ગણિત એ બધા ભૌતિક સંશોધનનું અનિવાર્ય સાધન છે. - બર્થેલોટ

2.1 પ્રસ્તાવના

ગણિતનો મોટો ભાગ એક પેટર્ન શોધવા વિશે છે - જે જથ્થાઓ વચ્ચેનો ઓળખી શકાય તેવો સંબંધ છે જે બદલાય છે. આપણા રોજિંદા જીવનમાં, આપણે ઘણા પેટર્નો જોઈએ છીએ જે સંબંધોને દર્શાવે છે જેમ કે ભાઈ અને બહેન, પિતા અને પુત્ર, શિક્ષક અને વિદ્યાર્થી. ગણિતમાં પણ, આપણે ઘણા સંબંધો જોઈએ છીએ જેમ કે સંખ્યા $m$ એ સંખ્યા $n$ કરતાં ઓછી છે, રેખા $l$ એ રેખા $m$ ને સમાંતર છે, સમૂહ $A$ એ સમૂહ $B$ નો ઉપસમૂહ છે. આ બધામાં, આપણે નોંધીએ છીએ કે સંબંધમાં ચોક્કસ ક્રમમાં વસ્તુઓની જોડીનો સમાવેશ થાય છે. આ પ્રકરણમાં, આપણે શીખીશું કે કેવી રીતે બે સમૂહોમાંથી વસ્તુઓની જોડીને જોડવી અને પછી જોડીમાંની બે વસ્તુઓ વચ્ચે સંબંધો રજૂ કરવા. અંતે, આપણે વિશિષ્ટ સંબંધો વિશે શીખીશું જે વિધેયો તરીકે ગણાશે.

જી.ડબ્લ્યુ.લીબનીટ્ઝ (૧૬૪૬-૧૭૧૬ ઈ.સ.)

વિધેયનો ખ્યાલ ગણિતમાં ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે એક જથ્થા સાથે બીજા જથ્થા વચ્ચેના ગાણિતિક રીતે ચોક્કસ પત્રવ્યવહારનો ખ્યાલ પકડે છે.

2.2 સમૂહોનો કાર્ટેશિયન ગુણાકાર

ધારો કે A એ 2 રંગોનો સમૂહ છે અને B એ 3 વસ્તુઓનો સમૂહ છે, એટલે કે,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

જ્યાં $b, c$ અને $s$ અનુક્રમે ચોક્કસ બેગ, કોટ અને શર્ટને દર્શાવે છે.

આ બે સમૂહોમાંથી કેટલી રંગીન વસ્તુઓની જોડી બનાવી શકાય?

ખૂબ જ વ્યવસ્થિત રીતે આગળ વધતાં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ત્યાં 6 અલગ અલગ જોડીઓ હશે જે નીચે મુજબ છે:

(લાલ, $b$ ), (લાલ, $c$ ), (લાલ, $s$ ), (નીલો, $b$ ), (નીલો, $c$ ), (નીલો, $s$ ).

આમ, આપણને 6 અલગ વસ્તુઓ મળે છે (આકૃતિ 2.1).

આકૃતિ 2.1

ચાલો આપણા પહેલાના વર્ગોમાંથી યાદ કરીએ કે કોઈપણ બે સમૂહો $P$ અને $Q$ માંથી લેવાયેલ તત્વોની ક્રમયુક્ત જોડી એ તત્વોની જોડી છે જે નાના કૌંસમાં લખાયેલી અને ચોક્કસ ક્રમમાં એકસાથે જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, $(p, q), p \in P$ અને $q \in Q$. આ નીચેની વ્યાખ્યા તરફ દોરી જાય છે:

વ્યાખ્યા 1 બે શૂન્યેતર સમૂહો $P$ અને $Q$ આપેલ છે. કાર્ટેશિયન ગુણાકાર $P \times Q$ એ $P$ અને $Q$ માંથી લેવાયેલ તત્વોની બધી જ ક્રમયુક્ત જોડીઓનો સમૂહ છે, એટલે કે,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

જો કાં તો $P$ અથવા $Q$ શૂન્ય સમૂહ હોય, તો $P \times Q$ પણ શૂન્ય સમૂહ હશે, એટલે કે, $P \times Q=\phi$

ઉપર આપેલ દૃષ્ટાંત પરથી આપણે નોંધીએ છીએ કે

$A \times B=\{(red, b),($ લાલ,$c),($ લાલ,$s),($ નીલો,$b),($ નીલો,$c),($ નીલો,$s)\}$.

