ગણિત એ સૌથી ચોક્કસ વિજ્ઞાન છે અને તેના નિષ્કર્ષો સંપૂર્ણ પુરાવા સક્ષમ છે. - સી.પી. સ્ટેઈનમેટ્ઝ

7.1 પ્રસ્તાવના

અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે $a+b$ અને $a-b$ જેવા દ્વિપદીઓના વર્ગ અને ઘન કેવી રીતે શોધવા તે શીખ્યા હતા. તેનો ઉપયોગ કરીને, આપણે $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$, વગેરે સંખ્યાઓના આંકડાકીય મૂલ્યોનું મૂલ્યાંકન કરી શક્યા હતા. જો કે, $(98)^{5},(101)^{6}$, વગેરે જેવી ઉચ્ચ ઘાત માટે, પુનરાવર્તિત ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ મુશ્કેલ બની જાય છે. આ મુશ્કેલી દ્વિપદી પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા પ્રમેય દ્વારા દૂર કરવામાં આવી હતી. તે $(a+b)^{n}$ ને વિસ્તૃત કરવાનો સરળ માર્ગ આપે છે, જ્યાં $n$ એક પૂર્ણાંક અથવા પરિમેય સંખ્યા છે. આ પ્રકરણમાં, આપણે ફક્ત ધન પૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો અભ્યાસ કરીએ છીએ.

બ્લેઝ પાસ્કલ (1623-1662 ઈ.સ.)

7.2 ધન પૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે દ્વિપદી પ્રમેય

ચાલો અગાઉ કરેલી નીચેની ઓળખો પર એક નજર નાખીએ:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

આ વિસ્તરણોમાં, આપણે નોંધીએ છીએ કે

(i) વિસ્તરણમાં કુલ પદોની સંખ્યા ઘાતાંક કરતાં એક વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, $(a+b)^{2}$ ના વિસ્તરણમાં, પદોની સંખ્યા 3 છે જ્યારે $(a+b)^{2}$ નો ઘાતાંક 2 છે.

(ii) પ્રથમ રાશિ ‘$a$’ ની ઘાતો ક્રમિક પદોમાં 1 થી ઘટતી જાય છે જ્યારે બીજી રાશિ ‘$b$’ ની ઘાતો 1 થી વધે છે.

(iii) વિસ્તરણના દરેક પદમાં, $a$ અને $b$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો સમાન છે અને $a+b$ ના ઘાતાંક જેટલો છે.

હવે આપણે આ વિસ્તરણોમાંના ગુણાંકોને નીચે પ્રમાણે ગોઠવીએ છીએ (આકૃતિ 7.1):

આકૃતિ 7.1

શું આપણે આ કોષ્ટકમાં કોઈ પેટર્ન જોઈએ છીએ જે આપણને આગળની હરોળ લખવામાં મદદ કરશે? હા, આપણે જોઈએ છીએ. તે જોઈ શકાય છે કે ઘાતાંક 1 માટેની હરોળમાં 1 નો સરવાળો ઘાતાંક 2 માટેની હરોળમાં 2 ને જન્મ આપે છે. ઘાતાંક 2 માટેની હરોળમાં 1,2 અને 2, 1 નો સરવાળો ઘાતાંક 3 માટેની હરોળમાં 3 અને 3 ને જન્મ આપે છે અને આમ જ. સાથે જ, દરેક હરોળની શરૂઆતમાં અને અંતે 1 હાજર છે. આને આપણી રુચિના કોઈપણ ઘાતાંક સુધી ચાલુ રાખી શકાય છે.

આપણે થોડીક વધુ હરોળ લખીને આકૃતિ 7.2 માં આપેલ પેટર્નને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ.

પાસ્કલ ત્રિકોણ

આકૃતિ 7.2 માં આપેલ માળખું એક ત્રિકોણ જેવું દેખાય છે જેની ટોચ પર શિરોબિંદુ પર 1 છે અને બે ઢાળવાળી બાજુઓ સાથે નીચે ચાલે છે. સંખ્યાઓની આ શ્રેણી ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી બ્લેઝ પાસ્કલના નામ પછી પાસ્કલ ત્રિકોણ તરીકે ઓળખાય છે. તે પિંગલ દ્વારા મેરુ પ્રસ્તાર તરીકે પણ ઓળખાય છે.

