13.1 પ્રસ્તાવના

આપણા રોજિંદા જીવનમાં આપણે વિવિધ પ્રકારની ગતિઓ જોઈએ છીએ. તમે તેમાંથી કેટલીક વિશે પહેલેથી જ શીખી ચૂક્યા છો, ઉદાહરણ તરીકે, સુરેખ ગતિ અને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ. આ બંને ગતિઓ પુનરાવર્તિત નથી. આપણે સમવર્તુળ ગતિ અને સૂર્યમંડળમાં ગ્રહોની કક્ષીય ગતિ વિશે પણ શીખ્યા છીએ. આ કિસ્સાઓમાં, ગતિ ચોક્કસ સમય અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે, એટલે કે, તે આવર્તી છે. તમારા બાળપણમાં, તમે ખાસ્સી રીતે પાલણામાં ઝૂલવાનો અથવા ઝૂલા પર ઝૂલવાનો આનંદ લીધો હશે. આ બંને ગતિઓ સ્વભાવે પુનરાવર્તિત છે પરંતુ ગ્રહની આવર્તી ગતિથી અલગ છે. અહીં, પદાર્થ સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે. દીવાલ ઘડિયાળનું લોલક સમાન ગતિ કરે છે. આવી આવર્તી આગળ-પાછળની ગતિના ઉદાહરણો ઘણાં છે: નદીમાં ઉપર-નીચે થતી હોડી, સ્ટીમ એન્જિનમાં આગળ-પાછળ જતું પિસ્ટન, વગેરે. આવી ગતિને દોલન ગતિ કહેવામાં આવે છે. આ અધ્યાયમાં આપણે આ ગતિનો અભ્યાસ કરીશું.

દોલન ગતિનો અભ્યાસ ભૌતિકશાસ્ત્રનો મૂળભૂત છે; ઘણી ભૌતિક ઘટનાઓને સમજવા માટે તેની સંકલ્પનાઓ જરૂરી છે. સંગીત વાદ્યોમાં, જેમ કે સિતાર, ગિટાર અથવા વાયોલિનમાં, આપણે કંપિત તારો જોઈએ છીએ જે મનમોહક ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરે છે. ઢોલમાંના પટલ અને ટેલિફોન અને સ્પીકર સિસ્ટમોમાં ડાયાફ્રામ તેમની સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ આગળ-પાછળ કંપન કરે છે. હવાના અણુઓના કંપન ધ્વનિના પ્રસારને શક્ય બનાવે છે. ઘન પદાર્થમાં, પરમાણુઓ તેમની સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ કંપન કરે છે, કંપનની સરેરાશ ઊર્જા તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે. AC પાવર સપ્લાય એવો વોલ્ટેજ આપે છે જે સરેરાશ મૂલ્ય (શૂન્ય)ની આસપાસ વૈકલ્પિક રીતે ધન અને ઋણ થતું દોલન કરે છે.

સામાન્ય રીતે આવર્તી ગતિ અને ખાસ કરીને દોલન ગતિનું વર્ણન કરવા માટે કેટલીક મૂળભૂત સંકલ્પનાઓ જરૂરી છે, જેમ કે આવર્તકાળ, આવૃત્તિ, વિસ્થાપન, કંપનવિસ્તાર અને કળા. આ સંકલ્પનાઓ આગળના વિભાગમાં વિકસિત કરવામાં આવી છે.

13.2 આવર્તી અને દોલન ગતિઓ

ફિગ. 13.1 કેટલીક આવર્તી ગતિઓ દર્શાવે છે. ધારો કે એક જંતુ ઢોળાવ ઉપર ચઢે છે અને નીચે પડે છે, તે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો આવે છે અને પ્રક્રિયાને સમાન રીતે પુનરાવર્તિત કરે છે. જો તમે જમીનથી તેની ઊંચાઈનો સમય સાથેનો આલેખ દોરો, તો તે ફિગ. 13.1 (a) જેવો દેખાશે. જો બાળક એક પગથિયા પર ચઢે છે, નીચે આવે છે અને પ્રક્રિયાને સમાન રીતે પુનરાવર્તિત કરે છે, તો જમીનથી તેની ઊંચાઈ ફિગ. 13.1 (b)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દેખાશે. જ્યારે તમે જમીન પરથી દડો ઉછાળીને, તમારી હથેળી અને જમીન વચ્ચે, રમત રમો છો, ત્યારે તેની ઊંચાઈ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ ફિગ. 13.1 (c)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દેખાશે. નોંધ લો કે ફિગ. 13.1 (c)માં બંને વક્ર ભાગો ન્યૂટનના ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપેલ પરવલયના ભાગો છે (વિભાગ 2.6 જુઓ),

