૭.૧ પ્રસ્તાવના

અમારા જીવનની શરૂઆતમાં જ, આપણે તમામ ભૌતિક પદાર્થોની પૃથ્વી તરફ આકર્ષાવાની પ્રવૃત્તિ વિશે જાણકારી મેળવીએ છીએ. ઉપર ફેંકવામાં આવેલી કોઈપણ વસ્તુ પૃથ્વી તરફ નીચે પડે છે, ઉપર જવું નીચે જવા કરતાં વધુ થાક ભરેલું છે, ઉપરના વાદળોમાંથી વરસાદનાં બુંદો પૃથ્વી તરફ પડે છે અને આવી અન્ય ઘણી ઘટનાઓ છે. ઐતિહાસિક રીતે ઇટાલિયન ભૌતિકશાસ્ત્રી ગેલિલિયો (૧૫૬૪-૧૬૪૨) એ હકીકતને સ્વીકારી હતી કે તમામ પદાર્થો, તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના, સતત પ્રવેગ સાથે પૃથ્વી તરફ પ્રવેગિત થાય છે. એવું કહેવાય છે કે તેમણે આ હકીકતનું જાહેર પ્રદર્શન કર્યું હતું. સત્ય શોધવા માટે, તેમણે ચોક્કસપણે ઢાળવાળા સમતલ પર નીચે ગબડતા પદાર્થો સાથે પ્રયોગો કર્યા અને ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય મેળવ્યું જે પછીથી મેળવેલા વધુ સચોટ મૂલ્યની નજીક છે.

એક દેખીતી રીતે અસંબંધિત ઘટના, તારાઓ, ગ્રહો અને તેમની ગતિનું અવલોકન પ્રાચીન સમયથી ઘણા દેશોમાં ધ્યાનનો વિષય રહી છે. પ્રાચીન સમયથીના અવલોકનોએ તારાઓને ઓળખ્યા જે આકાશમાં વર્ષો પછી પણ સ્થિતિ અપરિવર્તિત રહેતી હતી. વધુ રસપ્રદ પદાર્થો ગ્રહો છે જે તારાઓની પૃષ્ઠભૂમિ સામે નિયમિત ગતિ ધરાવતા લાગે છે. લગભગ ૨૦૦૦ વર્ષ પહેલાં ટોલેમી દ્વારા ગ્રહોની ગતિ માટેનું સૌથી પ્રાચીન રેકોર્ડ કરાયેલ મોડેલ એ ‘ભૂ-કેન્દ્રિત’ મોડેલ હતું જેમાં તમામ ખગોળીય પદાર્થો, તારાઓ, સૂર્ય અને ગ્રહો, બધા પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા હતા. ખગોળીય પદાર્થો માટે શક્ય ગતિ તરીકે ગણાતી એકમાત્ર ગતિ એ વર્તુળમાં ગતિ હતી. ગ્રહોની અવલોકિત ગતિનું વર્ણન કરવા માટે ટોલેમી દ્વારા ગતિની જટિલ યોજનાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી. ગ્રહોનું વર્ણન વર્તુળોમાં ફરતા તરીકે કરવામાં આવ્યું હતું જેમાં વર્તુળોના કેન્દ્રો પોતે મોટા વર્તુળોમાં ફરતા હતા. આવા જ સિદ્ધાંતો લગભગ ૪૦૦ વર્ષ પછી ભારતીય ખગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા પણ રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. જોકે, એક વધુ સુંદર મોડેલ જેમાં સૂર્ય કેન્દ્ર હતો જેની આસપાસ ગ્રહો ફરતા હતા - ‘સૂર્ય-કેન્દ્રિત’ મોડેલ - આર્યભટ્ટ ( $5^{\text {th }}$ સદી ઈ.સ.) દ્વારા તેમના ગ્રંથમાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો હતો. એક હજાર વર્ષ પછી, નિકોલસ કોપર્નિકસ (૧૪૭૩-૧૫૪૩) નામના પોલિશ ભિક્ષુએ એક નિશ્ચિત મોડેલ રજૂ કર્યું જેમાં ગ્રહો એક નિશ્ચિત કેન્દ્રિય સૂર્યની આસપાસ વર્તુળોમાં ફરતા હતા. તેમના સિદ્ધાંતને ચર્ચ દ્વારા અવગણવામાં આવ્યો હતો, પરંતુ તેના સમર્થકોમાં ગેલિલિયો નોંધપાત્ર હતા જેમને તેમની માન્યતાઓ માટે રાજ્ય તરફથી કાનૂની કાર્યવાહીનો સામનો કરવો પડ્યો હતો.

ગેલિલિયો જેટલા જ સમયમાં, ડેનમાર્કના ટાયકો બ્રાહે (૧૫૪૬-૧૬૦૧) નામના એક સરદારે તેમનો આખો જીવનકાળ નગ્ન આંખે ગ્રહોના અવલોકનો રેકોર્ડ કરવામાં ગાળ્યો. તેમના સંકલિત ડેટાનું વિશ્લેષણ પછીથી તેમના સહાયક જોહાન્નેસ કેપ્લર (૧૫૭૧-૧૬૪૦) દ્વારા કરવામાં આવ્યું. તેઓ ડેટામાંથી ત્રણ સુંદર નિયમો કાઢી શક્યા જે હવે કેપ્લરના નિયમોના નામે ઓળખાય છે. આ નિયમો ન્યૂટનને જાણીતા હતા અને તેમને તેમના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમની રજૂઆતમાં મહાન વૈજ્ઞાનિક ઉછાળો મારવામાં સક્ષમ બનાવ્યા.

૭.૨ કેપ્લરના નિયમો

કેપ્લરના ત્રણ નિયમો નીચે પ્રમાણે જણાવી શકાય છે:

૧. કક્ષાનો નિયમ : તમામ ગ્રહો લંબગોળ કક્ષાઓમાં ફરે છે જેમાં સૂર્ય લંબગોળ (ફિગ. ૭.૧a) ના એક કેન્દ્ર (ફિગ ૭.૧a) પર સ્થિત છે. આ નિયમ કોપર્નિકસ મોડેલથી વિચલન હતું જે ફક્ત વર્તુળાકાર કક્ષાઓને મંજૂરી આપતું હતું. લંબગોળ, જેનો વર્તુળ એક વિશિષ્ટ કેસ છે, એક બંધ વક્ર છે જે નીચે પ્રમાણે ખૂબ જ સરળ રીતે દોરી શકાય છે.

ફિગ. ૭.૧(a) સૂર્યની આસપાસ ગ્રહ દ્વારા દોરવામાં આવેલ લંબગોળ. નજીકનો બિંદુ P છે અને સૌથી દૂરનો બિંદુ A છે, P ને પેરિહેલિયન કહેવામાં આવે છે અને A ને એફેલિયન કહેવામાં આવે છે. અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ એ AP અંતરનો અડધો ભાગ છે

ફિગ. ૭.૧(b) લંબગોળ દોરવું. એક દોરીના છેડા F1 અને F2 પર નિશ્ચિત છે. પેન્સિલની નોક દોરીને તંગ રાખે છે અને તેની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે

બે બિંદુઓ $\mathrm{F}_1$ અને $\mathrm{F}_2$ પસંદ કરો. દોરીની લંબાઈ લો અને તેના છેડા $F_1$ અને $F_2$ પર પિન દ્વારા નિશ્ચિત કરો. પેન્સિલની નોકથી દોરીને તંગ રાખો અને પછી પેન્સિલને ફેરવીને વક્ર દોરો, સમગ્ર સમય દરમિયાન દોરીને તંગ રાખો. (ફિગ. ૭.૧(b)) તમને મળેલા બંધ વક્રને લંબગોળ કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે લંબગોળ પરના કોઈપણ બિંદુ $\mathrm{T}$ માટે, $\mathrm{F}_1$ અને ⟦94⟥ થી અંતરોનો સરવાળો એક અચળ છે. $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ ને કેન્દ્રો કહેવામાં આવે છે. બિંદુઓ $\mathrm{F}_1$ અને $\mathrm{F}_2$ ને જોડો અને રેખાને લંબગોળ સાથે છેદે તે રીતે ફિગ. ૭.૧(b) માં બતાવ્યા પ્રમાણે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{A}$ પર વિસ્તારો. રેખા PA નું મધ્યબિંદુ લંબગોળનું કેન્દ્ર $\mathrm{O}$ છે અને લંબાઈ $\mathrm{PO}=$ AO ને લંબગોળની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળ માટે, બંને કેન્દ્રો એકમાં ભળી જાય છે અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ વર્તુળની ત્રિજ્યા બની જાય છે.

૨. ક્ષેત્રફળોનો નિયમ : કોઈપણ ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમય અંતરાલોમાં સમાન ક્ષેત્રફળોને ઓળંગે છે (ફિગ. ૭.૨). આ નિયમ એવા અવલોકનો પરથી આવે છે કે ગ્રહો જ્યારે સૂર્યથી દૂર હોય છે ત્યારે જ્યારે તેઓ નજીક હોય છે ત્યારે કરતાં ધીમા ફરતા દેખાય છે.

ફિગ. ૭.૨ ગ્રહ P એ સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ફરે છે. છાંયડાવાળું ક્ષેત્ર એ લઘુ સમય અંતરાલ ∆t માં ઓળંગાયેલું ક્ષેત્રફળ ∆A છે.

૩. આવર્તકાળનો નિયમ : ગ્રહના પરિભ્રમણના સમયગાળાનો વર્ગ ગ્રહ દ્વારા દોરવામાં આવેલા લંબગોળની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

કોષ્ટક ૭.૧ સૂર્યની આસપાસ ફરતા આઠ* ગ્રહોના પરિભ્રમણના અંદાજિત સમયગાળા તેમની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષોના મૂલ્યો સાથે આપે છે.

કોષ્ટક ૭.૧

ગ્રહોની ગતિના માપનમાંથી મળેલો ડેટા નીચે આપેલ છે જે કેપ્લરના આવર્તકાળના નિયમની પુષ્ટિ કરે છે

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

ક્ષેત્રફળોનો નિયમ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના પરિણામ તરીકે સમજી શકાય છે જે કોઈપણ કેન્દ્રિય બળ માટે માન્ય છે. કેન્દ્રિય બળ એવું છે કે ગ્રહ પરનું બળ સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતા સદિશ સાથે હોય છે. સૂર્યને મૂળબિંદુ પર રહેવા દો અને ગ્રહની સ્થિતિ અને વેગમાનને અનુક્રમે $\mathbf{r}$ અને $\mathbf{p}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તો સમય અંતરાલ $\Delta t$ માં દળ $\mathrm{m}$ ના ગ્રહ દ્વારા ઓળંગાયેલું ક્ષેત્રફળ (ફિગ. ૭.૨) $\Delta \mathbf{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

આથી

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

જ્યાં $\mathbf{v}$ એ વેગ છે, $\mathbf{L}$ એ કોણીય વેગમાન છે જે $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ ની બરાબર છે. કેન્દ્રિય બળ માટે, જે $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ સાથે નિર્દેશિત છે, જ્યારે ગ્રહ ફરે છે ત્યારે અચળ છે. આથી, છેલ્લા સમીકરણ મુજબ, $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ એ અચળ છે. આ ક્ષેત્રફળોનો નિયમ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ એ કેન્દ્રિય બળ છે અને તેથી ક્ષેત્રફળોનો નિયમ અનુસરે છે.

ઉદાહરણ ૭.૧ ફિગ. ૭.૧(a) માં પેરિહેલિયન $P$ પર ગ્રહની ઝડપ $V_P$ હોવા દો અને સૂર્ય-ગ્રહ અંતર SP $r_P$ હોવા દો. $\{r_P, V_P\}$ ને એફેલિયન $\{r_A, V_A\}$ પર અનુરૂપ જથ્થાઓ સાથે સંબંધિત કરો. શું ગ્રહ $B A C$ અને $C P B$ ને ઓળંગવા માટે સમાન સમય લેશે?

જવાબ $P$ પર કોણીય વેગમાનનું માન $L_p=m_p r_p V_p$ છે, કારણ કે નિરીક્ષણ આપણને કહે છે કે $\mathbf{r}_p$ અને $\mathbf{v}_p$ પરસ્પર લંબ છે. તે જ રીતે, $L_A=m_p r_A V_A$. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ પરથી

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

અથવા $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

કારણ કે $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$.

લંબગોળ અને ત્રિજ્યા સદિશો $S B$ અને $S C$ દ્વારા બંધાયેલું ક્ષેત્રફળ $S B A C$ એ ફિગ. ૭.૧ માં $\mathrm{SBPC}$ કરતાં મોટું છે. કેપ્લરના બીજા નિયમ પરથી, સમાન સમયમાં સમાન ક્ષેત્રફળો ઓળંગાય છે. આથી ગ્રહને $B A C$ કરતાં $C P B$ ને ઓળંગવા માટે વધુ સમય લાગશે.

૭.૩ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ

દંતકથા છે કે એક વૃક્ષ પરથી સફરજન પડતું જોઈને, ન્યૂટન ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ પર પહોંચવા માટે પ્રેરિત થયા હતા જેણે પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણની સમજૂતી તેમજ કેપ્લરના નિયમો તરફ દોરી ગયા. ન્યૂટનનું તર્ક એ હતું કે ત્રિજ્યા $R_{m}$ ની કક્ષામાં ફરતો ચંદ્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગને આધીન હતો જેનું માન

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

જ્યાં $V$ એ ચંદ્રની ઝડપ છે જે સમયગાળા $T$ સાથે સંબંધ $V=2 \pi R_{m} / T$ દ્વારા સંબંધિત છે. સમયગાળો $T$ લગભગ ૨૭.૩ દિવસનો છે અને $R_{m}$ પહેલેથી જ લગભગ $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ હોવાનું જાણીતું હતું. જો આપણે આ સંખ્યાઓને સમીકરણ (૭.૩) માં મૂકીએ, તો આપણને $a_{m}$ નું મૂલ્ય મળે છે જે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે પ્રવેગ $g$ ના મૂલ્ય કરતાં ઘણું નાનું છે, જે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણના આકર્ષણને કારણે પણ ઉદ્ભવે છે. આ સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે કે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બળ અંતર સાથે ઘટે છે. જો કોઈ એવું માને કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતરના વ્યસ્ત વર્ગના પ્રમાણમાં પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બળ ઘટે છે, તો આપણી પાસે $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ હશે અને આપણને મળશે