પાસ્કલ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને દ્વિપદીની ઉચ્ચ ઘાતો માટેના વિસ્તરણો પણ શક્ય છે. ચાલો $(2 x+3 y)^{5}$ ને પાસ્કલ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરીએ. ઘાતાંક 5 માટેની હરોળ છે

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

આ હરોળ અને આપણી નોંધો (i), (ii) અને (iii) નો ઉપયોગ કરીને, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

હવે, જો આપણે $(2 x+3 y)^{12}$ નું વિસ્તરણ શોધવા માંગીએ છીએ, તો પહેલા આપણે ઘાતાંક 12 માટેની હરોળ મેળવવાની જરૂર છે. આ ઘાતાંક 12 સુધી પાસ્કલ ત્રિકોણની બધી હરોળ લખીને કરી શકાય છે. આ એક થોડી લાંબી પ્રક્રિયા છે. જેમ તમે નોંધો છો, જો આપણને હજુ પણ મોટી ઘાતો સાથેના વિસ્તરણોની જરૂર હોય, તો આ પ્રક્રિયા વધુ મુશ્કેલ બનશે.

આમ, આપણે એવો નિયમ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ જે આપણને ઇચ્છિત ઘાતાંકની હરોળ પહેલાં આવતા પાસ્કલ ત્રિકોણની બધી હરોળ લખ્યા વિના કોઈપણ ઘાત માટે દ્વિપદીના વિસ્તરણને શોધવામાં મદદ કરશે.

આ માટે, આપણે પાસ્કલ ત્રિકોણમાંની સંખ્યાઓને ફરીથી લખવા માટે અગાઉ અભ્યાસ કરેલ સંયોજનોની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ અને $n$ એ બિન-ઋણાત્મક પૂર્ણાંક છે. સાથે જ, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ પાસ્કલ ત્રિકોણ હવે નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે (આકૃતિ 7.3)

આકૃતિ 7.3 પાસ્કલ ત્રિકોણ

આ પેટર્નનું અવલોકન કરીને, હવે આપણે અગાઉની હરોળ લખ્યા વિના કોઈપણ ઘાતાંક માટે પાસ્કલ ત્રિકોણની હરોળ લખી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંક 7 માટેની હરોળ હશે

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

આમ, આ હરોળ અને નોંધો (i), (ii) અને (iii) નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

દ્વિપદીના કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક ઘાતાંક, ધારો કે $n$, નું વિસ્તરણ હવે આ નોંધોનો ઉપયોગ કરીને કલ્પના કરી શકાય છે. હવે આપણે કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક ઘાતાંક માટે દ્વિપદીના વિસ્તરણને લખવાની સ્થિતિમાં છીએ.

7.2.1 કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે દ્વિપદી પ્રમેય,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

પુરાવો પુરાવો ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતને લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે.

ધારો કે આપેલ વિધાન છે

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ માટે, આપણી પાસે છે

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

આમ, $P(1)$ સત્ય છે.

ધારો કે $P(k)$ કોઈક ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે સત્ય છે, એટલે કે.

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

આપણે સાબિત કરીશું કે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે, એટલે કે,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

હવે, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [વાસ્તવિક ગુણાકાર દ્વારા] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [સમાન પદોને જૂથબદ્ધ કરીને] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ અને $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ નો ઉપયોગ કરીને)

આમ, તે સાબિત થઈ ગયું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે જ્યારે પણ $P(k)$ સત્ય છે. તેથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા, $P(n)$ દરેક ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે સત્ય છે.

આપણે $(x+2)^{6}$ નું વિસ્તરણ કરીને આ પ્રમેયને સમજાવીએ છીએ:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

આમ $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

નોંધો

1. સંકેત $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ નો અર્થ છે

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, જ્યાં $b^{0}=1=a^{n-n}$.

તેથી પ્રમેય નીચે પ્રમાણે પણ દર્શાવી શકાય છે

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. દ્વિપદી પ્રમેયમાં આવતા ગુણાંકો ${ }^{n} C_r$ દ્વિપદી ગુણાંક તરીકે ઓળખાય છે.

3. $(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં $(n+1)$ પદો છે, એટલે કે, ઘાતાંક કરતાં એક વધારે.

4. વિસ્તરણના ક્રમિક પદોમાં $a$ નો ઘાતાંક એકમ દ્વારા ઘટતો જાય છે. તે પ્રથમ પદમાં $n$ છે, બીજા પદમાં $(n-1)$ છે, અને આમ છેલ્લા પદમાં શૂન્ય સાથે સમાપ્ત થાય છે. તે જ સમયે $b$ નો ઘાતાંક એકમ દ્વારા વધે છે, પ્રથમ પદમાં શૂન્યથી શરૂ થાય છે, બીજામાં 1 અને આમ છેલ્લા પદમાં $n$ સાથે સમાપ્ત થાય છે.

5. $(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં, $a$ અને $b$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો પ્રથમ પદમાં $n+0=n$ છે, બીજા પદમાં $(n-1)+1=n$ છે અને આમ છેલ્લા પદમાં $0+n=n$ છે. આમ, તે જોઈ શકાય છે કે $a$ અને $b$ ના ઘાતાંકોનો સરવાળો વિસ્તરણના દરેક પદમાં $n$ છે.

