જ્યાં ગાણિતિક તર્ક લાગુ પાડી શકાય, ત્યાં અન્ય કોઈ પણ તર્કનો ઉપયોગ કરવો એ એટલી જ મૂર્ખાઈ છે, કે જ્યારે તમારા હાથમાં મીણબત્તી હોય ત્યારે અંધારામાં કોઈ વસ્તુ શોધવા માટે ટટ્ટાર ફરવું. - જ્હોન આર્બથનોટ

14.1 ઘટના

અમે રેન્ડમ પ્રયોગ અને પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ નમૂના અવકાશ વિશે અભ્યાસ કર્યો છે. નમૂના અવકાશ પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ તમામ પ્રશ્નો માટે સાર્વત્રિક સમૂહ તરીકે કાર્ય કરે છે.

બે વાર સિક્કો ઉછાળવાના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. સંકળાયેલ નમૂના અવકાશ $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ છે.

હવે ધારો કે આપણે તે પરિણામોમાં રસ ધરાવીએ છીએ જે બરાબર એક હેડની ઘટના સાથે સંબંધિત છે. આપણે શોધીએ છીએ કે $HT$ અને $TH$ એ $S$ ના એકમાત્ર તત્વો છે જે આ ઘટના (ઇવેન્ટ)ની ઘટના સાથે સંબંધિત છે. આ બે તત્વો સમૂહ $E=\{HT, TH\}$ બનાવે છે

આપણે જાણીએ છીએ કે સમૂહ $E$ એ નમૂના અવકાશ $S$ નો ઉપસમૂહ છે. તે જ રીતે, આપણે S ના ઉપસમૂહો અને ઘટનાઓ વચ્ચે નીચેનો પત્રવ્યવહાર શોધીએ છીએ.

ઉપરની ચર્ચા સૂચવે છે કે નમૂના અવકાશનો ઉપસમૂહ એક ઘટના સાથે સંકળાયેલ છે અને એક ઘટના નમૂના અવકાશના ઉપસમૂહ સાથે સંકળાયેલ છે. આના પ્રકાશમાં આપણે ઘટનાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા નમૂના અવકાશ $S$ નો કોઈપણ ઉપસમૂહ $E$ એ ઘટના કહેવાય છે.

14.1.1 ઘટનાની ઘટના

ડાઇ ફેંકવાના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. ચાલો $E$ એ ઘટના “4 કરતાં ઓછી સંખ્યા દેખાય છે” નો ઉલ્લેખ કરે છે. જો ખરેખર ડાઇ પર ‘1’ દેખાઈ હોય તો આપણે કહીએ છીએ કે ઘટના $E$ બની છે. હકીકતમાં જો પરિણામો 2 અથવા 3 હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે ઘટના $E$ બની છે

આમ, નમૂના અવકાશ $S$ ની ઘટના $E$ બની હોવાનું કહેવાય છે જો પ્રયોગનું પરિણામ $\omega$ એવું હોય કે $\omega \in E$. જો પરિણામ $\omega$ એવું હોય કે $\omega \notin E$, તો આપણે કહીએ છીએ કે ઘટના $E$ બની નથી.

14.1.2 ઘટનાઓના પ્રકારો

ઘટનાઓને તેમનામાં રહેલા તત્વોના આધારે વિવિધ પ્રકારોમાં વર્ગીકૃત કરી શકાય છે.

1. અશક્ય અને નિશ્ચિત ઘટનાઓ ખાલી સમૂહ $\phi$ અને નમૂના અવકાશ $S$ ઘટનાઓનું વર્ણન કરે છે. હકીકતમાં $\phi$ ને અશક્ય ઘટના કહેવામાં આવે છે અને S, એટલે કે, સમગ્ર નમૂના અવકાશને નિશ્ચિત ઘટના કહેવામાં આવે છે.

આને સમજવા માટે ચાલો ડાઇ રોલિંગના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લઈએ. સંકળાયેલ નમૂના અવકાશ છે $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

ચાલો $E$ એ ઘટના “ડાઇ પર દેખાતી સંખ્યા 7 નો ગુણાંક છે” હોય. શું તમે ઘટના $E$ સાથે સંકળાયેલ ઉપસમૂહ લખી શકો છો?

સ્પષ્ટ છે કે ઘટનામાં આપેલી શરતને કોઈ પરિણામ સંતોષતું નથી, એટલે કે, નમૂના અવકાશનું કોઈ પણ તત્વ ઘટના $E$ ની ઘટના સુનિશ્ચિત કરતું નથી. આમ, આપણે કહીએ છીએ કે ખાલી સમૂહ માત્ર ઘટના $E$ ને અનુરૂપ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આપણે કહી શકીએ કે ડાઇના ઉપરના ભાગ પર 7 નો ગુણાંક હોવો અશક્ય છે. આમ, ઘટના $E=\phi$ એ અશક્ય ઘટના છે.