$h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$ નીચેની ગતિ માટે, અને

$h=u t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ઉપરની ગતિ માટે,

દરેક કિસ્સામાં $u$ ના વિવિધ મૂલ્યો સાથે. આ આવર્તી ગતિના ઉદાહરણો છે. આમ, જે ગતિ નિયમિત સમય અંતરાલ પછી પોતાને પુનરાવર્તિત કરે છે તેને આવર્તી ગતિ કહેવામાં આવે છે.

ફિગ. 13.1 આવર્તી ગતિના ઉદાહરણો. દરેક કિસ્સામાં આવર્તકાળ T દર્શાવેલ છે.

ઘણી વાર, આવર્તી ગતિ કરતા પદાર્થની તેના માર્ગની અંદર ક્યાંક સંતુલન સ્થિતિ હોય છે. જ્યારે પદાર્થ આ સ્થિતિ પર હોય છે ત્યારે તેના પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું નથી. તેથી, જો તેને ત્યાં વિશ્રાંતિમાં છોડવામાં આવે, તો તે ત્યાં કાયમ રહે છે. જો પદાર્થને સ્થિતિમાંથી થોડું વિસ્થાપિત કરવામાં આવે, તો એક બળ કાર્યરત થાય છે જે પદાર્થને સંતુલન બિંદુ પર પાછો લાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે, જે દોલનો અથવા કંપનો ઉત્પન્ન કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક બાઉલમાં મૂકેલ બોલ તળિયે સંતુલનમાં હશે. જો બિંદુથી થોડું વિસ્થાપિત કરવામાં આવે, તો તે બાઉલમાં દોલનો કરશે. દરેક દોલન ગતિ આવર્તી છે, પરંતુ દરેક આવર્તી ગતિ દોલન હોવી જરૂરી નથી. વર્તુળાકાર ગતિ એ આવર્તી ગતિ છે, પરંતુ તે દોલન નથી.

દોલનો અને કંપનો વચ્ચે કોઈ મહત્વપૂર્ણ તફાવત નથી. એવું લાગે છે કે જ્યારે આવૃત્તિ ઓછી હોય છે, ત્યારે આપણે તેને દોલન કહીએ છીએ (જેમ કે, વૃક્ષની શાખાનું દોલન), જ્યારે આવૃત્તિ વધારે હોય છે, ત્યારે આપણે તેને કંપન કહીએ છીએ (જેમ કે, સંગીત વાદ્યના તારનું કંપન).

સરળ આવર્તી ગતિ એ દોલન ગતિનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ છે. આ ગતિ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે દોલન કરતા પદાર્થ પરનું બળ તેના સરેરાશ સ્થિતિમાંથી વિસ્થાપનના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે સંતુલન સ્થિતિ પણ છે. વધુમાં, તેના દોલનના કોઈપણ બિંદુએ, આ બળ સરેરાશ સ્થિતિ તરફ નિર્દેશિત હોય છે.

વ્યવહારમાં, ઘર્ષણ અને અન્ય વિખરાતા કારણોને કારણે ડેમ્પિંગને કારણે દોલન કરતા પદાર્થો આખરે તેમની સંતુલન સ્થિતિએ વિશ્રાંતિ પામે છે. જો કે, તેમને કેટલાક બાહ્ય આવર્તી એજન્સી દ્વારા દોલન કરતા રાખવા માટે દબાણ કરી શકાય છે. આપણે આ અધ્યાયમાં પછી ડેમ્પ્ડ અને ફોર્સ્ડ ઓસિલેશનની ઘટનાઓની ચર્ચા કરીશું.

