9.1 પ્રસ્તાવના

આ અધ્યાયમાં, આપણે પ્રવાહીઓ અને વાયુઓના કેટલાક સામાન્ય ભૌતિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું. પ્રવાહીઓ અને વાયુઓ વહી શકે છે અને તેથી તેમને પ્રવાહી કહેવામાં આવે છે. આ ગુણધર્મ જ ઘન પદાર્થોથી પ્રવાહીઓ અને વાયુઓને મૂળભૂત રીતે અલગ પાડે છે.

પ્રવાહીઓ આપણી ચારે બાજુ છે. પૃથ્વીની આસપાસ હવાનો આવરણ છે અને તેની સપાટીના બે-તૃતીયાંશ ભાગ પર પાણી છે. પાણી માત્ર આપણા અસ્તિત્વ માટે જરૂરી નથી; દરેક સસ્તન પ્રાણીનું શરીર મોટે ભાગે પાણીથી બનેલું છે. છોડ સહિત જીવંત પ્રાણીઓમાં થતી બધી જ પ્રક્રિયાઓ પ્રવાહીઓ દ્વારા મધ્યસ્થ થાય છે. આમ, પ્રવાહીઓના વર્તન અને ગુણધર્મોને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

પ્રવાહીઓ ઘન પદાર્થોથી કેવી રીતે અલગ છે? પ્રવાહીઓ અને વાયુઓમાં શું સામાન્ય છે? ઘન પદાર્થથી વિપરીત, પ્રવાહીનું પોતાનું કોઈ નિશ્ચિત આકાર નથી. ઘન પદાર્થો અને પ્રવાહીઓનું નિશ્ચિત કદ હોય છે, જ્યારે વાયુ તેના કન્ટેનરનું સંપૂર્ણ કદ ભરે છે. આપણે પાછલા અધ્યાયમાં શીખ્યા હતા કે ઘન પદાર્થોનું કદ તણાવ દ્વારા બદલી શકાય છે. ઘન, પ્રવાહી અથવા વાયુનું કદ તેના પર કાર્ય કરતા તણાવ અથવા દબાણ પર આધારિત છે. જ્યારે આપણે ઘન અથવા પ્રવાહીના નિશ્ચિત કદ વિશે વાત કરીએ છીએ, ત્યારે આપણો અર્થ વાતાવરણીય દબાણ હેઠળના તેના કદથી છે. વાયુઓ અને ઘન પદાર્થો અથવા પ્રવાહીઓ વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે ઘન પદાર્થો અથવા પ્રવાહીઓ માટે બાહ્ય દબાણમાં ફેરફારને કારણે કદમાં ફેરફાર ખૂબ જ ઓછો હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘન પદાર્થો અને પ્રવાહીઓમાં વાયુઓની તુલનામાં ઘણી ઓછી સંકોચનીયતા હોય છે.

કર્તન તણાવ ઘન પદાર્થનું કદ સ્થિર રાખીને તેનો આકાર બદલી શકે છે. પ્રવાહીઓનો મુખ્ય ગુણધર્મ એ છે કે તેઓ કર્તન તણાવને ખૂબ જ ઓછો પ્રતિકાર આપે છે; ખૂબ જ નાના કર્તન તણાવ લાગુ કરવાથી તેમનો આકાર બદલાય છે. પ્રવાહીઓનું કર્તન તણાવ ઘન પદાર્થોના કર્તન તણાવ કરતાં લગભગ દસ લાખ ગણું નાનું હોય છે.

9.2 દબાણ

એક તીક્ષ્ણ સોય જ્યારે આપણી ત્વચા પર દબાવવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં ભોંકાય છે. જો કે, જ્યારે વધુ સંપર્ક ક્ષેત્રફળ ધરાવતી (જેમ કે ચમચીની પાછળ) ગોળાકાર વસ્તુ સમાન બળથી દબાવવામાં આવે ત્યારે આપણી ત્વચા સાજી રહે છે. જો હાથી માણસની છાતી પર પગ મૂકે, તો તેની પાંસળીઓ તૂટી જાય. સર્કસના કલાકાર, જેની છાતી પર પહેલા મોટો, હલકો પરંતુ મજબૂત લાકડાનો તકતો મૂકવામાં આવે છે, તે આ અકસ્માતથી બચી જાય છે. આવા રોજિંદા અનુભવો આપણને ખાતરી કરાવે છે કે બળ અને તેનું આવરણ ક્ષેત્ર બંને મહત્વપૂર્ણ છે. જે ક્ષેત્રફળ પર બળ કાર્ય કરે છે તે જેટલું નાનું હોય, તેની અસર તેટલી વધારે હોય છે. આ અસરને દબાણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

