2.1 પ્રસ્તાવના

ગતિ એ બ્રહ્માંડની દરેક વસ્તુમાં સામાન્ય છે. આપણે ચાલીએ છીએ, દોડીએ છીએ અને સાઇકલ ચલાવીએ છીએ. આપણે સૂતા હોઈએ ત્યારે પણ હવા આપણા ફેફસાંમાં અંદર-બહાર ફરે છે અને લોહી ધમનીઓ અને શિરાઓમાં વહે છે. આપણે ઝાડ પરથી પાંદડાં પડતાં જોઈએ છીએ અને પાણી ડેમ પરથી વહેતું જોઈએ છીએ. મોટરગાડીઓ અને વિમાનો લોકોને એક સ્થાનેથી બીજે સ્થાને લઈ જાય છે. પૃથ્વી ચોવીસ કલાકમાં એક વાર પરિભ્રમણ કરે છે અને એક વર્ષમાં સૂર્યની આસપાસ પરિક્રમણ કરે છે. સૂર્ય પોતે પણ આકાશગંગામાં ગતિમાં છે, જે પોતે પણ તેના સ્થાનિક ગેલેક્સીઓના સમૂહમાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

ગતિ એ સમય સાથે પદાર્થની સ્થિતિમાં ફેરફાર છે. સ્થિતિ સમય સાથે કેવી રીતે બદલાય છે? આ પ્રકરણમાં, આપણે ગતિનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું તે શીખીશું. આ માટે, આપણે વેગ અને પ્રવેગની સંકલ્પનાઓ વિકસાવીએ છીએ. આપણે પોતાને સીધી રેખા સાથે પદાર્થોની ગતિના અભ્યાસ સુધી મર્યાદિત રાખીશું, જેને સુરેખ ગતિ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. એકસમાન પ્રવેગ સાથેની સુરેખ ગતિના કિસ્સા માટે, સરળ સમીકરણોનો સમૂહ મેળવી શકાય છે. અંતે, ગતિની સાપેક્ષ પ્રકૃતિ સમજવા માટે, આપણે સાપેક્ષ વેગની સંકલ્પના રજૂ કરીએ છીએ.

આપણી ચર્ચાઓમાં, આપણે ગતિમાં રહેલા પદાર્થોને બિંદુ પદાર્થો તરીકે ગણીશું. આ અંદાજ ત્યાં સુધી માન્ય છે કે જ્યાં સુધી પદાર્થનું કદ વાજબી સમયગાળામાં તે જે અંતર કાપે છે તેના કરતા ઘણું નાનું હોય. વાસ્તવિક જીવનની ઘણી પરિસ્થિતિઓમાં પદાર્થોના કદને અવગણી શકાય છે અને તેમને ભૂલ વગર બિંદુ જેવા પદાર્થો તરીકે ગણી શકાય છે. ગતિવિજ્ઞાનમાં, આપણે ગતિના કારણોમાં જયા વગર ગતિનું વર્ણન કરવાની રીતોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ. ગતિનું શું કારણ છે તે આ પ્રકરણ અને આગલા પ્રકરણમાં વર્ણવેલ છે જે પ્રકરણ 4નો વિષય બનાવે છે.

2.2 તાત્કાલિક વેગ અને ઝડપ

સરેરાશ વેગ આપણને જણાવે છે કે પદાર્થ આપેલ સમયગાળા દરમિયાન કેટલો ઝડપી ગતિ કરી રહ્યો છે પરંતુ તે આપણને જણાવતો નથી કે તે સમયગાળા દરમિયાન વિવિધ ક્ષણોએ કેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે. આ માટે, આપણે તાત્કાલિક વેગ અથવા ફક્ત વેગ v ને એક ક્ષણ t માટે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. એક ક્ષણે વેગને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે સમય અંતરાલ જેટલો નાનો થાય તેટલો નાનો થાય ત્યારે સરેરાશ વેગની ${\Delta T}$સીમા તરીકે. બીજા શબ્દોમાં,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

જ્યાં પ્રતીક lim ∆t→0 એ તેની જમણી બાજુની રાશિની ∆tg0 તરીકે સીમા લેવાની ક્રિયાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. કેલ્ક્યુલસની ભાષામાં, સમીકરણ (2.1a) ની જમણી બાજુની રાશિ એ x નો t ના સંદર્ભમાં વિકલ ગુણાંક છે અને $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (પરિશિષ્ટ 2.1 જુઓ). તે તે ક્ષણે, સમયના સંદર્ભમાં સ્થિતિના ફેરફારનો દર છે.

