, $m_a=\frac{\text{ Area of image }}{\text{ Area of object }}=\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}$
$\therefore$ রৈখিক বিবর্ধন, $m_l=\sqrt{m_a}$
$=\sqrt{\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}}=94.11$
1.10 নিম্নলিখিতগুলিতে তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কের সংখ্যা উল্লেখ করুন:
(ক) $0.007 \mathrm{~m}^{2}$
(খ) $2.64 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$
(গ) $0.2370 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3}$
(ঘ) $6.320 \mathrm{~J}$
(ঙ) $6.032 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$
(চ) $0.0006032 \mathrm{~m}^{2}$
Show Answer
উত্তর
(ক)
প্রদত্ত রাশিটি হল $0.007 ~m^{2}$।
যদি সংখ্যাটি একের কম হয়, তাহলে দশমিক বিন্দুর ডানদিকের (কিন্তু প্রথম অশূন্য অঙ্কের বাম দিকের) সব শূন্য অপ্রাসঙ্গিক। এর অর্থ হল এখানে দশমিকের পরে দুটি শূন্য তাৎপর্যপূর্ণ নয়। সুতরাং, এই রাশিতে শুধুমাত্র 7 একটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক।
(খ)
প্রদত্ত রাশিটি হল $2.64 \times 10^{24} ~kg$।
এখানে, তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক নির্ণয়ের জন্য 10-এর ঘাত অপ্রাসঙ্গিক। সুতরাং, সমস্ত অঙ্ক অর্থাৎ 2, 6 এবং 4 তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক।
(গ)
প্রদত্ত রাশিটি হল $0.2370 ~g cm^{-3}$।
দশমিক বিশিষ্ট সংখ্যার জন্য, পিছনের শূন্যগুলি তাৎপর্যপূর্ণ। সুতরাং, 2, 3 এবং 7 অঙ্ক ছাড়াও, দশমিক বিন্দুর পরে যে 0 আসে সেটিও একটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক।
(ঘ)
প্রদত্ত রাশিটি হল $6.320 ~J$।
দশমিক বিশিষ্ট সংখ্যার জন্য, পিছনের শূন্যগুলি তাৎপর্যপূর্ণ। সুতরাং, প্রদত্ত রাশিতে উপস্থিত সমস্ত চারটি অঙ্ক তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক।
(ঙ)
প্রদত্ত রাশিটি হল $6.032 ~Nm^{-2}$।
দুটি অশূন্য অঙ্কের মধ্যবর্তী সমস্ত শূন্য সর্বদা তাৎপর্যপূর্ণ।
(চ)
প্রদত্ত রাশিটি হল $0.0006032 ~m^{2}$।
যদি সংখ্যাটি একের কম হয়, তাহলে দশমিক বিন্দুর ডানদিকের (কিন্তু প্রথম অশূন্য অঙ্কের বাম দিকের) শূন্যগুলি অপ্রাসঙ্গিক। সুতরাং, 6-এর আগে উপস্থিত তিনটি শূন্যই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক নয়। দুটি অশূন্য অঙ্কের মধ্যবর্তী সমস্ত শূন্য সর্বদা তাৎপর্যপূর্ণ। সুতরাং, বাকি চারটি অঙ্ক তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক।
1.11 একটি ধাতুর আয়তাকার পাতের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং পুরুত্ব যথাক্রমে $4.234 \mathrm{~m}, 1.005 \mathrm{~m}$, এবং $2.01 \mathrm{~cm}$। পাতটির ক্ষেত্রফল এবং আয়তন সঠিক তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে দাও।
Show Answer
উত্তর
পাতের দৈর্ঘ্য, $l=4.234 ~m$
পাতের প্রস্থ, $b=1.005 ~m$
পাতের পুরুত্ব, $h=2.01 cm=0.0201 ~m$
প্রদত্ত সারণিটি সংশ্লিষ্ট তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক তালিকাভুক্ত করে:
| রাশি | সংখ্যা | তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক |
|---|---|---|
| $l$ | 4.234 | 4 |
| $b$ | 1.005 | 4 |
| $h$ | 2.01 | 3 |
সুতরাং, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন উভয়েরই সর্বনিম্ন তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক থাকতে হবে অর্থাৎ 3।
পাতটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=2(l \times b+b \times h+h \times l)$
$=2(4.234 \times 1.005+1.005 \times 0.0201+0.0201 \times 4.234)$
$=2(4.25517+0.02620+0.08510)$
$=2 \times 4.360$
$=8.72 ~m^{2}$
পাতটির আয়তন $=l \times b \times h$
$=4.234 \times 1.005 \times 0.0201$
$=0.0855 ~m^{3}$
এই সংখ্যাটির মাত্র 3টি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক রয়েছে অর্থাৎ 8, 5, এবং 5।
1.12 একটি মুদিখানার দাঁড়িপাল্লা দ্বারা পরিমাপ করা একটি বাক্সের ভর $2.30 \mathrm{~kg}$। $20.15 \mathrm{~g}$ এবং $20.17 \mathrm{~g}$ ভরের দুটি সোনার টুকরো বাক্সে যোগ করা হয়। (ক) বাক্সের মোট ভর কত, (খ) টুকরোগুলির ভরের পার্থক্য সঠিক তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে কত?
