ભૂમિતિ, તાર્કિક પદ્ધતિ તરીકે, એક સાધન છે અને બાળકોને તેમની પોતાની આત્મશક્તિની માનવ આત્મશક્તિની તાકાત અનુભવવા માટેનું સૌથી શક્તિશાળી સાધન પણ છે. - H. FREUDENTHAL

9.1 પ્રસ્તાવના

અગાઉની ધોરણોમાંથી આપણે બે-પરિમાણીય નિર્દેશાંક ભૂમિતિ સાથે પરિચિત છીએ. મુખ્યત્વે, તે બીજગણિત અને ભૂમિતિનું મિશ્રણ છે. બીજગણિતના ઉપયોગ દ્વારા ભૂમિતિનું વ્યવસ્થિત અભ્યાસ સૌપ્રથમ પ્રખ્યાત ફ્રેન્ચ તત્વજ્ઞાની અને ગણિતજ્ઞ રેને ડેસકાર્ટ્સ દ્વારા, તેમની પુસ્તક ‘La Géométry’ (1637 માં પ્રકાશિત) માં કરવામાં આવ્યું હતું. આ પુસ્તકે વક્રના સમીકરણની સંકલ્પના અને ભૂમિતિના અભ્યાસમાં વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિઓનો પરિચય કરાવ્યો. પરિણામી વિશ્લેષણ અને ભૂમિતિના સંયોજનને હવે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અગાઉની ધોરણોમાં, આપણે નિર્દેશાંક ભૂમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો, જ્યાં આપણે નિર્દેશાંક અક્ષો, નિર્દેશાંક સમતલ, બિંદુઓનું આલેખન, બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર, વિભાગ સૂત્રો, વગેરે વિશે અભ્યાસ કર્યો હતો. આ બધી સંકલ્પનાઓ નિર્દેશાંક ભૂમિતિના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો છે.

ચાલો અગાઉની ધોરણોમાં કરેલી નિર્દેશાંક ભૂમિતિનો સંક્ષિપ્ત પુનરાવર્તન કરીએ. સંક્ષેપમાં, XY-સમતલમાં બિંદુઓ $(6,-4)$ અને $(3,0)$ નું સ્થાન આકૃતિ 9.1 માં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિ. 9.1

આપણે નોંધ લઈ શકીએ કે બિંદુ $(6,-4)$ ધન $x$-અક્ષ સાથે માપવામાં આવેલ $y$-અક્ષથી 6 એકમ અંતરે છે અને ઋણ $y$-અક્ષ સાથે માપવામાં આવેલ $x$-અક્ષથી 4 એકમ અંતરે છે. તે જ રીતે, બિંદુ $(3,0)$ ધન $x$-અક્ષ સાથે માપવામાં આવેલ $y$-અક્ષથી 3 એકમ અંતરે છે અને $x$-અક્ષથી શૂન્ય અંતરે છે.

આપણે ત્યાં નીચેનાં મહત્વપૂર્ણ સૂત્રોનો પણ અભ્યાસ કર્યો હતો:

I. બિંદુઓ $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર છે

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ $(6,-4)$ અને $(3,0)$ વચ્ચેનું અંતર છે

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડને આંતરિક રીતે ગુણોત્તર $m: n$ માં વિભાજિત કરતા બિંદુના નિર્દેશાંક $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુ A $(1,-3)$ અને $B(-3,9)$ ને જોડતા રેખાખંડને આંતરિક રીતે ગુણોત્તર $1: 3$ માં વિભાજિત કરતા બિંદુના નિર્દેશાંક $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

III. ખાસ કરીને, જો $m=n$, તો બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના નિર્દેશાંક $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ છે.

IV. જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ છે તે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

ઉદાહરણ તરીકે, જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(4,4),(3,-2)$ અને $(-3,16)$ છે તે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ટિપ્પણી જો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય, તો ત્રણ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે, એટલે કે, તેઓ સમરેખ છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે નિર્દેશાંક ભૂમિતિના અભ્યાસને સૌથી સરળ ભૌમિતિક આકૃતિ - સુરેખ રેખાના ગુણધર્મોના અભ્યાસ માટે ચાલુ રાખીશું. તેની સરળતા છતાં, રેખા ભૂમિતિની એક મહત્વપૂર્ણ સંકલ્પના છે અને અસંખ્ય રસપ્રદ અને ઉપયોગી રીતે આપણા દૈનિક અનુભવોમાં પ્રવેશ કરે છે. મુખ્ય ધ્યાન રેખાને બીજગણિતીય રીતે દર્શાવવા પર છે, જેના માટે ઢાળ સૌથી આવશ્યક છે.

