অধ্যায় ১৩ পরিসংখ্যান
১৩.১ ভূমিকা
নবম শ্রেণীতে, তোমরা প্রদত্ত উপাত্তকে অবিন্যস্ত এবং বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজনে শ্রেণীবিভাগ করা শিখেছ। তোমরা বারো লেখচিত্র, হিস্টোগ্রাম (যার মধ্যে বিভিন্ন প্রস্থেরও আছে) এবং পরিসংখ্যান বহুভুজের মতো বিভিন্ন লেখচিত্রের আকারে উপাত্তকে চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করতেও শিখেছ। প্রকৃতপক্ষে, তোমরা অবিন্যস্ত উপাত্তের কিছু সংখ্যাগত প্রতিনিধি, যাদের কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপও বলা হয়, যেমন গড়, মধ্যক এবং প্রচুরক অধ্যয়ন করে আরও এক ধাপ এগিয়েছিলে। এই অধ্যায়ে, আমরা এই তিনটি পরিমাপ, অর্থাৎ গড়, মধ্যক এবং প্রচুরকের অধ্যয়ন অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে বিন্যস্ত উপাত্তে সম্প্রসারিত করব। আমরা ক্রমযোজিত পরিসংখ্যান, ক্রমযোজিত পরিসংখ্যান বিভাজন এবং কিভাবে ক্রমযোজিত পরিসংখ্যান রেখা, যাকে ওজাইভ বলে, আঁকতে হয় সেই ধারণাও আলোচনা করব।
১৩.২ বিন্যস্ত উপাত্তের গড়
পর্যবেক্ষণের গড় (বা গাণিতিক গড়), যেমন আমরা জানি, হলো সমস্ত পর্যবেক্ষণের মানের সমষ্টি মোট পর্যবেক্ষণের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা। নবম শ্রেণী থেকে মনে কর, যদি $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\mathrm{n}}$ পর্যবেক্ষণ হয় যাদের নিজস্ব পরিসংখ্যান $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{\mathrm{n}}$, তাহলে এর অর্থ পর্যবেক্ষণ $x_{1}$ ঘটে $f_{1}$ বার, $x_{2}$ ঘটে $f_{2}$ বার, এবং এভাবেই চলতে থাকে।
এখন, সমস্ত পর্যবেক্ষণের মানের সমষ্টি $=f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\ldots+f_{n} x_{n}$, এবং পর্যবেক্ষণের সংখ্যা $=f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{n}$।
সুতরাং, উপাত্তের গড় $\bar{x}$ নিম্নলিখিতভাবে দেওয়া হয়েছে
$$ \bar{x}=\dfrac{f_{1} x_{1}+f_{2} x_{2}+\cdots+f_{n} x_{n}}{f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}} $$
মনে কর আমরা গ্রীক অক্ষর $\Sigma$ (ক্যাপিটাল সিগমা) ব্যবহার করে সংক্ষেপে এটি লিখতে পারি, যার অর্থ সমষ্টি। অর্থাৎ,
$$ \bar{x}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} f_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} f_{i}} $$
যা, আরও সংক্ষেপে, $\bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}$ হিসাবে লেখা হয়, যদি বোঝা যায় যে $i$ 1 থেকে $n$ পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়।
নিম্নলিখিত উদাহরণে গড় বের করতে এই সূত্রটি প্রয়োগ করা যাক।
উদাহরণ 1 : একটি নির্দিষ্ট বিদ্যালয়ের $\mathrm{X}$ শ্রেণীর 30 জন শিক্ষার্থীর 100 নম্বরের একটি গণিতের পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর নীচের সারণিতে উপস্থাপন করা হয়েছে। শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় কর।
| প্রাপ্ত নম্বর $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | 10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থীর সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f} _{\boldsymbol{i}}\right)$ | 1 | 1 | 3 | 4 | 3 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
সমাধান: মনে কর, গড় নম্বর বের করতে, আমাদের প্রতিটি $x_{i}$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যান $f_{i}$ এর গুণফল প্রয়োজন। সুতরাং, আসুন সেগুলিকে সারণি 13.1-এ দেখানো হিসাবে একটি কলামে রাখি।
সারণি 13.1
| প্রাপ্ত নম্বর $\left(\boldsymbol{x_i}\right)$ | শিক্ষার্থীর সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f_i}\right)$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|
| 10 | 1 | 10 |
| 20 | 1 | 20 |
| 36 | 3 | 108 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 3 | 150 |
| 56 | 2 | 112 |
| 60 | 4 | 240 |
| 70 | 4 | 280 |
