કેલ્ક્યુલસને ચાવી તરીકે લઈને, ગણિતને પ્રકૃતિના ક્રમની સમજૂતી પર સફળતાપૂર્વક લાગુ કરી શકાય છે - વ્હાઇટહેડ

12.1 પ્રસ્તાવના

આ અધ્યાય કેલ્ક્યુલસનો પરિચય છે. કેલ્ક્યુલસ એ ગણિતની એ શાખા છે જે મુખ્યત્વે ડોમેનમાંના બિંદુઓ બદલાતા ફંક્શનના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારના અભ્યાસ સાથે વ્યવહાર કરે છે. પ્રથમ, આપણે વિકલિતની સાહજિક કલ્પના આપીએ છીએ (વાસ્તવમાં તેને વ્યાખ્યાયિત કર્યા વિના). પછી આપણે સીમાની એક સરળ વ્યાખ્યા આપીએ છીએ અને સીમાઓના કેટલાક બીજગણિતનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. પછી આપણે વિકલિતની વ્યાખ્યા પર પાછા આવીએ છીએ અને વિકલિતોના કેટલાક બીજગણિતનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. આપણે કેટલાક પ્રમાણભૂત ફંક્શનોના વિકલિતો પણ મેળવીએ છીએ.

સર આઇઝેક ન્યૂટન (1642-1727 ઈ.સ.)

12.2 વિકલિતની સાહજિક કલ્પના

ભૌતિક પ્રયોગોએ ખાતરી કરી છે કે ઊંચી ખીણમાંથી પડતા સર આઇઝેક ન્યૂટન $(1642-1727)$ શરીર $t$ સેકન્ડમાં $4.9 t^{2}$ મીટરનું અંતર કાપે છે, એટલે કે, શરીર દ્વારા કાપેલું મીટરમાં અંતર $s$ સમય $t$ સેકન્ડમાંના ફંક્શન તરીકે $s=4.9 t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

આસન્ન કોષ્ટક 13.1 એક ઊંચી ખીણમાંથી પડેલા શરીરના વિવિધ સમય અંતરાલો પર મીટરમાં પ્રવાસ કરેલું અંતર આપે છે.

ઉદ્દેશ્ય છે કે આ ડેટામાંથી સમય $t=2$ સેકન્ડ પર શરીરનો વેગ શોધવો. આ સમસ્યાનો સંપર્ક કરવાનો એક માર્ગ છે $t=2$ સેકન્ડ પર સમાપ્ત થતા વિવિધ સમય અંતરાલો માટે સરેરાશ વેગ શોધવો અને આશા રાખવી કે આ $t=2$ સેકન્ડ પરના વેગ પર કેટલાક પ્રકાશ પાડે.

$t=t_1$ અને $t=t_2$ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ $t=t_l$ અને $t=t_2$, સેકન્ડ વચ્ચે પ્રવાસ કરેલા અંતરને $(t_2-t_1)$ વડે ભાગ્યા બરાબર છે. તેથી પ્રથમ બે સેકન્ડમાં સરેરાશ વેગ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

એ જ રીતે, $t=1$ અને $t=2$ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ છે

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

તે જ રીતે આપણે વિવિધ $t_1$ માટે $t=t_1$ અને $t=2$ વચ્ચેનો સરેરાશ વેગ ગણીએ છીએ. નીચેની કોષ્ટક 13.2 $(v), t=t_1$ સેકન્ડ અને $t=2$ સેકન્ડ માટે સરેરાશ વેગ આપે છે.

કોષ્ટક 12.1

કોષ્ટક 12.2

કોષ્ટક 12.2 માંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે સરેરાશ વેગ ધીમે ધીમે વધી રહ્યો છે. જેમ આપણે $t=2$ પર સમાપ્ત થતા સમય અંતરાલોને નાના બનાવીએ છીએ, આપણે જોઈએ છીએ કે $t=2$ પરના વેગની વધુ સારી સમજ મળે છે. આશા રાખીએ કે 1.99 સેકન્ડ અને 2 સેકન્ડ વચ્ચે કંઈ ખરેખર નાટકીય થતું નથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $t=2$ સેકન્ડ પરનો સરેરાશ વેગ ⟦50⟥ કરતા થોડો વધુ છે.

આ નિષ્કર્ષ નીચેના ગણનના સમૂહ દ્વારા કેટલાક અંશે મજબૂત થાય છે. $t=2$ સેકન્ડ પર શરૂ થતા વિવિધ સમય અંતરાલો માટે સરેરાશ વેગ ગણો. પહેલાની જેમ સરેરાશ વેગ $v$ $t=2$ સેકન્ડ અને $t=t_2$ સેકન્ડ વચ્ચે છે

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 સેકન્ડ અને } t_2 \text{ સેકન્ડ વચ્ચે પ્રવાસ કરેલું અંતર }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ સેકન્ડમાં પ્રવાસ કરેલું અંતર }- \text{ 2 સેકન્ડમાં પ્રવાસ કરેલું અંતર }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ સેકન્ડમાં પ્રવાસ કરેલું અંતર }-19.6}{t_2-2} $

નીચેની કોષ્ટક 12.3 $v$ સેકન્ડ અને $t=2$ સેકન્ડ વચ્ચે મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં સરેરાશ વેગ $t_2$ આપે છે.