9.2 રેખાનો ઢાળ

નિર્દેશાંક સમતલમાં એક રેખા $x$-અક્ષ સાથે બે ખૂણાઓ બનાવે છે, જે પૂરક છે. રેખા $l$ દ્વારા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનાવેલો અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવેલો ખૂણો (ધારો કે) $\theta$ ને રેખાનો ઝુકાવ કહેવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (આકૃતિ 9.2).

આકૃતિ 9.2

આપણે નોંધીએ છીએ કે $x$-અક્ષની સમાંતર અથવા $x$-અક્ષ સાથે એકરૂપ થતી રેખાઓનો ઝુકાવ $0^{\circ}$ હોય છે. ઊભી રેખા ($y$-અક્ષની સમાંતર અથવા એકરૂપ) નો ઝુકાવ $90^{\circ}$ હોય છે.

વ્યાખ્યા 1 જો $\theta$ એ રેખા $l$ નો ઝુકાવ હોય, તો $\tan \theta$ ને રેખા $l$ નો ઢાળ અથવા ઢોળાવ કહેવામાં આવે છે.

જે રેખાનો ઝુકાવ $90^{\circ}$ હોય તે રેખાનો ઢાળ વ્યાખ્યાયિત નથી. રેખાના ઢાળને $m$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$. તે નોંધવામાં આવી શકે છે કે $x$-અક્ષનો ઢાળ શૂન્ય છે અને $y$-અક્ષનો ઢાળ વ્યાખ્યાયિત નથી.

9.2.1 જ્યારે રેખા પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓના નિર્દેશાંક આપેલા હોય ત્યારે રેખાનો ઢાળ

આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે આપણને તેના પર બે બિંદુઓ આપવામાં આવે ત્યારે રેખા સંપૂર્ણ રીતે નિર્ધારિત થાય છે. તેથી, આપણે રેખા પરના બે બિંદુઓના નિર્દેશાંકના સંદર્ભમાં રેખાનો ઢાળ શોધવા માટે આગળ વધીએ છીએ.

ધારો કે $P(x_1, y_1)$ અને $Q(x_2, y_2)$ એ અશિરોલંબ રેખા $l$ પરના બે બિંદુઓ છે જેનો ઝુકાવ $\theta$ છે. દેખીતી રીતે, $x_1 \neq x_2$, નહિંતર રેખા $x$-અક્ષ પર લંબરૂપ થશે અને તેનો ઢાળ વ્યાખ્યાયિત થશે નહીં. રેખા $l$ નો ઝુકા�વ લઘુકોણ અથવા ગુરુકોણ હોઈ શકે છે. ચાલો આ બે કિસ્સાઓ લઈએ.

$QR$ ને $x$-અક્ષ પર અને $PM$ ને $RQ$ પર લંબ દોરો જેમ કે આકૃતિ 9.3 (i) અને (ii) માં દર્શાવેલ છે.

કિસ્સો 1 જ્યારે ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ હોય:

આકૃતિ 9.3

(i) માં, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

તેથી, રેખા $l=m=\tan \theta$ નો ઢાળ.

પરંતુ $\triangle MPQ$ માં, આપણી પાસે $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ છે

સમીકરણો (1) અને (2) માંથી, આપણી પાસે છે

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

કિસ્સો II જ્યારે ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય:

આકૃતિ 9.3

(ii) માં, આપણી પાસે $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ છે.

તેથી, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$.

હવે, રેખા $l=m=\tan \theta$ નો ઢાળ.

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

પરિણામે, આપણે જોઈએ છીએ કે બંને કિસ્સાઓમાં બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ એ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

9.2.2 રેખાઓની સમાંતરતા અને લંબરૂપતાની શરતો તેમના ઢાળના સંદર્ભમાં

નિર્દેશાંક સમતલમાં, ધારો કે અશિરોલંબ રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ છે. તેમના ઝુકાવ અનુક્રમે $\alpha$ અને $\beta$ હોય. જો રેખા $\boldsymbol{l_1}$ એ $\boldsymbol{l_2}$ ની સમાંતર હોય (આકૃતિ 9.4), તો તેમના ઝુકાવ સમાન હોય છે, એટલે કે,

આકૃતિ 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ અને તેથી, } \tan \alpha=\tan \beta $

તેથી $\quad m _{1}=m _{2}$, એટલે કે, તેમના ઢાળ સમાન છે.

