ગણિત એ વિજ્ઞાનોની રાણી છે અને અંકગણિત એ ગણિતની રાણી છે. - ગૌસ

4.1 પ્રસ્તાવના

અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે એક અને બે ચલોમાં રેખીય સમીકરણો અને એક ચલમાં દ્વિઘાત સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે. આપણે જોયું છે કે સમીકરણ $x^{2}+1=0$નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી કારણ કે $x^{2}+1=0$ $x^{2}=-1$ આપે છે અને દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ અ-ઋણ હોય છે. તેથી, આપણે વાસ્તવિક સંખ્યા પ્રણાલીને વિસ્તૃત પ્રણાલીમાં લઈ જવાની જરૂર છે જેથી આપણે સમીકરણ $x^{2}=-1$નો ઉકેલ શોધી શકીએ. વાસ્તવમાં, મુખ્ય ઉદ્દેશ્ય સમીકરણ $a x^{2}+b x+c=0$ ઉકેલવાનો છે, જ્યાં $D=b^{2}-4 a c<0$, જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની પ્રણાલીમાં શક્ય નથી.

W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)

4.2 સંકર સંખ્યાઓ

ચાલો $\sqrt{-1}$ ને પ્રતીક $i$ વડે દર્શાવીએ. તો, આપણી પાસે $i^{2}=-1$ છે. આનો અર્થ છે કે $i$ એ સમીકરણ $x^{2}+1=0$નો એક ઉકેલ છે.

$a+i b$ સ્વરૂપની સંખ્યા, જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તેને સંકર સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ સંકર સંખ્યાઓ છે.

સંકર સંખ્યા $z=a+i b, a$ માટે $Re z$ વાસ્તવિક ભાગ કહેવાય છે, જેને Re($z$) વડે દર્શાવવામાં આવે છે અને $b$ ને કાલ્પનિક ભાગ કહેવાય છે જેને Im($z$) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો $z=2+i 5$, તો $Re z=2$ અને $Im z=5$.

બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1=a+i b$ અને $z_2=c+i d$ સમાન હોય છે જો $a=c$ અને $b=d$.

ઉદાહરણ 1 જો $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, જ્યાં $x$ અને $y$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તો $x$ અને $y$ ની કિંમતો શોધો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) ના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો સરખાવતાં, આપણને મળે છે

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

જેને એકસાથે ઉકેલતાં $x=\frac{3}{4}$ અને $y=\frac{33}{4}$ મળે છે.

4.3 સંકર સંખ્યાઓનું બીજગણિત

આ વિભાગમાં, આપણે સંકર સંખ્યાઓનું બીજગણિત વિકસાવીશું.

4.3.1 બે સંકર સંખ્યાઓનો સરવાળો

ચાલો $z_1=a+i b$ અને $z_2=c+i d$ કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય. તો, સરવાળો $z_1+z_2$ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, જે ફરીથી એક સંકર સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

સંકર સંખ્યાઓના સરવાળામાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છે:

(i) સંવૃત્તિનો નિયમ: બે સંકર સંખ્યાઓનો સરવાળો એક સંકર સંખ્યા હોય છે, એટલે કે, $z_1+z_2$ એ બધી જ સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે સંકર સંખ્યા છે.

(ii) ક્રમવિનિમય નિયમ: કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) સહયોગી નિયમ: કોઈ પણ ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ માટે, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) સરવાળા માટેની ઓળખનું અસ્તિત્વ: સંકર સંખ્યા $0+i 0$ (0 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) નું અસ્તિત્વ છે, જેને સરવાળા માટેની ઓળખ અથવા શૂન્ય સંકર સંખ્યા કહેવાય છે, જેમ કે, દરેક સંકર સંખ્યા $z, z+0=z$ માટે.

(v) સરવાળા માટેની વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ: દરેક સંકર સંખ્યા $z=a+i b$ માટે, આપણી પાસે સંકર સંખ્યા $-a+i(-b)$ ($-z$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) છે, જેને $z$ ની સરવાળા માટેની વ્યસ્ત અથવા ઋણ કહેવાય છે. આપણે જોઈએ છીએ કે $z+(-z)=0$ (સરવાળા માટેની ઓળખ).

4.3.2 બે સંકર સંખ્યાઓનો તફાવત

કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ આપેલ હોય, તો તફાવત $z_1-z_2$ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

અને

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 બે સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર

ચાલો $z_1=a+i b$ અને $z_2=c+i d$ કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ હોય. તો, ગુણાકાર $z_1 z_2$ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ઉદાહરણ તરીકે, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

સંકર સંખ્યાઓના ગુણાકારમાં નીચેના ગુણધર્મો હોય છે, જે આપણે પુરાવા વિના જણાવીએ છીએ.

(i) સંવૃત્તિનો નિયમ: બે સંકર સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એક સંકર સંખ્યા હોય છે, ગુણાકાર $z_1 z_2$ એ બધી જ સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે સંકર સંખ્યા છે.

(ii) ક્રમવિનિમય નિયમ: કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) સહયોગી નિયમ: કોઈ પણ ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ માટે,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) ગુણાકાર માટેની ઓળખનું અસ્તિત્વ: સંકર સંખ્યા $1+i 0$ (1 તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) નું અસ્તિત્વ છે, જેને ગુણાકાર માટેની ઓળખ કહેવાય છે, જેમ કે $z .1=z$, દરેક સંકર સંખ્યા $z$ માટે.

(v) ગુણાકાર માટેની વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ: દરેક શૂન્યેતર સંકર સંખ્યા $z=a+i b$ અથવા $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ માટે, આપણી પાસે સંકર સંખ્યા $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ છે જેને $\frac{1}{z}$ અથવા $.z^{-1})$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, જેને $z$ ની ગુણાકાર માટેની વ્યસ્ત કહેવાય છે જેમ કે

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (ગુણાકાર માટેની ઓળખ).

(vi) વિતરક નિયમ: કોઈ પણ ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ માટે,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 બે સંકર સંખ્યાઓનો ભાગાકાર

કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ આપેલ હોય, જ્યાં $z_2 \neq 0$, ભાગફળ $\frac{z_1}{z_2}$ નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો $\quad z_1=6+3 i$ અને $z_2=2-i$

તો

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ ની ઘાત

આપણે જાણીએ છીએ કે

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

એટલું જ, આપણી પાસે $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ છે,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

સામાન્ય રીતે, કોઈ પણ પૂર્ણાંક $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ માટે

4.3.6 ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાનું વર્ગમૂળ

નોંધ કરો કે $i^{2}=-1$ અને $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

તેથી, -1 નાં વર્ગમૂળ $i,-i$ છે. જો કે, પ્રતીક $\sqrt{-1}$ વડે, આપણો અર્થ ફક્ત $i$ થાય છે.

હવે, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $i$ અને $-i$ બંને સમીકરણ $x^{2}+1=0$ અથવા $x^{2}=-1$ ના ઉકેલો છે.

તેવી જ રીતે $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

તેથી, -3 નાં વર્ગમૂળ $\sqrt{3} i$ અને $-\sqrt{3} i$ છે.

ફરીથી, પ્રતીક $\sqrt{-3}$ નો અર્થ ફક્ત $\sqrt{3} i$ ને રજૂ કરવાનો છે, એટલે કે, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$.

સામાન્ય રીતે, જો $a$ એ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ બધી જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા $a$ અને $b$ માટે. આ પરિણામ ત્યારે પણ સાચું રહે છે જ્યારે ક્યાં તો $a>0, b<0$ અથવા $a<0, b>0$ હોય. જો $a<0, b<0$ હોય તો શું? ચાલો તપાસીએ.

નોંધ કરો કે

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (ધારીને કે } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, જે એ હકીકતનો વિરોધાભાસ છે કે } i^{2}=-1 \end{aligned} $

તેથી, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ જો બંને $a$ અને $b$ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય.

વધુમાં, જો $a$ અને $b$ માંથી કોઈ પણ શૂન્ય હોય, તો સ્પષ્ટ છે કે $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$.

4.3.7 સર્વસમીકરણો

આપણે નીચેનું સર્વસમીકરણ સાબિત કરીએ છીએ

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, બધી જ સંકર સંખ્યાઓ } z_1 \text{ અને } z_2 \text{ માટે. } $

પુરાવો આપણી પાસે છે, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

તેવી જ રીતે, આપણે નીચેના સર્વસમીકરણો સાબિત કરી શકીએ છીએ:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

વાસ્તવમાં, અન્ય ઘણા સર્વસમીકરણો જે બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચા છે, તે બધી સંકર સંખ્યાઓ માટે સાચા હોવા સાબિત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2 નીચેનાને $a+b i$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

ઉકેલ (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

ઉદાહરણ 3 $(5-3 i)^{3}$ ને $a+i b$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ઉદાહરણ 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ને $a+i b$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 સંકર સંખ્યાનું માન અને સંકર સંયોજક

ચાલો $z=a+i b$ એક સંકર સંખ્યા હોય. તો, $z$ નું માન, જેને $|z|$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, તેને અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ અને $z$ નું સંકર સંયોજક, જેને $\bar{z}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે સંકર સંખ્યા $a-i b$ છે, એટલે કે, $\bar{z}=a-i b$.

ઉદાહરણ તરીકે, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

અને

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

નોંધ કરો કે શૂન્યેતર સંકર સંખ્યા $z$ ની ગુણાકાર માટેની વ્યસ્ત નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ અથવા } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

વધુમાં, નીચેના પરિણામો સરળતાથી મેળવી શકાય છે.

કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે, આપણી પાસે છે

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ જો $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

ઉદાહરણ 5 $2-3 i$ ની ગુણાકાર માટેની વ્યસ્ત શોધો.

ઉકેલ ચાલો $z=2-3 i$

તો $\quad \bar{z}=2+3 i$ અને $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

તેથી, $2-3 i$ ની ગુણાકાર માટેની વ્યસ્ત નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે:

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

ઉપરની ક્રિયા નીચેની રીતે પણ કરી શકાય છે,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ઉદાહરણ 6 નીચેનાને $a+i b$ સ્વરૂપમાં દર્શાવો

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

ઉકેલ (i) આપણી પાસે છે, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 આર્ગાંડ સમતલ અને ધ્રુવીય નિરૂપણ

આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે દરેક ક્રમયુક્ત વાસ્તવિક સંખ્યાઓના જોડા $(x, y)$ને અનુરૂપ, આપણને XY સમતલમાં એક અનન્ય બિંદુ મળે છે અને ઊલટું પણ, પરસ્પર લંબ રેખાઓના સમૂહનો સંદર્ભ લઈને જેને $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સંકર સંખ્યા $x+i y$ જે ક્રમયુક્ત જોડ $(x, y)$ને અનુરૂપ છે તેને ભૌમિતિક રીતે XY સમતલમાં અનન્ય બિંદુ $P(x, y)$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને ઊલટું પણ.

કેટલીક સંકર સંખ્યાઓ જેવી કે $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ અને $1-2 i$ જે અનુક્રમે ક્રમયુક્ત જોડ $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, અને $(1,-2)$ને અનુરૂપ છે, તેને અનુક્રમે આકૃતિ 4.1 માં બિંદુઓ $A, B, C, D, E$, અને $F$ વડે ભૌમિતિક રીતે રજૂ કરવામાં આવી છે.

આકૃતિ 4.1

જે સમતલના દરેક બિંદુને સંકર સંખ્યા સોંપવામાં આવી હોય તેને સંકર સમતલ અથવા આર્ગાંડ સમતલ કહેવાય છે.

દેખીતી રીતે, આર્ગાંડ સમતલમાં, સંકર સંખ્યા $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ નું માન એ બિંદુ $P(x, y)$ અને મૂળ બિંદુ $O(0,0)$ વચ્ચેનું અંતર છે (આકૃતિ 4.2). $x$-અક્ષ પરનાં બિંદુઓ $a+i 0$ સ્વરૂપની સંકર સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે અને $y$-અક્ષ પરનાં બિંદુઓ $0+i b$ સ્વરૂપની સંકર સંખ્યાઓને અનુરૂપ છે. આર્ગાંડ સમતલમાં $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને અનુક્રમે વાસ્તવિક અક્ષ અને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 4.2

સંકર સંખ્યા $z=x+i y$ અને તેના સંકર સંયોજક $z=x-i y$ નું આર્ગાંડ સમતલમાં નિરૂપણ અનુક્રમે બિંદુઓ $P(x, y)$ અને $Q(x,-y)$ છે. ભૌમિતિક રીતે, બિંદુ $(x,-y)$ એ વાસ્તવિક અક્ષ પર બિંદુ $(x, y)$ નું અરીસા પ્રતિબિંબ છે (આકૃતિ 4.3).

આકૃતિ 4.2

વિવિધ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ નું સંકર સંયોજક શોધો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

તેથી, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ નું સંકર સંયોજક $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ છે.

ઉદાહરણ 8 જો $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, તો સાબિત કરો કે $x^{2}+y^{2}=1$.

ઉકેલ આપણી પાસે છે,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

જેથી, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

તેથી,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

સારાંશ

$a+i b$ સ્વરૂપની સંખ્યા, જ્યાં $a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, તેને સંકર સંખ્યા કહેવાય છે, $a$ ને વાસ્તવિક ભાગ કહેવાય છે અને $b$ ને સંકર સંખ્યાનો કાલ્પનિક ભાગ કહેવાય છે.

ચાલો $z_1=a+i b$ અને $z_2=c+i d$. તો

(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

કોઈ પણ શૂન્યેતર સંકર સંખ્યા $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ માટે, સંકર સંખ્યા $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ નું અસ્તિત્વ છે, જેને $\frac{1}{z}$ અથવા $z^{-1}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, જેને $z$ ની ગુણાકાર માટેની વ્યસ્ત કહેવાય છે જેમ કે $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

કોઈ પણ પૂર્ણાંક $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ માટે

સંકર સંખ્યા $z=a+i b$ નું સંકર સંયોજક, જેને $\bar{z}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, તે $\bar{z}=a-i b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ઐતિહાસિક નોંધ

એ હકીકત કે ઋણ સંખ્યાનું વર્ગમૂળ વાસ્તવિક સંખ્યા પ્રણાલીમાં અસ્તિત્વમાં નથી તે ગ્રીક લોકો દ્વારા માન્ય હતી. પરંતુ શ્રેય ભારતીય ગણિતજ્ઞ મહાવીર (850) ને જાય છે જેઓએ પ્રથમ વખત આ મુશ્કેલીને સ્પષ્ટ રીતે જણાવી હતી. “તેઓ તેમના કાર્ય ‘ગણિતસાર સંગ્રહ’ માં ઉલ્લેખ કરે છે કે ‘વસ્તુઓની પ્રકૃતિમાં ઋણ (રાશિ) એ વર્ગ (રાશિ) નથી’, તેથી, તેનું કોઈ વર્ગમૂળ નથી.” બીજા ભારતીય ગણિતજ્ઞ ભાસ્કર પણ તેમના કાર્ય બીજગણિત (1150 માં લખાયેલ) માં લખે છે. “ઋણ રાશિનું કોઈ વર્ગમૂળ નથી, કારણ કે તે વર્ગ નથી.” કાર્ડન (1545) નીચેના ઉકેલવાની સમસ્યા ધ્યાનમાં લીધી:

$ x+y=10, x y=40 . $

તેમને $x=5+\sqrt{-15}$ અને $y=5-\sqrt{-15}$ તેના ઉકેલ તરીકે મળ્યા, જેને તેઓએ આ સંખ્યાઓ