હવે ચાલો બીજી ઘટના $F$ “જે સંખ્યા આવે છે તે વિષમ અથવા સમ છે” લઈએ. સ્પષ્ટ છે કે $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, એટલે કે, પ્રયોગના તમામ પરિણામો ઘટના $F$ ની ઘટના સુનિશ્ચિત કરે છે. આમ, ઘટના $F=S$ એ નિશ્ચિત ઘટના છે.

2. સરળ ઘટના જો ઘટના $E$ માં નમૂના અવકાશનો માત્ર એક નમૂના બિંદુ હોય, તો તેને સરળ (અથવા પ્રાથમિક) ઘટના કહેવામાં આવે છે. $n$ અલગ તત્વો ધરાવતા નમૂના અવકાશમાં, બરાબર $n$ સરળ ઘટનાઓ હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે બે સિક્કા ટૉસ કરવાના પ્રયોગમાં, નમૂના અવકાશ છે

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

આ નમૂના અવકાશને અનુરૂપ ચાર સરળ ઘટનાઓ છે. આ છે

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. સંયુક્ત ઘટના જો કોઈ ઘટનામાં એક કરતાં વધુ નમૂના બિંદુ હોય, તો તેને સંયુક્ત ઘટના કહેવામાં આવે છે

ઉદાહરણ તરીકે, “સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવા"ના પ્રયોગમાં ઘટનાઓ

E: ‘બરાબર એક હેડ દેખાય છે’

F: ‘ઓછામાં ઓછો એક હેડ દેખાય છે’

G: ‘વધુમાં વધુ એક હેડ દેખાય છે’ વગેરે.

બધી સંયુક્ત ઘટનાઓ છે. $S$ ના આ ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલા ઉપસમૂહો છે

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

ઉપરોક્ત દરેક ઉપસમૂહમાં એક કરતાં વધુ નમૂના બિંદુઓ હોય છે, તેથી તે બધી સંયુક્ત ઘટનાઓ છે.

14.1.3 ઘટનાઓનું બીજગણિત

સેટ્સના પ્રકરણમાં, આપણે બે અથવા વધુ સમૂહોને જોડવાની વિવિધ રીતોનો અભ્યાસ કર્યો છે, જેમ કે, યુનિયન, આંતરછેદ, તફાવત, સમૂહનો પૂરક વગેરે. તે જ રીતે આપણે સમાન સમૂહ સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને બે અથવા વધુ ઘટનાઓને જોડી શકીએ છીએ.

ચાલો A, B, C એ એવા પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓ છે જેનો નમૂના અવકાશ S છે.

1. પૂરક ઘટના દરેક ઘટના A માટે, બીજી ઘટના $A^{\prime}$ અનુરૂપ છે જેને $A$ ની પૂરક ઘટના કહેવામાં આવે છે. તેને ‘$A$ નહીં’ ઘટના પણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ‘ત્રણ સિક્કા ટૉસ કરવા’ના પ્રયોગને લો. સંકળાયેલ નમૂના અવકાશ છે $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

ચાલો $A=\{HTH, HHT, THH\}$ એ ઘટના ‘માત્ર એક ટેલ દેખાય છે’ હોય. સ્પષ્ટ છે કે પરિણામ HTT માટે, ઘટના A બની નથી. પરંતુ આપણે કહી શકીએ કે ઘટના ‘A નહીં’ બની છે. આમ, દરેક પરિણામ જે A માં નથી, તે માટે આપણે કહીએ છીએ કે ‘A નહીં’ બને છે.

આમ ઘટના A ની પૂરક ઘટના ‘A નહીં’ છે

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

અથવા $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ અને } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ઘટના ‘A અથવા B’ યાદ રાખો કે બે સમૂહો A અને B નું યુનિયન A $\cup$ B દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં તે તમામ તત્વો હોય છે જે ક્યાં તો A માં અથવા B માં અથવા બંનેમાં હોય છે.

જ્યારે સમૂહો $A$ અને $B$ નમૂના અવકાશ સાથે સંકળાયેલી બે ઘટનાઓ હોય, તો ‘A $\cup B$ ’ એ ઘટના ‘ક્યાં તો $A$ અથવા $B$ અથવા બંને’ છે. આ ઘટના ‘A $\cup B$ ’ ને ‘A અથવા B’ પણ કહેવામાં આવે છે. તેથી

$ \begin{aligned} \text{ ઘટના }^{\prime} A \text{ અથવા } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ અથવા } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ઘટના ‘A અને B’ આપણે જાણીએ છીએ કે બે સમૂહો $A \cap B$ નો આંતરછેદ એ તે તત્વોનો સમૂહ છે જે A અને B બંને માટે સામાન્ય છે. એટલે કે, જે ‘A અને B’ બંનેના છે.

જો $A$ અને $B$ બે ઘટનાઓ છે, તો સમૂહ $A \cap B$ ઘટના ‘$A$ અને $B$’ નો ઉલ્લેખ કરે છે.

આમ, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

ઉદાહરણ તરીકે, ‘ડાઇને બે વાર ફેંકવા’ના પ્રયોગમાં ચાલો $A$ એ ઘટના ‘પ્રથમ થ્રો પર સ્કોર છ છે’ હોય અને B એ ઘટના ‘બે સ્કોરનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 11 છે’ હોય, તો

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ અને } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

તેથી $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

નોંધ કરો કે સમૂહ $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ઘટના ‘પ્રથમ થ્રો પર સ્કોર છ છે અને સ્કોરનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો 11 છે’ નું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે.

4. ઘટના ‘A પરંતુ B નહીં’ આપણે જાણીએ છીએ કે A-B એ તે તમામ તત્વોનો સમૂહ છે જે A માં છે પરંતુ B માં નથી. તેથી, સમૂહ A-B ઘટના ‘A પરંતુ B નહીં’ નો ઉલ્લેખ કરી શકે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $ A-B=A \cap B^{\prime} $

ઉદાહરણ 1 ડાઇ રોલિંગના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. ચાલો A એ ઘટના ‘પ્રાઇમ નંબર મળે છે’ હોય, B એ ઘટના ‘વિષમ સંખ્યા મળે છે’ હોય. સમૂહો લખો જે ઘટનાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (i) A અથવા B (ii) A અને B (iii) A પરંતુ B નહીં (iv) ‘A નહીં’.

ઉકેલ અહીં $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ અને $B=\{1,3,5\}$

સ્પષ્ટ છે

(i) ‘A અથવા $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ અને $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A પરંતુ $B$ નહીં’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ નહીં

14.1.4 પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ

ડાઇ રોલિંગના પ્રયોગમાં, નમૂના અવકાશ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ છે. ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો, $A$ ‘વિષમ સંખ્યા દેખાય છે’ અને $B$ ‘સમ સંખ્યા દેખાય છે’

સ્પષ્ટ છે કે ઘટના A ઘટના B ને બાકાત રાખે છે અને ઊલટું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ પરિણામ નથી જે ઘટનાઓ A અને B ની એક સાથે ઘટના સુનિશ્ચિત કરે. અહીં

$A=\{1,3,5\}$ અને $B=\{2,4,6\}$

સ્પષ્ટ છે કે $A \cap B=\phi$, એટલે કે, $A$ અને $B$ અલગ સમૂહો છે.

સામાન્ય રીતે, બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ને પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે જો તેમાંથી કોઈ એકની ઘટના બીજી ઘટનાને બાકાત રાખે છે, એટલે કે, જો તે એક સાથે બની શકતી નથી. આ કિસ્સામાં સમૂહો A અને B અલગ હોય છે.

ફરીથી ડાઇ રોલિંગના પ્રયોગમાં, ઘટના A ‘વિષમ સંખ્યા દેખાય છે’ અને ઘટના $B$ ‘4 કરતાં ઓછી સંખ્યા દેખાય છે’ ધ્યાનમાં લો

સ્પષ્ટ છે કે $A=\{1,3,5\}$ અને $B=\{1,2,3\}$

હવે $3 \in A$ તેમજ $3 \in B$

તેથી, A અને B પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ નથી.

ટિપ્પણી નમૂના અવકાશની સરળ ઘટનાઓ હંમેશા પરસ્પર અનન્ય હોય છે.

14.1.5 વ્યાપક ઘટનાઓ

ડાઇ ફેંકવાના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ છે. ચાલો નીચેની ઘટનાઓ વ્યાખ્યાયિત કરીએ

A: ‘4 કરતાં ઓછી સંખ્યા દેખાય છે’,

B: ‘2 કરતાં વધુ પરંતુ 5 કરતાં ઓછી સંખ્યા દેખાય છે’

અને C: ‘4 કરતાં વધુ સંખ્યા દેખાય છે’.

પછી $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ અને $C=\{5,6\}$. આપણે નોંધ્યું છે કે

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

આવી ઘટનાઓ $A, B$ અને $C$ ને વ્યાપક ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે, જો $E_1, E_2, \ldots, E_n$ નમૂના અવકાશ $S$ ની $n$ ઘટનાઓ હોય અને જો

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

તો $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ને વ્યાપક ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘટનાઓ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ને વ્યાપક કહેવામાં આવે છે જો જ્યારે પ્રયોગ કરવામાં આવે ત્યારે તેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના જરૂરી રીતે બને છે.

