એક ગણિતશાસ્ત્રી જાણે છે કે સમસ્યાનો ઉકેલ કેવી રીતે કરવો, તે તેને ઉકેલી શકતો નથી. - મિલ્ન

3.1 પ્રસ્તાવના

‘ત્રિકોણમિતિ’ શબ્દ ગ્રીક શબ્દો ‘ટ્રાઇગોન’ અને ‘મેટ્રોન’ પરથી ઉતરી આવ્યો છે અને તેનો અર્થ ‘ત્રિકોણની બાજુઓનું માપન’ થાય છે. આ વિષય મૂળરૂપે ત્રિકોણ સંબંધિત ભૌમિતિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. તે સમુદ્રના કેપ્ટનો દ્વારા નેવિગેશન માટે, સર્વેક્ષકો દ્વારા નવી જમીનોનો નકશો બનાવવા માટે, ઇજનેરો અને અન્ય લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવતો હતો. હાલમાં, ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ સીઝમોલોજીના વિજ્ઞાન, ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટ ડિઝાઇન કરવા, એક અણુની સ્થિતિ વર્ણવવા, સમુદ્રમાં ભરતીની ઊંચાઈની આગાહી કરવા, સંગીતનો સ્વર વિશ્લેષણ કરવા અને અન્ય ઘણા ક્ષેત્રોમાં થાય છે.

આર્યભટ્ટ (476-550 B.C.)

પહેલાના વર્ગોમાં, આપણે લઘુકોણોના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો અભ્યાસ કર્યો છે જેમ કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર તરીકે. આપણે ત્રિકોણમિતીય સમાનતાઓ અને ઊંચાઈ અને અંતર સંબંધિત સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોના ઉપયોગનો પણ અભ્યાસ કર્યો છે. આ પ્રકરણમાં, આપણે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોની વિભાવનાને ત્રિકોણમિતીય વિધેયોમાં સામાન્ય બનાવીશું અને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું.

3.2 કોણ

આકૃતિ 3.1

કોણ એ આપેલ કિરણનું તેના પ્રારંભિક બિંદુ વિશે ફેરવાનું માપ છે. મૂળ કિરણને પ્રારંભિક બાજુ કહેવામાં આવે છે અને ફેરવા પછી કિરણની અંતિમ સ્થિતિને કોણની અંતિમ બાજુ કહેવામાં આવે છે. ફેરવાના બિંદુને શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. જો ફેરવાની દિશા વામાવર્ત હોય, તો કોણ ધન કહેવાય છે અને જો ફેરવાની દિશા ઘડિયાળની દિશામાં હોય, તો કોણ* ઋણ* હોય છે (આકૃતિ 3.1).

કોણનું માપ એ પ્રારંભિક બાજુ પરથી અંતિમ બાજુ મેળવવા માટે કરવામાં આવેલા ફેરવાની માત્રા છે. કોણ માપવા માટે ઘણી એકમો છે. કોણની વ્યાખ્યા

આકૃતિ 3.2

આકૃતિ 3.2 એક એકમ સૂચવે છે, એટલે કે, આકૃતિ 3.2 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પ્રારંભિક બાજુની સ્થિતિ પરથી એક સંપૂર્ણ ફેરવો.

આ મોટા કોણ માટે ઘણી વાર સુવિધાજનક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે કહી શકીએ કે ઝડપથી ફરતું ચક્ર પ્રતિ સેકન્ડ 15 ફેરવાનો કોણ બનાવી રહ્યું છે. આપણે કોણના માપનના બે અન્ય એકમોનું વર્ણન કરીશું જે સૌથી વધુ સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે, એટલે કે, અંશ માપ અને રેડિયન માપ.