| 72 | 1 | 72 |
| 80 | 1 | 80 |
| 88 | 2 | 176 |
| 92 | 3 | 276 |
| 95 | 1 | 95 |
| মোট | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} x_{i}=1779$ |
এখন, $$ \bar{x}=\dfrac{\sum f_{i} x_{i}}{\sum f_{i}}=\dfrac{1779}{30}=59.3 $$
অতএব, প্রাপ্ত গড় নম্বর হল 59.3।
আমাদের বাস্তব জীবনের বেশিরভাগ পরিস্থিতিতে, উপাত্ত সাধারণত এত বড় হয় যে অর্থপূর্ণ অধ্যয়নের জন্য এটিকে বিন্যস্ত উপাত্ত হিসাবে সংক্ষিপ্ত করা প্রয়োজন। সুতরাং, আমাদের প্রদত্ত অবিন্যস্ত উপাত্তকে বিন্যস্ত উপাত্তে রূপান্তর করতে হবে এবং এর গড় বের করার জন্য কিছু পদ্ধতি উদ্ভাবন করতে হবে।
আসুন উদাহরণ 1-এর অবিন্যস্ত উপাত্তকে, ধরি 15 প্রস্থের শ্রেণী ব্যবধান তৈরি করে, বিন্যস্ত উপাত্তে রূপান্তর করি। মনে রাখবে, প্রতিটি শ্রেণী ব্যবধানে পরিসংখ্যান বরাদ্দ করার সময়, যেকোনো ঊর্ধ্ব শ্রেণী সীমায় পড়া শিক্ষার্থীদের পরবর্তী শ্রেণীতে বিবেচনা করা হবে, যেমন, যারা 40 নম্বর পেয়েছে এমন 4 জন শিক্ষার্থীকে 40-55 শ্রেণী ব্যবধানে বিবেচনা করা হবে, 25-40-এ নয়। আমাদের মনে এই রীতিটি রেখে, আসুন একটি বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজন সারণি তৈরি করি (সারণি 13.2 দেখ)।
সারণি 13.2
| শ্রেণী ব্যবধান | $10-25$ | $25-40$ | $40-55$ | $55-70$ | $70-85$ | $85-100$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থীর সংখ্যা | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
এখন, প্রতিটি শ্রেণী ব্যবধানের জন্য, আমাদের এমন একটি বিন্দুর প্রয়োজন যা পুরো শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করবে। ধরে নেওয়া হয় যে প্রতিটি শ্রেণী ব্যবধানের পরিসংখ্যান তার মধ্যবিন্দুকে কেন্দ্র করে অবস্থিত। সুতরাং প্রতিটি শ্রেণীর মধ্যবিন্দু (বা শ্রেণী চিহ্ন) ঐ শ্রেণীতে পড়া পর্যবেক্ষণগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করার জন্য বেছে নেওয়া যেতে পারে। মনে কর, একটি শ্রেণীর মধ্যবিন্দু (বা তার শ্রেণী চিহ্ন) আমরা তার ঊর্ধ্ব এবং নিম্ন সীমার গড় বের করে পাই। অর্থাৎ,
$$ \text { Class } \text { mark }=\dfrac{\text { Upper class limit }+ \text { Lower class limit }}{2} $$
সারণি 13.2-এর সাথে সম্পর্কিত, $10-25$ শ্রেণীর জন্য, শ্রেণী চিহ্ন হল $\dfrac{10+25}{2}$, অর্থাৎ 17.5। একইভাবে, আমরা অবশিষ্ট শ্রেণী ব্যবধানের শ্রেণী চিহ্নগুলি খুঁজে পেতে পারি। আমরা সেগুলি সারণি 13.3-এ রাখি। এই শ্রেণী চিহ্নগুলি আমাদের $x_{i}$ হিসাবে কাজ করে। এখন, সাধারণভাবে, $i$ তম শ্রেণী ব্যবধানের জন্য, আমাদের শ্রেণী চিহ্ন $x_{i}$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট পরিসংখ্যান $f_{i}$ আছে। আমরা এখন উদাহরণ 1-এর মতো একইভাবে গড় গণনা করতে এগিয়ে যেতে পারি।
সারণি 13.3
| শ্রেণী ব্যবধান | শিক্ষার্থীর সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | শ্রেণী চিহ্ন $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{x_i}$ |
|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | 35.0 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | 97.5 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 332.5 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 375.0 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 465.0 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 555.0 |
| মোট | $\sum f_{i}=30$ | $\sum f_{i} x_{i}=1860.0$ |
শেষ কলামের মানগুলির সমষ্টি আমাদের $\Sigma f_{i} x_{i}$ দেয়। সুতরাং, প্রদত্ত উপাত্তের গড় $\bar{x}$ নিম্নলিখিতভাবে দেওয়া হয়েছে
$$ \bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1860.0}{30}=62 $$
গড় বের করার এই নতুন পদ্ধতিকে প্রত্যক্ষ পদ্ধতি বলা হয়।
