તમારા વિદ્યાર્થીઓ માટે જ્ઞાન અને વાસ્તવિક જીવન વચ્ચેનો સંબંધ ખૂબ જ સ્પષ્ટ રહેવો દો અને તેઓ સમજે કે જ્ઞાન દ્વારા વિશ્વ કેવી રીતે રૂપાંતરિત થઈ શકે છે. - બર્ટ્રાન્ડ રસેલ

10.1 પ્રસ્તાવના

પાછલા પ્રકરણ 10 માં, આપણે રેખાના વિવિધ સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે. આ પ્રકરણમાં, આપણે કેટલાક અન્ય વક્રો, એટલે કે, વર્તુળો, લંબગોળ, પરવલય અને અતિવલયનો અભ્યાસ કરીશું. પરવલય અને અતિવલય નામો એપોલોનિયસ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. આ વક્રો, હકીકતમાં, શાંકવ છેદ અથવા સામાન્ય રીતે શાંકવો તરીકે ઓળખાય છે કારણ કે તે એક સમતલ અને ડબલ નેપ્ડ જમણા વર્તુળાકાર શંકુના છેદથી મેળવી શકાય છે. આ વક્રોનો ગ્રહીય ગતિ, ટેલિસ્કોપ અને એન્ટેના ડિઝાઇન, ફ્લેશલાઇટ અને ઑટોમોબાઇલ હેડલાઇટમાં રિફ્લેક્ટર વગેરે જેવા ક્ષેત્રોમાં ખૂબ વ્યાપક ઉપયોગ છે.

એપોલોનિયસ (262 બી.સી. -190 બી.સી.)

હવે, આગળના વિભાગોમાં આપણે જોઈશું કે કેવી રીતે સમતલ અને ડબલ નેપ્ડ જમણા વર્તુળાકાર શંકુના છેદથી વિવિધ પ્રકારના વક્રો પ્રાપ્ત થાય છે.

10.2 શંકુના છેદ

$l$ ને એક સ્થિર ઊભી રેખા ગણો અને $m$ એ બીજી રેખા છે જે તેને એક સ્થિર બિંદુ $V$ પર છેદે છે અને તેની સાથે $\alpha$ ના ખૂણા પર ઝુકેલી છે (આકૃતિ 10.1).

આકૃતિ 10.1

ધારો કે આપણે રેખા $m$ ને રેખા $l$ ની આસપાસ એવી રીતે ફેરવીએ છીએ કે ખૂણો $\alpha$ અચળ રહે. તો પેદા થયેલી સપાટી એ ડબલ-નેપ્ડ જમણા વર્તુળાકાર પોલા શંકુ છે જેને અહીં પછી શંકુ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને બંને દિશામાં અનંત દૂર સુધી વિસ્તરેલી છે (આકૃતિ 10.2).

આકૃતિ 10.2

બિંદુ $V$ ને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે; રેખા $l$ એ શંકુની અક્ષ છે. ફરતી રેખા $m$ ને શંકુની જનરેટર (ઉત્પાદક રેખા) કહેવામાં આવે છે. શિરોબિંદુ શંકુને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે જેને નેપ કહેવામાં આવે છે.

જો આપણે શંકુ સાથે સમતલનો છેદ લઈએ, તો આ રીતે પ્રાપ્ત થયેલ છેદને શાંકવ છેદ કહેવામાં આવે છે. આમ, શાંકવ છેદ એ વક્રો છે જે જમણા વર્તુળાકાર શંકુને સમતલ દ્વારા છેદવાથી પ્રાપ્ત થાય છે.

શંકુની સાપેક્ષમાં છેદતા સમતલની સ્થિતિ અને તે શંકુની ઊભી અક્ષ સાથે બનાવેલા ખૂણા પર આધાર રાખીને આપણને વિવિધ પ્રકારના શાંકવ છેદ મળે છે. $\beta$ ને છેદતા સમતલ અને શંકુની ઊભી અક્ષ વચ્ચે બનેલો ખૂણો ગણો (આકૃતિ 10.3).

આકૃતિ 10.3

સમતલ અને શંકુનો છેદ કાં તો શંકુના શિરોબિંદુ પર અથવા નેપના શિરોબિંદુથી નીચે અથવા ઉપરના કોઈપણ અન્ય ભાગ પર થઈ શકે છે.

10.2.1 વર્તુળ, લંબગોળ, પરવલય અને અતિવલય

જ્યારે સમતલ શંકુના નેપ (શિરોબિંદુ સિવાય) ને કાપે છે, ત્યારે આપણી પાસે નીચેની પરિસ્થિતિઓ હોય છે:

(a) જ્યારે $\beta=90^{\circ}$, ત્યારે છેદ એક વર્તુળ છે (આકૃતિ 10.4).