Show Answer
উত্তর
মুদিখানার বাক্সের ভর $=2.300 ~kg$
সোনার টুকরোর ভর $\mathbf{I}=20.15 ~g=0.02015 ~kg$
সোনার টুকরোর ভর $\mathbf{I I}=20.17 ~g=0.02017 ~kg$
বাক্সের মোট ভর $=2.3+0.02015+0.02017=2.34032 ~kg$
যোগের ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফলে যত দশমিক স্থান থাকবে, সংখ্যাগুলোর মধ্যে যেটিতে সর্বনিম্ন দশমিক স্থান রয়েছে তত দশমিক স্থান রাখতে হবে। সুতরাং, বাক্সের মোট ভর হল $2.3 ~kg$।
ভরের পার্থক্য $=20.17-20.15=0.02 ~g$
বিয়োগের ক্ষেত্রে, চূড়ান্ত ফলাফলে যত দশমিক স্থান থাকবে, সংখ্যাগুলোর মধ্যে যেটিতে সর্বনিম্ন দশমিক স্থান রয়েছে তত দশমিক স্থান রাখতে হবে।
1.13 পদার্থবিজ্ঞানের একটি বিখ্যাত সম্পর্ক ‘গতিশীল ভর’ $m$ কে একটি কণার ‘বিশ্রাম ভর’ $m_{0}$ এর সাথে এর গতি $v$ এবং আলোর গতি, $c$ এর পরিপ্রেক্ষিতে সম্পর্কিত করে। (এই সম্পর্কটি প্রথমে আলবার্ট আইনস্টাইনের বিশেষ আপেক্ষিকতার ফলাফল হিসাবে উদ্ভূত হয়েছিল)। একটি ছেলে সম্পর্কটি প্রায় সঠিকভাবে মনে রাখে কিন্তু ধ্রুবক c কোথায় বসাতে হবে তা ভুলে যায়। সে লেখে:
$m=\frac{m_{O}}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}$
অনুমান করুন বাদ পড়া $c$ কোথায় বসাতে হবে।
Show Answer
উত্তর
প্রদত্ত সম্পর্ক,
$ m=\frac{m_0}{(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}} $
$m=M^{1} L^{0} T^{0}$ এর মাত্রা
$m_0=M^{1} L^{0} T^{0}$ এর মাত্রা
$v=M^{0} L^{1} T^{-1}$ এর মাত্রা
$v^{2}=M^{0} L^{2} T^{-2}$ এর মাত্রা
$c=M^{0} L^{1} T^{-1}$ এর মাত্রা
প্রদত্ত সূত্রটি মাত্রাগতভাবে সঠিক হবে শুধুমাত্র যখন বামপক্ষের মাত্রা ডানপক্ষের মাত্রার সমান হয়। এটি তখনই সম্ভব যখন উৎপাদক $(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}$ মাত্রাহীন হয় অর্থাৎ $(1-v^{2})$ মাত্রাহীন হয়। এটি তখনই সম্ভব যদি $v^{2}$ কে $c^{2}$ দ্বারা ভাগ করা হয়। সুতরাং, সঠিক সম্পর্ক হল
$ m=\frac{m_0}{(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{1}{2}}} $
1.14 পারমাণবিক স্কেলে সুবিধাজনক দৈর্ঘ্যের একককে অ্যাংস্ট্রম বলা হয় এবং $\mathring{A}$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: $1 \mathring{A}=10^{-10} \mathrm{~m}$। একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর আকার প্রায় $0.5 \mathring{A}$। এক মোল হাইড্রোজেন পরমাণুর মোট পারমাণবিক আয়তন $\mathrm{m}^{3}$ এ কত?
Show Answer
উত্তর
হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ, $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$
হাইড্রোজেন পরমাণুর আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$
$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$
1 মোল হাইড্রোজেনে $6.023 \times 10^{23}$ হাইড্রোজেন পরমাণু থাকে।
$\therefore$ 1 মোল হাইড্রোজেন পরমাণুর আয়তন $=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$
$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$
1.15 আদর্শ তাপমাত্রা ও চাপে এক মোল আদর্শ গ্যাস $22.4 \mathrm{~L}$ (মোলার আয়তন) দখল করে। এক মোল হাইড্রোজেনের মোলার আয়তনের সাথে পারমাণবিক আয়তনের অনুপাত কত? (হাইড্রোজেন অণুর আকার প্রায় $1 \mathring{A}$ ধরে নিন)। এই অনুপাত এত বড় কেন?