કોષ્ટક 12.3

અહીં ફરીથી આપણે નોંધીએ છીએ કે જો આપણે $t=2$ પર શરૂ થતા નાના સમય અંતરાલો લઈએ, તો આપણને $t=2$ પરના વેગની વધુ સારી સમજ મળે છે.

ગણનના પ્રથમ સમૂહમાં, આપણે જે કર્યું છે તે $t=2$ પર સમાપ્ત થતા વધતા સમય અંતરાલોમાં સરેરાશ વેગ શોધવાનું છે અને પછી આશા રાખવી કે $t=2$ થી થોડા પહેલા કંઈ નાટકીય થતું નથી. ગણનના બીજા સમૂહમાં, આપણે $t=2$ પર સમાપ્ત થતા સમય અંતરાલોમાં ઘટતા સરેરાશ વેગ શોધ્યા છે અને પછી આશા રાખીએ છીએ કે $t=2$ થી થોડા પછી કંઈ નાટકીય થતું નથી. પૂર્ણ રીતે ભૌતિક આધાર પર, સરેરાશ વેગના આ બંને ક્રમ એક સામાન્ય સીમા તરફ પહોંચવા જ જોઈએ. આપણે સુરક્ષિત રીતે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે $t=2$ પર શરીરનો વેગ $19.551 m / s$ અને $19.649 m / s$ વચ્ચે છે. તકનીકી રીતે, આપણે કહીએ છીએ કે $t=2$ પરનો તાત્કાલિક વેગ $19.551 m / s$ અને $19.649 m / s$ વચ્ચે છે. જેમ સારી રીતે જાણીતું છે, વેગ એ સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે. તેથી આપણે જે પ્રાપ્ત કર્યું છે તે નીચે મુજબ છે. વિવિધ સમય ક્ષણો પર કાપેલા અંતરના આપેલા ડેટામાંથી આપણે આપેલ સમય ક્ષણે અંતરના ફેરફારના દરનો અંદાજ કાઢ્યો છે. આપણે કહીએ છીએ કે અંતર ફંક્શન $s=4.9 t^{2}$ નું વિકલિત $t=2$ પર 19.551 અને 19.649 વચ્ચે છે.

આ સીમા પ્રક્રિયાનો વૈકલ્પિક દૃશ્ય આકૃતિ 12.1 માં બતાવવામાં આવ્યો છે. આ ખીણની ટોચથી શરીરના અંતર $s$ વિરુદ્ધ વીતેલા સમય $t$ નો આલેખ છે. સીમા તરીકે જ્યારે સમય અંતરાલોનો ક્રમ $h_1, h_2, \ldots$, શૂન્ય તરફ પહોંચે છે, સરેરાશ વેગનો ક્રમ તે જ સીમા તરફ પહોંચે છે જે ગુણોત્તરના ક્રમ તરફ પહોંચે છે

આકૃતિ 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

જ્યાં $C_1 B_1=s_1-s_0$ એ સમય અંતરાલ $h_1=AC_1$, વગેરેમાં શરીર દ્વારા પ્રવાસ કરેલું અંતર છે. આકૃતિ 12.1 માંથી આ નિષ્કર્ષ પર આવવું સુરક્ષિત છે કે આ બાદનો ક્રમ વક્ર પરના બિંદુ $A$ પર સ્પર્શકના ઢાળ તરફ પહોંચે છે. બીજા શબ્દોમાં, સમય $t=2$ પર શરીરનો તાત્કાલિક વેગ $v(t)$ એ વક્ર $s=4.9 t^{2}$ ના સ્પર્શકના ઢાળ $t=2$ બરાબર છે.

12.3 સીમાઓ

ઉપરની ચર્ચા સ્પષ્ટપણે એ હકીકત તરફ ઇશારો કરે છે કે આપણે સીમા પ્રક્રિયાને વધુ સ્પષ્ટતા સાથે સમજવાની જરૂર છે. આપણે સીમાની સંકલ્પના સાથે કેટલીક પરિચિતતા મેળવવા માટે કેટલાક દૃષ્ટાંત ઉદાહરણોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.