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ ના મૂલ્ય સાથે સંમત અને સમીકરણ (૭.૩) માંથી $a_{\mathrm{m}}$ નું મૂલ્ય. આ અવલોકનોએ ન્યૂટનને નીચેના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમની રજૂઆત કરવા તરફ દોરી ગયા:

વિશ્વનો દરેક પદાર્થ દરેક અન્ય પદાર્થને એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

ઉદ્ધરણ અનિવાર્યપણે ન્યૂટનના પ્રસિદ્ધ ગ્રંથ ‘મેથેમેટિકલ પ્રિન્સિપલ્સ ઑફ નેચરલ ફિલોસોફી’ (સંક્ષિપ્તમાં પ્રિન્સિપિયા) માંથી છે.

ગાણિતિક રીતે જણાવવામાં આવ્યું છે, ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ વાંચે છે: બિંદુ દળ $m_{2}$ પર બીજા બિંદુ દળ $m_{1}$ ને કારણે બળ $\mathbf{F}$ નું માન છે

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

સમીકરણ (૭.૫) ને સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

જ્યાં $\mathrm{G}$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે, $\hat{\mathbf{r}}$ એ $m_1$ થી $m_2$ તરફનો એકમ સદિશ છે અને $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ જેમ કે ફિગ. ૭.૩ માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

ફિગ. ૭.૩ m2 ને કારણે m1 પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ r સાથે છે જ્યાં સદિશ r (r2 – r1) છે.

$m_2$ ને કારણે $m_1$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\mathbf{r}$ સાથે છે જ્યાં સદિશ $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$) છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ આકર્ષક છે, એટલે કે, બળ $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ સાથે છે. $m_2$ ને કારણે બિંદુ દળ $m_1$ પરનું બળ અલબત્ત ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ દ્વારા $-\mathbf{F}$ છે. આમ, પદાર્થ ૨ ને કારણે પદાર્થ ૧ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ F_૧૨ અને પદાર્થ ૧ ને કારણે પદાર્થ ૨ પર F_૨૧ ને નીચે પ્રમાણે સંબંધિત છે

F_૧૨=-F_૨૧.

સમીકરણ (૭.૫) ને વિચારણા હેઠળના પદાર્થો પર લાગુ કરી શકાય તે પહેલાં, આપણે સાવચેત રહેવું પડશે કારણ કે નિયમ બિંદુ દળોનો ઉલ્લેખ કરે છે જ્યારે આપણે વિસ્તૃત પદાર્થો સાથે વ્યવહાર કરીએ છીએ જેનું કદ મર્યાદિત હોય છે. જો આપણી પાસે બિંદુ દળોનો સંગ્રહ હોય, તો તેમાંથી કોઈ પણ પરનું બળ અન્ય બિંદુ દળો દ્વારા લાગુ કરાયેલા ગુરુત્વાકર્ષણ બળોનો સદિશ સરવાળો છે જેમ કે ફિગ ૭.૪ માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

ફિગ. ૭.૪ બિંદુ દળ m1 પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ m2, m3 અને m4 દ્વારા લાગુ કરાયેલા ગુરુત્વાકર્ષણ બળોનો સદિશ સરવાળો છે.

$m_1$ પર કુલ બળ છે

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

ઉદાહરણ ૭.૨ ત્રણ સમાન દળો દરેક $m \mathrm{~kg}$ ના સમબાજુ ત્રિકોણ $\mathrm{ABC}$ ના શિરોબિંદુઓ પર નિશ્ચિત છે.

(a) કેન્દ્રક $\mathrm{G}$ પર મૂકેલા દળ $2 m$ પર કાર્ય કરતું બળ શું છે?

(b) જો શિરોબિંદુ $\mathrm{A}$ પરનું દળ બમણું કરવામાં આવે તો બળ શું છે?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ લો (ફિગ. ૭.૫ જુઓ)

જવાબ (a) GC અને ધન $x$-અક્ષ વચ્ચેનો કોણ $30^{\circ}$ છે અને GB અને ઋણ $x$-અક્ષ વચ્ચેનો કોણ પણ છે. સદિશ સંકેતમાં વ્યક્તિગત બળો છે

ફિગ. ૭.૫ ત્રણ સમાન દળો ∆ ABC ના ત્રણ શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. કેન્દ્રક G પર દળ 2m મૂકવામાં આવ્યું છે.

⟦