অধ্যায় ৮ কঠিন পদার্থের যান্ত্রিক ধর্ম অনুশীলনী

উত্তর

ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য, $L_1=4.7 m$

ইস্পাতের তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, $A_1=3.0 \times 10^{-5} m^{2}$

তামার তারের দৈর্ঘ্য, $L_2=3.5 m$

তামার তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, $A_2=4.0 \times 10^{-5} m^{2}$

দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

উভয় ক্ষেত্রে প্রয়োগকৃত বল $=F$

ইস্পাতের তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

তামার তারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

ইস্পাতের ইয়ং-এর গুণাঙ্কের সাথে তামার ইয়ং-এর গুণাঙ্কের অনুপাত হল $1.79: 1$।

উত্তর

প্রদত্ত গ্রাফ থেকে স্পষ্ট যে পীড়ন $150 \times 10^{6} N / m^{2}$ এর জন্য, বিকৃতি হল 0.002।

$\therefore$ ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

সুতরাং, প্রদত্ত পদার্থের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক হল $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$।

একটি পদার্থের ফলন সীমা হল সর্বোচ্চ পীড়ন যা পদার্থটি স্থিতিস্থাপক সীমা অতিক্রম না করে সহ্য করতে পারে।

প্রদত্ত গ্রাফ থেকে স্পষ্ট যে এই পদার্থের আনুমানিক ফলন সীমা হল 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ বা $3 \times 10^{8} N / m^{2}$।

উত্তর

(ক) A

(খ) A

একটি প্রদত্ত বিকৃতির জন্য, পদার্থ $\mathbf{A}$ এর পীড়ন পদার্থ $\mathbf{B}$ এর চেয়ে বেশি, যেমন দুটি গ্রাফে দেখানো হয়েছে।

ইয়ং-এর গুণাঙ্ক $=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

একটি প্রদত্ত বিকৃতির জন্য, যদি একটি পদার্থের পীড়ন বেশি হয়, তবে সেই পদার্থের ইয়ং-এর গুণাঙ্কও বেশি। অতএব, পদার্থ A এর ইয়ং-এর গুণাঙ্ক পদার্থ $\mathbf{B}$ এর চেয়ে বেশি।

একটি পদার্থকে ভঙ্গুর করার জন্য প্রয়োজনীয় পীড়নের পরিমাণ, তার ভঙ্গুরতা বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, সেই পদার্থের শক্তি নির্দেশ করে। ভঙ্গুরতা বিন্দু হল একটি পীড়ন-বিকৃতি বক্ররেখার চরম বিন্দু। লক্ষ্য করা যায় যে পদার্থ $\mathbf{A}$ পদার্থ $\mathbf{B}$ এর চেয়ে বেশি বিকৃতি সহ্য করতে পারে। সুতরাং, পদার্থ $\mathbf{A}$ পদার্থ $\mathbf{B}$ এর চেয়ে শক্তিশালী।

উত্তর

(ক) মিথ্যা

(খ) সত্য

একটি প্রদত্ত পীড়নের জন্য, রাবারে বিকৃতি ইস্পাতের চেয়ে বেশি।

ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

ধ্রুব পীড়নের জন্য: $Y \propto \frac{1}{\text{ Strain }}$

সুতরাং, রাবারের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক ইস্পাতের চেয়ে কম।

কর্তন গুণাঙ্ক হল প্রয়োগকৃত পীড়ন এবং একটি বস্তুর আকৃতির পরিবর্তনের অনুপাত। একটি কুণ্ডলীর প্রসারণ তার আকৃতি পরিবর্তন করে। সুতরাং, এই প্রক্রিয়ায় স্থিতিস্থাপকতার কর্তন গুণাঙ্ক জড়িত।

উত্তর

ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি $=1.49 \times 10^{-4} m$

পিতলের তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি $=1.3 \times 10^{-4} m$

তারের ব্যাস, $d=0.25 m$

সুতরাং, তারের ব্যাসার্ধ, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য, $L_1=1.5 m$

পিতলের তারের দৈর্ঘ্য, $L_2=1.0 m$

ইস্পাতের তারের উপর প্রয়োগকৃত মোট বল:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