ફંક્શન $f(x)=x^{2}$ ને ધ્યાનમાં લો. નિરીક્ષણ કરો કે જેમ $x$ 0 ની ખૂબ નજીકની કિંમતો લે છે, $f(x)$ ની કિંમત પણ 0 તરફ જાય છે (આકૃતિ 2.10 અધ્યાય 2 જુઓ). આપણે કહીએ છીએ

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ ની સીમા તરીકે વાંચવું જ્યારે $x$ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે શૂન્ય બરાબર). $f(x)$ ની સીમા તરીકે જ્યારે $x$ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે $f(x)$ ની કિંમત તરીકે વિચારવી જોઈએ જે $x=0$ પર ધારણ કરવી જોઈએ.

સામાન્ય રીતે જ્યારે $x \to a, f(x) \to l$, તો $l$ ને ફંક્શન $f(x)$ ની સીમા કહેવામાં આવે છે જેને પ્રતીકાત્મક રીતે $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

નીચેના ફંક્શન $g(x)=|x|, x \neq 0$ ને ધ્યાનમાં લો. નિરીક્ષણ કરો કે $g(0)$ વ્યાખ્યાયિત નથી. $x$ ની 0 ની ખૂબ નજીકની કિંમતો માટે $g(x)$ ની કિંમતની ગણતરી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે $g(x)$ ની કિંમત 0 તરફ જાય છે. તેથી, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$. આ $x \neq 0$ માટે $y=|x|$ ના આલેખમાંથી સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે. (આકૃતિ 2.13, અધ્યાય 2 જુઓ).

નીચેના ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો.

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ ની 2 ની ખૂબ નજીકની કિંમતો (પરંતુ 2 પર નહીં) માટે $h(x)$ ની કિંમતની ગણતરી કરો. તમારી જાતને ખાતરી કરો કે આ બધી કિંમતો 4 ની નજીક છે. આ અહીં આપેલા ફંક્શન $y=h(x)$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લેવાથી કેટલાક અંશે મજબૂત થાય છે (આકૃતિ 12.2).

આકૃતિ 12.2

આ બધા દૃષ્ટાંતોમાં, ફંક્શન દ્વારા આપેલા બિંદુ $x=a$ પર ધારણ કરવાની કિંમત ખરેખર $x$ કેવી રીતે $a$ તરફ વલણ ધરાવે છે તેના પર આધારિત નથી. નોંધ કરો કે અનિવાર્યપણે બે રીતો છે $x$ એક સંખ્યા $a$ ની નજીક પહોંચી શકે છે ક્યાં તો ડાબી બાજુથી અથવા જમણી બાજુથી, એટલે કે, $x$ ની $a$ ની નજીકની બધી કિંમતો $a$ કરતા ઓછી હોઈ શકે છે અથવા $a$ કરતા વધારે હોઈ શકે છે. આ સ્વાભાવિક રીતે બે સીમાઓ તરફ દોરી જાય છે - જમણા હાથની સીમા અને ડાબા હાથની સીમા. ફંક્શન $f(x)$ ની જમણા હાથની સીમા એ $f(x)$ ની કિંમત છે જે $f(x)$ ની કિંમતો દ્વારા નિર્દેશિત થાય છે જ્યારે $x$ $a$ તરફ જમણી બાજુથી વલણ ધરાવે છે. તે જ રીતે, ડાબા હાથની સીમા. આને સમજાવવા માટે, ફંક્શનને ધ્યાનમાં લો

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

આ ફંક્શનનો આલેખ આકૃતિ 12.3 માં બતાવવામાં આવ્યો છે. તે સ્પષ્ટ છે કે $x \leq 0$ સાથે $f(x)$ ની કિંમતો દ્વારા 0 પર $f$ ની કિંમત નિર્દેશિત થાય છે જે 1 બરાબર છે, એટલે કે, $f(x)$ ની 0 પર ડાબા હાથની સીમા છે $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

તે જ રીતે, $x>0$ સાથે $f(x)$ ની કિંમતો દ્વારા 0 પર $f$ ની કિંમત નિર્દેશિત થાય છે જે 2 બરાબર છે, એટલે કે, $f(x)$ ની 0 પર જમણા હાથની સીમા છે

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

આ કિસ્સામાં જમણા અને ડાબા હાથની સીમાઓ અલગ અલગ છે, અને તેથી આપણે કહીએ છીએ કે $f(x)$ ની સીમા તરીકે જ્યારે $x$ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે અસ્તિત્વમાં નથી (ભલે ફંક્શન 0 પર વ્યાખ્યાયિત હોય).

સારાંશ

આપણે કહીએ છીએ $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ એ $f$ ની $x=a$ પર અપેક્ષિત કિંમત છે જે $a$ ની ડાબી બાજુએ $x$ ની નજીક $f$ ની કિંમતો દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ કિંમતને $f$ ની $a$ પર ડાબા હાથની સીમા કહેવામાં આવે છે.

