অধ্যায় ০৫ বর্গ ও বর্গমূল

৫.১ ভূমিকা

তুমি জানো যে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ বাহু $\times$ বাহু (যেখানে ‘বাহু’ বলতে ‘একটি বাহুর দৈর্ঘ্য’ বোঝায়)। নিচের সারণিটি অধ্যয়ন করো।

৪, ৯, ২৫, ৬৪ এবং অন্যান্য এমন সংখ্যাগুলোর বিশেষত্ব কী?

যেহেতু, ৪ কে প্রকাশ করা যায় $2 \times 2=2^{2}, 9$, ৯ কে প্রকাশ করা যায় $3 \times 3=3^{2}$, তাই সকল এমন সংখ্যাকেই সংখ্যাটির নিজের সাথে গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

$1,4,9,16,25, \ldots$ এর মতো সংখ্যাগুলোকে বর্গসংখ্যা বলা হয়।

সাধারণভাবে, যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা $m$ কে $n^{2}$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $n$ ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, তবে $m$ একটি বর্গসংখ্যা। ৩২ কি একটি বর্গসংখ্যা?

আমরা জানি যে $5^{2}=25$ এবং $6^{2}=36$। যদি ৩২ একটি বর্গসংখ্যা হয়, তবে এটি অবশ্যই ৫ এবং ৬ এর মধ্যবর্তী একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ হবে। কিন্তু ৫ এবং ৬ এর মধ্যে কোন স্বাভাবিক সংখ্যা নেই।

সুতরাং ৩২ একটি বর্গসংখ্যা নয়।

নিচের সংখ্যাগুলো এবং তাদের বর্গ বিবেচনা করো।

উপরের সারণি থেকে, আমরা কি ১ এবং ১০০ এর মধ্যবর্তী বর্গসংখ্যাগুলোর তালিকা করতে পারি? ১০০ পর্যন্ত কোন স্বাভাবিক বর্গসংখ্যা বাদ পড়েছে কি?

তুমি দেখবে যে বাকি সংখ্যাগুলো বর্গসংখ্যা নয়।

$1,4,9,16 \ldots$ সংখ্যাগুলো বর্গসংখ্যা। এই সংখ্যাগুলোকে নিখুঁত বর্গও বলা হয়।

চেষ্টা করো

১. নিচের মধ্যবর্তী নিখুঁত বর্গসংখ্যাগুলো খুঁজে বের করো

(i) ৩০ এবং ৪০ এর মধ্যে (ii) ৫০ এবং ৬০ এর মধ্যে

৫.২ বর্গসংখ্যার ধর্ম

নিচের সারণিটি ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর বর্গ দেখাচ্ছে।

উপরের সারণির বর্গসংখ্যাগুলো অধ্যয়ন করো। বর্গসংখ্যাগুলোর শেষের অঙ্কগুলি (অর্থাৎ এককের স্থানের অঙ্ক) কী কী? এই সকল সংখ্যা এককের স্থানে $0,1,4,5,6$ বা ৯ দিয়ে শেষ হয়। এগুলোর কোনটিই এককের স্থানে ২, ৩, ৭ বা ৮ দিয়ে শেষ হয় না।

আমরা কি বলতে পারি যে যদি একটি সংখ্যা $0,1,4,5,6$ বা ৯ দিয়ে শেষ হয়, তবে সেটি অবশ্যই একটি বর্গসংখ্যা? এটা নিয়ে চিন্তা করো।

চেষ্টা করো

১. আমরা কি বলতে পারি নিচের সংখ্যাগুলো নিখুঁত বর্গ কিনা? আমরা কীভাবে জানব?