ইস্পাতের জন্য ইয়ং-এর গুণাঙ্ক:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

যেখানে,

$\Delta L_1=$ ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

$A_1=$ ইস্পাতের তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল $=\pi r_1^{2}$

ইস্পাতের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

পিতলের তারের উপর মোট বল:

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

পিতলের জন্য ইয়ং-এর গুণাঙ্ক:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

যেখানে,

$\Delta L_2=$ দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন $A_2=$ পিতলের তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি $=1.49 \times 10^{-4} m$

পিতলের তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি $=1.3 \times 10^{-4} m$

উত্তর

অ্যালুমিনিয়াম ঘনকের ধার, $L=10 cm=0.1 m$

ঘনকের সাথে সংযুক্ত ভর, $m=100 kg$

অ্যালুমিনিয়ামের কর্তন গুণাঙ্ক $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ কর্তন পীড়ন }}{\text{ কর্তন বিকৃতি }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

কর্তন গুণাঙ্ক, $\eta$

যেখানে,

$F=$ প্রয়োগকৃত বল $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ ঘনকের উল্লম্ব বিচ্যুতি

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

ঘনকের এই তলের উল্লম্ব বিচ্যুতি হল $3.92 \times 10^{-7} m$।

উত্তর

বড় কাঠামোর ভর, $M=50,000 kg$

স্তম্ভের অভ্যন্তরীণ ব্যাসার্ধ, $r=30 cm=0.3 m$

স্তম্ভের বহিঃস্থ ব্যাসার্ধ, $R=60 cm=0.6 m$

ইস্পাতের ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y=2 \times 10^{11} Pa$

মোট প্রয়োগকৃত বল, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

পীড়ন $=$ একটি স্তম্ভের উপর প্রয়োগকৃত বল $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y=\frac{\text{ Strcss }}{\text{ Strain }}$

বিকৃতি $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$

যেখানে,

ক্ষেত্রফল, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

বিকৃতি $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

সুতরাং, প্রতিটি স্তম্ভের সংকোচনমূলক বিকৃতি হল $7.22 \times 10^{-7}$।

উত্তর

তামার টুকরাটির দৈর্ঘ্য, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

তামার টুকরাটির প্রস্থ, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

তামার টুকরাটির ক্ষেত্রফল:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

তামার টুকরাটির উপর প্রয়োগকৃত টান বল, $F=44500 N$

তামার স্থিতিস্থাপকতার গুণাঙ্ক, $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

স্থিতিস্থাপকতার গুণাঙ্ক, $\eta=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}$

$\therefore$ বিকৃতি $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

উত্তর

ইস্পাতের কেবলের ব্যাসার্ধ, $r=1.5 cm=0.015 m$

সর্বোচ্চ অনুমোদিত পীড়ন $=10^{8} N m^{-2}$

সর্বোচ্চ পীড়ন $=\frac{\text{ Maximum force }}{\text{ Area of cross-section }}$

$\therefore$ সর্বোচ্চ বল $=$ সর্বোচ্চ পীড়ন $\times$ প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

সুতরাং, কেবলটি সর্বোচ্চ $7.065 \times 10^{4} N$ লোড সহ্য করতে পারে।

উত্তর

প্রতিটি তারের উপর ক্রিয়াশীল টান বল একই। সুতরাং, প্রতিটি ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি একই। যেহেতু তারগুলি একই দৈর্ঘ্যের, বিকৃতিও একই হবে।

ইয়ং-এর গুণাঙ্কের সম্পর্ক নিম্নরূপে দেওয়া হয়েছে:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ Strain }} \tag{i} \end{equation*} $$

যেখানে,

$F=$ টান বল

$A=$ প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল

$d=$ তারের ব্যাস

সমীকরণ $(i)$ থেকে অনুমান করা যায় যে $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$

লোহার ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

লোহার তারের ব্যাস $=d_1$

তামার ইয়ং-এর গুণাঙ্ক, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

তামার তারের ব্যাস $=d_2$

অতএব, তাদের ব্যাসের অনুপাত নিম্নরূপে দেওয়া হয়েছে:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