ફરીથી, બે સમૂહો ધ્યાનમાં લો:

$A=\{DL, MP, KA\}$, જ્યાં DL, MP, KA અનુક્રમે દિલ્હી, મધ્ય પ્રદેશ અને કર્ણાટકને દર્શાવે છે અને B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP અને KA દ્વારા જારી કરાયેલ વાહનોના લાઇસન્સ પ્લેટ માટેના કોડને દર્શાવે છે.

જો ત્રણ રાજ્યો, દિલ્હી, મધ્ય પ્રદેશ અને કર્ણાટક વાહનોના લાઇસન્સ પ્લેટ માટે કોડ બનાવી રહ્યાં હોય, તે પ્રતિબંધ સાથે કે કોડ સમૂહ $A$ માંથી એક તત્વથી શરૂ થાય, તો આ સમૂહોમાંથી કઈ જોડીઓ ઉપલબ્ધ છે અને આવી કેટલી જોડીઓ હશે (આકૃતિ 2.2)?

આકૃતિ 2.2

ઉપલબ્ધ જોડીઓ છે:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ અને સમૂહ $A$ અને સમૂહ $B$ નો ગુણાકાર $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

આ સરળતાથી જોઈ શકાય છે કે કાર્ટેશિયન ગુણાકારમાં આવી 9 જોડીઓ હશે, કારણ કે સમૂહ A અને B દરેકમાં 3 તત્વો છે. આ આપણને 9 સંભવિત કોડ આપે છે. એ પણ નોંધો કે જે ક્રમમાં આ તત્વો જોડાયેલા છે તે મહત્વપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોડ (DL, 01 ) એ કોડ $(01, DL)$ જેવો જ નહીં હોય.

અંતિમ દૃષ્ટાંત તરીકે, બે સમૂહો $A=\{a_1, a_2\}$ અને $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ 2.3).

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

આ રીતે બનેલી 8 ક્રમયુક્ત જોડીઓ સમતલમાં બિંદુઓની સ્થિતિ દર્શાવી શકે છે જો A અને B વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહના ઉપસમૂહો હોય અને તે સ્પષ્ટ છે કે સ્થિતિ $(a_1, b_2)$ માંનું બિંદુ સ્થિતિ $(b_2, a_1)$ માંના બિંદુથી અલગ હશે.

આકૃતિ 2.3

ટિપ્પણીઓ

(i) બે ક્રમયુક્ત જોડીઓ સમાન હોય છે, જો અને માત્ર જો અનુરૂપ પ્રથમ તત્વો સમાન હોય અને બીજા તત્વો પણ સમાન હોય.

(ii) જો $p$ માં $A$ તત્વો હોય અને $q$ માં $B$ તત્વો હોય, તો $p q$ માં $A \times B$ તત્વો હશે, એટલે કે, જો $n(A)=p$ અને $n(B)=q$, તો $n(A \times B)=p q$.

(iii) જો $A$ અને $B$ શૂન્યેતર સમૂહો હોય અને કાં તો $A$ અથવા $B$ અનંત સમૂહ હોય, તો $A \times B$ પણ અનંત સમૂહ હશે.

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. અહીં $(a, b, c)$ ને ક્રમયુક્ત ત્રિપુટી કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1 જો $(x+1, y-2)=(3,1)$, તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધો.

ઉકેલ ક્રમયુક્ત જોડીઓ સમાન હોવાથી, અનુરૂપ તત્વો સમાન છે.

તેથી

$ x+1=3 \text { અને } y-2=1 \text {. } $

ઉકેલવાથી આપણને $\quad x=2$ અને $y=3$ મળે છે.