(i) ১০৫৭ $\quad$ (ii) ২৩৪৫৩ $\quad$ (iii) ৭৯২৮

(iv) ২২২২২২ $\quad$ (v) ১০৬৯ $\quad$ (vi) ২০৬১

পাঁচটি সংখ্যা লেখো যাদের এককের অঙ্ক দেখেই তুমি সিদ্ধান্ত নিতে পারো যে তারা বর্গসংখ্যা নয়।

২. পাঁচটি সংখ্যা লেখো যাদের এককের অঙ্ক (বা এককের স্থান) দেখেই তুমি সিদ্ধান্ত নিতে পারবে না যে তারা বর্গসংখ্যা কিনা।

• কিছু সংখ্যা এবং তাদের বর্গের নিচের সারণিটি অধ্যয়ন করো এবং উভয়ের এককের স্থান লক্ষ্য করো।

সারণি ১

নিচের বর্গসংখ্যাগুলো ১ অঙ্ক দিয়ে শেষ হয়।

চেষ্টা করো

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ এর মধ্যে কোনটি ১ অঙ্ক দিয়ে শেষ হবে?

পরবর্তী দুটি বর্গসংখ্যা লেখো যারা ১ দিয়ে শেষ হয় এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলো।

তুমি দেখবে যে যদি একটি সংখ্যার এককের স্থানে ১ বা ৯ থাকে, তবে তার বর্গ ১ দিয়ে শেষ হয়।

• ৬ দিয়ে শেষ হওয়া বর্গসংখ্যাগুলো বিবেচনা করি।

চেষ্টা করো

নিচের সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোনগুলোর এককের স্থানে ৬ অঙ্ক থাকবে? (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

আমরা দেখতে পাই যে যখন একটি বর্গসংখ্যা ৬ দিয়ে শেষ হয়, যে সংখ্যার বর্গ এটি, তার এককের স্থানে হয় ৪ নয়তো ৬ থাকবে।

তুমি কি সংখ্যা এবং তাদের বর্গ (সারণি ১) লক্ষ্য করে আরও এমন নিয়ম খুঁজে পেতে পারো?

চেষ্টা করো

নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গের “এককের অঙ্ক” কী হবে?

(i) ১২৩৪ (ii) ২৬৩৮৭ (iii) ৫২৬৯৮ (iv) ৯৯৮৮০ (v) ২১২২২ (vi) ৯১০৬

• নিচের সংখ্যাগুলো এবং তাদের বর্গ বিবেচনা করো।

যদি একটি সংখ্যার শেষে ৩টি শূন্য থাকে, তবে তার বর্গে কয়টি শূন্য থাকবে?

তুমি সংখ্যার শেষে শূন্যের সংখ্যা এবং তার বর্গের শেষে শূন্যের সংখ্যা সম্পর্কে কী লক্ষ্য করো?

আমরা কি বলতে পারি যে বর্গসংখ্যাগুলোর শেষে শুধুমাত্র জোড় সংখ্যক শূন্য থাকতে পারে?

• সংখ্যা এবং তাদের বর্গের সারণি ১ দেখো।

জোড় সংখ্যার বর্গ এবং বিজোড় সংখ্যার বর্গ সম্পর্কে তুমি কী বলতে পারো?

চেষ্টা করো

১. নিচের কোন সংখ্যার বর্গ একটি বিজোড় সংখ্যা/জোড় সংখ্যা হবে? কেন?

(i) ৭২৭ $\quad$ (ii) ১৫৮ $\quad$ (iii) ২৬৯ $\quad$ (iv) ১৯৮০

২. নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গে কয়টি শূন্য থাকবে? (i) ৬০ (ii) ৪০০

৫.৩ আরও কিছু আকর্ষণীয় ধাঁচ

১. ত্রিভুজাকার সংখ্যা যোগ করা।

তুমি কি ত্রিভুজাকার সংখ্যা (যেসব সংখ্যার বিন্দু বিন্যাস ত্রিভুজ আকারে সাজানো যায়) মনে রাখো?