કોઈપણ ભૌતિક માધ્યમને મોટી સંખ્યામાં જોડાયેલા દોલકોના સંગ્રહ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. માધ્યમના ઘટકોના સામૂહિક દોલનો તરંગો તરીકે પ્રગટ થાય છે. તરંગોના ઉદાહરણોમાં પાણીના તરંગો, ભૂકંપ તરંગો, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો સમાવેશ થાય છે. આપણે આગલા અધ્યાયમાં તરંગ ઘટનાનો અભ્યાસ કરીશું.

13.2.1 આવર્તકાળ અને આવૃત્તિ

આપણે જોયું છે કે જે કોઈપણ ગતિ નિયમિત સમય અંતરાલ પછી પોતાને પુનરાવર્તિત કરે છે તેને આવર્તી ગતિ કહેવામાં આવે છે. ગતિ પુનરાવર્તિત થાય તે પહેલાનો સૌથી નાનો સમય અંતરાલ તેનો આવર્તકાળ કહેવાય છે. ચાલો આવર્તકાળને ચિહ્ન $T$ દ્વારા દર્શાવીએ. તેનો SI એકમ સેકન્ડ છે. આવર્તી ગતિઓ માટે, જે સેકન્ડના સ્કેલ પર ખૂબ ઝડપી અથવા ખૂબ ધીમી હોય છે, ત્યાં સમયના અન્ય અનુકૂળ એકમોનો ઉપયોગ થાય છે. ક્વાર્ટ્ઝ ક્રિસ્ટલના કંપનનો આવર્તકાળ માઇક્રોસેકન્ડ $\left(10^{-6} \mathrm{~s}\right)$ના એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે છે જેને $\mu \mathrm{s}$ તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, બુધ ગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ 88 પૃથ્વી દિવસનો છે. હેલીનો ધૂમકેતુ દર 76 વર્ષે પ્રગટ થાય છે.

$T$ નો પરસ્પર એકમ સમય દીઠ થતા પુનરાવર્તનોની સંખ્યા આપે છે. આ જથ્થાને આવર્તી ગતિની આવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે. તેને ચિહ્ન $v$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $v$ અને $T$ વચ્ચેનો સંબંધ છે

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

$v$ નો એકમ આમ $\mathrm{s}^{-1}$ છે. રેડિયો તરંગોના શોધક હેનરિચ રુડોલ્ફ હર્ટ્ઝ (1857-1894) પછી, આવૃત્તિના એકમને એક વિશેષ નામ આપવામાં આવ્યું છે. તેને હર્ટ્ઝ કહેવામાં આવે છે ($\mathrm{Hz}$ તરીકે સંક્ષિપ્ત). આમ,

1 હર્ટ્ઝ $=1 \mathrm{~Hz}=1$ દોલન પ્રતિ સેકન્ડ $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

નોંધ લો કે આવૃત્તિ, $v$, જરૂરી નથી કે પૂર્ણાંક હોય.

ઉદાહરણ 13.1 સરેરાશે, માનવ હૃદય એક મિનિટમાં 75 વખત ધબકવા માટે જોવા મળે છે. તેની આવૃત્તિ અને આવર્તકાળની ગણતરી કરો.

જવાબ હૃદયની ધબકાર આવૃત્તિ $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { The time period } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