આપણે સમીકરણ (2.1a) નો ઉપયોગ એક ક્ષણે વેગનું મૂલ્ય મેળવવા માટે કરી શકીએ છીએ ગ્રાફિકલી અથવા સંખ્યાત્મક રીતે. ધારો કે આપણે ગ્રાફિકલી વેગનું મૂલ્ય મેળવવા માંગીએ છીએ સમય t = 4 s (બિંદુ P) માટે ગતિ કારનું પ્રતિનિધિત્વ ફિગ.2.1 ગણતરીમાં. ચાલો ∆t = 2 s લઈએ જે t = 4 s પર કેન્દ્રિત છે. પછી, સરેરાશ વેગની વ્યાખ્યા દ્વારા, રેખા $P_1P_2$ નો ઢાળ (ફિગ. 2.1) 3 s થી 5 s ના અંતરાલ પર સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય આપે છે

ફિગ. 2.1 સ્થિતિ-સમય ગ્રાફમાંથી વેગ નક્કી કરવો. t = 4 s પર વેગ એ તે ક્ષણે ગ્રાફ પર સ્પર્શકનો ઢાળ છે.

હવે, આપણે $\Delta t$ નું મૂલ્ય $2 \mathrm{~s}$ થી 1 s સુધી ઘટાડીએ છીએ. પછી રેખા $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ બને છે અને તેનો ઢાળ અંતરાલ $3.5 \mathrm{~s}$ થી $4.5 \mathrm{~s}$ પર સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય આપે છે. સીમા $\Delta t \rightarrow 0$ માં, રેખા $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ બિંદુ $\mathrm{P}$ પર સ્થિતિ-સમય વક્રની સ્પર્શક બને છે અને $t$ $=4 \mathrm{~s}$ પર વેગ તે બિંદુ પર સ્પર્શકના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાને ગ્રાફિકલી બતાવવી મુશ્કેલ છે. પરંતુ જો આપણે વેગનું મૂલ્ય મેળવવા માટે સંખ્યાત્મક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, તો સીમા પ્રક્રિયાનો અર્થ સ્પષ્ટ થાય છે. ફિગ. 2.1 માં બતાવેલ ગ્રાફ માટે, $x=0.08 t^3$. કોષ્ટક 2.1 $\Delta x / \Delta t$ નું મૂલ્ય આપે છે જે $\Delta t$ ને $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ અને $0.01 \mathrm{~s}$ ની બરાબર માટે ગણવામાં આવે છે જે $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ પર કેન્દ્રિત છે. બીજો અને ત્રીજો સ્તંભ $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ અને $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ નું મૂલ્ય આપે છે અને ચોથો અને પાંચમો સ્તંભ $x$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો આપે છે, એટલે કે $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ અને $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$. છઠ્ઠો સ્તંભ તફાવત $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ ની સૂચિ બનાવે છે અને છેલ્લો સ્તંભ $\Delta x$ અને $\Delta t$ નો ગુણોત્તર આપે છે, એટલે કે $\Delta t$ ના મૂલ્યને અનુરૂપ સરેરાશ વેગ જે પ્રથમ સ્તંભમાં સૂચિબદ્ધ છે.

કોષ્ટક 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ નું $t=4 \mathrm{~s}$ પર સીમા મૂલ્ય

આપણે કોષ્ટક 2.1 માંથી જોઈએ છીએ કે જેમ આપણે $\Delta t$ નું મૂલ્ય $2.0 \mathrm{~s}$ થી $0.010 \mathrm{~s}$ સુધી ઘટાડીએ છીએ, સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય સીમા મૂલ્ય $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ની નજીક પહોંચે છે જે $t=4.0 \mathrm{~s}$ પર વેગનું મૂલ્ય છે, એટલે કે $\frac{d x}{d t}$ નું મૂલ્ય $t=4.0 \mathrm{~s}$ પર.આ રીતે, આપણે કારની ગતિ માટે દરેક ક્ષણે વેગની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.

તાત્કાલિક વેગ નક્કી કરવા માટેની ગ્રાફિકલ પદ્ધતિ હંમેશા સુવિધાજનક પદ્ધતિ નથી. આ માટે, આપણે સ્થિતિ-સમય ગ્રાફને કાળજીપૂર્વક પ્લોટ કરવો જોઈએ અને $\Delta t$ નાનું અને નાનું થતા જાય ત્યારે સરેરાશ વેગની કિંમતની ગણતરી કરવી જોઈએ. જો આપણી પાસે વિવિધ ક્ષણો પર સ્થિતિઓનો ડેટા હોય અથવા સમયના કાર્ય તરીકે સ્થિતિની ચોક્કસ અભિવ્યક્તિ હોય તો વિવિધ ક્ષણો પર વેગની કિંમતની ગણતરી કરવી સરળ છે. પછી, આપણે $\Delta x / \Delta t$ ની ગણતરી $\Delta t$ ના મૂલ્યને ઘટાડવા માટેના ડેટામાંથી કરીએ છીએ અને કોષ્ટક 2.1 માં કર્યું તેમ સીમા મૂલ્ય શોધીએ છીએ અથવા આપેલ અભિવ્યક્તિ માટે વિકલ કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અને નીચેના ઉદાહરણમાં કર્યું તેમ વિવિધ ક્ષણો પર $\frac{d x}{d t}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2.1 x-અક્ષ સાથે ગતિ કરતી વસ્તુની સ્થિતિ x = a + bt2 દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ અને t સેકન્ડમાં માપવામાં આવે છે. t = 0 s અને t = 2.0 s પર તેનો વેગ શું છે. t = 2.0 s અને t = 4.0 s વચ્ચે સરેરાશ વેગ શું છે?

જવાબ વિકલ કેલ્ક્યુલસના સંકેતમાં, વેગ છે

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ પર અને $t=2.0 \mathrm{~s}$ પર, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

$ \text { સરેરાશ વેગ }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

નોંધ કરો કે એકસમાન ગતિ માટે, વેગ બધી ક્ષણો પર સરેરાશ વેગ જેટલો જ હોય છે

તાત્કાલિક ઝડપ અથવા ફક્ત ઝડપ એ વેગનું માન છે. ઉદાહરણ તરીકે, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ નો વેગ અને $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ નો વેગ બંને $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ની સંકળાયેલી ઝડપ ધરાવે છે. એ નોંધવું જોઈએ કે સમયના મર્યાદિત અંતરાલ પર સરેરાશ ઝડપ સરેરાશ વેગના માન કરતા વધારે અથવા બરાબર હોય છે, પરંતુ એક ક્ષણે તાત્કાલિક ઝડપ તે ક્ષણે તાત્કાલિક વેગના માન જેટલી હોય છે. આવું કેમ?