যদি আমরা দুটি পরপর ত্রিভুজাকার সংখ্যা যুক্ত করি, আমরা একটি বর্গসংখ্যা পাই, যেমন

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

২. বর্গসংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা

আসুন এখন দেখি আমরা কি দুটি পরপর বর্গসংখ্যার মধ্যে কিছু আকর্ষণীয় ধাঁচ খুঁজে পেতে পারি।

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ দুটি বর্গসংখ্যা } 1(=1^2) \text{ এবং } 4(=2^2) \text{ এর মধ্যে দুটি অ-বর্গসংখ্যা। } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{দুটি বর্গসংখ্যা } 4(=2^2) \text{ এবং } 9(3^2) \text{ এর মধ্যে ৪টি অ-বর্গসংখ্যা } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ দুটি বর্গসংখ্যার মধ্যে ৬টি অ-বর্গসংখ্যা } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{দুটি বর্গসংখ্যা } 16(=4^2) \text{ এবং } 25(=5^2) \text{ এর মধ্যে ৮টি অ-বর্গসংখ্যা } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ এবং $2^{2}(=4)$ এর মধ্যে দুটি (অর্থাৎ $2 \times 1$) অ-বর্গসংখ্যা ২,৩ আছে।

$2^{2}(=4)$ এবং $3^{2}(=9)$ এর মধ্যে চারটি (অর্থাৎ $2 \times 2$) অ-বর্গসংখ্যা $5,6,7,8$ আছে।

এখন, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

সুতরাং, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ এবং $16(=4^{2})$ এর মধ্যে সংখ্যাগুলো হল $10,11,12,13,14,15$ অর্থাৎ, ছয়টি অ-বর্গসংখ্যা যা দুটি বর্গের পার্থক্যের চেয়ে ১ কম।

আমাদের আছে $\quad 4^{2}=16$ এবং $5^{2}=25$

সুতরাং, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

১৬ $(=4^{2})$ এবং $25(=5^{2})$ এর মধ্যে সংখ্যাগুলো হল $17,18, \ldots, 24$ অর্থাৎ, আটটি অ-বর্গসংখ্যা যা দুটি বর্গের পার্থক্যের চেয়ে ১ কম।

$7^{2}$ এবং $6^{2}$ বিবেচনা করো। তুমি কি বলতে পারো $6^{2}$ এবং $7^{2}$ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা আছে? যদি আমরা কোন স্বাভাবিক সংখ্যা $n$ এবং $(n+1)$ চিন্তা করি, তবে,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

আমরা দেখি যে $n^{2}$ এবং $(n+1)^{2}$ এর মধ্যে $2 n$টি সংখ্যা আছে যা দুটি বর্গের পার্থক্যের চেয়ে ১ কম।

সুতরাং, সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি যে $2 n$টি নিখুঁত নয় এমন বর্গসংখ্যা আছে $n$ এবং $(n+1)$ সংখ্যাগুলোর বর্গের মধ্যে। $n=5, n=6$ ইত্যাদির জন্য পরীক্ষা করে যাচাই করো।

চেষ্টা করো

১. $9^{2}$ এবং $10^{2}$ এর মধ্যে কয়টি স্বাভাবিক সংখ্যা আছে? $11^{2}$ এবং $12^{2}$ এর মধ্যে?

২. নিচের সংখ্যা জোড়াগুলোর মধ্যে কয়টি অ-বর্গসংখ্যা আছে?

(i) $100^{2}$ এবং $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ এবং $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ এবং $1001^{2}$

৩. বিজোড় সংখ্যা যোগ করা

নিচেরটি বিবেচনা করো

$ \begin{matrix} 1 \text{ [একটি বিজোড় সংখ্যা] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [প্রথম দুটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [প্রথম তিনটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

সুতরাং আমরা বলতে পারি যে প্রথম $n$টি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল হল $n^{2}$।

এটাকে অন্য ভাবে দেখলে, আমরা বলতে পারি: ‘যদি সংখ্যাটি একটি বর্গসংখ্যা হয়, তবে এটি অবশ্যই ১ থেকে শুরু করে পরপর বিজোড় সংখ্যার যোগফল হবে।

যেসব সংখ্যা নিখুঁত বর্গ নয়, যেমন ২, ৩, ৫, ৬, … সেগুলো বিবেচনা করো। তুমি কি এই সংখ্যাগুলোকে ১ থেকে শুরু করে পরপর বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করতে পারো? তুমি দেখবে যে এই সংখ্যাগুলো এইভাবে প্রকাশ করা যায় না। ২৫ সংখ্যাটি বিবেচনা করো। এট থেকে পরপর $1,3,5,7,9, \ldots$ বিয়োগ করো