13.2.2 વિસ્થાપન

વિભાગ 3.2 માં, આપણે કણના વિસ્થાપનને તેના સ્થિતિ સદિશમાં ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું હતું. આ અધ્યાયમાં, આપણે વિસ્થાપન શબ્દનો વધુ સામાન્ય અર્થમાં ઉપયોગ કરીએ છીએ. તે વિચારણા હેઠળની કોઈપણ ભૌતિક ગુણધર્મમાં સમય સાથે થતા ફેરફારનો સંદર્ભ આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સપાટી પર સ્ટીલ બોલની સુરેખ ગતિના કિસ્સામાં, શરૂઆતના બિંદુથી અંતર સમયના કાર્ય તરીકે તેનું સ્થિતિ વિસ્થાપન છે. મૂળની પસંદગી સગવડનો મુદ્દો છે. એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા બ્લોકને ધ્યાનમાં લો, સ્પ્રિંગનો બીજો છેડો એક કઠોર દીવાલ સાથે જોડાયેલો છે [ફિગ. 13.2(a) જુઓ]. સામાન્ય રીતે, પદાર્થના વિસ્થાપનને તેની સંતુલન સ્થિતિથી માપવું અનુકૂળ છે. દોલન કરતા સરળ લોલક માટે, ઊભી રેખાથી કોણને સમયના કાર્ય તરીકે વિસ્થાપન ચલ તરીકે ગણી શકાય [ફિગ. 13.2(b) જુઓ]. વિસ્થાપન શબ્દ હંમેશા માત્ર સ્થિતિના સંદર્ભમાં જ નહીં લેવામાં આવે. ત્યાં અન્ય ઘણા પ્રકારના વિસ્થાપન ચલો હોઈ શકે છે. કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ, $\mathrm{AC}$ સર્કિટમાં સમય સાથે બદલાતો, એ પણ વિસ્થાપન ચલ છે. તે જ રીતે, ધ્વનિ તરંગના પ્રસારમાં સમય સાથે દબાણમાં ફેરફાર, પ્રકાશ તરંગમાં બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વિવિધ સંદર્ભોમાં વિસ્થાપનના ઉદાહરણો છે. વિસ્થાપન ચલ ધન અને ઋણ બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. દોલનોના પ્રયોગોમાં, વિસ્થાપન વિવિધ સમય માટે માપવામાં આવે છે.

ફિગ. 13.2(a) એક બ્લોક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલો છે, જેનો બીજો છેડો કઠોર દીવાલ સાથે જોડાયેલો છે. બ્લોક ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર ગતિ કરે છે. બ્લોકની ગતિને સંતુલન સ્થિતિથી તેના અંતર અથવા વિસ્થાપન x ના સંદર્ભમાં વર્ણવી શકાય છે.

ફિગ.13.2(b) દોલન કરતું સરળ લોલક; તેની ગતિને ઊભી રેખાથી કોણીય વિસ્થાપન θ ના સંદર્ભમાં વર્ણવી શકાય છે.

વિસ્થાપનને સમયના ગાણિતિક કાર્ય દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. આવર્તી ગતિના કિસ્સામાં, આ કાર્ય સમયમાં આવર્તી છે. સૌથી સરળ આવર્તી કાર્યોમાંનું એક આપવામાં આવ્યું છે

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*} $$

જો આ કાર્યનો દલીલ, $\omega t$, $2 \pi$ રેડિયનના પૂર્ણાંક ગુણાંકથી વધારવામાં આવે, તો કાર્યનું મૂલ્ય સમાન રહે છે. કાર્ય $f(t)$ પછી આવર્તી છે અને તેનો આવર્તકાળ, $T$, આપવામાં આવે છે

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

આમ, કાર્ય $f(t)$ આવર્તકાળ $T$ સાથે આવર્તી છે,

$$ f(t)=f(t+T) $$

જો આપણે સાઈન ફંક્શન, $f(t)=A \sin \omega t$ ધ્યાનમાં લઈએ તો સમાન પરિણામ દેખીતી રીતે સાચું છે. વધુમાં, સાઈન અને કોસાઈન ફંક્શનનું રેખીય સંયોજન,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

સમાન આવર્તકાળ $T$ સાથે પણ આવર્તી કાર્ય છે. લેતા,

$$ A=D \cos \phi \text { and } B=D \sin \phi $$

સમીકરણ (13.3c) આ રીતે લખી શકાય છે,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

અહીં $D$ અને $\phi$ સ્થિરાંકો આપવામાં આવ્યા છે

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { and } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

આવર્તી સાઈન અને કોસાઈન કાર્યોનું મહાન મહત્વ ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી, જીન બાપ્ટિસ્ટ જોસેફ ફોરિયર (1768-1830) દ્વારા સાબિત કરાયેલ એક નોંધપાત્ર પરિણામને કારણે છે: કોઈપણ આવર્તી કાર્યને વિવિધ સમય આવર્તકાળોના સાઈન અને કોસાઈન કાર્યોના યોગ્ય ગુણાંકો સાથે સુપરપોઝિશન તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 13.2 સમયના નીચેના કાર્યોમાંથી કયું (a) આવર્તી અને (b) બિન-આવર્તી ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે? આવર્તી ગતિના દરેક કિસ્સા માટે આવર્તકાળ આપો [$\omega$ કોઈપણ ધન સ્થિરાંક છે]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

જવાબ

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ એ આવર્તી કાર્ય છે, તેને $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

હવે $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

કાર્યનો આવર્તકાળ $2 \pi / \omega$ છે.