આકૃતિ 10.4

(b) જ્યારે $\alpha<\beta<90^{\circ}$, ત્યારે છેદ એક લંબગોળ છે (આકૃતિ 10.5).

આકૃતિ 10.5

(c) જ્યારે $\beta=\alpha$; ત્યારે છેદ એક પરવલય છે (આકૃતિ 10.6).

આકૃતિ 10.6

(ઉપરોક્ત ત્રણેય પરિસ્થિતિઓમાં, સમતલ શંકુના એક નેપને સંપૂર્ણપણે આડછેદે છે).

(d) જ્યારે $0 \leq \beta<\alpha$; સમતલ બંને નેપને કાપે છે અને છેદનો વક્ર એ અતિવલય છે (આકૃતિ 10.7).

આકૃતિ 10.7

10.2.2 અધોગતિ શાંકવ છેદ

જ્યારે સમતલ શંકુના શિરોબિંદુ પર કાપે છે, ત્યારે આપણી પાસે નીચેના વિવિધ કિસ્સાઓ હોય છે:

(a) જ્યારે $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, ત્યારે છેદ એક બિંદુ છે (આકૃતિ 10.8).

આકૃતિ 10.8

(b) જ્યારે $\beta=\alpha$, સમતલમાં શંકુની જનરેટર હોય છે અને છેદ એક સરળ રેખા છે (આકૃતિ 10.9).

આકૃતિ 10.9

આ પરવલયનો અધોગતિ કિસ્સો છે.

(c) જ્યારે $0 \leq \beta<\alpha$, ત્યારે છેદ એ છેદતી સરળ રેખાઓની જોડી છે (આકૃતિ 10.10). આ અતિવલયનો અધોગતિ કિસ્સો છે.

આકૃતિ 10.8 (a)

આકૃતિ 10.8 (b)

આગળના વિભાગોમાં, આપણે આ શાંકવ છેદોમાંથી દરેકના સમીકરણોને ભૂમિતીય ગુણધર્મો પર આધારિત વ્યાખ્યાયિત કરીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મેળવીશું.

10.3 વર્તુળ

વ્યાખ્યા 1 વર્તુળ એ સમતલમાં આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલમાંના એક સ્થિર બિંદુથી સમાન અંતરે હોય છે.

સ્થિર બિંદુને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે અને કેન્દ્રથી વર્તુળ પરના એક બિંદુ સુધીનું અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે (આકૃતિ 10.11).

આકૃતિ 10.11

જો વર્તુળનું કેન્દ્ર મૂળબિંદુ પર હોય તો વર્તુળનું સમીકરણ સૌથી સરળ છે. જો કે, આપણે નીચે આપેલ કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ (આકૃતિ 10.12).

આકૃતિ 10.12

$C(h, k)$ ને કેન્દ્ર અને $r$ ને વર્તુળની ત્રિજ્યા ગણો. $P(x, y)$ ને વર્તુળ પરનું કોઈપણ બિંદુ ગણો (આકૃતિ 10.12). તો, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, $|CP|=r$. અંતરના સૂત્ર દ્વારા, આપણી પાસે છે

એટલે કે

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

આ કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથેના વર્તુળનું જરૂરી સમીકરણ છે.

ઉદાહરણ 1 કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ અહીં $h=k=0$. તેથી, વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ છે.

ઉદાહરણ 2 કેન્દ્ર $(-3,2)$ અને ત્રિજ્યા 4 સાથે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ અહીં $h=-3, k=2$ અને $r=4$. તેથી, જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ છે

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

ઉદાહરણ 3 વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ નું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ આપેલ સમીકરણ છે

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

હવે, કૌંસમાં પૂર્ણ વર્ગ પૂર્ણ કરતાં, આપણને મળે છે

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

એટલે કે

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

એટલે કે

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

તેથી, આપેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-4,-5)$ પર છે અને ત્રિજ્યા 7 છે.

ઉદાહરણ 4 એવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જે બિંદુઓ $(2,-2)$, અને $(3,4)$માંથી પસાર થાય છે અને જેનું કેન્દ્ર રેખા $x+y=2$ પર આવેલું છે.

ઉકેલ વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ થાય તેમ ધારો.

કારણ કે વર્તુળ $(2,-2)$ અને $(3,4)$માંથી પસાર થાય છે, આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

અને $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

તથા કેન્દ્ર રેખા $x+y=2$ પર આવેલું હોવાથી, આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

સમીકરણો (1), (2) અને (3) ને ઉકેલતાં, આપણને મળે છે

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ and } r^{2}=12.58 $

આથી, જરૂરી વર્તુળનું સમીકરણ છે

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 પરવલય

વ્યાખ્યા 2 પરવલય એ સમતલમાં આવેલા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલમાંની એક સ્થિર રેખા અને એક સ્થિર બિંદુ (રેખા પર ન હોય તેવા) થી સમાન અંતરે હોય છે.