જ્યારે કોઈ પદાર્થ વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીમાં ડૂબેલો હોય છે, ત્યારે પ્રવાહી તેની સપાટી પર બળ લગાડે છે. આ બળ હંમેશા પદાર્થની સપાટી પર લંબ હોય છે. આવું એટલા માટે છે કારણ કે જો સપાટીની સમાંતર બળનો ઘટક હોય, તો પદાર્થ પણ પ્રવાહી પર તેની સમાંતર બળ લગાડશે; ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમના પરિણામે. આ બળ પ્રવાહીને સપાટીની સમાંતર વહેવા માટે પ્રેરિત કરશે. પ્રવાહી વિશ્રામમાં હોવાથી, આ થઈ શકતું નથી. તેથી, વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવેલું બળ તેની સંપર્કમાં રહેલી સપાટી પર લંબ હોવું જરૂરી છે. આને આકૃતિ 9.1(a) માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 9.1 (a) બીકરમાં રહેલા પ્રવાહી દ્વારા ડૂબેલા પદાર્થ પર અથવા દીવાલો પર લગાડવામાં આવેલું બળ બધા જ બિંદુઓ પર સપાટી પર લંબ (પર્પેન્ડિક્યુલર) હોય છે. (b) દબાણ માપવા માટેનું આદર્શ સાધન.

પ્રવાહી દ્વારા એક બિંદુ પર લગાડવામાં આવેલા લંબ બળને માપી શકાય છે. આવા જ એક દબાણ-માપક સાધનનું આદર્શ સ્વરૂપ આકૃતિ 9.1(b) માં દર્શાવવામાં આવ્યું છે. તેમાં ખાલી કરેલું ચેમ્બર અને સ્પ્રિંગ હોય છે જે પિસ્ટન પર કાર્ય કરતા બળને માપવા માટે કૅલિબ્રેટેડ હોય છે. આ સાધન પ્રવાહીની અંદર એક બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. પિસ્ટન પર પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવેલું અંદરનું બળ બહારની તરફના સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે અને તેથી તે માપવામાં આવે છે.

જો $F$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ધરાવતા પિસ્ટન પરના આ લંબ બળનું માન હોય, તો સરેરાશ દબાણ $P_{a v}$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ પર કાર્ય કરતા લંબ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

$$ \begin{equation*} P_{a v}=\frac{F}{A} \tag{9.1} \end{equation*} $$

સિદ્ધાંતમાં, પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ મનસ્વી રીતે નાનું બનાવી શકાય છે. પછી દબાણને સીમિત અર્થમાં નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

$$ \begin{equation*} P=\lim _{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} \tag{9.2} \end{equation*} $$

દબાણ એક અદિશ રાશિ છે. અમે વાચકને યાદ અપાવીએ છીએ કે તે સમીકરણો (9.1) અને (9.2) માં અંશમાં દેખાતું બળ (સદિશ) નહીં, પરંતુ વિચારણા હેઠળના ક્ષેત્રફળ પર લંબ બળનો ઘટક છે. તેના પરિમાણો $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ છે. દબાણનો SI એકમ $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ છે. તેને ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક બ્લેઝ પાસ્કલ (1623-1662) ના સન્માનમાં પાસ્કલ $(\mathrm{Pa})$ નામ આપવામાં આવ્યું છે, જેમણે પ્રવાહી દબાણ પર અગ્રણી અભ્યાસ કર્યા હતા. દબાણનો એક સામાન્ય એકમ વાતાવરણ (atm) છે, એટલે કે સમુદ્ર સપાટી પર વાતાવરણ દ્વારા લગાડવામાં આવેલું દબાણ $\left(1 \mathrm{~atm}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)$.