આપણે કહીએ છીએ $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ એ $f$ ની $x=a$ પર અપેક્ષિત કિંમત છે જે $a$ ની જમણી બાજુએ $x$ ની નજીક $f$ ની કિંમતો દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ કિંમતને $f(x)$ ની $a$ પર જમણા હાથની સીમા કહેવામાં આવે છે.

જો જમણા અને ડાબા હાથની સીમાઓ એકરુપ થાય, તો આપણે તે સામાન્ય કિંમતને $f(x)$ ની $x=a$ પરની સીમા કહીએ છીએ અને તેને $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ.

દૃષ્ટાંત 1 ફંક્શન $f(x)=x+10$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણે આ ફંક્શનની સીમા $x=5$ પર શોધવી છે. ચાલો $x$ ની 5 ની ખૂબ નજીકની કિંમતો માટે ફંક્શન $f(x)$ ની કિંમતની ગણતરી કરીએ. 5 ની નજીક અને ડાબી બાજુના કેટલાક બિંદુઓ $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, વગેરે છે. આ બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમતો નીચે કોષ્ટકમાં આપવામાં આવી છે. તે જ રીતે, વાસ્તવિક સંખ્યા 5.001,

5.01, 5.1 પણ 5 ની નજીક અને જમણી બાજુના બિંદુઓ છે. આ બિંદુઓ પર ફંક્શનની કિંમતો પણ કોષ્ટક 12.4 માં આપવામાં આવી છે.

કોષ્ટક 12.4

કોષ્ટક 12.4 માંથી, આપણે અનુમાન કાઢીએ છીએ કે $f(x)$ ની $x=5$ પરની કિંમત 14.995 કરતા વધારે અને 15.001 કરતા ઓછી હોવી જોઈએ, $x=4.995$ અને 5.001 વચ્ચે કંઈ નાટકીય થતું નથી એમ ધારીને. એ વાજબી છે કે ધારવું કે 5 ની ડાબી બાજુની સંખ્યાઓ દ્વારા નિર્દેશિત $f(x)$ ની $x=5$ પરની કિંમત 15 છે, એટલે કે,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

તે જ રીતે, જ્યારે $x$ જમણી બાજુથી 5 ની નજીક પહોંચે છે, $f(x)$ ને કિંમત 15 લેવી જોઈએ, એટલે કે,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

તેથી, તે સંભવિત છે કે $f(x)$ ની ડાબા હાથની સીમા અને $f(x)$ ની જમણા હાથની સીમા બંને 15 બરાબર છે. આમ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

15 બરાબર હોવાની આ સીમા વિશેનો નિષ્કર્ષ આ ફંક્શનના આલેખને જોવાથી કેટલાક અંશે મજબૂત થાય છે જે આકૃતિ 2.16, અધ્યાય 2 માં આપવામાં આવ્યો છે. આ આકૃતિમાં, આપણે નોંધીએ છીએ કે જેમ $x$ જમણી અથવા ડાબી બાજુથી 5 ની નજીક પહોંચે છે, ફંક્શન $f(x)=x+10$ નો આલેખ બિંદુ $(5,15)$ તરફ પહોંચે છે.

આપણે નિરીક્ષણ કરીએ છીએ કે $x=5$ પર ફંક્શનની કિંમત પણ 15 બરાબર થાય છે.

દૃષ્ટાંત 2 ફંક્શન $f(x)=x^{3}$ ને ધ્યાનમાં લો. ચાલો આ ફંક્શનની સીમા $x=1$ પર શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. પહેલાના કિસ્સાની જેમ આગળ વધીને, આપણે $x$ ની 1 ની નજીકની કિંમતો પર $f(x)$ ની કિંમતનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ. આ કોષ્ટક 12.5 માં આપવામાં આવ્યું છે.

કોષ્ટક 12.5

આ કોષ્ટકમાંથી, આપણે અનુમાન કાઢીએ છીએ કે $f(x)$ ની $x=1$ પરની કિંમત 0.997002999 કરતા વધારે અને 1.003003001 કરતા ઓછી હોવી જોઈએ, $x=0.999$ અને 1.001 વચ્ચે કંઈ નાટકીય થતું નથી એમ ધારીને. એ વાજબી છે કે ધારવું કે 1 ની ડાબી બાજુની સંખ્યાઓ દ્વારા નિર્દેશિત $f(x)$ ની $x=1$ પરની કિંમત 1 છે, એટલે કે,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

તે જ રીતે, જ્યારે $x$ જમણી બાજુથી 1 ની નજીક પહોંચે છે, $f(x)$ ને કિંમત 1 લેવી જોઈએ, એટલે કે,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

તેથી, તે સંભવિત છે કે $f(x)$ ની ડાબા હાથની સીમા અને $f(x)$ ની જમણા હાથની સીમા બંને 1 બરાબર છે. આમ,

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

1 બરાબર હોવાની આ સીમા વિશેનો નિષ