7.2.2 કેટલાક વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ

$(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં,

(i) $a=x$ અને $b=-y$ લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

આમ $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

આનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

આમ $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

ખાસ કરીને, $x=1$ માટે, આપણી પાસે છે

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ખાસ કરીને, $x=1$ માટે, આપણને મળે છે

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

ઉદાહરણ 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ નું વિસ્તરણ કરો.

ઉકેલ દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

ઉદાહરણ 2 $(98)^{5}$ ની ગણતરી કરો.

ઉકેલ આપણે 98 ને બે સંખ્યાઓના સરવાળા અથવા તફાવત તરીકે દર્શાવીએ છીએ જેની ઘાતોની ગણતરી સરળ છે, અને પછી દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

લખો $98=100-2$

તેથી, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

ઉદાહરણ 3 કયું મોટું છે (1.01) ${ }^{1000000}$ અથવા 10,000 ?

ઉકેલ 1.01 ને વિભાજીત કરીને અને દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ થોડા પદો લખવા માટે આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ અન્ય ધન પદો } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ અન્ય ધન પદો } \\ & =1+10000+\text{ અન્ય ધન પદો } \\ & >10000 \end{aligned} $

તેથી $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

ઉદાહરણ 4 દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે $6^{n}-5 n$ ને 25 વડે ભાગતા હંમેશા શેષ 1 રહે છે.

ઉકેલ બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે જો આપણે સંખ્યાઓ $q$ અને $r$ શોધી શકીએ કે જેથી $a=b q+r$, તો આપણે કહીએ છીએ કે $b$, $a$ ને ભાગે છે જ્યાં $q$ ભાગફળ તરીકે અને $r$ શેષ તરીકે. આમ, એ બતાવવા માટે કે $6^{n}-5 n$ ને 25 વડે ભાગતા શેષ 1 રહે છે, આપણે સાબિત કરીએ છીએ કે $6^{n}-5 n=25 k+1$, જ્યાં $k$ કોઈક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

આપણી પાસે છે

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ માટે, આપણને મળે છે

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

એટલે કે. $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

એટલે કે $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

અથવા $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

અથવા $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

આ બતાવે છે કે જ્યારે $25,6^{n}-5 n$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ 1 રહે છે.

સારાંશ

• કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે દ્વિપદીનું વિસ્તરણ દ્વિપદી પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$ છે

• વિસ્તરણોના ગુણાંકો એક શ્રેણીમાં ગોઠવવામાં આવે છે. આ શ્રેણીને પાસ્કલ ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે.

ઐતિહાસિક નોંધ

પ્રાચીન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ ના વિસ્તરણોમાંના ગુણાંકો વિશે જાણતા હતા. આ ગુણાંકોની ગોઠવણી મેરુ-પ્રસ્તાર નામના આકૃતિના સ્વરૂપમાં હતી, જે પિંગલ દ્વારા તેમના પુસ્તક છંદ શાસ્ત્ર (200 ઈ.સ.પૂ.) માં આપવામાં આવી હતી. આ ત્રિકોણાકાર ગોઠવણી 1303 માં ચાઇનીઝ ગણિતશાસ્ત્રી ચુ-શિ-કીના કાર્યમાં પણ જોવા મળે છે. દ્વિપદી ગુણાંક શબ્દનો પ્રથમ વાર ઉપયોગ જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, માઇકલ સ્ટિપેલ (1486-1567) દ્વારા લગભગ 1544 માં કરવામાં આવ્યો હતો. બોમ્બેલી (1572) એ $(a+b)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં ગુણાંકો $n=1,2 \ldots, 7$ માટે પણ આપ્યા હતા અને ઓગટ્રેડ (1631) એ તેમને $n=1,2, \ldots, 10$ માટે આપ્યા હતા. અંકગણિત ત્રિકોણ, જે સામાન્ય રીતે પાસ્કલ ત્રિકોણ તરીકે ઓળખાય છે અને પિંગલના મેરુપ્રસ્તાર જેવું છે, તે ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી બ્લેઝ પાસ્કલ (1623-1662) દ્વારા 1665 માં રચવામાં આવ્યું હતું.

$n$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો માટે દ્વિપદી પ્રમેયનું વર્તમાન સ્વરૂપ પાસ્કલ દ્વારા લખાયેલ અને 1665 માં તેમના મૃત્યુ પછી પ્રકાશિત થયેલ ટ્રેટ ડુ ટ્રિએન્જ અરિથમેટિકમાં દેખાયું હતું.