2.3 પ્રવેગ

એક પદાર્થનો વેગ, સામાન્ય રીતે, તેની ગતિના દરમિયાન બદલાય છે. આ ફેરફારનું વર્ણન કેવી રીતે કરવું? શું તે અંતર અથવા સમય સાથે વેગમાં ફેરફારના દર તરીકે વર્ણવવામાં આવવું જોઈએ? આ ગેલિલિયોના સમયમાં પણ એક સમસ્યા હતી. પ્રથમ એવું વિચારવામાં આવ્યું હતું કે આ ફેરફાર અંતર સાથે વેગના ફેરફારના દર દ્વારા વર્ણવી શકાય. પરંતુ, મુક્તપણે પડતી વસ્તુઓની ગતિ અને ઢાળવાળા સમતલ પર પદાર્થોની ગતિના અભ્યાસ દ્વારા, ગેલિલિયો એ નિષ્કર્ષ પર આવ્યા કે સમય સાથે વેગના ફેરફારનો દર મુક્ત પતનમાં તમામ પદાર્થો માટે ગતિનો અચળાંક છે. બીજી બાજુ, અંતર સાથે વેગમાં ફેરફાર અચળ નથી – તે પડવાના અંતર વધવા સાથે ઘટે છે. આ પ્રવેગની સંકલ્પના તરીકે સમય સાથે વેગના ફેરફારના દર તરીકે દોરી ગયું.

સમય અંતરાલ પર સરેરાશ પ્રવેગ a ને વેગમાં ફેરફારને સમય અંતરાલ દ્વારા ભાગ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

જ્યાં $v_2$ અને $v_1$ એ સમય $t_2$ અને $t_1$ પર તાત્કાલિક વેગ અથવા ફક્ત વેગ છે. તે એકમ સમય દીઠ વેગનો સરેરાશ ફેરફાર છે. પ્રવેગનો SI એકમ $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ છે.

વેગ વિરુદ્ધ સમયના પ્લોટ પર, સરેરાશ પ્રવેગ એ સીધી રેખાનો ઢાળ છે જે $\left(v_2, t_2\right)$ અને $\left(v_1, t_1\right)$ ને અનુરૂપ બિંદુઓને જોડે છે.

તાત્કાલિક પ્રવેગને તાત્કાલિક વેગની જેમ જ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

એક ક્ષણે પ્રવેગ એ $v-t$ વક્ર પર તે ક્ષણે સ્પર્શકનો ઢાળ છે.

વેગ એ માન અને દિશા બંને ધરાવતી રાશિ હોવાથી, વેગમાં ફેરફારમાં આમાંથી કોઈ એક અથવા બંનેનો સમાવેશ થઈ શકે છે. તેથી, પ્રવેગ ઝડપ (માન)માં ફેરફાર, દિશામાં ફેરફાર અથવા બંનેમાં ફેરફારના પરિણામે થઈ શકે છે. વેગની જેમ, પ્રવેગ પણ ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે. ધન, ઋણ અને શૂન્ય પ્રવેગ સાથેની ગતિ માટે સ્થિતિ-સમય ગ્રાફ અનુક્રમે ફિગ. 2.4 (a), (b) અને (c) માં બતાવવામાં આવ્યા છે. નોંધ કરો કે ગ્રાફ ધન પ્રવેગ માટે ઉપરની તરફ વક્ર થાય છે; ઋણ પ્રવેગ માટે નીચેની તરફ અને તે શૂન્ય પ્રવેગ માટે સીધી રેખા છે.

ફિગ. 2.2 (a) ધન પ્રવેગ; (b) ઋણ પ્રવેગ, અને (c) શૂન્ય પ્રવેગ સાથેની ગતિ માટે સ્થિતિ-સમય ગ્રાફ.

જોકે પ્રવેગ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે, આ પ્રકરણમાં આપણો અભ્યાસ અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ સુધી મર્યાદિત રહેશે. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ પ્રવેગ અંતરાલ દરમિયાન પ્રવેગના અચળ મૂલ્ય જેટલો હોય છે. જો પદાર્થનો વેગ $V$ છે $t$ $=0$ પર અને $v$ છે સમય $t$ પર, આપણી પાસે છે

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { અથવા, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

ચાલો જોઈએ કે વેગ-સમય ગ્રાફ કેટલાક સરળ કિસ્સાઓ માટે કેવો દેખાય છે. ફિગ. 2.3 નીચેના કિસ્સાઓ માટે અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ માટે વેગ-સમય ગ્રાફ બતાવે છે:

ફિગ. 2.3 અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ માટે વેગ-સમય ગ્રાફ. (a) ધન પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ, (b) ઋણ પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ, (c) ઋણ પ્રવેગ સાથે ઋણ દિશામાં ગતિ, (d) ઋણ પ્રવેગ સાથેની વસ્તુની ગતિ જે સમય t1 પર દિશા બદલે છે. સમય 0 થી $t_1$ વચ્ચે, તે ધન x - દિશામાં ગતિ કરે છે અને $t_1$ અને $t_2$ વચ્ચે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.