વિપરીત, જો બે રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ નો ઢાળ સમાન હોય, એટલે કે,

$$ m_1=m_2 $$

તો

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

સ્પર્શક ફલનના ગુણધર્મ દ્વારા ($0^{\circ}$ અને $180^{\circ}$ વચ્ચે), $\alpha=\beta$.

તેથી, રેખાઓ સમાંતર છે.

આમ, બે અશિરોલંબ રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ સમાંતર હોય છે જો અને માત્ર જો તેમના ઢાળ સમાન હોય.

જો રેખાઓ $ \boldsymbol{l_1 } $ અને $\boldsymbol{l_2 } $ પરસ્પર લંબ હોય (આકૃતિ 9.5), તો $\beta=\alpha+90^{\circ}$.

આકૃતિ 9.5

તેથી, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

એટલે કે, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ અથવા $\quad m_1 m_2=-1$

વિપરીત, જો $m_1 m_2=-1$, એટલે કે, $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

તો $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ અથવા $\tan (\beta-90^{\circ})$

તેથી, $\alpha$ અને $\beta$ એ $90^{\circ}$ થી અલગ પડે છે.

આમ, રેખાઓ $l_1$ અને $l_2$ એકબીજાને લંબરૂપ છે.

આમ, બે અશિરોલંબ રેખાઓ એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે જો અને માત્ર જો તેમના ઢાળ એકબીજાના ઋણ પરસ્પર હોય,

એટલે કે, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ અથવા, $m_1 m_2=-1$.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 રેખાઓનો ઢાળ શોધો:

(a) બિંદુઓ $(3,-2)$ અને $(-1,4)$ માંથી પસાર થતી,

(b) બિંદુઓ $(3,-2)$ અને $(7,-2)$ માંથી પસાર થતી,

(c) બિંદુઓ $(3,-2)$ અને $(3,4)$ માંથી પસાર થતી,

(d) જે $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $60^{\circ}$ નો ઝુકાવ બનાવે છે.

ઉકેલ (a) $(3,-2)$ અને $(-1,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ છે

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(b) બિંદુઓ $(3,-2)$ અને $(7,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ છે

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(c) બિંદુઓ $(3,-2)$ અને $(3,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ છે

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, જે વ્યાખ્યાયિત નથી. } $

(d) અહીં રેખાનો ઝુકાવ $\alpha=60^{\circ}$ છે. તેથી, રેખાનો ઢાળ છે

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

જ્યારે આપણે સમતલમાં એક કરતાં વધુ રેખાઓ વિશે વિચારીએ છીએ, ત્યારે આપણે જોઈએ છીએ કે આ રેખાઓ કાં તો છેદતી હોય છે અથવા સમાંતર હોય છે. અહીં આપણે તેમના ઢાળના સંદર્ભમાં બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા વિશે ચર્ચા કરીશું.

ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ એ બે અશિરોલંબ રેખાઓ છે જેમના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ છે. જો $\alpha_1$ અને $\alpha_2$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના ઝુકાવ હોય, તો

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે તેઓ ઊર્ધ્વાભિમુખ સમખૂણાના બે જોડ બનાવે છે જેમ કે કોઈ પણ બે સંલગ્ન ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે. ધારો કે $\theta$ અને $\phi$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેના સંલગ્ન ખૂણાઓ છે (આકૃતિ 9.6). તો

આકૃતિ 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

તેથી $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ કારણ કે $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ અને $\phi=180^{\circ}-\theta$

જેથી $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, કારણ કે $1+m_1 m_2 \neq 0$

હવે, બે કિસ્સાઓ ઊભા થાય છે:

કિસ્સો I જો $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ધન હોય, તો $\tan \theta$ ધન હશે અને $\tan \phi$ ઋણ હશે, જેનો અર્થ છે કે $\theta$ લઘુકોણ હશે અને $\phi$ ગુરુકોણ હશે.

કિસ્સો II જો $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ઋણ હોય, તો $\tan \theta$ ઋણ હશે અને $\tan \phi$ ધન હશે, જેનો અર્થ છે કે $\theta$ ગુરુકોણ હશે અને $\phi$ લઘુકોણ હશે.

આમ, ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતી રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો લઘુકોણ (ધારો કે $\theta$) નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ કારણ કે } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

ગુરુકોણ (ધારો કે $\phi$) એ $\phi=180^{\circ}-\theta$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ 2 જો બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય અને એક રેખાનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ હોય, તો બીજી રેખાનો ઢાળ શોધો.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ ધરાવતી બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ એ

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ધારો કે $m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ અને $\theta=\frac{\pi}{4}$.