আমরা লক্ষ্য করি যে সারণি 13.1 এবং 13.3 একই উপাত্ত ব্যবহার করছে এবং গড় গণনার জন্য একই সূত্র প্রয়োগ করছে কিন্তু প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ভিন্ন। তুমি কি ভাবতে পার কেন এমন হয়, এবং কোনটি আরও সঠিক? দুটি মানের পার্থক্য সারণি 13.3-এ মধ্যবিন্দু অনুমানের কারণে, 59.3 হল সঠিক গড়, যখন 62 একটি আনুমানিক গড়।
কখনও কখনও যখন $x_{i}$ এবং $f_{i}$ এর সংখ্যাগত মান বড় হয়, তখন $x_{i}$ এবং $f_{i}$ এর গুণফল বের করা ক্লান্তিকর এবং সময়সাপেক্ষ হয়ে ওঠে। সুতরাং, এমন পরিস্থিতির জন্য, আসুন এই গণনাগুলি হ্রাস করার একটি পদ্ধতি চিন্তা করি।
আমরা $f_{i}$ গুলির সাথে কিছুই করতে পারি না, কিন্তু আমরা প্রতিটি $x_{i}$ কে একটি ছোট সংখ্যায় পরিবর্তন করতে পারি যাতে আমাদের গণনা সহজ হয়। আমরা এটি কিভাবে করব? এই $x_{i}^{\prime}$ গুলির প্রতিটি থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা বিয়োগ করলে কেমন হয়? আসুন এই পদ্ধতিটি চেষ্টা করি।
প্রথম ধাপ হল $x_{i}^{\prime}$ গুলির মধ্যে একটি অনুমিত গড় হিসাবে বেছে নেওয়া, এবং এটিকে ‘$a$’ দ্বারা চিহ্নিত করা। এছাড়াও, আমাদের গণনার কাজ আরও কমাতে, আমরা ‘$a$’ কে সেই $x_{i}$ হিসাবে নিতে পারি যা $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ এর কেন্দ্রে অবস্থিত। সুতরাং, আমরা $a=47.5$ বা $a=62.5$ বেছে নিতে পারি। আসুন $a=47.5$ বেছে নিই।
পরবর্তী ধাপ হল $a$ এবং প্রতিটি $x_{i}$ এর মধ্যে পার্থক্য $d_{i}$ বের করা, অর্থাৎ, প্রতিটি $x_{i}$ থেকে ‘$a$’ এর ব্যবধান।
অর্থাৎ, $$ d_{i}=x_{i}-a=x_{i}-47.5 $$
তৃতীয় ধাপ হল $d_{i}$ কে সংশ্লিষ্ট $f_{i}$ এর সাথে গুণ করা, এবং সমস্ত $f_{i} d_{i}$ এর সমষ্টি নেওয়া। গণনাগুলি সারণি 13.4-এ দেখানো হয়েছে।
সারণি 13.4
| শ্রেণী ব্যবধান | শিক্ষার্থীর সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | শ্রেণী চিহ্ন $\left(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{4 7 . 5}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{d_i}$ |
|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -60 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -45 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 90 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 180 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 270 |
| মোট | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} d_{i}=435$ |
সুতরাং, সারণি 13.4 থেকে, ব্যবধানগুলির গড়, $\bar{d}=\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}$।
এখন, আসুন $\bar{d}$ এবং $\bar{x}$ এর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করি।
যেহেতু $d_{i}$ পাওয়ার সময়, আমরা প্রতিটি $x_{i}$ থেকে ‘$a$’ বিয়োগ করেছি, তাই, গড় $\bar{x}$ পেতে, আমাদের $\bar{d}$ এ ‘$a$’ যোগ করতে হবে। এটি গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:
$$ \begin{aligned} \text { Mean of deviations, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{d} & =\dfrac{\Sigma f_{i}\left(x_{i}-a\right)}{\Sigma f_{i}} \\ & =\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-\dfrac{\Sigma f_{i} a}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}} \\ & =\bar{x}-a \\ \text { So, } \quad\quad\quad\quad \bar{x} & =a+\bar{d} \\ \text { i.e., } \quad\quad\quad\quad\bar{x} & =a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}} \end{aligned} $$
$a, \Sigma f_{i} d_{i}$ এবং $\Sigma f_{i}$ এর মানগুলি সারণি 13.4 থেকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই
$$ \bar{x}=47.5+\dfrac{435}{30}=47.5+14.5=62 . $$
অতএব, শিক্ষার্থীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় হল 62।
উপরে আলোচিত পদ্ধতিকে অনুমিত গড় পদ্ধতি বলা হয়।
ক্রিয়াকলাপ 1: সারণি 13.3 থেকে প্রতিটি $x_{i}$ (অর্থাৎ 17.5, 32.5, ইত্যাদি) কে ‘$a$’ ধরে গড় নির্ণয় কর। তুমি কী লক্ষ্য কর? তুমি দেখবে প্রতিটি ক্ষেত্রে নির্ণীত গড় একই, অর্থাৎ 62। (কেন?)
সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে প্রাপ্ত গড়ের মান ‘$a$’ এর পছন্দের উপর নির্ভর করে না।
লক্ষ্য কর যে সারণি 13.4-এ, কলাম 4-এর মানগুলি সবই 15 এর গুণিতক। সুতরাং, যদি আমরা পুরো কলাম 4-এর মানগুলিকে 15 দ্বারা ভাগ করি, তাহলে আমরা $f_{i^{\prime}}$ এর সাথে গুণ করার জন্য ছোট সংখ্যা পাব। (এখানে, 15 হল প্রতিটি শ্রেণী ব্যবধানের শ্রেণী আকার।)
সুতরাং, ধরা যাক $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$, যেখানে $a$ হল অনুমিত গড় এবং $h$ হল শ্রেণী আকার।
এখন, আমরা $u_{i}$ এইভাবে গণনা করি এবং আগের মতোই চালিয়ে যাই (অর্থাৎ $f_{i} u_{i}$ এবং তারপর $\Sigma f_{i} u_{i}$ বের করি)। $h=15$ ধরে, আসুন সারণি 13.5 তৈরি করি।
সারণি 13.5
| শ্রেণী ব্যবধান | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}$ | $\boldsymbol{u_i}=\dfrac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{h}}$ | $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $10-25$ | 2 | 17.5 | -30 | -2 | -4 |
| $25-40$ | 3 | 32.5 | -15 | -1 | -3 |
| $40-55$ | 7 | 47.5 | 0 | 0 | 0 |
| $55-70$ | 6 | 62.5 | 15 | 1 | 6 |
| $70-85$ | 6 | 77.5 | 30 | 2 | 12 |
| $85-100$ | 6 | 92.5 | 45 | 3 | 18 |
| মোট | $\Sigma f_{i}=30$ | $\Sigma f_{i} u_{i}=29$ |
ধরা যাক $$ \bar{u}=\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}} $$
এখানে, আবার আসুন $\bar{u}$ এবং $\bar{x}$ এর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করি।
আমাদের আছে, $$ u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h} $$
অতএব, $$ \begin{aligned} \bar{u} & =\dfrac{\Sigma f_{i} \dfrac{\left(x_{i}-a\right)}{h}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}-a \Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}\left[\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}-a \dfrac{\Sigma f_{i}}{\Sigma f_{i}}\right] \\ & =\dfrac{1}{h}[\bar{x}-a] \end{aligned} $$
সুতরাং, $$ \begin{aligned} h \bar{u} & =\bar{x}-a \\ \end{aligned} $$
অর্থাৎ, $$\bar{x} =a+h \bar{u}$$
সুতরাং, $$ \bar{x}=a+h\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) $$
এখন, $a, h, \Sigma f_{i} u_{i}$ এবং $\Sigma f_{i}$ এর মানগুলি সারণি 14.5 থেকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই
$$ \begin{aligned} \bar{x} & =47.5+15 \times\left(\dfrac{29}{30}\right) \\ & =47.5+14.5=62 \end{aligned} $$
সুতরাং, একজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত গড় নম্বর হল 62।
উপরে আলোচিত পদ্ধতিকে ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি বলা হয়।
আমরা লক্ষ্য করি:
- ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করা সুবিধাজনক হবে যদি সমস্ত $d_{i}$ এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক থাকে।
- তিনটি পদ্ধতিতে প্রাপ্ত গড় একই।
