আলোর প্রতিসরণ, রশ্মি অপটিক্স ও আলোক যন্ত্র

প্রশ্ন ১:

একটি একরঙা আলোক রশ্মি প্রতিসরাঙ্ক $\sqrt{3}$ বিশিষ্ট কাচের স্ল্যাবের পৃষ্ঠে $60^\circ$ কোণে আপতিত হয়। কাচের স্ল্যাবের ভেতরে প্রতিসরণ কোণের মান $r$। $r$ এর মান কত?

(1) $30^\circ$ (2) $45^\circ$ (3) $60^\circ$ (4) $\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

সমাধান:

স্নেলের সূত্র অনুসারে, আপতন কোণ ($i$), প্রতিসরণ কোণ ($r$) এবং দুটি মাধ্যমের প্রতিসরাঙ্কের ($n_1$ ও $n_2$) মধ্যে সম্পর্ক হল:

$$n_1 \sin i = n_2 \sin r$$

এখানে, আলোক রশ্মি বায়ু থেকে আপতিত, তাই $n_1 = 1$। কাচের স্ল্যাবের প্রতিসরাঙ্ক $n_2 = \sqrt{3}$ এবং আপতন কোণ $i = 60^\circ$। স্নেলের সূত্রে এই মানগুলি বসিয়ে:

$$1 \cdot \sin 60^\circ = \sqrt{3} \sin r$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$$$$\sin r = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$ $$r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$$

সুতরাং, সঠিক উত্তর হল (1) $30^\circ$।

---

প্রশ্ন ২:

একটি যৌগিক অণুবীক্ষণ যন্ত্রের অবজেক্টিভ লেন্সের ফোকাস দৈর্ঘ্য 2.0 cm এবং আইপিসের ফোকাস দৈর্ঘ্য 5.0 cm। অবজেক্টিভ লেন্স থেকে 2.5 cm দূরে একটি বস্তু রাখা হয়েছে। যদি চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব স্বতন্ত্র দৃষ্টির ন্যূনতম দূরত্বে (D = 25 cm) গঠিত হয়, তবে অণুবীক্ষণ যন্ত্রের বিবর্ধন ক্ষমতা কত?

(1) 12.5 (2) 25 (3) 100 (4) 250

সমাধান:

প্রথমে, লেন্সের সূত্র ব্যবহার করে অবজেক্টিভ লেন্স দ্বারা গঠিত প্রতিবিম্বের দূরত্ব ($v_o$) বের করি:

$$\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$$

প্রদত্ত $f_o = 2.0$ cm এবং $u_o = -2.5$ cm (চিহ্নের রীতি অনুযায়ী বস্তুর দূরত্ব ঋণাত্মক):

$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-2.5}$$$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} + \frac{1}{2.5}$$$$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2.0} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2.0}{2.0 \times 2.5} = \frac{0.5}{5.0} = \frac{1}{10}$$ $$v_o = 10 \text{ cm}$$

অবজেক্টিভ লেন্স দ্বারা উৎপন্ন বিবর্ধন ($m_o$) হল:

$$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$$

এখন, আইপিসের জন্য, চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব স্বতন্ত্র দৃষ্টির ন্যূনতম দূরত্বে ($D = 25$ cm) গঠিত হয়। অবজেক্টিভ দ্বারা গঠিত প্রতিবিম্ব আইপিসের জন্য বস্তুর কাজ করে। আইপিসের জন্য বস্তুর দূরত্ব $u_e$ এবং প্রতিবিম্বের দূরত্ব $v_e = -D = -25$ cm ধরি। আইপিসের ফোকাস দৈর্ঘ্য $f_e = 5.0$ cm। আইপিসের জন্য লেন্সের সূত্র প্রয়োগ করে:

$$\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{5.0} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5.0} = -\frac{1}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{6}{25}$$ $$u_e = -\frac{25}{6} \text{ cm}$$

চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব D-তে থাকলে আইপিস দ্বারা উৎপন্ন বিবর্ধন ($m_e$) হল:

$$m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5.0} = 1 + 5 = 6$$

যৌগিক অণুবীক্ষণের মোট বিবর্ধন ক্ষমতা ($M$) হল অবজেক্টিভ ও আইপিসের বিবর্ধনের গুণফল:

$$M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$$

যাইহোক, প্রদত্ত বিকল্পগুলি পরম মানের আকারে রয়েছে। আইপিসের বিবর্ধন সূত্রটি যখন প্রতিবিম্ব D-তে থাকে, সেটি পুনরায় পরীক্ষা করি। এটি প্রকৃতপক্ষে $1 + \frac{D}{f_e}$।

গণনাগুলি আবার পরীক্ষা করি।

অবজেক্টিভ লেন্স: $u_o = -2.5$ cm, $f_o = 2.0$ cm $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{f_o} + \frac{1}{u_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2}{5} = \frac{0.5}{5} = 0.1$ $v_o = 10$ cm $m_o = \frac{v_o}{|u_o|} = \frac{10}{2.5} = 4$ (পরম মান)

আইপিস: $f_e = 5$ cm, $D = 25$ cm চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব D-তে থাকলে আইপিসের বিবর্ধন: $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$

মোট বিবর্ধন ক্ষমতা $M = m_o \times m_e = 4 \times 6 = 24$।

প্রদত্ত বিকল্পগুলির সাথে সামান্য অসামঞ্জস্য দেখা যাচ্ছে। সমস্যার বিবৃতি এবং আমার গণনাগুলি আবার পর্যালোচনা করি।

আহ, আমি একটি সম্ভাব্য বিষয় দেখতে পাচ্ছি। অবজেক্টিভ দ্বারা গঠিত প্রতিবিম্ব এবং আইপিসের মধ্যকার দূরত্ব বিবেচনা করতে হবে যদি স্পষ্টভাবে বলা না থাকে যে স্বাভাবিক সমন্বয়ের জন্য অবজেক্টিভের প্রতিবিম্ব আইপিসের ফোকাস বিন্দুতে অবস্থিত। তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব স্বতন্ত্র দৃষ্টির ন্যূনতম দূরত্বে, যা একটি নির্দিষ্ট সেটআপ বোঝায়।

আইপিসের জন্য $u_e$ পুনরায় গণনা করি: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{1 + 5}{25} = -\frac{6}{25}$ $u_e = -\frac{25}{6}$ cm

আইপিসের বিবর্ধন $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$।

অবজেক্টিভের বিবর্ধন $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$।

মোট বিবর্ধন $M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$। পরম মান 24, যা বিকল্পগুলির মধ্যে নেই।

আসুন এমন ক্ষেত্রে বিবেচনা করি যেখানে অবজেক্টিভ দ্বারা গঠিত প্রতিবিম্ব আইপিসের ফোকাস বিন্দুর খুব কাছাকাছি, যার ফলে আইপিস দ্বারা বৃহৎ কৌণিক বিবর্ধন হয়, আনুমানিক $\frac{D}{f_e}$।

যদি আমরা $M \approx -\frac{v_o}{u_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$ সূত্রটি ব্যবহার করি, আমরা পাই $M \approx -\frac{10}{-2.5} \left(1 + \frac{25}{5}\right) = 4 \times 6 = 24$।

মনে হচ্ছে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে সমস্যা থাকতে পারে বা আমি যে সূক্ষ্ম দিকটি উপেক্ষা করছি তা থাকতে পারে। এই ধরনের সমস্যায় ব্যবহৃত বিকল্প পদ্ধতি বা সাধারণ আসন্নীকরণ সম্পর্কে চিন্তা করি।

চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব D-তে থাকলে যৌগিক অণুবীক্ষণের বিবর্ধন ক্ষমতার একটি সাধারণ আসন্নীকরণ হল $M \approx -\frac{L}{f_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$, যেখানে $L$ হল নল দৈর্ঘ্য (অবজেক্টিভের দ্বিতীয় ফোকাস বিন্দু এবং আইপিসের প্রথম ফোকাস বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব)। এখানে $L$ আমাদের জানা নেই।

আসন্নীকরণ ছাড়াই মৌলিক সংজ্ঞায় ফিরে যাই।

$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$

আইপিসের জন্য, বস্তুর দূরত্ব $u_e = -\frac{25}{6}$ cm, এবং $f_e = 5$ cm। আইপিসের কৌণিক বিবর্ধন $m_e = \frac{D}{|u_e|} = \frac{25}{25/6} = 6$।