બીજી રાશિ, જે પ્રવાહીઓનું વર્ણન કરવામાં અનિવાર્ય છે, તે ઘનતા $\rho$ છે. દળ $m$ અને કદ $V$ ધરાવતા પ્રવાહી માટે,

$$ \begin{equation*} \rho=\frac{m}{V} \tag{9.3} \end{equation*} $$

ઘનતાના પરિમાણો $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ છે. તેનો SI એકમ $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}$ છે. તે એક ધન અદિશ રાશિ છે. પ્રવાહી મોટે ભાગે અસંકોચનીય હોય છે અને તેથી તેની ઘનતા લગભગ બધા જ દબાણોએ સ્થિર રહે છે. બીજી બાજુ, વાયુઓ દબાણ સાથે ઘનતામાં મોટો ફેરફાર દર્શાવે છે.

$4^{\circ} \mathrm{C}(277 \mathrm{~K})$ તાપમાને પાણીની ઘનતા $1.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ છે. કોઈ પદાર્થની સાપેક્ષ ઘનતા એ તેની ઘનતા અને $4^{\circ} \mathrm{C}$ તાપમાને પાણીની ઘનતાનો ગુણોત્તર છે. તે એક પરિમાણહીન ધન અદિશ રાશિ છે. ઉદાહરણ તરીકે એલ્યુમિનિયમની સાપેક્ષ ઘનતા 2.7 છે. તેની ઘનતા $2.7 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ છે. કેટલાક સામાન્ય પ્રવાહીઓની ઘનતા કોષ્ટક 9.1 માં દર્શાવવામાં આવી છે.

કોષ્ટક 9.1 STP* પર કેટલાક સામાન્ય પ્રવાહીઓની ઘનતા

ઉદાહરણ 9.1 બે જાંઘની હાડકીઓ (ફિમર) દરેક $10 \mathrm{~cm}^{2}$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે, જે 40 kg દળ ધરાવતા માનવ શરીરના ઉપરના ભાગને આધાર આપે છે. ફિમર દ્વારા સહન કરવામાં આવતા સરેરાશ દબાણનો અંદાજ કાઢો.

ઉત્તર ફિમરનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A=2 \times 10 \mathrm{~cm}^{2}=20 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$ છે. તેમના પર કાર્ય કરતું બળ $F=40 \mathrm{~kg}$ ભાર $=400 \mathrm{~N}$ છે ($g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ લેતાં). આ બળ ઊર્ધ્વદિશામાં નીચે તરફ કાર્ય કરે છે અને તેથી, ફિમર પર લંબરૂપે કાર્ય કરે છે. આમ, સરેરાશ દબાણ છે

$$ P_{a v}=\frac{F}{A}=2 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} $$

9.2.1 પાસ્કલનો નિયમ

ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિક બ્લેઝ પાસ્કલે નોંધ્યું કે જો તેઓ સમાન ઊંચાઈ પર હોય તો વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીમાં દબાણ બધા જ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે. આ તથ્ય એક સરળ રીતે પ્રદર્શિત કરી શકાય છે.

આકૃતિ 9.2 પાસ્કલના નિયમનો પુરાવો. ABC-DEF એ વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીના આંતરિક ભાગનું એક તત્વ છે. આ તત્વ કાટકોણ પ્રિઝમના સ્વરૂપમાં છે. તત્વ નાનું છે જેથી ગુરુત્વાકર્ષણની અસર અવગણી શકાય, પરંતુ તેને સ્પષ્ટતા માટે મોટું કરવામાં આવ્યું છે.

આકૃતિ 9.2 વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીના આંતરિક ભાગમાં એક તત્વ દર્શાવે છે. આ તત્વ $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ કાટકોણ પ્રિઝમના સ્વરૂપમાં છે. સિદ્ધાંતમાં, આ પ્રિઝમેટિક તત્વ ખૂબ જ નાનું છે જેથી તેનો દરેક ભાગ પ્રવાહીની સપાટીથી સમાન ઊંડાઈ પર ગણી શકાય અને તેથી, ગુરુત્વાકર્ષણની અસર આ બધા જ બિંદુઓ પર સમાન છે. પરંતુ સ્પષ્ટતા માટે અમે આ તત્વને મોટું કર્યું છે. આ તત્વ પરના બળો બાકીના પ્રવાહી દ્વારા લગાડવામાં આવેલા બળો છે અને તેમને ઉપર ચર્ચા કર્યા મુજબ તત્વની સપાટીઓ પર લંબ હોવા જોઈએ. આમ, પ્રવાહી દબાણ $P_{\mathrm{a}}, P_{\mathrm{b}}$ અને $P_{\mathrm{c}}$ ને અનુરૂપ ક્ષેત્રફળ $F_{\mathrm{a}}, F_{\mathrm{b}}$ અને $F_{\mathrm{c}}$ પર આકૃતિ 9.2 માં દર્શાવ્યા મુજબ BEFC, ADFC અને ADEB ફલકો પર અનુક્રમે $A_{a}, A_{b}$ અને $A_{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા લંબ બળો લગાડે છે. તો પછી