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

এর মানে, $25=1+3+5+7+9$। আবার, ২৫ একটি নিখুঁত বর্গ।

এখন আরেকটি সংখ্যা ৩৮ বিবেচনা করো, এবং আবার উপরের মতো করো।

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

এটি দেখায় যে আমরা ৩৮ কে ১ থেকে শুরু করে পরপর বিজোড় সংখ্যার

চেষ্টা করো

নিচের প্রতিটি সংখ্যা একটি নিখুঁত বর্গ কিনা খুঁজে বের করো?

(i) ১২১

(ii) ৫৫

(iii) ৮১

(iv) ৪৯

(v) ৬৯ যোগফল হিসেবে প্রকাশ করতে পারছি না। আবার, ৩৮ একটি নিখুঁত বর্গ নয়।

সুতরাং আমরা এও বলতে পারি যে যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যাকে ১ থেকে শুরু করে পরপর বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা না যায়, তবে এটি একটি নিখুঁত বর্গ নয়।

একটি সংখ্যা নিখুঁত বর্গ কিনা তা খুঁজে বের করতে আমরা এই ফলাফল ব্যবহার করতে পারি।

৪. পরপর স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

চেষ্টা করো

১. নিচেরগুলোকে দুটি পরপর পূর্ণসংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করো।

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

২. তুমি কি মনে করো বিপরীতটিও সত্য, অর্থাৎ, যেকোনো দুটি পরপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি সংখ্যার নিখুঁত বর্গ? তোমার উত্তরের সমর্থনে উদাহরণ দাও।

৫. দুটি পরপর জোড় বা বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

আবার $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

সুতরাং, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

একইভাবে, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

সুতরাং সাধারণভাবে আমরা বলতে পারি যে $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$।

৬. বর্গসংখ্যায় আরও কিছু ধাঁচ

সংখ্যাগুলোর বর্গ লক্ষ্য করো; $1,11,111 \ldots$ ইত্যাদি। তারা একটি সুন্দর ধাঁচ দেয়:

আরেকটি আকর্ষণীয় ধাঁচ।

চেষ্টা করো

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

মজাটা হল এটা কেন ঘটে তা খুঁজে বের করতে পারা। এমন প্রশ্ন নিয়ে চিন্তা করা এবং অন্বেষণ করা তোমার জন্য আকর্ষণীয় হতে পারে, এমনকি যদি উত্তর কয়েক বছর পরে আসে।

উপরের ধাঁচ ব্যবহার করে বর্গটি লেখো।

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

চেষ্টা করো

তুমি কি উপরের ধাঁচ ব্যবহার করে নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গ খুঁজে পেতে পারো?

(i) $6666667^{2}$ $\quad$ (ii) $66666667^{2}$

অনুশীলনী ৫.১

১. নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গের এককের অঙ্ক কী হবে?

(i) ৮১ $\quad$ (ii) ২৭২ $\quad$ (iii) ৭৯৯ $\quad$ (iv) ৩৮৫৩

(v) ১২৩৪ $\quad$ (vi) ২৬৩৮৭ $\quad$ (vii) ৫২৬৯৮ $\quad$ (viii) ৯৯৮৮০

(ix) ১২৭৯৬ $\quad$ (x) ৫৫৫৫৫

২. নিচের সংখ্যাগুলো স্পষ্টতই নিখুঁত বর্গ নয়। কারণ দাও।

(i) ১০৫৭ $\quad$ (ii) ২৩৪৫৩ $\quad$ (iii) ৭৯২৮ $\quad$ (iv) ২২২২২২

(v) ৬৪০০০ $\quad$ (vi) ৮৯৭২২ $\quad$ (vii) ২২২০০০ $\quad$ (viii) ৫০৫০৫০

৩. নিচের কোন সংখ্যার বর্গ বিজোড় সংখ্যা হবে?

