ગણિત એ ઘણી વસ્તુઓને ઘણી જુદી જુદી રીતે કહેવાની કલા છે. - મેક્સવેલ

5.1 પ્રસ્તાવના

અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે એક ચલ અને બે ચલોમાં સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને કેટલીક વિધાન સમસ્યાઓને સમીકરણોના સ્વરૂપમાં અનુવાદિત કરીને ઉકેલી છે. હવે એક કુદરતી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: ‘શું હંમેશા એક વિધાન સમસ્યાને સમીકરણના સ્વરૂપમાં અનુવાદિત કરવું શક્ય છે? ઉદાહરણ તરીકે, તમારા વર્ગના બધા વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ $160 cm$ કરતાં ઓછી છે. તમારું વર્ગખંડ વધુમાં વધુ 60 ટેબલ અથવા ખુરશી અથવા બંને સમાવી શકે છે. અહીં આપણને કેટલાક વિધાનો મળે છે જેમાં ’ $<$ ’ (ઓછું), ‘>’ (વધારે), ’ $\leq$ ’ (ઓછું અથવા બરાબર) અને $\geq$ (વધારે અથવા બરાબર) ચિહ્નોનો સમાવેશ થાય છે જે અસમતાઓ તરીકે ઓળખાય છે.

આ અધ્યાયમાં, આપણે એક અને બે ચલોમાં રેખીય અસમતાઓનો અભ્યાસ કરીશું. અસમતાઓનો અભ્યાસ વિજ્ઞાન, ગણિત, આંકડાશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, મનોવિજ્ઞાન વગેરે ક્ષેત્રોમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

5.2 અસમતાઓ

ચાલો નીચેની પરિસ્થિતિઓ ધ્યાનમાં લઈએ:

(i) રવિ $1 kg$ના પેકેટમાં ઉપલબ્ધ ચોખા ખરીદવા માટે ₹ 200 લઈને બજારે જાય છે. ચોખાના એક પેકેટની કિંમત ₹ 30 છે. જો $x$ ચોખાના પેકેટની સંખ્યા દર્શાવે છે, જે તે ખરીદે છે, તો તેના દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ ₹ $30 x$ છે. કારણ કે, તેને ફક્ત પેકેટમાં જ ચોખા ખરીદવા પડશે, તે ₹ 200ની સંપૂર્ણ રકમ ખર્ચવામાં સક્ષમ ન હોઈ શકે. (શા માટે?) તેથી

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

સ્પષ્ટ છે કે વિધાન (i) એ સમીકરણ નથી કારણ કે તેમાં સમાનતાના ચિહ્નનો સમાવેશ થતો નથી. (ii) રેશમા પાસે ₹ 120 છે અને તે કેટલાક રજિસ્ટર અને પેન ખરીદવા માંગે છે. એક રજિસ્ટરની કિંમત ₹ 40 છે અને પેનની કિંમત ₹ 20 છે. આ કિસ્સામાં, જો $x$ રજિસ્ટરની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $y$, રેશમા દ્વારા ખરીદવામાં આવેલી પેનની સંખ્યા દર્શાવે છે, તો તેના દ્વારા ખર્ચવામાં આવેલી કુલ રકમ ₹ $(40 x+20 y)$ છે અને આપણી પાસે છે

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

કારણ કે આ કિસ્સામાં કુલ ખર્ચવામાં આવેલી રકમ ₹ 120 સુધી હોઈ શકે છે. નોંધ લો કે વિધાન (2) બે વિધાનો ધરાવે છે

$ \text{ અને } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

વિધાન (3) એ સમીકરણ નથી, એટલે કે, તે એક અસમતા છે જ્યારે વિધાન (4) એ સમીકરણ છે.

વ્યાખ્યા 1 બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા બે બીજગણિતીય સમીકરણો જે ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ અથવા ’ $\geq$ ’ ચિહ્ન દ્વારા સંબંધિત હોય તે અસમતા બનાવે છે.

ઉપરોક્ત (1), (2) અને (3) જેવા વિધાનો અસમતાઓ છે.

$3<5 ; 7>5$ સંખ્યાત્મક અસમતાઓના ઉદાહરણો છે જ્યારે

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ શાબ્દિક અસમતાઓના કેટલાક ઉદાહરણો છે. $3<5<7($ (5 એ 3 કરતાં વધારે અને 7 કરતાં ઓછું છે એમ વાંચો), $3 \leq x<5($ ($x$ એ 3 કરતાં વધારે અથવા બરાબર અને 5 કરતાં ઓછું છે એમ વાંચો) અને $2<y \leq 4$ દ્વિઅસમતાઓના ઉદાહરણો છે. અસમતાઓના કેટલાક વધુ ઉદાહરણો છે:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