উত্তর

ভর, $m=14.5 kg$

ইস্পাতের তারের দৈর্ঘ্য, $l=1.0 m$

কৌণিক বেগ, $\omega=2 rev / s$

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল, $a=0.065 cm^{2}$

ধরা যাক $\delta l$ হল তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি যখন ভরটি তার পথের সর্বনিম্ন বিন্দুতে থাকে।

যখন ভরটি উল্লম্ব বৃত্তের অবস্থানে স্থাপন করা হয়, তখন ভরের উপর মোট বল হল:

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ ইয়ং-এর গুণাঙ্ক }=\frac{\text{ পীড়ন }}{\text{ বিকৃতি }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

ইস্পাতের জন্য ইয়ং-এর গুণাঙ্ক $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

সুতরাং, তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হল $1.539 \times 10^{-4} m$।

উত্তর

প্রাথমিক আয়তন, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

চূড়ান্ত আয়তন, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

আয়তন বৃদ্ধি, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

চাপ বৃদ্ধি, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

আয়তন গুণাঙ্ক $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

বায়ুর আয়তন গুণাঙ্ক $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ Bulk modulus of water }}{\text{ Bulk modulus of air }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

এই অনুপাতটি খুব বেশি কারণ বায়ু জলের চেয়ে বেশি সংকোচনযোগ্য।

উত্তর

ধরা যাক প্রদত্ত গভীরতা হল $h$।

প্রদত্ত গভীরতায় চাপ, $p=80.0 atm=80 \times 1.01 \times 10^{5} Pa$

পৃষ্ঠে জলের ঘনত্ব, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} kg m^{-3}$

ধরা যাক $\rho_2$ হল $h$ গভীরতায় জলের ঘনত্ব।

ধরা যাক $V_1$ হল পৃষ্ঠে $m$ ভরের জলের আয়তন।

ধরা যাক $V_2$ হল $m$ গভীরতায় $h$ ভরের জলের আয়তন।

ধরা যাক $\Delta V$ হল আয়তনের পরিবর্তন।

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \end{aligned} $

$\therefore$ আয়তনিক বিকৃতি $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

আয়তন গুণাঙ্ক, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

জলের সংকোচনযোগ্যতা $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} Pa^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

সমীকরণ ( $i$ ) এবং (ii) এর জন্য, আমরা পাই:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} kg m^{-3} \end{aligned} $

অতএব, প্রদত্ত গভীরতা $(h)$ এ জলের ঘনত্ব হল $1.034 \times 10^{3} kg m^{-3}$।

উত্তর

কাচের স্ল্যাবে প্রয়োগকৃত জলচাপ, $p=10 atm=10 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

কাচের আয়তন গুণাঙ্ক, $B=37 \times 10^{9} Nm^{-2}$

আয়তন গুণাঙ্ক, $B=\frac{p}{\Delta V}$

যেখানে,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ আয়তনের ভগ্নাংশ পরিবর্তন } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

সুতরাং, কাচের স্ল্যাবের আয়তনের ভগ্নাংশ পরিবর্তন হল $2.73 \times 10^{-5}$।

উত্তর

নিরেট তামার ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য, $l=10 cm=0.1 m$

জলচাপ, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

তামার আয়তন গুণাঙ্ক, $B=140 \times 10^{9} Pa$

আয়তন গুণাঙ্ক, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

যেখানে,

$\frac{\Delta V}{V}=$ আয়তনিক বিকৃতি

$\Delta V=$ আয়তনের পরিবর্তন

$V=$ মূল আয়তন।

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

ঘনকের মূল আয়তন, $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

অতএব, নিরেট তামার ঘনকের আয়তন সংকোচন হল $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$।

উত্তর

জলের আয়তন, $V=1 L$

দেওয়া আছে যে জলকে $0.10 \%$ দ্বারা সংকুচিত করতে হবে। $\therefore$ ভগ্নাংশ পরিবর্তন, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

আয়তন গুণাঙ্ক, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

জলের আয়তন গুণাঙ্ক, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

অতএব, জলের উপর চাপ হওয়া উচিত $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$।