(i) ৪৩১ $\quad$ (ii) ২৮২৬ $\quad$ (iii) ৭৭৭৯ $\quad$ (iv) ৮২০০৪

৪. নিচের ধাঁচটি লক্ষ্য করো এবং অনুপস্থিত অঙ্কগুলি খুঁজে বের করো।

$$ \begin{align*} 11^{2} & =121 \\ 101^{2} & =10201 \\ 1001^{2} & =1002001 \\ 100001^{2} & =1 \ldots \ldots . .2 . \tag{1}\\ 10000001^{2} & =\ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . \end{align*} $$

৫. নিচের ধাঁচটি লক্ষ্য করো এবং অনুপস্থিত সংখ্যাগুলো সরবরাহ করো।

$ \begin{aligned} & 11^{2}=121 \\ & 101^{2}=10201 \\ & 10101^{2}=102030201 \\ & 1010101^{2}= \\ & .^{2}=10203040504030201 \end{aligned} $

৬. প্রদত্ত ধাঁচ ব্যবহার করে, অনুপস্থিত সংখ্যাগুলো খুঁজে বের করো।

$1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}$

$2^{2}+3^{2}+6^{2}=7^{2}$

$3^{2}+4^{2}+12^{2}=13^{2}$

$4^{2}+5^{2}+{ }^{2}=21^{2}$

$5^{2}+{ }^{2}+30^{2}=31^{2}$

$6^{2}+7^{2}++ _{-}^{2}=-^{2}$

ধাঁচ খুঁজে বের করতে

তৃতীয় সংখ্যাটি প্রথম এবং দ্বিতীয় সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত। কীভাবে?

চতুর্থ সংখ্যাটি তৃতীয় সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত। কীভাবে?

৭. যোগ না করে, যোগফল খুঁজে বের করো।

(i) $1+3+5+7+9$

(ii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19$

(iii) $1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$

৮. (i) ৪৯ কে ৭টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করো।

(ii) ১২১ কে ১১টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করো।

৯. নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গের মধ্যে কয়টি সংখ্যা আছে?

(i) ১২ এবং ১৩ $\quad$ (ii) ২৫ এবং ২৬ $\quad$ (iii) ৯৯ এবং ১০০

৫.৪ একটি সংখ্যার বর্গ নির্ণয়

$3,4,5,6,7, \ldots$ ইত্যাদি ছোট সংখ্যার বর্গ সহজেই নির্ণয় করা যায়। কিন্তু আমরা কি ২৩ এর বর্গ এত দ্রুত খুঁজে পেতে পারি?

উত্তরটি তত সহজ নয় এবং আমাদের ২৩ কে ২৩ দ্বারা গুণ করতে হতে পারে।

$23 \times 23$ গুণ না করেই এটি খুঁজে বের করার একটি উপায় আছে।

আমরা জানি

$ \begin{aligned} 23 & =20+3 \\ 23^{2} & =(20+3)^{2}=20(20+3)+3( \\ & =20^{2}+20 \times 3+3 \times 20+3^{2} \\ & =400+60+60+9=529 \end{aligned} $

$ \text{ সুতরাং } \quad 23^{2}=(20+3)^{2}=20(20+3)+3(20+3) $

উদাহরণ ১ : প্রকৃত গুণ না করে নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গ নির্ণয় করো। (i) ৩৯ (ii) ৪২

সমাধান: (i) $39^{2}=(30+9)^{2}=30(30+9)+9(30+9)$

$ \begin{aligned} & =30^{2}+30 \times 9+9 \times 30+9^{2} \\ & =900+270+270+81=1521 \end{aligned} $

(ii) $42^{2}=(40+2)^{2}=40(40+2)+2(40+2)$

$=40^{2}+40 \times 2+2 \times 40+2^{2}$

$=1600+80+80+4=1764$

৫.৪.১ বর্গের অন্যান্য ধাঁচ

নিচের ধাঁচটি বিবেচনা করো:

$25^{2}=625=(2 \times 3)$ শতক +২৫

$35^{2}=1225=(3 \times 4)$ শতক +২৫

$75^{2}=5625=(7 \times 8)$ শতক +২৫

$125^{2}=15625=(12 \times 13)$ শতক +২৫

এখন তুমি কি ৯৫ এর বর্গ খুঁজে পেতে পারো?