(ii) આ એક આવર્તી ગતિનું ઉદાહરણ છે. એ નોંધવું જોઈએ કે દરેક પદ વિવિધ કોણીય આવૃત્તિ સાથે આવર્તી કાર્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કારણ કે આવર્તકાળ એ સમયનો સૌથી નાનો અંતરાલ છે જે પછી કોઈ કાર્ય તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરે છે, $\sin \omega t$ નો આવર્તકાળ $T_{0}=2 \pi / \omega ; \cos 2 \omega t$ છે, $\pi / \omega=T_{0} / 2$ નો આવર્તકાળ $\sin 4 \omega t$ છે; અને $2 \pi / 4 \omega=T_{o} / 4$ નો આવર્તકાળ $T_{0}$ છે. પ્રથમ પદનો આવર્તકાળ છેલ્લા બે પદોના આવર્તકાળનો ગુણાંક છે. તેથી, સૌથી નાનો સમય અંતરાલ જે પછી ત્રણ પદોનો સરવાળો પુનરાવર્તિત થાય છે તે $2 \pi / \omega$ છે, અને આમ, સરવાળો એ $e^{-\omega t}$ ના આવર્તકાળ સાથેનું આવર્તી કાર્ય છે.

(iii) કાર્ય $t \rightarrow \infty$ આવર્તી નથી, તે સમય વધારવા સાથે એકવિધ રીતે ઘટે છે અને $\log (\omega t)$ તરીકે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે અને આમ, તેનું મૂલ્ય ક્યારેય પુનરાવર્તિત કરતું નથી.

(iv) કાર્ય $t$ સમય $t \rightarrow \infty, \log (\omega t)$ સાથે એકવિધ રીતે વધે છે. તેથી, તે ક્યારેય તેનું મૂલ્ય પુનરાવર્તિત કરતું નથી અને બિન-આવર્તી કાર્ય છે. એ નોંધવું જોઈએ કે $\infty$ તરીકે $x$ થી અલગ પડે છે. તેથી, તે કોઈપણ પ્રકારના ભૌતિક વિસ્થાપનનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકતું નથી.

13.3 સરળ આવર્તી ગતિ

એક કણને ધ્યાનમાં લો જે $+A$-અક્ષના મૂળની આસપાસ $-A$ અને $x$ ની મર્યાદા વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરે છે જેમ કે ફિગ. 13.3 માં દર્શાવેલ છે. આ દોલન ગતિને સરળ આવર્તી કહેવામાં આવે છે જો કણનું મૂળમાંથી વિસ્થાપન $A, \omega$ સમય સાથે આ રીતે બદલાય છે:

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \tag{13.4} \end{equation*} $$

ફિગ. 13.3 એક કણ x-અક્ષના મૂળની આસપાસ આગળ-પાછળ કંપન કરે છે,

• A અને –A ની મર્યાદા વચ્ચે.

જ્યાં $\phi$ અને $T / 4$ સ્થિરાંકો છે.

આમ, સરળ આવર્તી ગતિ (SHM) કોઈપણ આવર્તી ગતિ નથી પરંતુ એક છે જેમાં વિસ્થાપન સમયનું સાઈનસૉઇડલ કાર્ય છે. ફિગ. 13.4 SHM કરતા કણની સ્થિતિઓ દર્શાવે છે જ્યારે સમયના અલગ મૂલ્યો પર, સમયનો દરેક અંતરાલ $T$ છે, જ્યાં $x$ ગતિનો આવર્તકાળ છે. ફિગ. 13.5 $t$ વિરુદ્ધ $A$ નો આલેખ દર્શાવે છે, જે વિસ્થાપનના મૂલ્યોને સમયના સતત કાર્ય તરીકે આપે છે. જથ્થાઓ $\omega$, $\phi$ અને $A$ જે આપેલ SHM ને દર્શાવે છે તેના પ્રમાણભૂત નામો છે, જેમ કે ફિગ. 13.6 માં સારાંશ આપ્યું છે. ચાલો