- অনুমিত গড় পদ্ধতি এবং ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি হল প্রত্যক্ষ পদ্ধতির সরলীকৃত রূপ।
- সূত্র $\bar{x}=a+h \bar{u}$ এখনও বৈধ থাকে যদি $a$ এবং $h$ উপরে দেওয়া হিসাবে না হয়, কিন্তু যেকোনো অশূন্য সংখ্যা হয় যেমন $u_{i}=\dfrac{x_{i}-a}{h}$।
আসুন এই পদ্ধতিগুলি অন্য একটি উদাহরণে প্রয়োগ করি।
উদাহরণ 2: নীচের সারণিটি ভারতের বিভিন্ন রাজ্য এবং কেন্দ্রশাসিত অঞ্চলগুলির (U.T.) গ্রামীণ এলাকার প্রাথমিক বিদ্যালয়গুলিতে মহিলা শিক্ষকের শতাংশ বণ্টন দেয়। এই বিভাগে আলোচিত তিনটি পদ্ধতির সবকটির দ্বারা মহিলা শিক্ষকের গড় শতাংশ নির্ণয় কর।
| মহিলা শিক্ষকের শতাংশ | $15-25$ | $25-35$ | $35-45$ | $45-55$ | $55-65$ | $65-75$ | $75-85$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| রাজ্য/কেন্দ্রশাসিত অঞ্চলের সংখ্যা | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
উৎস: NCERT দ্বারা পরিচালিত সপ্তম সর্বভারতীয় বিদ্যালয় শিক্ষা সমীক্ষা
সমাধান: আসুন প্রতিটি শ্রেণীর শ্রেণী চিহ্ন, $x_{i}$, বের করি এবং সেগুলিকে একটি কলামে রাখি (সারণি 13.6 দেখ):
সারণি 13.6
| মহিলা শিক্ষকের শতাংশ | রাজ্য $/$ কেন্দ্রশাসিত অঞ্চলের $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ সংখ্যা | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ |
|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 |
| $25-35$ | 11 | 30 |
| $35-45$ | 7 | 40 |
| $45-55$ | 4 | 50 |
| $55-65$ | 4 | 60 |
| $65-75$ | 2 | 70 |
| $75-85$ | 1 | 80 |
এখানে আমরা $a=50, h=10$ ধরি, তাহলে $d_{i}=x_{i}-50$ এবং $u_{i}=\dfrac{x_{i}-50}{10}$।
আমরা এখন $d_{i}$ এবং $u_{i}$ বের করি এবং সেগুলিকে সারণি 13.7-এ রাখি।
সারণি 13.7
| মহিলা শিক্ষকের শতাংশ | রাজ্য/কেন্দ্রশাসিত অঞ্চলের সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d_i}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}-\mathbf{5 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{x_i}-\mathbf{5 0}}{\mathbf{1 0}}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{x_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{d_i}$ | $\boldsymbol{f_i} \boldsymbol{u_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $15-25$ | 6 | 20 | -30 | -3 | 120 | -180 | -18 |
| $25-35$ | 11 | 30 | -20 | -2 | 330 | -220 | -22 |
| $35-45$ | 7 | 40 | -10 | -1 | 280 | -70 | -7 |
| $45-55$ | 4 | 50 | 0 | 0 | 200 | 0 | 0 |
| $55-65$ | 4 | 60 | 10 | 1 | 240 | 40 | 4 |
| $65-75$ | 2 | 70 | 20 | 2 | 140 | 40 | 4 |
| $75-85$ | 1 | 80 | 30 | 3 | 80 | 30 | 3 |
| মোট | $\mathbf{3 5}$ | $\mathbf{1 3 9 0}$ | $\mathbf{- 3 6 0}$ | $\mathbf{- 3 6}$ |
উপরের সারণি থেকে, আমরা পাই $\Sigma f_{i}=35, \quad \Sigma f_{i} x_{i}=1390$,
$$ \Sigma f_{i} d_{i}=-360, \quad \Sigma f_{i} u_{i}=-36 $$
প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ব্যবহার করে, $\bar{x}=\dfrac{\Sigma f_{i} x_{i}}{\Sigma f_{i}}=\dfrac{1390}{35}=39.71$
অনুমিত গড় পদ্ধতি ব্যবহার করে,
$$ \bar{x}=a+\dfrac{\Sigma f_{i} d_{i}}{\Sigma f_{i}}=50+\dfrac{(-360)}{35}=39.71 $$
ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে,
$$ \bar{x}=a+\left(\dfrac{\Sigma f_{i} u_{i}}{\Sigma f_{i}}\right) \times h=50+\left(\dfrac{-36}{35}\right) \times 10=39.71 $$
অতএব, গ্রামীণ এলাকার প্রাথমিক বিদ্যালয়গুলিতে মহিলা শিক্ষকের গড় শতাংশ হল 39.71।
মন্তব্য: তিনটি পদ্ধতিতে প্রাপ্ত ফলাফল একই। সুতরাং কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা হবে তা $x_{i}$ এবং $f_{i}$ এর সংখ্যাগত মানের উপর নির্ভর করে। যদি $x_{i}$ এবং $f_{i}$ যথেষ্ট ছোট হয়, তবে প্রত্যক্ষ পদ্ধতি একটি উপযুক্ত পছন্দ। যদি $x_{i}$ এবং $f_{i}$ সংখ্যাগতভাবে বড় সংখ্যা হয়, তবে আমরা অনুমিত গড় পদ্ধতি বা ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি বেছে নিতে পারি। যদি শ্রেণীর আকারগুলি অসমান হয়, এবং $x_{i}$ সংখ্যাগতভাবে বড় হয়, আমরা এখনও $h$ কে সমস্ত $d_{i}$ এর একটি উপযুক্ত ভাজক ধরে ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করতে পারি।
উদাহরণ 3: নীচের বণ্টনটি একদিনের ক্রিকেট ম্যাচে বোলারদের দ্বারা নেওয়া উইকেটের সংখ্যা দেখায়। একটি উপযুক্ত পদ্ধতি বেছে নিয়ে গড় উইকেট সংখ্যা নির্ণয় কর। গড়টি কী নির্দেশ করে?
| উইকেটের সংখ্যা | $20-60$ | $60-100$ | $100-150$ | $150-250$ | $250-350$ | $350-450$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| বোলারের সংখ্যা | 7 | 5 | 16 | 12 | 2 | 3 |
সমাধান: এখানে, শ্রেণী আকার পরিবর্তিত হয়, এবং $x_{i}$ গুলি বড়। আসুন এখনও $a=200$ এবং $h=20$ সহ ধাপ-ব্যবধান পদ্ধতি প্রয়োগ করি। তাহলে, আমরা সারণি 13.8-এ দেখানো হিসাবে উপাত্ত পাই।
সারণি 13.8
| নেওয়া উইকেটের সংখ্যা | বোলারের সংখ্যা $\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{i}}\right)$ | $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}$ | $\boldsymbol{d}_{\boldsymbol{i}}=\boldsymbol{x_i}-\mathbf{2 0 0}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}}=\dfrac{\boldsymbol{d_i}}{\mathbf{2 0}}$ | $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{i}} \boldsymbol{f_i}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $20-60$ | 7 | 40 | -160 | -8 | -56 |
| $60-100$ | 5 | 80 | -120 | -6 | -30 |
| $100-150$ | 16 | 125 | -75 | -3.75 | -60 |
| $150-250$ | 12 | 200 | 0 | 0 | 0 |
| $250-350$ | 2 | 300 | 100 | 5 | 10 |
| $350-450$ | 3 | 400 | 200 | 10 | 30 |
| মোট | $\mathbf{4 5}$ | $\mathbf{- 1 0 6}$ |
সুতরাং, $\bar{u}=\dfrac{-106}{45}$। অতএব, $\bar{x}=200+20\left(\dfrac{-106}{45}\right)=200-47.11=152.89$।
এটি আমাদের বলে যে, গড়ে, এই 45 জন বোলারের দ্বারা একদিনের ক্রিকেটে নেওয়া উইকেটের সংখ্যা হল 152.89।
এখন, দেখা যাক তুমি এই বিভাগে আলোচিত ধারণাগুলি কতটা ভালোভাবে প্রয়োগ করতে পার!