চেষ্টা করো

একটি সংখ্যা বিবেচনা করো যার এককের অঙ্ক ৫, অর্থাৎ $a 5$

$ \begin{aligned} (a 5)^{2} & =(10 a+5)^{2} \\ & =10 a(10 a+5)+5(10 a+5) \\ & =100 a^{2}+50 a+50 a+25 \\ & =100 a(a+1)+25 \\ & =a(a+1) \text{ শতক }+25 \end{aligned} $

এককের স্থানে ৫ আছে এমন নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গ খুঁজে বের করো।

(i) ১৫ $\quad$ (ii) ৯৫ $\quad$ (iii) ১০৫ $\quad$ (iv) ২০৫

৫.৪.২ পিথাগোরীয় ত্রয়ী

নিচেরটি বিবেচনা করো

$ 3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2} $

৩, ৪ এবং ৫ সংখ্যার সংগ্রহটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী নামে পরিচিত। ৬, ৮, ১০ ও একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যেহেতু

$ 6^{2}+8^{2}=36+64=100=10^{2} $

আবার, লক্ষ্য করো যে

$5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}$। ৫, ১২, ১৩ সংখ্যাগুলো আরেকটি এমন ত্রয়ী গঠন করে।

তুমি কি আরও এমন ত্রয়ী খুঁজে পেতে পারো?

যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা $m>1$ এর জন্য, আমাদের আছে $(2 m)^{2}+(m^{2}-1)^{2}=(m^{2}+1)^{2}$। সুতরাং, $2 m$, $m^{2}-1$ এবং $m^{2}+1$ একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে।

এই রূপ ব্যবহার করে আরও কিছু পিথাগোরীয় ত্রয়ী খুঁজে বের করার চেষ্টা করো।

উদাহরণ ২ : একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী লেখো যার ক্ষুদ্রতম সদস্য ৮।

সমাধান: আমরা সাধারণ রূপ $2 m, m^{2}-1, m^{2}+1$ ব্যবহার করে পিথাগোরীয় ত্রয়ী পেতে পারি।

প্রথমে ধরি

$ \begin{aligned} m^{2}-1 & =8 \\ \text{সুতরাং, } & m^{2} & =8+1=9 \\ m & =3 \\ 2 m & =6 \text{ এবং } m^{2}+1=10 \end{aligned} $

সুতরাং,

অতএব,

ত্রয়ীটি হল এইভাবে $6,8,10$। কিন্তু ৮ এই ত্রয়ীর ক্ষুদ্রতম সদস্য নয়।

সুতরাং, আসুন চেষ্টা করি

তখন $2 m=8$

আমরা পাই $m=4$

এবং $ \begin{aligned} & m^{2}-1=16-1=15 \\ & m^{2}+1=16+1=17 \end{aligned} $

ত্রয়ীটি হল $8,15,17$ যেখানে ৮ ক্ষুদ্রতম সদস্য।

উদাহরণ ৩ : একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী খুঁজে বের করো যার একটি সদস্য ১২।

সমাধান: যদি আমরা ধরি $\quad m^{2}-1=12$

তখন, $ m^{2}=12+1=13 $

তখন $m$ এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না।

সুতরাং, আমরা $m^{2}+1=12$ ধরে চেষ্টা করি। আবার $m^{2}=11$ $m$ এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা মান দেবে না।

সুতরাং, ধরি $ 2 m=12 $

তখন $ m=6 $

এইভাবে, $\quad m^{2}-1=36-1=35$ এবং $m^{2}+1=36+1=37$

সুতরাং, প্রয়োজনীয় ত্রয়ী হল $12,35,37$।

দ্রষ্টব্য: সকল পিথাগোরীয় ত্রয়ী এই রূপ ব্যবহার করে পাওয়া নাও যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আরেকটি ত্রয়ী ৫, ১২, ১৩ এরও একটি সদস্য হিসেবে ১২ আছে।

অনুশীলনী ৫.২

১. নিচের সংখ্যাগুলোর বর্গ নির্ণয় করো।

(i) ৩২ $\quad$ (ii) ৩৫ $\quad$ (iii) ৮৬ $\quad$ (iv) ৯৩ $\quad$

(v) ৭১ $\quad$ (vi) ৪৬

২. একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী লেখো যার একটি সদস্য।

(i) ৬ $\quad$ (ii) ১৪ $\quad$ (iii) ১৬ $\quad$ (iv) ১৮

৫.৫ বর্গমূল

নিচের পরিস্থিতিগুলো অধ্যয়ন করো।

(ক) একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $144 cm^{2}$। বর্গক্ষেত্রটির বাহু কত হতে পারে?

আমরা জানি যে একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=$ বাহু $^{2}$

যদি আমরা বাহুর দৈর্ঘ্যকে ‘$a$’ ধরি, তবে $144=a^{2}$

বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার বর্গ ১৪৪।

(খ) $8 cm$ বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত (চিত্র ৫.১)?

আমরা কি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি সমাধান করতে পারি?

আমাদের আছে,

অর্থাৎ,

$ AB^{2}+BC^{2}=AC^{2} $

$ \text{ বা } \quad 128=AC^{2} $

আবার $AC$ পেতে আমাদের এমন একটি সংখ্যা সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে যার বর্গ ১২৮।

চিত্র ৫.১

(গ) একটি সমকোণী ত্রিভুজে কর্ণ এবং একটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $5 cm$ এবং $3 cm$ (চিত্র ৫.২)।

তুমি কি তৃতীয় বাহুটি খুঁজে পেতে পারো?

ধরি $x cm$ তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে

$ \begin{aligned} 5^{2} & =x^{2}+3^{2} \\ 25-9 & =x^{2} \\ 16 & =x^{2} \end{aligned} $

আবার, $x$ খুঁজে পেতে আমাদের এমন একটি সংখ্যা প্রয়োজন যার বর্গ ১৬।

চিত্র ৫.২

উপরের সকল ক্ষেত্রে, আমাদের এমন একটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যার বর্গ জানা আছে। জানা বর্গবিশিষ্ট সংখ্যাটি খুঁজে বের করাকে বর্গমূল নির্ণয় বলা হয়।

৫.৫.১ বর্গমূল নির্ণয়

যোগের বিপরীত (বিপরীত) ক্রিয়াটি হল বিয়োগ এবং গুণের বিপরীত ক্রিয়াটি হল ভাগ। একইভাবে, বর্গমূল নির্ণয় হল বর্গ করার বিপরীত ক্রিয়া।

আমাদের আছে,

$ \begin{aligned} & 1^{2}=1, \text{ সুতরাং ১ এর বর্গমূল হল ১} \\ & 2^{2}=4, \text{ সুতরাং ৪ এর বর্গমূল হল ২} \\ & 3^{2}=9, \text{ সুতরাং ৯ এর বর্গমূল হল ৩} \end{aligned} $

চেষ্টা করো

যেহেতু $\quad 9^{2}=81$ এবং $\quad(-9)^{2}=81$ আমরা বলি যে ৮১ এর বর্গমূল হল ৯ এবং -৯।

(i) $11^{2}=121$। ১২১ এর বর্গমূল কী?

(ii) $14^{2}=196$। ১৯৬ এর বর্গমূল কী?

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লেখো

$(-1)^{2}=1$। -১ কি ১ এর একটি বর্গমূল?

$(-2)^{2}=4$। -২ কি ৪ এর একটি বর্গমূল?

$(-9)^{2}=81$। -৯ কি ৮১ এর একটি বর্গমূল?

উপরের থেকে, তুমি বলতে পারো যে একটি নিখুঁত বর্গসংখ্যার দুটি পূর্ণসংখ্যা বর্গমূল আছে। এই অধ্যায়ে, আমরা শুধুমাত্র একটি স্বাভাবিক সংখ্যার ধনাত্মক বর্গমূল বিবেচনা করব।