• પ્રાચીન અને આધુનિક અભ્યાસો વચ્ચેના આ સંઘર્ષના દિવસોમાં; એવા અભ્યાસ માટે ચોક્કસ કંઈક કહેવાનું હોવું જોઈએ જે પાયથાગોરસ સાથે શરૂ થયું નથી અને આઈન્સ્ટાઈન સાથે સમાપ્ત થશે નહીં; પરંતુ તે સૌથી જૂનો અને સૌથી નવો છે. - જી.એચ. હાર્ડી

1.1 પ્રસ્તાવના

સમૂહની વિભાવના વર્તમાન ગણિતનો મૂળભૂત ભાગ છે. આજે આ વિભાવનાનો ઉપયોગ ગણિતની લગભગ દરેક શાખામાં થાય છે. સંબંધો અને ફંક્શન્સની વિભાવનાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સમૂહોનો ઉપયોગ થાય છે. ભૂમિતિ, ક્રમ, સંભાવના, વગેરેના અભ્યાસ માટે સમૂહોનું જ્ઞાન જરૂરી છે.

જ્યોર્જ કેન્ટર (1845-1918 ઈ.સ.)

સમૂહ સિદ્ધાંતનો વિકાસ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ કેન્ટર (1845-1918) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. “ત્રિકોણમિતીય શ્રેણી પરની સમસ્યાઓ” પર કામ કરતી વખતે તેમનો પ્રથમ વાર સમૂહો સાથે સંપર્ક થયો હતો. આ પ્રકરણમાં, આપણે સમૂહો સાથે સંકળાયેલી કેટલીક મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ક્રિયાઓની ચર્ચા કરીશું.

1.2 સમૂહો અને તેમના નિરૂપણો

રોજિંદા જીવનમાં, આપણે ઘણીવાર ચોક્કસ પ્રકારની વસ્તુઓના સંગ્રહ વિશે વાત કરીએ છીએ, જેમ કે, તાસના પત્તાંનો ડેલ, લોકોની ભીડ, ક્રિકેટ ટીમ, વગેરે. ગણિતમાં પણ, આપણે સંગ્રહો સાથે સામનો કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, વગેરે. વધુ ખાસ રીતે, આપણે નીચેના સંગ્રહોની પરીક્ષણ કરીએ છીએ:

(i) 10 કરતા ઓછી વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, એટલે કે, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ભારતની નદીઓ

(iii) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાંના સ્વરો, એટલે કે, $a, e, i, o, u$

(iv) વિવિધ પ્રકારના ત્રિકોણો

(v) 210 ના અવિભાજ્ય અવયવો, એટલે કે, 2,3,5 અને 7

(vi) સમીકરણના ઉકેલ: $x^{2}-5 x+6=0$, એટલે કે, 2 અને 3.

આપણે નોંધીએ છીએ કે ઉપરોક્ત દરેક ઉદાહરણ એ વસ્તુઓનો સુવ્યાખ્યાયિત સંગ્રહ છે આ અર્થમાં કે આપણે ચોક્કસપણે નક્કી કરી શકીએ કે આપેલ ચોક્કસ વસ્તુ આપેલ સંગ્રહની છે કે નહીં. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કહી શકીએ કે નાઈલ નદી ભારતની નદીઓના સંગ્રહની નથી. બીજી બાજુ, ગંગા નદી આ સંગ્રહની છે.

આપણે ખાસ કરીને ગણિતમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સમૂહોના થોડા વધુ ઉદાહરણો નીચે આપીએ છીએ, એટલે કે.

$\mathbf{N}$ : તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ

$\mathbf{Z}$ : તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ

$\mathbf{Q}$ : તમામ પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ

$\mathbf{R}$ : વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ

$\mathbf{Z^{+}} $: ધન પૂર્ણાંકોનો સમૂહ

$\mathbf{Q^{+}} $: ધન પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ, અને

$\mathbf{R^{+}} $: ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ.

ઉપર આપેલા વિશેષ સમૂહો માટેના પ્રતીકો આ ગ્રંથમાં સમગ્ર ઉલ્લેખ કરવામાં આવશે.

ફરીથી, વિશ્વના પાંચ સૌથી પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીઓનો સંગ્રહ સુવ્યાખ્યાયિત નથી, કારણ કે સૌથી પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે નક્કી કરવાનો માપદંડ વ્યક્તિથી વ્યક્તિમાં બદલાઈ શકે છે. આમ, તે સુવ્યાખ્યાયિત સંગ્રહ નથી.

આપણે કહીશું કે સમૂહ એ વસ્તુઓનો સુવ્યાખ્યાયિત સંગ્રહ છે.

નીચેના મુદ્દાઓ નોંધવા જોઈએ:

(i) સમૂહની વસ્તુઓ, તત્વો અને સભ્યો સમાનાર્થી શબ્દો છે.

(ii) સમૂહો સામાન્ય રીતે મોટા અક્ષરો A, B, C, X, Y, Z, વગેરે દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(iii) સમૂહના તત્વો નાના અક્ષરો $a, b, c, x, y, z$, વગેરે દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

જો $a$ એ સમૂહ Aનું તત્વ છે, તો આપણે કહીએ છીએ કે “$a$ એ Aનું છે” ગ્રીક પ્રતીક $\in$ (એપ્સિલોન) નો ઉપયોગ ‘નું છે’ શબ્દસમૂહ દર્શાવવા માટે થાય છે. આમ, આપણે $a \in A$ લખીએ છીએ. જો ‘$b$’ એ સમૂહ $A$નું તત્વ ન હોય, તો આપણે $b \notin A$ લખીએ છીએ અને વાંચીએ “$b$ એ Aનું નથી”.

આમ, અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાંના સ્વરોના સમૂહ $V$ માં, $a \in V$ પરંતુ $b \notin V$. $P$ ના અવિભાજ્ય અવયવોના સમૂહ $30,3 \in P$ માં પરંતુ $15 \notin P$.

સમૂહને દર્શાવવાની બે પદ્ધતિઓ છે:

(i) રોસ્ટર અથવા કોષ્ટક સ્વરૂપ

(ii) સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપ.

(i) રોસ્ટર સ્વરૂપમાં, સમૂહના તમામ તત્વોની યાદી બનાવવામાં આવે છે, તત્વો અલ્પવિરામથી અલગ કરવામાં આવે છે અને કૌંસ { } ની અંદર બંધ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 7 કરતા ઓછી તમામ યુગ્મ ધન પૂર્ણાંકોનો સમૂહ રોસ્ટર સ્વરૂપમાં $\{2,4,6\}$ તરીકે વર્ણવવામાં આવે છે. રોસ્ટર સ્વરૂપમાં સમૂહને દર્શાવવાના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો નીચે આપેલ છે:

(a) તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ જે 42 ને વિભાજિત કરે છે તે $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ છે.

નોંધ - રોસ્ટર સ્વરૂપમાં, જે ક્રમમાં તત્વોની યાદી બનાવવામાં આવે છે તે અપ્રસ્તુત છે. આમ, ઉપરોક્ત સમૂહને $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.

(b) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાંના તમામ સ્વરોનો સમૂહ $\{a, e, i, o, u\}$ છે.

(c) વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $\{1,3,5, \ldots\}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. બિંદુઓ આપણને કહે છે કે વિષમ સંખ્યાઓની યાદી અનંત રીતે ચાલુ રહે છે.

નોંધ - એ નોંધવું જોઈએ કે રોસ્ટર સ્વરૂપમાં સમૂહ લખતી વખતે સામાન્ય રીતે કોઈ તત્વ પુનરાવર્તિત થતું નથી, એટલે કે, તમામ તત્વો અલગ લેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ‘SCHOOL’ શબ્દ બનાવતા અક્ષરોનો સમૂહ $\{S, C, H, O, L\}$ અથવા $\{H, O, L, C, S\}$ છે. અહીં, તત્વોની યાદી બનાવવાના ક્રમનો કોઈ સંબંધ નથી.

(ii) સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં, સમૂહના તમામ તત્વો એક જ સામાન્ય ગુણધર્મ ધરાવે છે જે સમૂહની બહારના કોઈપણ તત્વ દ્વારા ધરાવવામાં આવતો નથી. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ $\{a, e, i, o, u\}$ માં, તમામ તત્વો એક સામાન્ય ગુણધર્મ ધરાવે છે, એટલે કે, તેમાંથી દરેક અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાં એક સ્વર છે, અને કોઈપણ અન્ય અક્ષર આ ગુણધર્મ ધરાવતો નથી. આ સમૂહને $V$ દ્વારા દર્શાવીને, આપણે લખીએ છીએ

$V=\{x: x$ એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાં સ્વર છે $\}$

એ નોંધવું જોઈએ કે આપણે સમૂહના તત્વનું વર્ણન પ્રતીક $x$ (અક્ષરો જેવા કોઈપણ અન્ય પ્રતીક $y, z$, વગેરેનો ઉપયોગ કરી શકાય છે) નો ઉપયોગ કરીને કરીએ છીએ જે બે બિંદુ " : " દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે. બે બિંદુના ચિહ્ન પછી, આપણે સમૂહના તત્વો દ્વારા ધરાવવામાં આવેલ લાક્ષણિક ગુણધર્મ લખીએ છીએ અને પછી સમગ્ર વર્ણનને કૌંસની અંદર બંધ કરીએ છીએ. સમૂહ $V$ નું ઉપરોક્ત વર્ણન “તમામ $x$ નો સમૂહ જેમ કે $x$ એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરનો સ્વર છે” તરીકે વાંચવામાં આવે છે. આ વર્ણનમાં કૌંસ “તમામનો સમૂહ” માટે ઊભા છે, બે બિંદુ “જેમ કે” માટે ઊભા છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ

$A=\{x: x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $3<x<10\}$ ને “તમામ $x$ નો સમૂહ જેમ કે $x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $x$ 3 અને 10 વચ્ચે આવેલી છે” તરીકે વાંચવામાં આવે છે. તેથી, સંખ્યાઓ 4, 5, 6, 7,8 અને 9 એ સમૂહ $A$ ના તત્વો છે.

જો આપણે ઉપર $(a),(b)$ અને $(c)$ માં વર્ણવેલા સમૂહોને રોસ્ટર સ્વરૂપમાં $A, B$, $C$, અનુક્રમે દર્શાવીએ, તો $A, B, C$ ને સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે પણ દર્શાવી શકાય છે:

$A=\{x: x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે 42 ને વિભાજિત કરે છે $\}$

$B=\{y: y$ એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરમાં સ્વર છે $\}$

$C=\{z: z$ એ વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે $\}$

ઉદાહરણ 1 સમીકરણ $x^{2}+x-2=0$ ના ઉકેલ સમૂહને રોસ્ટર સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ આપેલ સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

તેથી, આપેલ સમીકરણના ઉકેલ સમૂહને રોસ્ટર સ્વરૂપમાં $\{1,-2\}$ તરીકે લખી શકાય.

ઉદાહરણ 2 સમૂહ $\{x: x$ એ ધન પૂર્ણાંક છે અને $x^{2}<40\}$ ને રોસ્ટર સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ જરૂરી સંખ્યાઓ $1,2,3,4,5,6$ છે. તેથી, આપેલ સમૂહ રોસ્ટર સ્વરૂપમાં $\{1,2,3,4,5,6\}$ છે.

ઉદાહરણ 3 સમૂહ $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ ને સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ આપણે સમૂહ A ને આ રીતે લખી શકીએ

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

વૈકલ્પિક રીતે, આપણે લખી શકીએ

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ઉદાહરણ 4 સમૂહ $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ ને સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ આપણે જોઈએ છીએ કે આપેલ સમૂહમાં દરેક સભ્યનો અંશ છેદ કરતાં એક ઓછો છે. તેમજ, અંશ 1 થી શરૂ થાય છે અને 6 કરતાં વધુ નથી. તેથી, સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં આપેલ સમૂહ છે

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ઉદાહરણ 5 ડાબી બાજુ રોસ્ટર સ્વરૂપમાં વર્ણવેલા દરેક સમૂહને જમણી બાજુ સમૂહ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં વર્ણવેલ સમાન સમૂહ સાથે મેળવો:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

ઉકેલ કારણ કે (d) માં, શબ્દ PRINCIPAL માં 9 અક્ષરો છે અને બે અક્ષરો P અને I પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી (i) (d) સાથે મેળ ખાય છે. તે જ રીતે, (ii) (c) સાથે મેળ ખાય છે કારણ કે $x+1=1$ એ $x=0$ દર્શાવે છે. તેમજ, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 એ 18 ના તમામ વિભાજકો છે અને તેથી (iii) (a) સાથે મેળ ખાય છે. છેલ્લે, $x^{2}-9=0$ એ $x=3,-3$ દર્શાવે છે અને તેથી (iv) (b) સાથે મેળ ખાય છે.

1.3 ખાલી સમૂહ

સમૂહ ધ્યાનમાં લો

$A=\{x: x$ એ શાળામાં હાલમાં ધોરણ XI માં અભ્યાસ કરતો વિદ્યાર્થી છે $\}$

આપણે શાળામાં જઈ શકીએ છીએ અને શાળામાં હાલમાં ધોરણ XI માં અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા ગણી શકીએ છીએ. આમ, સમૂહ A માં મર્યાદિત સંખ્યામાં તત્વો છે.

હવે આપણે બીજો સમૂહ $B$ નીચે પ્રમાણે લખીએ છીએ:

$B = \{x: x$ એ હાલમાં ધોરણ X અને XI બંનેમાં અભ્યાસ કરતો વિદ્યાર્થી છે $\}$

આપણે નોંધીએ છીએ કે વિદ્યાર્થી એક સાથે ધોરણ X અને XI બંનેમાં અભ્યાસ કરી શકતો નથી. આમ, સમૂહ B માં કોઈ તત્વ જ નથી.

વ્યાખ્યા 1 જે સમૂહમાં કોઈ તત્વ હોતું નથી તેને ખાલી સમૂહ અથવા નલ સમૂહ અથવા રિક્ત સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

આ વ્યાખ્યા મુજબ, B એ ખાલી સમૂહ છે જ્યારે A એ ખાલી સમૂહ નથી. ખાલી સમૂહને પ્રતીક $\phi$ અથવા { } દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આપણે ખાલી સમૂહોના થોડા ઉદાહરણો નીચે આપીએ છીએ.

(i) ચાલો $A=\{x: 1<x<2, x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે $\}$. તો A એ ખાલી સમૂહ છે, કારણ કે 1 અને 2 વચ્ચે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ અને $x$ એ પરિમેય સંખ્યા છે $\}$. તો $B$ એ ખાલી સમૂહ છે કારણ કે સમીકરણ $x^{2}-2=0$ $x$ ના કોઈપણ પરિમેય મૂલ્ય દ્વારા સંતોષવામાં આવતું નથી.

(iii) $C =$ $\{x: x$ એ 2 કરતાં મોટી યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે $\}$. તો $C$ એ ખાલી સમૂહ છે, કારણ કે 2 એ એકમાત્ર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ એ વિષમ છે $\}$. તો $D$ એ ખાલી સમૂહ છે, કારણ કે સમીકરણ $x^{2}=4$ $x$ ના કોઈપણ વિષમ મૂલ્ય દ્વારા સંતોષવામાં આવતું નથી.

1.4 મર્યાદિત અને અમર્યાદિત સમૂહો

ચાલો $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ અને $\quad C=\{$ વિશ્વના વિવિધ ભાગોમાં હાલમાં રહેતા પુરુષો $\}$

આપણે નોંધીએ છીએ કે A માં 5 તત્વો છે અને B માં 6 તત્વો છે. $C$ માં કેટલા તત્વો છે? જેમ છે, આપણને $C$ માં તત્વોની સંખ્યા ખબર નથી, પરંતુ તે કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે તદ્દન મોટી સંખ્યા હોઈ શકે છે. સમૂહ $S$ ના તત્વોની સંખ્યા દ્વારા, આપણે સમૂહના અલગ તત્વોની સંખ્યાનો અર્થ કરીએ છીએ અને તેને $n$ (S) દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. જો $n$ (S) એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, તો $S$ એ અખાલી મર્યાદિત સમૂહ છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. આપણે જોઈએ છીએ કે આ સમૂહના તત્વોની સંખ્યા મર્યાદિત નથી કારણ કે અનંત સંખ્યામાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. આપણે કહીએ છીએ કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ એ અમર્યાદિત સમૂહ છે. ઉપર આપેલા સમૂહો A, B અને C મર્યાદિત સમૂહો છે અને $n(A)=5, n(B)=6$ અને $n(C)=$ કેટલીક મર્યાદિત સંખ્યા છે.

વ્યાખ્યા 2 જે સમૂહ ખાલી હોય અથવા નિશ્ચિત સંખ્યામાં તત્વો ધરાવતો હોય તેને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે અન્યથા, સમૂહને અમર્યાદિત કહેવામાં આવે છે.

કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લો:

(i) ચાલો $W$ એ અઠવાડિયાના દિવસોનો સમૂહ છે. તો $W$ મર્યાદિત છે.

(ii) ચાલો $S$ એ સમીકરણ $x^{2}-16=0$ ના ઉકેલોનો સમૂહ છે. તો $S$ મર્યાદિત છે.

(iii) ચાલો $G$ એ રેખા પરના બિંદુઓનો સમૂહ છે. તો $G$ અમર્યાદિત છે.

જ્યારે આપણે સમૂહને રોસ્ટર સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ છીએ, ત્યારે આપણે સમૂહના તમામ તત્વોને કૌંસ { } ની અંદર લખીએ છીએ. અમર્યાદિત સમૂહના તમામ તત્વોને કૌંસ { } ની અંદર લખવાનું શક્ય નથી કારણ કે આવા સમૂહના તત્વોની સંખ્યા મર્યાદિત નથી. તેથી, આપણે દર્શાવીએ છીએ કેટલાક અમર્યાદિત સમૂહો રોસ્ટર સ્વરૂપમાં થોડા તત્વો લખીને જે સ્પષ્ટપણે સમૂહની રચના સૂચવે છે અને તેની પછી (અથવા પહેલાં) ત્રણ બિંદુઓ.

ઉદાહરણ તરીકે, $\{1,2,3 \ldots\}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, $\{1,3,5,7, \ldots\}$ એ વિષમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ એ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ છે. આ બધા સમૂહો અમર્યાદિત છે.

નોંધ - બધા અમર્યાદિત સમૂહો રોસ્ટર સ્વરૂપમાં વર્ણવી શકાતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ આ સ્વરૂપમાં વર્ણવી શકાતો નથી, કારણ કે આ સમૂહના તત્વો કોઈ ચોક્કસ પેટર્નનું પાલન કરતા નથી.

ઉદાહરણ 6 જણાવો કે નીચેના સમૂહોમાંથી કયા મર્યાદિત અથવા અમર્યાદિત છે:

(i) $\{x: x \in N$ અને $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ અને $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ અને $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ અને $x$ એ અવિભાજ્ય છે $\}$

(v) $\{x: x \in N$ અને $x$ એ વિષમ છે $\}$

ઉકેલ (i) આપેલ સમૂહ $=\{1,2\}$. તેથી, તે મર્યાદિત છે.

(ii) આપેલ સમૂહ $=\{2\}$. તેથી, તે મર્યાદિત છે.

(iii) આપેલ સમૂહ $=\phi$. તેથી, તે મર્યાદિત છે.

(iv) આપેલ સમૂહ એ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ છે અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ અમર્યાદિત હ