মোট বিবর্ধন ক্ষমতা $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$। পরম মান 24।

বিকল্পগুলি দেওয়া আছে, বিবর্ধন ক্ষমতা কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (কখনও কখনও পরম মান বিবেচনা করা হয়) তাতে সামান্য পার্থক্য থাকতে পারে। যদি আমরা পরম মান বিবেচনা করি, সবচেয়ে কাছের মান সরাসরি উপস্থিত নেই।

কোনো বিবরণ বাদ পড়েনি তা নিশ্চিত করতে প্রশ্নটি সাবধানে আবার পড়ি। সেটআপটি প্রমিত বলে মনে হয়।

গণনায় ভুল থাকতে পারে? $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = 0.5 - 0.4 = 0.1 \implies v_o = 10$ cm। সঠিক। $m_o = -\frac{10}{2.5} = -4$। সঠিক। $\frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e} - \frac{1}{v_e} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5+1}{25} = \frac{6}{25} \implies u_e = -\frac{25}{6}$ cm। সঠিক। $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$। সঠিক। $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$।

যদি আমরা পরম মান বিবেচনা করি, এটি 24, যা একটি বিকল্প নয়। আসুন একটি সম্ভাব্য আসন্নীকরণ বিবেচনা করি যেখানে অবজেক্টিভের প্রতিবিম্ব খুব দূরে অবস্থিত বলে ধরে নেওয়া হয়, এবং আইপিস একটি সাধারণ বিবর্ধক হিসাবে কাজ করে।

যদি চূড়ান্ত প্রতিবিম্ব অসীমে থাকে (স্বাভাবিক সমন্বয়), $m_e = \frac{D}{f_e} = \frac{25}{5} = 5$। তাহলে $M = m_o \times m_e = -4 \times 5 = -20$ (পরম মান 20, বিকল্প নয়)।

ধরে নেওয়া যাক, একটি প্রকৃত পরীক্ষার পরিস্থিতিতে প্রদত্ত বিকল্পগুলিতে সামান্য ত্রুটি থাকতে পারে, বা একটি নির্দিষ্ট রীতি অনুসরণ করা হচ্ছে। যদি আমাদের গণনাকৃত 24 এর ভিত্তিতে সবচেয়ে কাছের বিকল্প বেছে নিতে হয়, তবে বিকল্প (2) 25 সবচেয়ে কাছাকাছি হবে। তবে, এটি অনুমানভিত্তিক।

বিকল্পগুলি থেকে পিছিয়ে গিয়ে দেখি কোনটি সামঞ্জস্যপূর্ণ পরিস্থিতির দিকে নিয়ে যায় কিনা। এটি সাধারণত পরামর্শযোগ্য নয়, তবে সম্ভাব্য ভুল বোঝাবুঝি চিহ্নিত করতে সাহায্য করতে পারে।

যদি $M = 25$, এবং $m_e = 1 + \frac{25}{5} = 6$, তবে $m_o = \frac{25}{6} = \frac{v_o}{2.5} \implies v_o = \frac{25 \times 2.5}{6} \approx 10.4$ cm। অবজেক্টিভের জন্য লেন্সের সূত্র ব্যবহার করে: $\frac{1}{2} = \frac{1}{10.4} - \frac{1}{-2.5} = \frac{1}{10.4} + \frac{1}{2.5} \approx 0.096 + 0.4 = 0.496$, যা $0.5$ এর কাছাকাছি। এটি ইঙ্গিত করে যে বিকল্প (2) উদ্দেশ্য করা হতে পারে, সম্ভবত মানগুলিতে সামান্য পূর্ণসংখ্যায়ন সহ।

বিশ্লেষণের ভিত্তিতে, এবং বিকল্পগুলির সাপেক্ষে একটি সম্ভাব্য অসামঞ্জস্য বা আসন্নীকরণের প্রয়োজনীয়তা স্বীকার করে, আমাদের বিস্তারিত গণনার ভিত্তিতে সবচেয়ে কাছের উত্তর হল (2) 25।

সুতরাং, সবচেয়ে কাছের উত্তর হল (2) 25।