3.2.1 અંશ માપ

જો પ્રારંભિક બાજુથી અંતિમ બાજુ સુધીનો ફેરવો $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ફેરવાનો હોય, તો કોણનું માપ એક અંશ હોવાનું કહેવાય છે, જે $1^{\circ}$ તરીકે લખાય છે. એક અંશને 60 મિનિટમાં વહેંચવામાં આવે છે, અને એક મિનિટને 60 સેકન્ડમાં વહેંચવામાં આવે છે. એક અંશના સાઠમાં ભાગને મિનિટ કહેવામાં આવે છે, જે $1^{\prime}$ તરીકે લખાય છે, અને એક મિનિટના સાઠમાં ભાગને સેકન્ડ કહેવામાં આવે છે, જે $1^{\prime \prime}$ તરીકે લખાય છે. આમ, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

કેટલાક કોણ જેનાં માપ $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ છે તે આકૃતિ 3.3 માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ 3.3

3.2.2 રેડિયન માપ

કોણના માપન માટે બીજું એક એકમ છે, જેને રેડિયન માપ કહેવામાં આવે છે. એકમ વર્તુળ (1 એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ) માં 1 એકમ લંબાઈની ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર આંતરેલા કોણનું માપ 1 રેડિયન હોવાનું કહેવાય છે. આકૃતિ 3.4(i) થી (iv) માં, $OA$ પ્રારંભિક બાજુ છે અને $OB$ અંતિમ બાજુ છે. આકૃતિઓ 1 રેડિયન, -1 રેડિયન, $1 \frac{1}{2}$ રેડિયન અને $-1 \frac{1}{2}$ રેડિયન માપના કોણ દર્શાવે છે.

આકૃતિ 3.4 (i) - (iv)

આપણે જાણીએ છીએ કે 1 એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળનો પરિઘ $2 \pi$ છે. આમ, પ્રારંભિક બાજુનો એક સંપૂર્ણ ફેરવો $2 \pi$ રેડિયનનો કોણ આંતરે છે.

વધુ સામાન્ય રીતે, $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં, $r$ લંબાઈની ચાપ 1 રેડિયનનો કોણ આંતરે છે. એ જાણીતું છે કે વર્તુળની સમાન ચાપો કેન્દ્ર પર સમાન કોણ આંતરે છે. કારણ કે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં, $r$ લંબાઈની ચાપ એવો કોણ આંતરે છે જેનું માપ 1 રેડિયન છે, $l$ લંબાઈની ચાપ $\frac{l}{r}$ રેડિયન માપનો કોણ આંતરે છે. આમ, જો $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં, $l$ લંબાઈની ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta$ રેડિયનનો કોણ આંતરે છે, તો આપણી પાસે $\theta=\frac{l}{r}$ અથવા $l=r \theta$ છે.

3.2.3 રેડિયન અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ વચ્ચેનો સંબંધ

કેન્દ્ર $O$ સાથેના એકમ વર્તુળને ધ્યાનમાં લો. ચાલો $A$ વર્તુળ પર કોઈપણ બિંદુ છે. કોણની પ્રારંભિક બાજુ તરીકે OA ને ધ્યાનમાં લો. તો વર્તુળની ચાપની લંબાઈ કોણનું રેડિયન માપ આપશે જે ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર પર આંતરે છે. રેખા PAQ ને ધ્યાનમાં લો જે A પર વર્તુળને સ્પર્શક છે. ચાલો બિંદુ A વાસ્તવિક સંખ્યા શૂન્યને દર્શાવે છે, AP ધન વાસ્તવિક સંખ્યાને દર્શાવે છે અને AQ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓને દર્શાવે છે (આકૃતિ 3.5). જો આપણે રેખા $AP$ ને વર્તુળ સાથે વામાવર્ત દિશામાં અને $AQ$ ને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવીએ, તો દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા એક રેડિયન માપને અનુરૂપ હશે અને તેનાથી વિપરીત. આમ, રેડિયન માપ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓને એક અને સમાન ગણી શકાય.

આકૃતિ 3.5

3.2.4 અંશ અને રેડિયન વચ્ચેનો સંબંધ કારણ કે વર્તુળ કેન્દ્ર પર આંતરે છે

એવો કોણ જેનું રેડિયન માપ $2 \pi$ છે અને તેનું અંશ માપ $360^{\circ}$ છે, તેથી તે અનુસરે છે કે$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

ઉપરોક્ત સંબંધ આપણને રેડિયન માપને અંશ માપના સંદર્ભમાં અને અંશ માપને રેડિયન માપના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે. $\pi$ ના અંદાજિત મૂલ્ય તરીકે $\frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

તેમજ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ રેડિયન $=0.01746$ રેડિયન અંદાજે.