ઉદાહરણ 2 જો $P=\{a, b, c\}$ અને $Q=\{r\}$, તો સમૂહો $P \times Q$ અને $Q \times P$ બનાવો.

શું આ બે ગુણાકાર સમાન છે?

ઉકેલ કાર્ટેશિયન ગુણાકારની વ્યાખ્યા પ્રમાણે,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ક્રમયુક્ત જોડીઓની સમાનતાની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, જોડી $(a, r)$ એ જોડી $(r, a)$ જેટલી નથી હોવાથી, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે $P \times Q \neq Q \times P$.

જો કે, દરેક સમૂહમાં તત્વોની સંખ્યા સમાન હશે.

ઉદાહરણ 3 ધારો કે $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ અને $C=\{4,5,6\}$. શોધો

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

ઉકેલ (i) બે સમૂહોના છેદની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, $(B \cap C)=\{4\}$.

તેથી, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) હવે $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ અને $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

તેથી, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) કારણ કે, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

આપણી પાસે $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ છે.

(iv) ભાગ (ii) માંથી સમૂહો $A \times B$ અને $A \times C$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$.

ઉદાહરણ 4 જો $P=\{1,2\}$, તો સમૂહ $P \times P \times P$ બનાવો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $.

ઉદાહરણ 5 જો $\mathbf{R}$ એ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય, તો કાર્ટેશિયન ગુણાકારો $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ અને $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ શું દર્શાવે છે?

ઉકેલ કાર્ટેશિયન ગુણાકાર $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ સમૂહ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ ને દર્શાવે છે જે બે-પરિમાણીય અવકાશમાં બધા બિંદુઓના યામો દર્શાવે છે અને કાર્ટેશિયન ગુણાકાર $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ સમૂહ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ ને દર્શાવે છે જે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બધા બિંદુઓના યામો દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 6 જો $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, તો $A$ અને $B$ શોધો.

ઉકેલ

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 સંબંધો

બે સમૂહો $P=\{a, b, c\}$ અને $Q=\{$ અલી, ભાનુ, બિનોય, ચંદ્રા, દિવ્યા $\}$ ધ્યાનમાં લો.

$P$ અને $Q$ ના કાર્ટેશિયન ગુણાકારમાં 15 ક્રમયુક્ત જોડીઓ છે જેને $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ભાનુ), (a, બિનોય), …, (c, દિવ્યા) $\}$ તરીકે યાદી બનાવી શકાય.

આકૃતિ 2.4

હવે આપણે $P \times Q$ નો ઉપસમૂહ મેળવી શકીએ છીએ તે દરેક ક્રમયુક્ત જોડી $(x, y)$ ના પ્રથમ તત્વ $x$ અને બીજા તત્વ $y$ વચ્ચે સંબંધ $R$ રજૂ કરીને

$R=\{(x, y): x$ એ નામ $y, x \in P, y \in Q\}$ નો પ્રથમ અક્ષર છે.

તો પછી $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, ચંદ્રા $)\}$

આ સંબંધ $R$ નું દ્રશ્ય નિરૂપણ (તીર આકૃતિ તરીકે ઓળખાય છે) આકૃતિ 2.4 માં બતાવેલ છે.

વ્યાખ્યા 2 શૂન્યેતર સમૂહ $A$ થી શૂન્યેતર સમૂહ $B$ સુધીનો સંબંધ $R$ એ કાર્ટેશિયન ગુણાકાર $A \times B$ નો ઉપસમૂહ છે. ઉપસમૂહ $A \times B$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓના પ્રથમ તત્વ અને બીજા તત્વ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરીને મેળવવામાં આવે છે. બીજા તત્વને પ્રથમ તત્વનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3 સમૂહ A થી સમૂહ $B$ સુધીના સંબંધ $R$ માંની ક્રમયુક્ત જોડીઓના બધા પ્રથમ તત્વોના સમૂહને સંબંધ $R$ નો પ્રદેશ કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 4 સમૂહ $A$ થી સમૂહ $B$ સુધીના સંબંધ $R$ માંના બધા બીજા તત્વોના સમૂહને સંબંધ $R$ નો વિસ્તાર કહેવામાં આવે છે. સમગ્ર સમૂહ $B$ ને સંબંધ $R$ નો સહપ્રદેશ કહેવામાં આવે છે. નોંધો કે વિસ્તાર $\subset$ સહપ્રદેશ.

