8.1 પ્રસ્તાવના

અધ્યાય 6 માં, આપણે પદાર્થોના ભ્રમણનો અભ્યાસ કર્યો હતો અને ત્યારબાદ સમજ્યા હતા કે પદાર્થની ગતિ તેના અંદર દળ કેવી રીતે વિતરિત થયેલું છે તેના પર આધારિત છે. આપણે દૃઢ પદાર્થોની સરળ પરિસ્થિતિઓ સુધી મર્યાદિત રહ્યા હતા. દૃઢ પદાર્થ સામાન્ય રીતે એક કઠોર ઘન પદાર્થને દર્શાવે છે જેનો ચોક્કસ આકાર અને કદ હોય છે. પરંતુ વાસ્તવમાં, પદાર્થોને ખેંચી શકાય છે, સંકુચિત કરી શકાય છે અને વાળી શકાય છે. નોંધપાત્ર રીતે દૃઢ સ્ટીલની દાંડી પણ જ્યારે તેના પર પૂરતું મોટું બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે ત્યારે વિકૃત થઈ શકે છે. આનો અર્થ એ છે કે ઘન પદાર્થો સંપૂર્ણ રીતે દૃઢ નથી.

એક ઘન પદાર્થનો ચોક્કસ આકાર અને કદ હોય છે. પદાર્થનો આકાર અથવા કદ બદલવા (અથવા વિકૃત કરવા) માટે, બળની જરૂર પડે છે. જો તમે હલકેથી તેના છેડાઓને ખેંચીને સર્પાકાર સ્પ્રિંગને ખેંચો, તો સ્પ્રિંગની લંબાઈ થોડી વધે છે. જ્યારે તમે સ્પ્રિંગના છેડા છોડો છો, ત્યારે તે તેનું મૂળ કદ અને આકાર પાછું મેળવે છે. પદાર્થનો તે ગુણધર્મ, જેના દ્વારા લગાડેલું બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે તે તેના મૂળ કદ અને આકાર પાછા મેળવવાની પ્રવૃત્તિ ધરાવે છે, તેને પ્રત્યાસ્તતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને થયેલ વિકૃતિને પ્રત્યાસ્ત વિકૃતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો કે, જો તમે પટ્ટી અથવા ચીકણી માટીના ગોળા પર બળ લગાડો, તો તેમની પાસે તેમનો પહેલાનો આકાર પાછો મેળવવાની સ્થૂળ પ્રવૃત્તિ હોતી નથી, અને તે કાયમી રીતે વિકૃત થઈ જાય છે. આવા પદાર્થોને પ્લાસ્ટિક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને આ ગુણધર્મને પ્લાસ્ટિસિટી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. પટ્ટી અને ચીકણી માટી આદર્શ પ્લાસ્ટિકની નજીક છે.

પદાર્થોનું પ્રત્યાસ્ત વર્તન એન્જિનિયરિંગ ડિઝાઇનમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઇમારતની ડિઝાઇન કરતી વખતે, સ્ટીલ, કોંક્રિટ વગેરે જેવા પદાર્થોના પ્રત્યાસ્ત ગુણધર્મોનું જ્ઞાન આવશ્યક છે. પુલો, મોટરગાડીઓ, રોપવે વગેરેની ડિઝાઇનમાં પણ આ જ સત્ય છે. કોઈ પૂછી શકે છે: શું આપણે એવું વિમાન ડિઝાઇન કરી શકીએ જે ખૂબ જ હલકું પરંતુ પૂરતું મજબૂત હોય? શું આપણે કૃત્રિમ અંગ ડિઝાઇન કરી શકીએ જે હલકું પરંતુ મજબૂત હોય? રેલવે ટ્રેકનો આકાર I જેવો ચોક્કસ શા માટે હોય છે? કાચ ભંગુર શા માટે હોય છે જ્યારે પિત્તળ નથી હોતું? આવા પ્રશ્નોના જવાબ એથી શરૂ થાય છે કે પ્રમાણમાં સરળ પ્રકારના ભાર અથવા બળો વિવિધ ઘન પદાર્થોને વિકૃત કરવા માટે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે તેનો અભ્યાસ. આ અધ્યાયમાં, આપણે ઘન પદાર્થોના પ્રત્યાસ્ત વર્તન અને યાંત્રિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું જે આવા ઘણા પ્રશ્નોના જવાબ આપશે.

8.2 તણાવ અને તાણ

જ્યારે પદાર્થ પર બળો એવી રીતે લગાડવામાં આવે છે કે પદાર્થ હજુ પણ સ્થિર સંતુલનમાં હોય, તો તે પદાર્થના પદાર્થની પ્રકૃતિ અને વિકૃત કરતા બળના મૂલ્ય પર આધાર રાખીને થોડી અથવા વધુ માત્રામાં વિકૃત થાય છે. ઘણા પદાર્થોમાં વિકૃતિ દૃષ્ટિની રીતે ધ્યાનપાત્ર ન પણ હોય પરંતુ તે ત્યાં હોય છે. જ્યારે પદાર્થ પર વિકૃત કરતું બળ લાગુ પડે છે, ત્યારે પદાર્થમાં પુનઃસ્થાપક બળ વિકસિત થાય છે. આ પુનઃસ્થાપક બળ લાગુ પડેલા બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું પુનઃસ્થાપક બળ તણાવ તરીકે ઓળખાય છે. જો $F$ એ આડછેદના ક્ષેત્રફળને લંબરૂપે લગાડેલું બળ હોય અને $A$ એ પદાર્થના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ હોય તો

$$ \text{Magnitude of the stress} =F / A \tag{8.1}$$

તણાવનો SI એકમ $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ અથવા પાસ્કલ $(\mathrm{Pa})$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ છે.

જ્યારે બાહ્ય બળ પદાર્થ પર કાર્ય કરે છે ત્યારે ઘન પદાર્થ તેના પરિમાણો બદલવાની ત્રણ રીતો ધરાવે છે. આને આકૃતિ 8.1 માં દર્શાવેલ છે. આકૃતિ 8.1(a) માં, સિલિન્ડરને તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળને લંબરૂપે લગાડેલા બે સમાન બળો દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું પુનઃસ્થાપક બળ તન્ય તણાવ તરીકે ઓળખાય છે. જો સિલિન્ડર લાગુ પડેલા બળોની ક્રિયા હેઠળ સંકુચિત થાય છે, તો પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું પુનઃસ્થાપક બળ સંકોચન તણાવ તરીકે ઓળખાય છે. તન્ય અથવા સંકોચન તણાવને રેખાંગ તણાવ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

બંને કિસ્સાઓમાં, સિલિન્ડરની લંબાઈમાં ફેરફાર થાય છે. લંબાઈમાં થયેલો ફેરફાર $\Delta L$ અને પદાર્થ (આ કિસ્સામાં સિલિન્ડર) ની મૂળ લંબાઈ $L$ નો ગુણોત્તર રેખાંગ તાણ તરીકે ઓળખાય છે.

$$ \begin{equation*} \text { Longitudinal strain }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

જો કે, જેમ કે આકૃતિ 8.1(b) માં દર્શાવેલ છે, જો બે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વિકૃત કરતાં બળો સિલિન્ડરના આડછેદના ક્ષેત્રફળને સમાંતર લગાડવામાં આવે, તો સિલિન્ડરના વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો વચ્ચે સાપેક્ષ સ્થાનાંતરણ થાય છે. લાગુ પડેલા સ્પર્શકીય બળને કારણે વિકસિત થયેલું પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું પુનઃસ્થાપક બળ સ્પર્શકીય અથવા કાતરણી તણાવ તરીકે ઓળખાય છે. લાગુ પડેલા સ્પર્શકીય બળના પરિણામે, આકૃતિ 8.1(b) માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સિલિન્ડરના વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો વચ્ચે સાપેક્ષ સ્થાનાંતરણ $\Delta x$ થાય છે. આ રીતે ઉત્પન્ન થયેલ તાણને કાતરણી તાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને તેને પૃષ્ઠોના સાપેક્ષ સ્થાનાંતરણ $\Delta x$ અને સિલિન્ડરની લંબાઈ $L$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

$$ \begin{equation*} \text { Shearing strain }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

જ્યાં $\theta$ એ ઊર્ધ્વાધર (સિલિન્ડરની મૂળ સ્થિતિ) માંથી સિલિન્ડરનું કોણીય સ્થાનાંતરણ છે. સામાન્ય રીતે $\theta$ ખૂબ જ નાનું હોય છે, $\tan \theta$ લગભગ કોણ $\theta$ જેટલું જ હોય છે, (જો $\theta=10^{\circ}$, ઉદાહરણ તરીકે, $\theta$ અને $\tan \theta$ વચ્ચે માત્ર $1 \%$ નો તફાવત હોય છે). જ્યારે પુસ્તકને હાથથી દબાવવામાં આવે છે અને આડી દિશામાં ધકેલવામાં આવે છે, ત્યારે પણ તેની કલ્પના કરી શકાય છે, જેમ કે આકૃતિ 8.2 (c) માં દર્શાવેલ છે.

$$\text{Thus, shearing strain } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

આકૃતિ 8.1 (d) માં, ઊંચા દબાણ હેઠળ પ્રવાહીમાં મૂકેલ ઘન ગોળો બધી બાજુઓએ એકસમાન રીતે સંકુચિત થાય છે. પ્રવાહી દ્વારા લગાડેલું બળ પૃષ્ઠના દરેક બિંદુએ લંબરૂપ દિશામાં કાર્ય કરે છે અને પદાર્થ હાઇડ્રોલિક સંકોચન હેઠળ હોવાનું કહેવાય છે. આ તેના ભૌમિતિક આકારમાં કોઈ ફેરફાર વિના તેના કદમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે.

આકૃતિ 8.1 (a) તન્ય તણાવ હેઠળનો નળાકાર પદાર्थ ∆L વડે લંબાય છે (b) સિલિન્ડર પર કાતરણી તણાવ તેને θ કોણ વડે વિકૃત કરે છે (c) કાતરણી તણાવને આધિન પદાર્થ (d) દરેક બિંદુએ પૃષ્ઠને લંબરૂપ તણાવ હેઠળનો ઘન પદાર્થ (હાઇડ્રોલિક તણાવ). કદીય તાણ ∆V/V છે, પરંતુ આકારમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

પદાર્થ આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળો વિકસિત કરે છે જે પ્રવાહી દ્વારા લગાડેલા બળો જેટલા જ અને વિરુદ્ધ હોય છે (પદાર્થ પ્રવાહીમાંથી બહાર કાઢવામાં આવે ત્યારે તે તેનો મૂળ આકાર અને કદ પાછું મેળવે છે). આ કિસ્સામાં પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પરનું આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ હાઇડ્રોલિક તણાવ તરીકે ઓળખાય છે અને મૂલ્યમાં હાઇડ્રોલિક દબાણ (પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પર લાગુ પડેલું બળ) જેટલું જ હોય છે.

હાઇડ્રોલિક દબાણ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ તાણને કદીય તાણ કહેવામાં આવે છે અને તેને કદમાં ફેરફાર $(\Delta V)$ અને મૂળ કદ $(V)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

$$ \begin{equation*} \text { Volume Strain }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

તાણ એ મૂળ પરિમાણમાં ફેરફારનો ગુણોત્તર હોવાથી, તેની કોઈ એકમો અથવા પારિમાણિક સૂત્ર નથી.

8.3 હૂકનો નિયમ

આકૃતિ (8.1) માં દર્શાવેલ પરિસ્થિતિઓમાં તણાવ અને તાણ વિવિધ સ્વરૂપો ધારણ કરે છે. નાની વિકૃતિઓ માટે તણાવ અને તાણ એકબીજાના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ હૂકના નિયમ તરીકે ઓળખાય છે.

આમ,

તણાવ $\propto$ તાણ

$$ \begin{equation*} \text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$

જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતા અચળાંક છે અને તે પ્રત્યાસ્તતા ગુણાંક તરીકે ઓળખાય છે.

હૂકનો નિયમ એક અનુભવજન્ય નિયમ છે અને તે મોટાભાગના પદાર્થો માટે માન્ય હોવાનું જોવા મળે છે. જો કે, કેટલાક પદાર્થો છે જે આ રેખીય સંબંધ પ્રદર્શિત કરતા નથી.

8.4 તણાવ-તાણ વક્ર

તન્ય તણાવ હેઠળ આપેલા પદાર્થ માટે તણાવ અને તાણ વચ્ચેનો સંબંધ પ્રાયોગિક રીતે શોધી શકાય છે. તન્ય ગુણધર્મોના પ્રમાણભૂત પરીક્ષણમાં, પરીક્ષણ સિલિન્ડર અથવા તારને લાગુ પડેલા બળ દ્વારા ખેંચવામાં આવે છે. લંબાઈમાં અપૂર્ણાંક ફેરફાર (તાણ) અને તાણ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી લાગુ પડેલા બળને રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. લાગુ પડેલા બળને ધીમે ધીમે પગલાંઓમાં વધારવામાં આવે છે અને લંબાઈમાં ફેરફાર નોંધવામાં આવે છે. તણાવ (જે પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ પર લાગુ પડેલા બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે) અને ઉત્પન્ન થયેલા તાણ વચ્ચે આલેખ દોરવામાં આવે છે. ધાતુ માટે એક લાક્ષણિક આલેખ આકૃતિ 8.2 માં દર્શાવેલ છે. સંકોચન અને કાતરણી તણાવ માટે સમાન આલેખ પણ મેળવી શકાય છે. તણાવ-તાણ વક્ર પદાર્થ પ્રમાણે બદલાય છે. આ વક્રો આપણને સમજવામાં મદદ કરે છે કે વધતા ભાર સાથે આપેલ પદાર્થ કેવી રીતે વિકૃત થાય છે. આલેખ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\mathrm{O}$ થી $\mathrm{A}$ વચ્ચેના પ્રદેશમાં, વક્ર રેખીય છે. આ પ્રદેશમાં, હૂકનો નિયમ પાળવામાં આવે છે. લાગુ પડેલું બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણો પાછા મેળવે છે. આ પ્રદેશમાં, ઘન પદાર્થ પ્રત્યાસ્ત પદાર્થની જેમ વર્તે છે.

આકૃતિ 8.2 ધાતુ માટે એક લાક્ષણિક તણાવ-તાણ વક્ર.

A થી B ના પ્રદેશમાં, તણાવ અને તાણ સમપ્રમાણમાં નથી. તેમ છતાં, ભાર દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ હજુ પણ તેના મૂળ પરિમાણો પર પાછો ફરે છે. વક્રમાં બિંદુ $\mathrm{B}$ ઉપજ બિંદુ (પ્રત્યાસ્ત સીમા તરીકે પણ ઓળખાય છે) તરીકે ઓળખાય છે અને અનુરૂપ તણાવને પદાર્થની ઉપજ સામર્થ્ય $\left(\sigma_{y}\right)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

જો ભાર વધુ વધારવામાં આવે, તો વિકસિત થયેલું તણાવ ઉપજ સામર્થ્ય કરતાં વધી જાય છે અને તણાવમાં નાના ફેરફાર માટે પણ તાણ ઝડપથી વધે છે. $B$ અને $D$ વચ્ચેના વક્રના ભાગમાં આ દર્શાવેલ છે. જ્યારે ભાર દૂર કરવામાં આવે છે, ધારો કે $\mathrm{B}$ અને $\mathrm{D}$ વચ્ચેના કોઈ બિંદુ $\mathrm{C}$ પર, પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણો પાછા મેળવતો નથી. આ કિસ્સામાં, તણાવ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ, તાણ શૂન્ય નથી હોતું. પદાર્થમાં કાયમી સેટ હોવાનું કહેવાય છે. વિકૃતિને પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ કહેવામાં આવે છે. આલેખ પરનું બિંદુ $D$ એ પદાર્થની અંતિમ તન્ય સામર્થ્ય $\left(\sigma_{u}\right)$ છે. આ બિંદુથી આગળ, ઘટાડેલા લાગુ પડેલા બળ દ્વારા પણ વધારાનું તાણ ઉત્પન્ન થાય છે અને બિંદુ $\mathrm{E}$ પર ભંગાણ થાય છે. જો અંતિમ સામર્થ્ય અને ભંગાણ બિંદુઓ $\mathrm{D}$ અને $\mathrm{E}$ નજીક હોય, તો પદાર્થ ભંગુર હોવાનું કહેવાય છે. જો તે દૂર હોય, તો પદાર્થ સવેદી હોવાનું કહેવાય છે.