કેટલાક સામાન્ય કોણોના અંશ માપ અને રેડિયન માપ વચ્ચેનો સંબંધ નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલ છે:

સંકેતલિપિ સંમેલન

કારણ કે કોણો ક્યાં તો અંશમાં અથવા રેડિયનમાં માપવામાં આવે છે, આપણે એ સંમેલન અપનાવીએ છીએ કે જ્યારે પણ આપણે કોણ $\theta^{\circ}$ લખીએ છીએ, તો આપણો અર્થ એવો કોણ છે જેનું અંશ માપ $\theta$ છે અને જ્યારે પણ આપણે કોણ $\beta$ લખીએ છીએ, તો આપણો અર્થ એવો કોણ છે જેનું રેડિયન માપ $\beta$ છે.

નોંધ લો કે જ્યારે કોણ રેડિયનમાં વ્યક્ત થાય છે, ત્યારે ‘રેડિયન’ શબ્દ વારંવાર છોડી દેવામાં આવે છે. આમ, $\pi=180^{\circ}$ અને $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ એવી સમજ સાથે લખાય છે કે $\pi$ અને $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન માપ છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ને રેડિયન માપમાં રૂપાંતરિત કરો.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે $180^{\circ}=\pi$ રેડિયન.

તેથી $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ અંશ $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ રેડિયન $=\frac{121 \pi}{540}$ રેડિયન.

આથી

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ઉદાહરણ 2 6 રેડિયનને અંશ માપમાં રૂપાંતરિત કરો.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi$ રેડિયન $=180^{\circ}$.

તેથી

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

તેથી $\quad 6$ રેડિયન $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ અંદાજે.

ઉદાહરણ 3 વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો જેમાં $60^{\circ}$ નો કેન્દ્રીય કોણ $37.4 cm$ લંબાઈની ચાપ આંતરે છે ($\pi=\frac{22}{7}$ નો ઉપયોગ કરો).

ઉકેલ અહીં $l=37.4 cm$ અને $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ રેડિયન $=\frac{\pi}{3}$

તેથી, $\quad$ દ્વારા, આપણી પાસે છે

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ઉદાહરણ 4 ઘડિયાળની મિનિટની સૂઈ $1.5 cm$ લાંબી છે. 40 મિનિટમાં તેનો ટોચનો છેડો કેટલું દૂર ખસે છે? ($\pi=3.14$ નો ઉપયોગ કરો).

ઉકેલ 60 મિનિટમાં, ઘડિયાળની મિનિટની સૂઈ એક ફેરવો પૂર્ણ કરે છે. તેથી, 40 મિનિટમાં, મિનિટની સૂઈ $\frac{2}{3}$ ફેરવો ફેરવે છે. તેથી, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ અથવા $\frac{4 \pi}{3}$ રેડિયન. તેથી, જરૂરી અંતર નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ઉદાહરણ 5 જો સમાન લંબાઈની ચાપો બે વર્તુળોમાં કેન્દ્ર પર કોણ $65^{\circ}$ અને $110^{\circ}$ આંતરે છે, તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર શોધો.

ઉકેલ ચાલો $r_1$ અને $r_2$ બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ છે. આપેલ છે કે

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

અને

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

ચાલો $l$ દરેક ચાપની લંબાઈ છે. તો $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, જે આપે છે

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

તેથી $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો

પહેલાના વર્ગોમાં, આપણે લઘુકોણો માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરનો અભ્યાસ કર્યો છે જેમ કે કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર તરીકે. હવે આપણે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોની વ્યાખ્યાને રેડિયન માપમાં કોઈપણ કોણ સુધી વિસ્તારીશું અને તેમનો ત્રિકોણમિતીય વિધેયો તરીકે અભ્યાસ કરીશું.

કોઓર્ડિનેટ અક્ષોના મૂળ પર કેન્દ્ર સાથેના એકમ વર્તુળને ધ્યાનમાં લો. ચાલો $P(a, b)$ કોણ $AOP=x$ રેડિયન સાથે વર્તુળ પર કોઈપણ બિંદુ છે, એટલે કે, ચાપ $AP=x$ ની લંબાઈ (આકૃતિ 3.6).