અસમતાઓ (5), (6), (9), (10) અને (14) સખત અસમતાઓ છે જ્યારે અસમતાઓ (7), (8), (11), (12), અને (13) ઢીલી અસમતાઓ છે. (5) થી (8) સુધીની અસમતાઓ એક ચલ $x$માં રેખીય અસમતાઓ છે જ્યારે $a \neq 0$, જ્યારે (9) થી (12) સુધીની અસમતાઓ બે ચલો $x$ અને $y$માં રેખીય અસમતાઓ છે જ્યારે $a \neq 0, b \neq 0$. અસમતાઓ (13) અને (14) રેખીય નથી (હકીકતમાં, આ એક ચલ $x$માં દ્વિઘાત અસમતાઓ છે જ્યારે $a \neq 0)$.

આ અધ્યાયમાં, આપણે ફક્ત એક અને બે ચલોમાં રેખીય અસમતાઓના અભ્યાસ સુધી મર્યાદિત રહેશું.

5.3 એક ચલમાં રેખીય અસમતાઓના બીજગણિતીય ઉકેલો અને તેમનું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ

ચાલો વિભાગ 6.2ની અસમતા (1) ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે, $30 x<200$ નોંધ લો કે અહીં $x$ ચોખાના પેકેટની સંખ્યા દર્શાવે છે. દેખીતી રીતે, $x$ એક ઋણ પૂર્ણાંક અથવા અપૂર્ણાંક હોઈ શકતો નથી. આ અસમતાની ડાબી બાજુ (L.H.S.) $30 x$ છે અને જમણી બાજુ (RHS) 200 છે. તેથી, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

ઉપરોક્ત પરિસ્થિતિમાં, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે $x$ના મૂલ્યો, જે ઉપરોક્ત અસમતાને સાચું વિધાન બનાવે છે, તે $0,1,2,3,4,5,6$ છે. $x$ના આ મૂલ્યો, જે ઉપરોક્ત અસમતાને સાચું વિધાન બનાવે છે, તેને અસમતાના ઉકેલો કહેવામાં આવે છે અને સમૂહ ${0,1,2,3,4,5,6}$ તેનો ઉકેલ સમૂહ કહેવાય છે.

આમ, એક ચલમાં અસમતાનો કોઈપણ ઉકેલ એ ચલનું એવું મૂલ્ય છે જે તેને સાચું વિધાન બનાવે છે.

આપણે ઉપરોક્ત અસમતાના ઉકેલો પ્રયત્ન અને ભૂલ પદ્ધતિ દ્વારા શોધ્યા છે જે ખૂબ કાર્યક્ષમ નથી. દેખીતી રીતે, આ પદ્ધતિ સમય ખાઉ છે અને કેટલીકવાર શક્ય નથી. અસમતાઓ ઉકેલવા માટે આપણી પાસે કેટલીક વધુ સારી અથવા વ્યવસ્થિત તકનીકો હોવી જોઈએ. તે પહેલાં આપણે સંખ્યાત્મક અસમતાઓના કેટલાક વધુ ગુણધર્મોમાંથી પસાર થવું જોઈએ અને અસમતાઓ ઉકેલતી વખતે તેમને નિયમો તરીકે અનુસરવા જોઈએ.

તમને યાદ હશે કે રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, આપણે નીચેના નિયમોનું પાલન કર્યું હતું:

નિયમ 1 સમાન સંખ્યાઓ સમીકરણની બંને બાજુઓમાં ઉમેરી (અથવા બાદ કરી) શકાય છે.

નિયમ 2 સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન શૂન્યેતર સંખ્યા વડે ગુણી (અથવા ભાગી) શકાય છે.

અસમતાઓ ઉકેલવાના કિસ્સામાં, આપણે ફરીથી સમાન નિયમોનું પાલન કરીએ છીએ સિવાય કે નિયમ 2 માં, અસમતાનું ચિહ્ન ઊલટાવી દેવામાં આવે છે (એટલે કે, ‘<’ ‘>’ બને છે, $\leq$ ’ ’ $\geq$ ’ બને છે અને તેથી આગળ) જ્યારે પણ આપણે અસમતાની બંને બાજુઓને ઋણ સંખ્યા વડે ગુણીએ (અથવા ભાગીએ). તે નીચેના તથ્યો પરથી સ્પષ્ટ છે

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ જ્યારે }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ જ્યારે }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ એટલે કે, } 16>14 . \end{aligned} $

આમ, આપણે અસમતા ઉકેલવા માટે નીચેના નિયમો જાહેર કરીએ છીએ:

નિયમ 1 સમાન સંખ્યાઓ અસમતાના ચિહ્નને અસર કર્યા વિના અસમતાની બંને બાજુઓમાં ઉમેરી (અથવા બાદ કરી) શકાય છે.

નિયમ 2 અસમતાની બંને બાજુઓને સમાન ધન સંખ્યા વડે ગુણી (અથવા ભાગી) શકાય છે. પરંતુ જ્યારે બંને બાજુઓને ઋણ સંખ્યા વડે ગુણવામાં અથવા ભાગવામાં આવે છે, ત્યારે અસમતાનું ચિહ્ન ઊલટાવી દેવામાં આવે છે.

હવે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 $30 x<200$ ઉકેલો જ્યારે (i) $x$ એક કુદરતી સંખ્યા છે, (ii) $x$ એક પૂર્ણાંક છે.

ઉકેલ આપણને $30 x<200$ આપવામાં આવ્યું છે

અથવા $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (નિયમ 2), એટલે કે, $x<20 / 3$.

(i) જ્યારે $x$ એક કુદરતી સંખ્યા છે, આ કિસ્સામાં $x$ના નીચેના મૂલ્યો વિધાનને સાચું બનાવે છે.

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

અસમતાનો ઉકેલ સમૂહ $\{1,2,3,4,5,6\}$ છે.

(ii) જ્યારે $x$ એક પૂર્ણાંક છે, આપેલ અસમતાના ઉકેલો છે

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

અસમતાનો ઉકેલ સમૂહ $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ છે

ઉદાહરણ 2 $5 x-3<3 x+1$ ઉકેલો જ્યારે (i) $x$ એક પૂર્ણાંક છે, (ii) $x$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $5 x-3<3 x+1$

અથવા $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (નિયમ 1)

અથવા $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

અથવા $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (નિયમ 2)

અથવા $\quad \quad$ $2 x<4$

અથવા $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (નિયમ 3)

(i) જ્યારે $x$ એક પૂર્ણાંક છે, આપેલ અસમતાના ઉકેલો છે

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) જ્યારે $x$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અસમતાના ઉકેલો $x<2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, એટલે કે, બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ જે 2 કરતાં ઓછી છે. તેથી, અસમતાનો ઉકેલ સમૂહ $x \in(-\infty, 2)$ છે.

આપણે કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ, પૂર્ણાંકોના સમૂહ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં અસમતાઓના ઉકેલો ધ્યાનમાં લીધા છે. આગળથી, જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય, ત્યાં સુધી આપણે આ અધ્યાયમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં અસમતાઓ ઉકેલીશું.

ઉદાહરણ 3 $4 x+3<6 x+7$ ઉકેલો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે, $\quad 4 x+3<6 x+7$

અથવા $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

અથવા $\quad-2 x<4 \quad$ અથવા $x>-2$

એટલે કે, બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જે -2 કરતાં વધારે છે, તે આપેલ અસમતાના ઉકેલો છે. તેથી, ઉકેલ સમૂહ $(-2, \infty)$ છે.

ઉદાહરણ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ ઉકેલો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

આમ, બધી વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ જે 8 કરતાં વધારે અથવા બરાબર છે તે આપેલ અસમતાના ઉકેલો છે, એટલે કે, $x \in[8, \infty)$.

ઉદાહરણ 5 $7 x+3<5 x+9$ ઉકેલો. સંખ્યા રેખા પર ઉકેલોનો આલેખ બતાવો.

ઉકેલ આપણી પાસે $7 x+3<5 x+9$ અથવા $2 x<6$ અથવા $x<3$

ઉકેલોનું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ આકૃતિ 5.1 માં આપવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 5.1

ઉદાહરણ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ ઉકેલો. સંખ્યા રેખા પર ઉકેલોનો આલેખ બતાવો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

ઉકેલોનું ગ્રાફિકલ નિરૂપણ આકૃતિ 5.2 માં આપવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 5.2

ઉદાહરણ 7 ધોરણ XI ના એક વિદ્યાર્થીના પ્રથમ અને બીજા ટર્મિનલ પરીક્ષામાં મેળવેલ ગુણ અનુક્રમે 62 અને 48 છે. ઓછામાં ઓછા 60 ગુણની સરેરાશ મેળવવા માટે તેને વાર્ષિક પરીક્ષામાં ઓછામાં ઓછા કેટલા ગુણ મેળવવા જોઈએ તે શોધો.

ઉકેલ ચાલો $x$ વિદ્યાર્થી દ્વારા વાર્ષિક પરીક્ષામાં મેળવેલ ગુણ હોય. તો

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

અથવા $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

અથવા $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

આમ, વિદ્યાર્થીએ ઓછામાં ઓછા 60 ગુણની સરેરાશ મેળવવા માટે ઓછામાં ઓછા 70 ગુણ મેળવવા જોઈએ.

ઉદાહરણ 8 ક્રમિક વિષમ કુદરતી સંખ્યાઓની બધી જોડી શોધો, જે બંને 10 કરતાં વધારે હોય, જેમ કે તેમનો સરવાળો 40 કરતાં ઓછો હોય.

ઉકેલ ચાલો $x$ બે ક્રમિક વિષમ કુદરતી સંખ્યાઓમાંથી નાની સંખ્યા હોય, જેથી બીજી સંખ્યા $x+2$ હોય. તો, આપણી પાસે હોવું જોઈએ

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) ઉકેલતા, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

એટલે કે, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) અને (3) માંથી, આપણને મળે છે

$$ 10<x<19 $$

કારણ કે $x$ એક વિષમ સંખ્યા છે, $x$ 11,13,15, અને 17 મૂલ્યો લઈ શકે છે. તેથી, જરૂરી સંભવિત જોડીઓ $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ હશે

વિવિધ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ ઉકેલો.

ઉકેલ આ કિસ્સામાં, આપણી પાસે બે અસમતાઓ છે, $-8 \leq 5 x-3$ અને $5 x-3<7$, જેને આપણે એક સાથે ઉકેલીશું. આપણી પાસે $-8 \leq 5 x-3<7$ છે

અથવા $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ અથવા } \quad-1 \leq x<2 $

ઉદાહરણ 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ ઉકેલો.

ઉકેલ આપણી પાસે $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ છે

અથવા $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ અથવા $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

અથવા $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

જેને $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ તરીકે લખી શકાય

ઉદાહરણ 11 અસમતાઓની પ્રણાલી ઉકેલો:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

અને સંખ્યા રેખા પર ઉકેલોનું નિરૂપણ કરો.

ઉકેલ અસમતા (1) માંથી, આપણી પાસે છે

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

અથવા $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

એ જ રીતે, અસમતા (2) માંથી, આપણી પાસે છે

$$ 11-5 x \leq 1 $$

અથવા $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

જો આપણે અસમતાઓ (3) અને (4) નો આલેખ સંખ્યા રેખા પર દોરીએ, તો આપણે જોઈએ છીએ કે $x$ના મૂલ્યો, જે બંને માટે સામાન્ય છે, તે આકૃતિ 5.3 માં ઘેરી રેખા દ્વારા બતાવવામાં આવ્યા છે.

આમ, પ્રણાલીના ઉકેલો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ છે જે 2 અને 6 વચ્ચે 2 સહિત આવેલી છે, એટલે કે, $2 \leq x<6$

ઉદાહરણ 12 એક પ્રયોગમાં, હાઇડ્રોક્લોરિક એસિડનો દ્રાવણ $30^{\circ}$ અને $35^{\circ}$ સેલ્સિયસ વચ્ચે રાખવાનો છે. ડિગ્રી ફેરનહીટમાં તાપમાનની શ્રેણી શું છે જો રૂપાંતર સૂત્ર $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું હોય, જ્યાં $C$ અને $F$ અનુક્રમે ડિગ્રી સેલ્સિયસ અને ડિગ્રી ફેરનહીટમાં તાપમાન દર્શાવે છે.

ઉકેલ આપવામાં આવ્યું છે કે $30<C<35$.

રાખવાથી $ C=\frac{5}{9}(F-32), \text{ આપણને મળે છે } $ $ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

અથવા $\quad\quad\quad$ $ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ અથવા } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ અથવા } & 86<F<95 . \end{matrix} $

આમ, જરૂરી તાપમાનની શ્રેણી $86^{\circ} F$ અને $95^{\circ} F$ વચ્ચે છે.

ઉદાહરણ 13 એક ઉત્પાદક પાસે એસિડનો $12\%$ દ્રાવણના 600 લિટર છે. $30 \%$ એસિડ દ્રાવણના કેટલા લિટર તેમાં ઉમેરવા જોઈએ જેથી પરિણામી મિશ્રણમાં એસિડનું પ્રમાણ $15 \%$ કરતાં વધારે પરંતુ $18 \%$ કરતાં ઓછું હોય?

ઉકેલ ચાલો $x$ લિટર $30 \%$ એસિડ દ્રાવણ ઉમેરવાની જરૂર છે. તો કુલ મિશ્રણ $=(x+600)$ લિટર

તેથી $30 \% x+12 \%$ નો $600>15 \%$ નો $(x+600)$

અને $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ નો $600<18 \%$ નો $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{અથવા} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{અને} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{અથવા}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{અને} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{અથવા} & 15 x>1800 \text{ અને } 12 x<3600 \\ \text{અથવા} & x>120 \text{ અને } x<300, \\ \text{એટલે કે} & 120<x<300 \end{array} $

આમ, $30 %$ એસિડ દ્રાવણના લિટરની સંખ્યા 120 લિટર કરતાં વધારે પરંતુ 300 લિટર કરતાં ઓછી હોવી જોઈએ.

સારાંશ

બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા બે બીજગણિતીય સમીક