આકૃતિ 8.3 હૃદયમાંથી રક્ત વહન કરતી મોટી નળી (વાહિની) એઓર્ટાના પ્રત્યાસ્ત પેશી માટે તણાવ-તાણ વક્ર.

જેમ પહેલાં જણાવ્યું છે, તણાવ-તાણ વર્તન પદાર્થ પ્રમાણે બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, રબરને તેની મૂળ લંબાઈ કરતાં ઘણી ગણી ખેંચી શકાય છે અને હજુ પણ તેના મૂળ આકાર પર પાછી ફરે છે. આકૃતિ 8.3 હૃદયમાં હાજર એઓર્ટાના પ્રત્યાસ્ત પેશી માટે તણાવ-તાણ વક્ર દર્શાવે છે. નોંધ લો કે જોકે પ્રત્યાસ્ત પ્રદેશ ખૂબ મોટો છે, પદાર્થ મોટાભાગના પ્રદેશમાં હૂકના નિયમનું પાલન કરતો નથી. બીજું, કોઈ સુવ્યાખ્યાયિત પ્લાસ્ટિક પ્રદેશ નથી. એઓર્ટાના પેશી, રબર વગેરે જેવા પદાર્થો, જેને મોટા તાણ ઉત્પન્ન કરવા માટે ખેંચી શકાય છે, તેમને ઇલાસ્ટોમર્સ કહેવામાં આવે છે.

8.5 પ્રત્યાસ્તતા ગુણાંકો

તણાવ-તાણ વક્રની પ્રત્યાસ્ત સીમાની અંદરનો સમપ્રમાણ પ્રદેશ (આકૃતિ 8.2 માં પ્રદેશ OA) માળખાકીય અને ઉત્પાદન એન્જિનિયરિંગ ડિઝાઇન માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તણાવ અને તાણના ગુણોત્તરને પ્રત્યાસ્તતા ગુણાંક કહેવામાં આવે છે, જે પદાર્થની લાક્ષણિકતા હોવાનું જોવા મળે છે.

8.5.1 યંગનો ગુણાંક

પ્રાયોગિક અવલોકન દર્શાવે છે કે આપેલ પદાર્થ માટે, ઉત્પન્ન થયેલા તાણનું મૂલ્ય સમાન હોય છે ભલે તણાવ તન્ય હોય અથવા સંકોચન હોય. તન્ય (અથવા સંકોચન) તણાવ $(\sigma)$ અને રેખાંગ તાણ $(\varepsilon)$ ના ગુણોત્તરને યંગનો ગુણાંક તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેને ચિહ્ન $Y$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

સમીકરણો (8.1) અને (8.2) પરથી, આપણી પાસે છે

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

તાણ એ પારિમાણિક રહિત રાશિ હોવાથી, યંગના ગુણાંકનો એકમ તણાવના એકમ જેટલો જ છે એટલે કે, $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ અથવા પાસ્કલ (Pa). કોષ્ટક 8.1 કેટલાક પદાર્થોના યંગના ગુણાંકો અને ઉપજ સામર્થ્યોના મૂલ્યો આપે છે.

કોષ્ટક 8.1 માં આપેલા ડેટા પરથી, તે નોંધવામાં આવે છે કે ધાતુઓ માટે યંગના ગુણાંકો મોટા હોય છે.

કોષ્ટક 8.1 કેટલાક પદાર્થોના યંગના ગુણાંકો અને ઉપજ સામર્થ્યો

| પદાર્થ | ઘનતા $\rho$
⟦