આકૃતિ 3.6

આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ $\cos x=a$ અને $\sin x=b$ કારણ કે $\triangle OMP$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, આપણી પાસે છે $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ અથવા $a^{2}+b^{2}=1$ આમ, એકમ વર્તુળ પરના દરેક બિંદુ માટે, આપણી પાસે છે

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

કારણ કે એક સંપૂર્ણ ફેરવો વર્તુળના કેન્દ્ર પર $2 \pi$ રેડિયનનો કોણ આંતરે છે,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ અને $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. બધા કોણ જે $\frac{\pi}{2}$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંક છે તેને ચતુર્થાંશ કોણ કહેવામાં આવે છે. બિંદુઓ A, B, C અને D ના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુક્રમે $(1,0),(0,1),(-1,0)$ અને $(0,-1)$ છે. તેથી, ચતુર્થાંશ કોણ માટે, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

હવે, જો આપણે બિંદુ $P$ પરથી એક સંપૂર્ણ ફેરવો લઈએ, તો આપણે ફરીથી તે જ બિંદુ $P$ પર પાછા આવીએ છીએ. આમ, આપણે એ પણ નોંધીએ છીએ કે જો $x$ $2 \pi$ ના કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણાંકથી વધે (અથવા ઘટે), તો સાઈન અને કોસાઈન વિધેયોના મૂલ્યો બદલાતા નથી. આમ,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

વધુમાં, $\sin x=0$, જો $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, એટલે કે, જ્યારે $x$ $\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક છે અને $\cos x=0$, જો $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ એટલે કે, $\cos x$ લુપ્ત થાય છે જ્યારે $x$ $\frac{\pi}{2}$ નો વિષમ ગુણાંક છે. આમ

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

હવે આપણે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયોને સાઈન અને કોસાઈન વિધેયોના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, જ્યાં $n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે.

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, જ્યાં $n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે.

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, જ્યાં $n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે.

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, જ્યાં $n$ કોઈપણ પૂર્ણાંક છે.

આપણે બતાવ્યું છે કે બધા વાસ્તવિક $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ માટે

તે અનુસરે છે કે

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

પહેલાના વર્ગોમાં, આપણે $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ માટે ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરોના મૂલ્યોની ચર્ચા કરી છે. આ કોણ માટે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મૂલ્યો પહેલાના વર્ગોમાં અભ્યાસ કરેલ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો જેવા જ છે. આમ, આપણી પાસે નીચેનું કોષ્ટક છે:

$cosec x, \sec x$ અને $\cot x$ ના મૂલ્યો અનુક્રમે $\sin x$, $\cos x$ અને $\tan x$ ના મૂલ્યોના પારસ્પરિક છે.

3.3.1 ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની નિશાની

ચાલો $P(a, b)$ એ મૂળ પર કેન્દ્ર સાથેના એકમ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જેમ કે $\angle AOP=x$. જો $\angle AOQ=-x$, તો બિંદુ $Q$ ના કોઓર્ડિનેટ્સ $(a,-b)$ હશે (આકૃતિ 3.7).

આકૃતિ 3.7

તેથી

$ \cos (-x)=\cos x $

અને $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

કારણ કે એકમ વર્તુળ પરના દરેક બિંદુ $P(a, b)$ માટે, $-1 \leq a \leq 1$ અને

$-1 \leq b \leq 1$, આપણી પાસે છે $-1 \leq \cos x \leq 1$ અને $-1 \leq \sin x \leq 1$ બધા $x$ માટે. આપણે પહેલાના વર્ગોમાં શીખ્યા છીએ કે પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ અને $b$ બંને ધન છે, બીજા ચતુર્થાંશમાં $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ ઋણ છે અને $b$ ધન છે, ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ અને $b$ બંને ઋણ છે અને ચોથા ચતુર્થાંશમાં $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ ધન છે અને $b$ ઋણ છે. તેથી, $\sin x$ $0<x<\pi$ માટે ધન છે, અને $\pi<x<2 \pi$ માટે ઋણ છે. તે જ રીતે, $\cos x$ $0<x<\frac{\pi}{2}$ માટે ધન છે, $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ માટે ઋણ છે અને $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ માટે પણ ધન છે. તે જ રીતે, આપણે વિવિધ ચતુર્થાંશમાં