હવે, આ મૂલ્યોને (1) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

જે $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ અથવા $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ આપે છે.

તેથી $m=3$ અથવા $m=-\frac{1}{3}$.

આમ, બીજી રેખાનો ઢાળ 3 અથવા $-\frac{1}{3}$ છે. આકૃતિ 9.7 બે જવાબોનું કારણ સમજાવે છે.

આકૃતિ 9.7

ઉદાહરણ 3 બિંદુઓ $(-2,6)$ અને $(4,8)$ માંથી પસાર થતી રેખા એ બિંદુઓ $(8,12)$ અને $(x, 24)$ માંથી પસાર થતી રેખાને લંબરૂપ છે. $x$ ની કિંમત શોધો.

ઉકેલ બિંદુઓ $(-2,6)$ અને $(4,8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ છે

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

બિંદુઓ $(8,12)$ અને $(x, 24)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ છે

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

કારણ કે બે રેખાઓ લંબરૂપ છે, $m_1 m_2=-1$, જે આપે છે

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 રેખાના સમીકરણના વિવિધ સ્વરૂપો

આપણે જાણીએ છીએ કે સમતલમાં દરેક રેખા તેના પર અનંત બિંદુઓ ધરાવે છે. રેખા અને બિંદુઓ વચ્ચેનો આ સંબંધ આપણને નીચેની સમસ્યાનો ઉકેલ શોધવા તરફ દોરે છે:

આપેલ બિંદુ આપેલ રેખા પર આવેલું છે તે આપણે કેવી રીતે કહી શકીએ? તેનો જવાબ એ હોઈ શકે છે કે આપેલ રેખા માટે આપણી પાસે રેખા પર આવેલા બિંદુઓ માટે નિશ્ચિત શરત હોવી જોઈએ. ધારો કે $P(x, y)$ એ XY-સમતલમાં એક મનસ્વી બિંદુ છે અને $L$ એ આપેલ રેખા છે. $L$ ના સમીકરણ માટે, આપણે બિંદુ $P$ માટે એક વિધાન અથવા શરત બનાવવા માંગીએ છીએ જે સાચું હોય, જ્યારે $P$ એ $L$ પર હોય, નહિંતર ખોટું હોય. અલબત્ત, વિધાન માત્ર ચલો $x$ અને $y$ ને સમાવતું બીજગણિતીય સમીકરણ છે. હવે, આપણે વિવિધ શરતો હેઠળ રેખાના સમીકરણની ચર્ચા કરીશું.

9.3.1 આડી અને ઊભી રેખાઓ

જો એક આડી રેખા $L$ એ $x$ અક્ષથી $a$ અંતરે હોય, તો રેખા પર આવેલા દરેક બિંદુનો યામ કાં તો $a$ અથવા $-a$ હોય છે [આકૃતિ 9.8 (a)]. તેથી, રેખા $L$ નું સમીકરણ કાં તો $y=a$ અથવા $y=-a$ હોય છે. ચિહ્નની પસંદગી રેખાની સ્થિતિ પર આધારિત હશે કે રેખા $y$-અક્ષની ઉપર છે કે નીચે છે. તે જ રીતે, $y$-અક્ષથી $b$ અંતરે આવેલી ઊભી રેખાનું સમીકરણ કાં તો $x=b$ અથવા $x=-b$ હોય છે [આકૃતિ 9.8(b)].

ઉદાહરણ 4 અક્ષોની સમાંતર અને $(-2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો શોધો.

આકૃતિ 9.9

ઉકેલ રેખાઓની સ્થિતિ આકૃતિ 9.9 માં દર્શાવેલ છે. $x$-અક્ષની સમાંતર રેખા પરના દરેક બિંદુનો $y$-યામ 3 છે, તેથી, x-અક્ષની સમાંતર અને $(-2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=3$ છે. તે જ રીતે, $y$-અક્ષની સમાંતર અને $(-2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x=-2$ છે.

9.3.2 બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ

ધારો કે $P_0(x_0, y_0)$ એ અશિરોલંબ રેખા $L$ પર એક સ્થિર બિંદુ છે, જેનો ઢાળ $m$ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ L પર એક મનસ્વી બિંદુ છે (આકૃતિ 9.10).

આકૃતિ 9.10

તો, વ્યાખ્યા દ્વારા, $L$ નો ઢાળ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, એટલે કે, } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

કારણ કે બિંદુ $P_0(x_0, y_0)$ સાથે ⟦