ટિપ્પણીઓ (i) સંબંધને બીજગણિતીય રીતે કાં તો રોસ્ટર પદ્ધતિ દ્વારા અથવા સમૂહ-રચક પદ્ધતિ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.

(ii) તીર આકૃતિ એ સંબંધનું દ્રશ્ય નિરૂપણ છે.

ઉદાહરણ 7 ધારો કે $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. સંબંધ $R$ ને $A$ થી $A$ સુધી વ્યાખ્યાયિત કરો $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) આ સંબંધને તીર આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો.

(ii) $R$ નો પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર લખો.

ઉકેલ (i) સંબંધની વ્યાખ્યા પ્રમાણે,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

અનુરૂપ તીર આકૃતિ આકૃતિ 2.5 માં બતાવેલ છે.

આકૃતિ 2.5

(ii) આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે પ્રદેશ $=\{1,2,3,4,5\}$

તેવી જ રીતે, વિસ્તાર $=\{2,3,4,5,6\}$ અને સહપ્રદેશ $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

ઉદાહરણ 8 આકૃતિ 2.6 સમૂહો $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. આ સંબંધ લખો (i) સમૂહ-રચક સ્વરૂપમાં, (ii) રોસ્ટર સ્વરૂપમાં. તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શું છે?

આકૃતિ 2.6

ઉકેલ તે સ્પષ્ટ છે કે સંબંધ $R$ એ “$x$ એ $y$ નો વર્ગ છે”.

(i) સમૂહ-રચક સ્વરૂપમાં, $R=\{(x, y): x$ એ $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ નો વર્ગ છે

(ii) રોસ્ટર સ્વરૂપમાં, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

આ સંબંધનો પ્રદેશ $\{4,9,25\}$ છે.

આ સંબંધનો વિસ્તાર $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ છે.

નોંધો કે તત્વ 1 સમૂહ $P$ માંના કોઈપણ તત્વ સાથે સંબંધિત નથી. સમૂહ $Q$ એ આ સંબંધનો સહપ્રદેશ છે.

નોંધ - સમૂહ $A$ થી સમૂહ $B$ સુધી વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય તેવા કુલ સંબંધોની સંખ્યા $A \times B$ ના સંભવિત ઉપસમૂહોની સંખ્યા છે. જો $n(A)=p$ અને $n(B)=q$, તો $n(A \times B)=p q$ અને કુલ સંબંધોની સંખ્યા $2^{p q}$ છે.

ઉદાહરણ 9 ધારો કે $A=\{1,2\}$ અને $B=\{3,4\}$. A થી B સુધીના સંબંધોની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

કારણ કે $n(A \times B)=4$, $A \times B$ ના ઉપસમૂહોની સંખ્યા $2^{4}$ છે. તેથી, $A$ માંથી $B$ માં સંબંધોની સંખ્યા $2^{4}$ હશે.

ટિપ્પણી સમૂહ $A$ થી સમૂહ $A$ સુધીનો સંબંધ $R$ એ સમૂહ $A$ પરનો સંબંધ તરીકે પણ જાણીતો છે.

2.4 વિધેયો

આ વિભાગમાં, આપણે સંબંધનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર જેને વિધેય કહેવાય છે તેનો અભ્યાસ કરીશું. તે ગણિતના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોમાંનો એક છે. આપણે વિધેયને એક નિયમ તરીકે કલ્પના કરી શકીએ છીએ, જે કેટલાક આપેલા તત્વોમાંથી નવા તત્વો ઉત્પન્ન કરે છે. વિધેયને દર્શાવવા માટે ‘મેપ’ અથવા ‘મેપિંગ’ જેવા ઘણા શબ્દોનો ઉપયોગ થાય છે.