ক্রিয়াকলাপ 2:
তোমার শ্রেণীর শিক্ষার্থীদের তিনটি দলে ভাগ কর এবং প্রতিটি দলকে নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলির একটি করতে বল।
1. তোমার বিদ্যালয় দ্বারা পরিচালিত সর্বশেষ পরীক্ষায় তোমার শ্রেণীর সমস্ত শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বর সংগ্রহ কর। প্রাপ্ত উপাত্তের একটি বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজন তৈরি কর।
2. তোমার শহরে 30 দিনের জন্য রেকর্ড করা দৈনিক সর্বোচ্চ তাপমাত্রা সংগ্রহ কর। এই উপাত্তটিকে একটি বিন্যস্ত পরিসংখ্যান সারণি হিসাবে উপস্থাপন কর।
3. তোমার শ্রেণীর সমস্ত শিক্ষার্থীর উচ্চতা (সেমিতে) পরিমাপ কর এবং এই উপাত্তের একটি বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজন সারণি তৈরি কর।
সমস্ত দল উপাত্ত সংগ্রহ করে এবং বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজন সারণি তৈরি করার পরে, দলগুলি প্রতিটি ক্ষেত্রে সেই পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করবে যা তারা উপযুক্ত মনে করে।
১৩.৩ বিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক
নবম শ্রেণী থেকে মনে কর, প্রচুরক হল সেই মান যা পর্যবেক্ষণগুলির মধ্যে সবচেয়ে বেশি বার ঘটে, অর্থাৎ সর্বাধিক পরিসংখ্যান বিশিষ্ট পর্যবেক্ষণের মান। আরও, আমরা অবিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক বের করা নিয়ে আলোচনা করেছি। এখানে, আমরা বিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক পাওয়ার উপায় নিয়ে আলোচনা করব। এটি সম্ভব যে একাধিক মানের একই সর্বাধিক পরিসংখ্যান থাকতে পারে। এমন পরিস্থিতিতে, উপাত্তকে বহুপ্রচুরক বলা হয়। যদিও বিন্যস্ত উপাত্তও বহুপ্রচুরক হতে পারে, আমরা শুধুমাত্র একটি প্রচুরক বিশিষ্ট সমস্যাগুলির মধ্যে নিজেদের সীমাবদ্ধ রাখব।
আসুন প্রথমে মনে করি আমরা কিভাবে নিম্নলিখিত উদাহরণের মাধ্যমে অবিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক খুঁজে পেয়েছিলাম।
উদাহরণ 4: একজন বোলারের 10টি ক্রিকেট ম্যাচে নেওয়া উইকেটগুলি নিম্নরূপ:
$$ \begin{array}{llllllllll} 2 & 6 & 4 & 5 & 0 & 2 & 1 & 3 & 2 & 3 \end{array} $$
উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর।
সমাধান: আসুন প্রদত্ত উপাত্তের পরিসংখ্যান বিভাজন সারণি নিম্নরূপ তৈরি করি:
| উইকেটের সংখ্যা | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ম্যাচের সংখ্যা | 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
স্পষ্টত, 2 হল বোলারের দ্বারা সর্বাধিক সংখ্যক (অর্থাৎ 3) ম্যাচে নেওয়া উইকেটের সংখ্যা। সুতরাং, এই উপাত্তের প্রচুরক হল 2।
একটি বিন্যস্ত পরিসংখ্যান বিভাজনে, পরিসংখ্যানগুলি দেখে প্রচুরক নির্ণয় করা সম্ভব নয়। এখানে, আমরা শুধুমাত্র সর্বাধিক পরিসংখ্যান বিশিষ্ট একটি শ্রেণী চিহ্নিত করতে পারি, যাকে প্রচুরক শ্রেণী বলা হয়। প্রচুরক হল প্রচুরক শ্রেণীর ভিতরে একটি মান, এবং এটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়:
$$ \text { Mode }=l+\left(\dfrac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h $$
যেখানে $l=$ প্রচুরক শ্রেণীর নিম্ন সীমা,
$h=$ শ্রেণী ব্যবধানের আকার (ধরে নেওয়া হয় সমস্ত শ্রেণী আকার সমান),
$f_{1}=$ প্রচুরক শ্রেণীর পরিসংখ্যান,
$f_{0}=$ প্রচুরক শ্রেণীর পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান,
$f_{2}=$ প্রচুরক শ্রেণীর পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান।
আসুন এই সূত্রের ব্যবহার ব্যাখ্যা করতে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করি।
উদাহরণ 5: একটি দল শিক্ষার্থীদের দ্বারা একটি এলাকায় 20টি পরিবারের উপর পরিচালিত একটি সমীক্ষায় একটি পরিবারে সদস্যদের সংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত পরিসংখ্যান সারণি পাওয়া গেছে:
| পরিবারের আকার | $1-3$ | $3-5$ | $5-7$ | $7-9$ | $9-11$ |
|---|---|---|---|---|---|
| পরিবারের সংখ্যা | 7 | 8 | 2 | 2 | 1 |
এই উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর।
সমাধান: এখানে সর্বাধিক শ্রেণী পরিসংখ্যান হল 8, এবং এই পরিসংখ্যানের সাথে সংশ্লিষ্ট শ্রেণী হল $3-5$। সুতরাং, প্রচুরক শ্রেণী হল $3-5$।
এখন
প্রচুরক শ্রেণী $=3-5$, প্রচুরক শ্রেণীর নিম্ন সীমা $(l)$ $=3$, শ্রেণী আকার $(h)=2$
প্রচুরক শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{1}\right)$ $=8$,
প্রচুরক শ্রেণীর পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{0}\right)$ $=7$,
প্রচুরক শ্রেণীর পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{2}\right)$ $=2$।
এখন, আসুন এই মানগুলি সূত্রে প্রতিস্থাপন করি:
$$ \begin{aligned} \text { Mode } & =l+\left(\dfrac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h \\ \\ & =3+\left(\dfrac{8-7}{2 \times 8-7-2}\right) \times 2=3+\dfrac{2}{7}=3.286 \end{aligned} $$
অতএব, উপরের উপাত্তের প্রচুরক হল 3.286।
উদাহরণ 6: উদাহরণ 1-এর সারণি 13.3-এ 30 জন শিক্ষার্থীর গণিত পরীক্ষায় নম্বর বণ্টন দেওয়া হয়েছে। এই উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় কর। এছাড়াও প্রচুরক এবং গড়ের তুলনা ও ব্যাখ্যা কর।
সমাধান: উদাহরণ 1-এর সারণি 13.3 দেখ। যেহেতু সর্বাধিক সংখ্যক শিক্ষার্থী (অর্থাৎ 7) 40 - 55 ব্যবধানে নম্বর পেয়েছে, তাই প্রচুরক শ্রেণী হল $40-55$। অতএব,
প্রচুরক শ্রেণীর নিম্ন সীমা $(l)$ $=40$,
শ্রেণী আকার $(h)=15$,
প্রচুরক শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{1}\right)$ $=7$,
প্রচুরক শ্রেণীর পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{0}\right)$ $=3$,
প্রচুরক শ্রেণীর পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যান $\left(f_{2}\right)$ $=6$।
এখন, সূত্র ব্যবহার করে:
$$ \begin{aligned} & \text { Mode }=l+\left(\dfrac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right) \times h, \end{aligned} $$
আমরা পাই $$ \begin{aligned} & \text { Mode }=40+\left(\dfrac{7-3}{14-6-3}\right) \times 15=52 \end{aligned} $$
সুতরাং, প্রচুরক নম্বর হল 52।
এখন, উদাহরণ 1 থেকে, তুমি জান যে গড় নম্বর হল 62।
সুতরাং, সর্বাধিক সংখ্যক শিক্ষার্থী 52 নম্বর পেয়েছে, যখন গড়ে একজন শিক্ষার্থী 62 নম্বর পেয়েছে।
মন্তব্য:
1. উদাহরণ 6-এ, প্রচুরক গড় থেকে কম। কিন্তু অন্য কিছু সমস্যার জন্য এটি গড়ের সমান বা বেশি হতে পারে।
2. এটি পরিস্থিতির চাহিদার উপর নির্ভর করে যে আমরা শিক্ষার্থীদের দ্বারা প্রাপ্ত গড় নম্বর নিয়ে আগ্রহী নাকি বেশিরভাগ শিক্ষার্থীর দ্বারা প্রাপ্ত নম্বরের গড় নিয়ে আগ্রহী। প্রথম পরিস্থিতিতে, গড় প্রয়োজন এবং দ্বিতীয় পরিস্থিতিতে, প্রচুরক প্রয়োজন।
ক্রিয়াকলাপ 3: ক্রিয়াকলাপ 2-এ গঠিত একই দলগুলি এবং দলগুলিকে বরাদ্দকৃত পরিস্থিতিগুলি নিয়ে চলমান। প্রতিটি দলকে উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় করতে বল। তাদের এটিকে গড়ের সাথে তুলনা করতেও হবে, এবং উভয়ের অর্থ ব্যাখ্যা করতে হবে।
মন্তব্য: অসমান শ্রেণী আকার সহ বিন্যস্ত উপাত্তের জন্যও প্রচুরক গণনা করা যেতে পারে। তবে, আমরা এটি নিয়ে আলোচনা করব না।
১৩.৪ বিন্যস্ত উপাত্তের মধ্যক
যেমনটি তুমি নবম শ্রেণীতে অধ্যয়ন করেছ, মধ্যক হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার একটি পরিমাপ যা উপাত্তের মধ্যমতম পর্যবেক্ষণের মান দেয়। মনে কর, অবিন্যস্ত উপাত্তের মধ্যক বের করার জন্য, আমরা
BETA