સ્થિર રેખાને પરવલયની નિયતા (ડાયરેક્ટ્રિક્સ) કહેવામાં આવે છે અને સ્થિર બિંદુ $F$ ને નાભિ (ફોકસ) કહેવામાં આવે છે (આકૃતિ 10.13). (‘પેરા’ નો અર્થ ‘માટે’ અને ‘બોલા’ નો અર્થ ‘ફેંકવું’, એટલે કે, જ્યારે તમે ચંદ્રને હવામાં ફેંકો છો ત્યારે વર્ણવેલ આકાર).

આકૃતિ 10.13

નોંધ - જો સ્થિર બિંદુ સ્થિર રેખા પર આવેલું હોય, તો સમતલમાં આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ, જે સ્થિર બિંદુ અને સ્થિર રેખાથી સમાન અંતરે હોય છે, તે સ્થિર બિંદુમાંથી પસાર થતી અને સ્થિર રેખાને લંબરૂપ સરળ રેખા છે. આપણે આ સરળ રેખાને પરવલયનો અધોગતિ કિસ્સો કહીએ છીએ.

નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયતાને લંબરૂપ રેખાને પરવલયની અક્ષ કહેવામાં આવે છે. પરવલય અને અક્ષના છેદબિંદુને પરવલયનું શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે (આકૃતિ 10.14).

આકૃતિ 10.14

10.4.1 પરવલયના પ્રમાણિત સમીકરણો

જો શિરોબિંદુ મૂળબિંદુ પર હોય અને સંમિતિની અક્ષ $x$-અક્ષ અથવા $y$-અક્ષ સાથે હોય તો પરવલયનું સમીકરણ સૌથી સરળ છે. પરવલયની આવી ચાર સંભવિત દિશાઓ નીચે આકૃતિ 10.15 (a) થી (d) માં બતાવેલ છે.

(a)

(b)

$x^{2}=4 a y$

(c)

$x^{2}=-4 a y$

(d)

આપણે ઉપર આકૃતિ 10.15 (a) માં બતાવેલ પરવલય માટે નાભિ $(a, 0) a>0$; અને નિયતા $x=-a$ સાથેનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે મેળવીશું:

$F$ ને નાભિ અને $l$ ને નિયતા ગણો. FM ને નિયતાને લંબરૂપ થવા દો અને FM ને બિંદુ O પર દ્વિભાજિત કરો. MO ને X સુધી લંબાવો. $(-a, y)$ B પરવલયની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, મધ્યબિંદુ $O$ પરવલય પર છે અને તેને પરવલયનું શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. $O$ ને મૂળબિંદુ, $OX$ ને $x$-અક્ષ અને $OY$ ને તેને લંબરૂપ $y$-અક્ષ તરીકે લો. નિયતાથી નાભિ સુધીનું અંતર $2 a$ થવા દો. તો, નાભિના યામ $(a, 0)$ છે, અને નિયતાનું સમીકરણ $x+a=0$ છે જેમ કે આકૃતિ 10.16 માં છે.

આકૃતિ $\mathbf{1 0 . 1 6}$

$P(x, y)$ ને પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ ગણો જેમ કે

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

જ્યાં $PB$ એ $l$ ને લંબરૂપ છે. $B$ ના યામ $(-a, y)$ છે. અંતરના સૂત્ર દ્વારા, આપણી પાસે છે

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ and } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

કારણ કે $PF=PB$, આપણી પાસે છે

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

એટલે કે $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

અથવા $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

અથવા $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$.

આથી, પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ સંતોષે છે

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

વિપરીત, ધારો કે $P(x, y)$ સમીકરણ (2) ને સંતોષે છે

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

અને તેથી $P(x, y)$ પરવલય પર આવેલું છે.

આમ, (2) અને (3) માંથી આપણે સાબિત કર્યું છે કે શિરોબિંદુ મૂળબિંદુ પર, નાભિ $(a, 0)$ પર અને નિયતા $x=-a$ સાથેના પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4 a x$ છે.

ચર્ચા સમીકરણ (2) માં, કારણ કે $a>0, x$ કોઈપણ ધન મૂલ્ય અથવા શૂન્ય લઈ શકે છે પરંતુ કોઈ ઋણ મૂલ્ય નહીં અને વક્ર પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં અનંત દૂર સુધી વિસ્તરે છે. પરવલયની અક્ષ ધન $x$-અક્ષ છે.

તેવી જ રીતે, આપણે નીચેના પરવલયોના સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ:

આકૃતિ 11.15 (b) માં $y^{2}=-4 a x$,

આકૃતિ 11.15 (c) માં $x^{2}=4 a y$,

આકૃતિ $11.15(d)$ માં $x^{2}=-4 a y$,

આ ચાર સમીકરણો પરવલયના પ્રમાણિત સમીકરણો તરીકે ઓળખાય છે.

નોંધ - પરવલયના પ્રમાણિત સમીકરણોમાં નાભિ એક નિયામક અક્ષ પર હોય છે; શિરોબિંદુ મૂળબિંદુ પર હોય છે અને તેથી નિયતા બીજી નિયામક અક્ષને સમાંતર હોય છે. જો કે, કોઈપણ બિંદુ પર નાભિ અને કોઈપણ રેખાને નિયતા તરીકે ધરાવતા પરવલયોના સમીકરણોનો અભ્યાસ અહીંના અવકાશની બહાર છે.

પરવલયના પ્રમાણિત સમીકરણોમાંથી, આકૃતિ 10.15, આપણી પાસે નીચેનાં અવલોકનો છે:

1. પરવલય પરવલયની અક્ષ સાપેક્ષ સંમિત હોય છે. જો સમીકરણમાં $y^{2}$ પદ હોય, તો સંમિતિની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે હોય છે અને જો સમીકરણમાં $x^{2}$ પદ હોય, તો સંમિતિની અક્ષ $y$-અક્ષ સાથે હોય છે.

2. જ્યારે સંમિતિની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે હોય ત્યારે પરવલય

(a) જમણી બાજુ ખૂલે છે જો $x$ નો ગુણાંક ધન હોય,

(b) ડાબી બાજુ ખૂલે છે જો $x$ નો ગુણાંક ઋણ હોય.

3. જ્યારે સંમિતિની અક્ષ $y$-અક્ષ સાથે હોય ત્યારે પરવલય

(c) ઉપરની બાજુ ખૂલે છે જો $y$ નો ગુણાંક ધન હોય.

(d) નીચેની બાજુ ખૂલે છે જો $y$ નો ગુણાંક ઋણ હોય.

10.4.2 નાભિજ્યા (લેટસ રેક્ટમ)

વ્યાખ્યા 3 પરવલયની નાભિજ્યા એ પરવલયની અક્ષને લંબરૂપ રેખાખંડ છે, જે નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને જેના અંતિમ બિંદુઓ પરવલય પર આવેલા હોય છે (આકૃતિ 10.17).

આકૃતિ 10.17

પરવલય $ y^{2}= 4 a x $ ની નાભિજ્યાની લંબાઈ શોધવા માટે (આકૃતિ 10.18).

આકૃતિ 10.18

પરવલયની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, $AF=AC$.

પરંતુ $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

આથી $ \mathrm{AF}=2 a $

અને કારણ કે પરવલય $x$-અક્ષ સાપેક્ષ સંમિત છે $AF=FB$ અને તેથી

$AB=$ નાભિજ્યાની લંબાઈ $=4 a$.

ઉદાહરણ 5 પરવલય $y^{2}=8 x$ ની નાભિના યામ, અક્ષ, નિયતાનું સમીકરણ અને નાભિજ્યા શોધો.

ઉકેલ આપેલ સમીકરણમાં $y^{2}$ છે, તેથી સંમિતિની અક્ષ $x$-અક્ષ સાથે છે.

$x$ નો ગુણાંક ધન છે તેથી પરવલય જમણી બાજુ ખૂલે છે. આપેલ સમીકરણ $y^{2}=4 a x$ સાથે સરખાવતાં, આપણે શોધીએ છીએ કે $a=2$.

આમ, પરવલયની નાભિ $(2,0)$ છે અને પરવલયની નિયતાનું સમીકરણ $x=-2$ છે (આકૃતિ 10.19).

આકૃતિ 10.19

નાભિજ્યાની લંબાઈ $4 a=4 \times 2=8$ છે.

ઉદાહરણ 6 નાભિ $(2,0)$ અને નિયતા $x=-2$ સાથે પરવલયનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ કારણ કે નાભિ $(2,0)$ $x$-અક્ષ પર આવેલી છે, $x$-અક્ષ પોતે જ પરવલયની અક્ષ છે. આથી પરવલયનું સમીકરણ કાં તો $y^{2}=4 a x$ અથવા $y^{2}=-4 a x$ સ્વરૂપનું હોય છે. કારણ કે નિયતા $x=-2$ છે અને નાભિ $(2,0)$ છે, પરવલય $y^{2}=4 a x$ સ્વરૂપનું હોવું જોઈએ જ્યાં $a=2$. આથી જરૂરી સમીકરણ છે

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

ઉદાહરણ 7 શિરોબિંદુ $(0,0)$ પર અને નાભિ $(0,2)$ પર હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ શોધો.

ઉકેલ કારણ કે શિરોબિંદુ $(0,0)$ પર છે અને નાભિ $(0,2)$ પર છે જે $y$-અક્ષ પર આવેલી છે, $y$-અક્ષ એ પરવલયની અક્ષ છે. તેથી,