વ્યાખ્યા 5 સમૂહ $A$ થી સમૂહ $B$ સુધીનો સંબંધ $f$ એ વિધેય કહેવાય છે જો સમૂહ $A$ ના દરેક તત્વનું સમૂહ $B$ માં એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિધેય $f$ એ શૂન્યેતર સમૂહ $A$ થી શૂન્યેતર સમૂહ $B$ સુધીનો સંબંધ છે જેમ કે $f$ નો પ્રદેશ $A$ છે અને $f$ માંની બે અલગ ક્રમયુક્ત જોડીઓનું પ્રથમ તત્વ સમાન ન હોય.

જો $f$ એ A થી B સુધીનો વિધેય હોય અને $(a, b) \in f$, તો $f(a)=b$, જ્યાં $b$ ને $a$ નું $f$ હેઠળનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે અને $a$ ને $b$ નું $f$ હેઠળનું પૂર્વપ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે.

$A$ થી $B$ સુધીનો વિધેય $f$ ને $f: A \rightarrow B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

પહેલાના ઉદાહરણો જોતાં, આપણે સરળતાથી જોઈ શકીએ છીએ કે

ઉદાહરણ 7 માંનો સંબંધ વિધેય નથી કારણ કે તત્વ 6 નું કોઈ પ્રતિબિંબ નથી.

ફરીથી,

ઉદાહરણ 8 માંનો સંબંધ વિધેય નથી કારણ કે પ્રદેશમાંના તત્વો એક કરતાં વધુ પ્રતિબિંબો સાથે જોડાયેલા છે. તેવી જ રીતે,

ઉદાહરણ 9 માંનો સંબંધ પણ વિધેય નથી. (કેમ?) નીચે આપેલા ઉદાહરણોમાં, આપણે ઘણા વધુ સંબંધો જોઈશું જેમાંથી કેટલાક વિધેયો છે અને અન્ય નથી.

ઉદાહરણ 10 ધારો કે $\mathbf{N}$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય અને સંબંધ $R$ ને $N$ પર એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે કે $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$.

$R$ નો પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર શું છે? શું આ સંબંધ વિધેય છે?

ઉકેલ $R$ નો પ્રદેશ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $\mathbf{N}$ છે. સહપ્રદેશ પણ $\mathbf{N}$ છે. વિસ્તાર એ સમ સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.

કારણ કે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ નું એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ છે, આ સંબંધ વિધેય છે.

ઉદાહરણ 11 નીચે આપેલા દરેક સંબંધોની તપાસ કરો અને દરેક કિસ્સામાં, કારણો આપીને જણાવો કે તે વિધેય છે કે નહીં?

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$,

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

ઉકેલ (i) કારણ કે 2, 3, 4 એ R ના પ્રદેશના તત્વો છે જેમનું અનન્ય પ્રતિબિંબ છે, આ સંબંધ $R$ વિધેય છે.

(ii) કારણ કે સમાન પ્રથમ તત્વ 2 બે અલગ પ્રતિબિંબો 2 અને 4 ને અનુરૂપ છે, આ સંબંધ વિધેય નથી.

(iii) કારણ કે દરેક તત્વનું એક અને માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ છે, આ સંબંધ વિધેય છે.

વ્યાખ્યા 6 એક વિધેય જેનો વિસ્તાર કાં તો $R$ અથવા તેનો કોઈ ઉપસમૂહ હોય તેને વાસ્તવિક મૂલ્યવાળું વિધેય કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, જો તેનો પ્રદેશ પણ કાં તો $R$ અથવા $R$ નો ઉપસમૂહ હોય, તો તેને વાસ્તવિક વિધેય કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 12 ધારો કે $\mathbf{N}$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ હોય. વાસ્તવિક મૂલ્યવાળું વિધેય

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ ને $f(x)=2 x+1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, નીચે આપેલ કોઠ્ઠી પૂર્ણ કરો.

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |