ગણિત એ બધા વિજ્ઞાનોની રાણી અને સેવક બંને છે - ઇ.ટી. બેલ

11.1 પરિચય

તમને યાદ હશે કે સમતલમાં એક બિંદુની સ્થિતિ શોધવા માટે, આપણને સમતલમાં એકબીજાને છેદતી બે પરસ્પર લંબ રેખાઓની જરૂર પડે છે. આ રેખાઓને નિર્દેશાંક અક્ષો કહેવામાં આવે છે અને બે સંખ્યાઓને અક્ષોના સંદર્ભમાં બિંદુના નિર્દેશાંકો કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક જીવનમાં, આપણે ફક્ત સમતલમાં પડેલા બિંદુઓ સાથે જ નહીં પણ વ્યવહાર કરવો પડે. ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશમાં ફેંકવામાં આવેલ દડાની વિવિધ સમયે સ્થિતિ અથવા એક સ્થળથી બીજા સ્થળે ઉડાન દરમિયાન વિવિધ સમયે વિમાનની સ્થિતિ ધ્યાનમાં લો.

એ જ રીતે, જો આપણે ઓરડાની છત પરથી લટકતી ઇલેક્ટ્રિક બલ્બના સૌથી નીચેના ટોચની સ્થિતિ અથવા ઓરડાની છત પંખાના કેન્દ્રિય ટોચની સ્થિતિ શોધવી હોય, તો આપણને ઓરડાની બે લંબ દિવાલોથી શોધવાના બિંદુનાં લંબ અંતર જ નહીં, પણ ઓરડાના ફર્શથી બિંદુની ઊંચાઈ પણ જરૂરી પડશે. તેથી, આપણને ફક્ત બે જ નહીં પણ ત્રણ સંખ્યાઓની જરૂર છે જે ત્રણ પરસ્પર લંબ સમતલો, એટલે કે ઓરડાનો ફર્શ અને ઓરડાની બે અડોઅડની દિવાલોથી બિંદુના લંબ અંતરોને રજૂ કરે છે. ત્રણ અંતરોને રજૂ કરતી ત્રણ સંખ્યાઓને ત્રણ નિર્દેશાંક સમતલોના સંદર્ભમાં બિંદુના નિર્દેશાંકો કહેવામાં આવે છે. તેથી, અવકાશમાં એક બિંદુના ત્રણ નિર્દેશાંક હોય છે. આ અધ્યાયમાં, આપણે ત્રિપરિમાણીય અવકાશમાં ભૂમિતિની મૂળભૂત સંકલ્પનાઓનો અભ્યાસ કરીશું.*

11.2 ત્રિપરિમાણીય અવકાશમાં નિર્દેશાંક અક્ષો અને નિર્દેશાંક સમતલો

ત્રણ સમતલોને એક બિંદુ $O$ પર એવી રીતે છેદતા ધ્યાનમાં લો કે આ ત્રણ સમતલો એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય (આકૃતિ 11.1). આ ત્રણ સમતલો રેખાઓ $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ અને $Z^{\prime} OZ$ સાથે છેદે છે, જેને અનુક્રમે $x, y$ અને $z$-અક્ષો કહેવામાં આવે છે. આપણે નોંધ લઈ શકીએ કે આ રેખાઓ એકબીજાને પરસ્પર લંબ છે. આ રેખાઓ લંબચોરસ નિર્દેશાંક પદ્ધતિ બનાવે છે. XOY, YOZ અને ZOX સમતલોને, અનુક્રમે XY-સમતલ, YZ-સમતલ અને ZX-સમતલ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે ત્રણ નિર્દેશાંક સમતલો તરીકે ઓળખાય છે. આપણે XOY સમતલને કાગળના સમતલ તરીકે અને

આકૃતિ 11.1 રેખા $Z^{\prime} OZ$ ને સમતલ $XOY$ માં લંબ તરીકે લઈએ છીએ. જો કાગળનું સમતલ આડું ગણવામાં આવે, તો રેખા $Z^{\prime} OZ$ ઊભી રહેશે. XY-સમતલથી $OZ$ ની દિશામાં ઉપર માપવામાં આવેલ અંતરોને ધન અને $OZ^{\prime}$ ની દિશામાં નીચે માપવામાં આવેલ અંતરોને ઋણ લેવામાં આવે છે. એ જ રીતે, $ZX$-સમતલની જમણી બાજુએ $OY$ સાથે માપવામાં આવેલ અંતરને ધન, ZX-સમતલની ડાબી બાજુએ અને $O Y^{\prime}$ સાથે ઋણ, YZ-સમતલની સામે $O X$ સાથે ધન અને તેની પાછળ $OX^{\prime}$ સાથે ઋણ લેવામાં આવે છે. બિંદુ $O$ ને નિર્દેશાંક પદ્ધતિનું મૂળ કહેવામાં આવે છે. ત્રણ નિર્દેશાંક સમતલો અવકાશને આઠ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે જેને અષ્ટક (ઓક્ટન્ટ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ અષ્ટકોને $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ અને $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ તરીકે નામ આપી શકાય છે. અને અનુક્રમે I, II, III, …, VIII દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

11.3 અવકાશમાં બિંદુના નિર્દેશાંકો

અવકાશમાં એક નિશ્ચિત નિર્દેશાંક પદ્ધતિ પસંદ કર્યા પછી, જેમાં નિર્દેશાંક અક્ષો, નિર્દેશાંક સમતલો અને મૂળનો સમાવેશ થાય છે, હવે આપણે સમજાવીએ છીએ કે, અવકાશમાં એક બિંદુ આપેલ હોય, તો આપણે તેની સાથે ત્રણ નિર્દેશાંકો $(x, y, z)$ કેવી રીતે સાંકળીએ છીએ અને તેનાથી વિપરીત, ત્રણ સંખ્યાઓનો ત્રિપુટ $(x, y, z)$ આપેલ હોય, તો આપણે અવકાશમાં બિંદુ કેવી રીતે શોધીએ છીએ.

આકૃતિ 11.2

અવકાશમાં એક બિંદુ $P$ આપેલ છે, આપણે XY-સમતલ પર એક $\mathbf{X}$ લંબ PM નીચે મૂકીએ છીએ જેમાં M આ લંબનો પાદ છે (આકૃતિ 11.2). પછી, બિંદુ M થી, આપણે એક લંબ ML ને $x$-અક્ષ પર દોરીએ છીએ, તેને L પર મળતો આવે છે. OL ને $x, LM$, $y$ અને MP ને $z$ થવા દો. પછી $x, y$ અને $z$ ને અનુક્રમે બિંદુ $P$ ના અવકાશમાં $x, y$ અને $z$ નિર્દેશાંકો કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 11.2 માં, આપણે નોંધ લઈ શકીએ કે બિંદુ $P(x, y, z)$ અષ્ટક XOYZ માં આવેલો છે અને તેથી બધા $x, y$, $z$ ધન છે. જો $P$ કોઈપણ અન્ય અષ્ટકમાં હોય, તો $x, y$ અને $z$ ના ચિહ્નો તે મુજબ બદલાશે. આમ, અવકાશમાં દરેક બિંદુ $P$ માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ક્રમબદ્ધ ત્રિપુટ $(x, y, z)$ અનુરૂપ છે.

તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ ત્રિપુટ $(x, y, z)$ આપેલ હોય, તો આપણે પહેલા $x$-અક્ષ પર બિંદુ ⟦46⟨ ને $x$ ને અનુરૂપ નિશ્ચિત કરીશું, પછી XY-સમતલમાં બિંદુ $M$ એવી રીતે શોધીશું કે $(x, y)$ XY-સમતલમાં બિંદુ M ના નિર્દેશાંકો છે. નોંધ લો કે LM એ $x$-અક્ષને લંબ છે અથવા $y$-અક્ષને સમાંતર છે. બિંદુ M પર પહોંચ્યા પછી, આપણે XY-સમતલ પર એક લંબ MP દોરીએ છીએ અને તેના પર બિંદુ $P$ ને $z$ ને અનુરૂપ શોધીએ છીએ. આ રીતે મળેલ બિંદુ $P$ ના પછી નિર્દેશાંકો $(x, y, z)$ છે. આમ, અવકાશમાં બિંદુઓ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ ત્રિપુટ $(x, y, z)$ વચ્ચે એક-એક પત્રવ્યવહાર છે.

વૈકલ્પિક રીતે, અવકાશમાં બિંદુ $P$ દ્વારા, આપણે ત્રણ સમતલોને નિર્દેશાંક સમતલોને સમાંતર દોરીએ છીએ, જે $x$-અક્ષ, $y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષને અનુક્રમે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર મળે છે (આકૃતિ 11.3). ચાલો $OA=x, OB=y$ અને $OC=z$. પછી, બિંદુ $P$ ના નિર્દેશાંકો $x, y$ અને $z$ હશે અને આપણે $P(x, y, z)$ લખીએ છીએ. તેનાથી વિપરીત, $x, y$ અને $z$ આપેલ હોય, તો આપણે ત્રણ નિર્દેશાંક અક્ષો પર ત્રણ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ શોધીએ છીએ. બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ દ્વારા આપણે YZ-સમતલ, ZX-સમતલ અને XY-સમતલને સમાંતર સમતલો દોરીએ છીએ,

આકૃતિ 11.3

અનુક્રમે. આ ત્રણ સમતલોના આંતરછેદનો બિંદુ, એટલે કે, ADPF, BDPE અને CEPF દેખીતી રીતે બિંદુ $P$ છે, જે ક્રમબદ્ધ ત્રિપુટ $(x, y, z)$ ને અનુરૂપ છે. આપણે નોંધ લઈએ છીએ કે જો $P(x, y, z)$ અવકાશમાં કોઈપણ બિંદુ હોય, તો $x, y$ અને $z$ અનુક્રમે YZ, ZX અને XY સમતલોથી લંબ અંતરો છે.

નોંધ - મૂળ $O$ ના નિર્દેશાંકો $(0,0,0)$ છે. $x$-અક્ષ પરના કોઈપણ બિંદુના નિર્દેશાંકો $(x, 0,0)$ તરીકે હશે અને YZ-સમતલમાં કોઈપણ બિંદુના નિર્દેશાંકો $(0, y, z)$ તરીકે હશે.

ટિપ્પણી બિંદુના નિર્દેશાંકોના ચિહ્નો તે અષ્ટક નક્કી કરે છે જેમાં બિંદુ આવેલું છે. નીચેનું કોષ્ટક આઠ અષ્ટકોમાં નિર્દેશાંકોના ચિહ્નો દર્શાવે છે.

કોષ્ટક 11.1

ઉદાહરણ 1 આકૃતિ 11.3 માં, જો $P$ એ $(2,4,5)$ છે, તો $F$ ના નિર્દેશાંકો શોધો.

ઉકેલ બિંદુ $F$ માટે, OY સાથે માપવામાં આવેલ અંતર શૂન્ય છે. તેથી, $F$ ના નિર્દેશાંકો $(2,0,5)$ છે.

ઉદાહરણ 2 તે અષ્ટક શોધો જેમાં બિંદુઓ $(-3,1,2)$ અને $(-3,1,-2)$ આવેલા છે.

ઉકેલ કોષ્ટક 11.1 માંથી, બિંદુ $(-3,1,2)$ બીજા અષ્ટકમાં આવેલો છે અને બિંદુ $(-3,1,-2)$ અષ્ટક VI માં આવેલો છે.

11.4 બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર

આપણે બે-પરિમાણીય નિર્દેશાંક પદ્ધતિમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનો અભ્યાસ કર્યો છે. ચાલો હવે આ અભ્યાસને ત્રિપરિમાણીય પદ્ધતિ સુધી વિસ્તારીએ.

ચાલો $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ એ બે બિંદુઓ લઈએ જે લંબચોરસ અક્ષો $OX, OY$ અને $OZ$ ની પદ્ધતિમાં સંદર્ભિત છે. બિંદુઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા નિર્દેશાંક સમતલોને સમાંતર સમતલો દોરો જેથી એક કર્ણ PQ (આકૃતિ 11.4) સાથે લંબચોરસ સમાંતર ષટ્ફલક બનાવે.

આકૃતિ 11.4

હવે, કારણ કે $\angle PAQ$ એ કાટકોણ $\quad \mathbf{X}$ છે, તે અનુસરે છે કે, ત્રિકોણ PAQ માં,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

ઉપરાંત, ત્રિકોણ ANQ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle ANQ$ એ કાટકોણ છે.

તેથી $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) અને (2) માંથી, આપણી પાસે છે

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

હવે $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ અને $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

તેથી $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

તેથી $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

આ આપણને બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર આપે છે.

ખાસ કરીને, જો $x_1=y_1=z_1=0$, એટલે કે, બિંદુ $P$ એ મૂળ $O$ છે, તો $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, જે મૂળ $O$ અને કોઈપણ બિંદુ $Q(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર આપે છે.

ઉદાહરણ 3 બિંદુઓ $P(1,-3,4)$ અને $Q(-4,1,2)$ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉકેલ બિંદુઓ $P(1,-3,4)$ અને $Q(-4,1,2)$ વચ્ચેનું અંતર PQ છે

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ એકમ } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 4 દર્શાવો કે બિંદુઓ $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ અને $R(7,0,-1)$ સમરેખ છે.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે બિંદુઓને સમરેખ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ એક રેખા પર આવેલા હોય.

હવે,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

અને

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

આમ, $PQ+QR=PR$. તેથી, $P, Q$ અને $R$ સમરેખ છે.

ઉદાહરણ 5 શું બિંદુઓ A $(3,6,9), B(10,20,30)$ અને C $(25,-41,5)$, એ કાટકોણ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે?

ઉકેલ અંતર સૂત્ર દ્વારા, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

આપણે શોધીએ છીએ કે $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$.

તેથી, ત્રિકોણ $ABC$ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

ઉદાહરણ 6 બિંદુઓના સમૂહનું સમીકરણ શોધો $P$ જેમ કે $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, જ્યાં $A$ અને $B$ અનુક્રમે બિંદુઓ $(3,4,5)$ અને $(-1,3,-7)$ છે.

ઉકેલ ચાલો બિંદુ $P$ ના નિર્દેશાંકો $(x, y, z)$ થવા દો.

અહીં

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

આપેલ શરત $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ દ્વારા, આપણી પાસે છે

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ એટલે કે, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

વિવિધ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 7 દર્શાવો કે બિંદુઓ A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) અને $D(4,7,6)$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ છે, પરંતુ તે લંબચોરસ નથી.

ઉકેલ ABCD એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે દર્શાવવા માટે આપણે દર્શાવવાની જરૂર છે કે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન છે. નોંધ લો કે.

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

કારણ કે $A B=C D$ અને $B C=A D, A B C D$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

હવે, તે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે $ABCD$ લંબચોરસ નથી. આ માટે, આપણે દર્શાવીએ છીએ કે કર્ણો $AC$ અને $BD$ અસમાન છે. આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

કારણ કે $A C \neq B D, A B C D$ લંબચોરસ નથી.

નોંધ - આપણે $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે તે પણ દર્શાવી શકીએ છીએ, કર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને.

ઉદાહરણ 8 બિંદુઓના સમૂહનું સમીકરણ શોધો $P$ જેમ કે તેના અંતરો બિંદુઓ $A(3,4,-5)$ અને $B(-2,1,4)$ થી સમાન છે.

ઉકેલ જો $P(x, y, z)$ કોઈપણ બિંદુ હોય જેમ કે $PA=PB$.

હવે $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

અથવા $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

અથવા $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$.

ઉદાહરણ 9 ત્રિકોણ $ABC$ નું કેન્દ્રક બિંદુ $(1,1,1)$ પર છે. જો $A$ અને $B$ ના નિર્દેશાંકો અનુક્રમે $(3,-5,7)$ અને $(-1,7,-6)$ હોય, તો બિંદુ $C$ ના નિર્દેશાંકો શોધો.

ઉકેલ ચાલો $C$ ના નિર્દેશાંકો $(x, y, z)$ થવા દો અને કેન્દ્રક $G$ ના નિર્દેશાંકો $(1,1,1)$ થવા દો. પછી

તેથી $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$, અથવા $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { અથવા } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { અથવા } z=2 . \end{array} $

તેથી, $C$ ના નિર્દેશાંકો $(1,1,2)$ છે.

સારાંશ

ત્રણ પરિમાણોમાં, લંબચોરસ કાર્ટેશિયન નિર્દેશાંક પદ્ધતિના નિર્દેશાંક અક્ષો ત્રણ પરસ્પર લંબ રેખાઓ છે. અક્ષોને $x$, $y$ અને $z$-અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

અક્ષોની જોડી દ્વારા નિર્ધારિત ત્રણ સમતલો નિર્દેશાંક સમતલો છે, જેને XY, YZ અને ZX-સમતલો કહેવામાં આવે છે.

ત્રણ નિર્દેશાંક સમતલો અવકાશને આઠ ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે જેને અષ્ટક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિમાં બિંદુ $P$ ના નિર્દેશાંકો હંમેશા $(x, y, z)$ જેવા ત્રિપુટના સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે. અહીં $x, y$ અને $z$ અંતરો YZ, ZX અને XY-સમતલોથી છે.

(i) $x$-અક્ષ પર કોઈપણ બિંદુ $(x, 0,0)$ સ્વરૂપનો છે

(ii) $y$-અક્ષ પર કોઈપણ બિંદુ $(0, y, 0)$ સ્વરૂપનો છે

(iii) $z$-અક્ષ પર કોઈપણ બિંદુ $(0,0, z)$ સ્વરૂપનો છે.

બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ વચ્ચેનું અંતર આપેલ છે

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ઐતિહાસિક નોંધ

રેને ડેસકાર્ટેસ (1596-1650), વિશ્લેષણાત્મક