વધુમાં, જો $E_i \cap E_j=\phi$ $i \neq j$ માટે, એટલે કે, ઘટનાઓ $E_i$ અને $E_j$ જોડી પ્રમાણે અલગ હોય અને $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, તો ઘટનાઓ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ને પરસ્પર અનન્ય અને વ્યાપક ઘટનાઓ કહેવામાં આવે છે.

હવે આપણે કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ઉદાહરણ 2 બે ડાઇ ફેંકવામાં આવે છે અને ડાઇ પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો નોંધવામાં આવે છે. ચાલો આ પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલી નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લઈએ

A: ‘સરવાળો સમ છે’.

B: ‘સરવાળો 3 નો ગુણાંક છે’.

C: ‘સરવાળો 4 કરતાં ઓછો છે’.

$D$ : ‘સરવાળો 11 કરતાં વધુ છે’.

આ ઘટનાઓમાંથી કઈ જોડી પરસ્પર અનન્ય છે?

ઉકેલ નમૂના અવકાશ $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ માં 36 તત્વો છે.

પછી $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

આપણે શોધીએ છીએ કે

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

તેથી, $A$ અને $B$ પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ નથી.

તે જ રીતે $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ અને $B \cap D \neq \phi$.

આમ, ઘટનાઓની જોડી, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ નથી.

તેમજ $C \cap D=\phi$ અને તેથી $C$ અને $D$ પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ છે.

ઉદાહરણ 3 $A$ સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે છે, નીચેની ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લો. દેખાય છે’.

$\mathrm{A}$ : ‘કોઈ હેડ દેખાતો નથી’, $\mathrm{B}$ : ‘બરાબર એક હેડ દેખાય છે’ અને $\mathrm{C}$ : ‘ઓછામાં ઓછા બે હેડ દેખાય છે’

શું તેઓ પરસ્પર અનન્ય અને વ્યાપક ઘટનાઓનો સમૂહ બનાવે છે?

ઉકેલ પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ છે

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

અને $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

હવે $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

તેથી, $A, B$ અને $C$ વ્યાપક ઘટનાઓ છે.

તેમજ, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ અને $B \cap C=\phi$

તેથી, ઘટનાઓ જોડી પ્રમાણે અલગ છે, એટલે કે, તે પરસ્પર અનન્ય છે.

આથી, A, B અને C પરસ્પર અનન્ય અને વ્યાપક ઘટનાઓનો સમૂહ બનાવે છે.

14.2 સંભાવનાનો સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ

પહેલાના વિભાગોમાં, આપણે રેન્ડમ પ્રયોગો, નમૂના અવકાશ અને આ પ્રયોગો સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓ ધ્યાનમાં લીધી છે. આપણી રોજિંદા જીવનમાં આપણે ઘટનાઓની ઘટના અથવા ન ઘટવાની તકો વિશે ઘણા શબ્દોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સંભાવના સિદ્ધાંત આ ઘટનાઓની ઘટના અથવા ન ઘટવાની તકોને માત્રામાં વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

પહેલાના વર્ગોમાં, આપણે કુલ પરિણામોની સંખ્યા જાણીને પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાને સંભાવના સોંપવાની કેટલીક પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કર્યો છે.

સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ એ ઘટનાની સંભાવના વર્ણવવાની બીજી રીત છે. આ અભિગમમાં સંભાવનાઓ સોંપવા માટે કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ અથવા નિયમો દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ચાલો $S$ રેન્ડમ પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ હોય. સંભાવના $P$ એ વાસ્તવિક મૂલ્યવાળું ફંક્શન છે જેનું ડોમેન $S$ ની પાવર સેટ છે અને રેન્જ અંતરાલ $[0,1]$ છે જે નીચેના સ્વયંસિદ્ધોને સંતોષે છે

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) જો $E$ અને $F$ પરસ્પર અનન્ય ઘટનાઓ હોય, તો $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$.

તે (iii) માંથી અનુસરે છે કે $P(\phi)=0$. આ સાબિત કરવા માટે, આપણે $F=\phi$ લઈએ છીએ અને નોંધ્યું છે કે $E$ અને $\phi$ અલગ ઘટનાઓ છે. તેથી, સ્વયંસિદ્ધ (iii) માંથી, આપણને મળે છે

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ અથવા } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ એટલે } P(\phi)=0 \text{. } $

ચાલો $S$ એ નમૂના અવકાશ હોય જેમાં પરિણામો $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ હોય, એટલે કે,

$$ S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} $$

તે સંભાવ