(a) એક પદાર્થ ધન પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

(b) એક પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

(c) એક પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ઋણ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે.

(d) એક પદાર્થ સમય $t_1$ સુધી ધન દિશામાં ગતિ કરે છે, અને પછી તે જ ઋણ પ્રવેગ સાથે પાછો ફરે છે.

કોઈપણ ગતિ કરતી વસ્તુ માટે વેગ-સમય ગ્રાફની એક રસપ્રદ વિશેષતા એ છે કે વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર આપેલ સમય અંતરાલ પર વિસ્થાપનનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ વિધાનનો સામાન્ય પુરાવો કેલ્ક્યુલસના ઉપયોગની માંગ કરે છે. જોકે, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે અચળ વેગ u સાથે ગતિ કરતી વસ્તુના સરળ કિસ્સા માટે સાચું છે. તેનો વેગ-સમય ગ્રાફ ફિગ. 2.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે છે.

ફિગ. 2.4 v–t વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર આપેલ સમય અંતરાલ પર પદાર્થના વિસ્થાપન જેટલો છે.

v-t વક્ર એ સમય અક્ષની સમાંતર સીધી રેખા છે અને t = 0 અને t = T વચ્ચે તેની નીચેનો વિસ્તાર ઊંચાઈ u અને પાયો T ધરાવતા લંબચોરસનો વિસ્તાર છે. તેથી, વિસ્તાર = u × T = uT જે આ સમય અંતરાલમાં વિસ્થાપન છે. આ કિસ્સામાં વિસ્તાર અંતર જેટલો કેવી રીતે હોઈ શકે? વિચારો! બંને સંકલન અક્ષો પરની રાશિઓના પરિમાણોની નોંધ લો, અને તમે જવાબ પર પહોંચશો.

નોંધ કરો કે આ પ્રકરણની અનેક આકૃતિઓમાં બતાવેલ x-t, v-t, અને a-t ગ્રાફમાં કેટલાક બિંદુઓ પર તીક્ષ્ણ ખૂણા છે જે સૂચવે છે કે આ બિંદુઓ પર કાર્યો વિકલનીય નથી. કોઈપણ વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં, કાર્યો બધા બિંદુઓ પર વિકલનીય હશે અને ગ્રાફ સરળ હશે.

આનો ભૌતિક અર્થ એ થાય છે કે પ્રવેગ અને વેગ એક ક્ષણે અચાનક મૂલ્યો બદલી શકતા નથી. ફેરફારો હંમેશા સતત હોય છે.

2.4 એકસમાન પ્રવેગિત ગતિ માટે ગતિવિજ્ઞાન સમીકરણો

એકસમાન પ્રવેગિત ગતિ માટે, આપણે કેટલાક સરળ સમીકરણો મેળવી શકીએ છીએ જે વિસ્થાપન $(x)$, લીધેલ સમય $(t)$, પ્રારંભિક વેગ $\left(v_0\right)$, અંતિમ વેગ $(v)$ અને પ્રવેગ (a) સાથે સંબંધિત છે. સમીકરણ (2.4) પહેલેથી જ મેળવેલ એ અંતિમ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ અને $v_0$ વચ્ચેનો સંબંધ આપે છે જે એકસમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે:

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

આ સંબંધ ગ્રાફિકલી ફિગ. 2.5 માં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આ વક્ર હેઠળનો વિસ્તાર છે: ક્ષણો 0 અને $t=$ વચ્ચેનો વિસ્તાર ત્રિકોણ