Show Answer
উত্তর
হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ, $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$
হাইড্রোজেন পরমাণুর আয়তন $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$
$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$
এখন, 1 মোল হাইড্রোজেনে $6.023 \times 10^{23}$ হাইড্রোজেন পরমাণু থাকে।
$\therefore$ 1 মোল হাইড্রোজেন পরমাণুর আয়তন, $V_a=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$
$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$
STP-তে 1 মোল হাইড্রোজেন পরমাণুর মোলার আয়তন,
$V_m=22.4 L=22.4 \times 10^{-3} m^{3}$
$\therefore \frac{V_m}{V_a}=\frac{22.4 \times 10^{-3}}{3.16 \times 10^{-7}}=7.08 \times 10^{4}$
সুতরাং, মোলার আয়তন পারমাণবিক আয়তনের চেয়ে $7.08 \times 10^{4}$ গুণ বেশি। এই কারণে, হাইড্রোজেন গ্যাসে পরমাণুগুলির মধ্যকার দূরত্ব একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর আকারের চেয়ে অনেক বেশি।
1.16 এই সাধারণ পর্যবেক্ষণটি স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করুন: যদি আপনি একটি দ্রুতগামী ট্রেনের জানালা দিয়ে বাইরে তাকান, কাছাকাছির গাছ, বাড়ি ইত্যাদি দ্রুত গতিতে ট্রেনের গতির বিপরীত দিকে চলমান বলে মনে হয়, কিন্তু দূরের বস্তু (পাহাড়ের চূড়া, চাঁদ, তারা ইত্যাদি) স্থির বলে মনে হয়। (আসলে, যেহেতু আপনি সচেতন যে আপনি চলছেন, এই দূরের বস্তুগুলি আপনার সাথে চলমান বলে মনে হয়)।
Show Answer
উত্তর
দৃষ্টিরেখাকে একটি কাল্পনিক রেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা একটি বস্তু এবং একজন পর্যবেক্ষকের চোখকে যুক্ত করে। যখন আমরা একটি চলন্ত ট্রেনে বসে কাছাকাছির স্থির বস্তু যেমন গাছ, বাড়ি ইত্যাদি পর্যবেক্ষণ করি, তখন সেগুলি দ্রুত গতিতে বিপরীত দিকে চলমান বলে মনে হয় কারণ দৃষ্টিরেখা খুব দ্রুত পরিবর্তিত হয়।
অন্যদিকে, দূরের বস্তু যেমন গাছ, তারা ইত্যাদি বড় দূরত্বের কারণে স্থির বলে মনে হয়। ফলস্বরূপ, দৃষ্টিরেখা তার দিক দ্রুত পরিবর্তন করে না।
1.17 সূর্য একটি উত্তপ্ত প্লাজমা (আয়নিত পদার্থ) যার অভ্যন্তরীণ কেন্দ্রের তাপমাত্রা $10^{7} \mathrm{~K}$ অতিক্রম করে, এবং এর বহিঃপৃষ্ঠের তাপমাত্রা প্রায় $6000 \mathrm{~K}$। এই উচ্চ তাপমাত্রায়, কোনো পদার্থই কঠিন বা তরল অবস্থায় থাকে না। আপনি সূর্যের ভর ঘনত্ব কিসের ঘনত্বের সীমার মধ্যে আশা করেন, কঠিন ও তরলের ঘনত্বের সীমার মধ্যে নাকি গ্যাসের ঘনত্বের সীমার মধ্যে? নিম্নলিখিত তথ্য থেকে আপনার অনুমান সঠিক কিনা পরীক্ষা করুন: সূর্যের ভর $=2.0 \times 10^{30} \mathrm{~kg}$, সূর্যের ব্যাসার্ধ $=7.0 \times 10^{8} \mathrm{~m}$।
Show Answer
উত্তর
সূর্যের ভর, $M=2.0 \times 10^{30} kg$
সূর্যের ব্যাসার্ধ, $R=7.0 \times 10^{8} m$
সূর্যের আয়তন, $V=\frac{4}{3} \pi R^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(7.0 \times 10^{8})^{3}$
$=\frac{88}{21} \times 343 \times 10^{24}=1437.3 \times 10^{24} m^{3}$
সূর্যের ঘনত্ব $=\frac{\text{ Mass }}{\text{ Volume }}=\frac{2.0 \times 10^{30}}{1437.3 \times 10^{24}} \sim 1.4 \times 10^{3} kg / m^{5}$
সূর্যের ঘনত্ব কঠিন ও তরলের ঘনত্বের সীমার মধ্যে রয়েছে। এই উচ্চ ঘনত্বটি সূর্যের বহিঃস্তরের উপর অভ্যন্তরীণ স্তরগুলির তীব্র মহাকর্ষীয় আকর্ষণের জন্য দায়ী।
BETA