$F_{\mathrm{b}} \sin \theta=F_{\mathrm{c}}, \quad F_{\mathrm{b}} \cos \theta=F_{\mathrm{a}} \quad$ (સંતુલન દ્વારા)

$A_{\mathrm{b}} \sin \theta=A_{\mathrm{c}}, \quad A_{\mathrm{b}} \cos \theta=A_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}$ (ભૂમિતિ દ્વારા)

આમ,

$$ \begin{equation*} \frac{F_{b}}{A_{b}}=\frac{F_{c}}{A_{c}}=\frac{F_{a}}{A_{a}} ; \quad P_{b}=P_{c}=P_{a} \tag{9.4} \end{equation*} $$

તેથી, વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીમાં બધી જ દિશાઓમાં લગાડવામાં આવેલું દબાણ સમાન હોય છે. તે ફરીથી આપણને યાદ અપાવે છે કે અન્ય પ્રકારના તણાવની જેમ, દબાણ એ સદિશ રાશિ નથી. તેને કોઈ દિશા સોંપી શકાતી નથી. વિશ્રામમાં અને દબાણ હેઠળ રહેલા પ્રવાહીની અંદર (અથવા સીમા) કોઈપણ ક્ષેત્રફળ પર લગાડવામાં આવેલું બળ, ક્ષેત્રફળની દિશા ગમે તે હોય, તેના પર લંબ હોય છે.

હવે સમાન આડછેદ ધરાવતી આડી પટ્ટીના સ્વરૂપમાં પ્રવાહી તત્વને ધ્યાનમાં લો. પટ્ટી સંતુલનમાં છે. તેના બંને છેડે લગાડવામાં આવેલા આડા બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ અથવા બંને છેડે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ. આ સાબિત કરે છે કે સંતુલનમાં રહેલા પ્રવાહી માટે આડા સમતલમાં બધા જ બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે. ધારો કે પ્રવાહીના વિવિધ ભાગોમાં દબાણ સમાન ન હોય, તો પ્રવાહી પર કેટલાક નિવેશ બળ કાર્ય કરતા હોવાથી પ્રવાહ થશે. તેથી પ્રવાહની ગેરહાજરીમાં પ્રવાહીમાં દબાણ આડા સમતલમાં દરેક જગ્યાએ સમાન હોવું જોઈએ.

9.2.2 ઊંડાઈ સાથે દબાણનો ફેરફાર

કન્ટેનરમાં વિશ્રામમાં રહેલા પ્રવાહીને ધ્યાનમાં લો. આકૃતિ 9.3 માં બિંદુ 1 એ બિંદુ 2 થી $h$ ઊંચાઈ પર છે. બિંદુ 1 અને 2 પર દબાણ અનુક્રમે $P_{1}$ અને $P_{2}$ છે. પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઊંચાઈ $h$ ધરાવતા પ્રવાહીના નળાકાર તત્વને ધ્યાનમાં લો. પ્રવાહી વિશ્રામમાં હોવાથી પરિણામી આડા બળો શૂન્ય હોવા જોઈએ અને પરિણામી ઊર્ધ્વદિશા બળો તત્વના વજનને સંતુલિત કરવા જોઈએ. ઊર્ધ્વદિશામાં કાર્ય કરતા બળો ઉપર $\left(P_{1} A\right)$ નીચે તરફ કાર્ય કરતા દબાણ, તળિયે $\left(P_{2} A\right)$ ઉપર તરફ કાર્ય કરતા દબાણને કારણે છે. જો $m g$ નળાકારમાં રહેલા પ્રવાહીનું વજન હોય, તો આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} \left(P_{2}-P_{1}\right) A=m g \tag{9.5} \end{equation*} $$

હવે, જો $\rho$ પ્રવાહીની દળ ઘનતા હોય, તો આપણી પાસે પ્રવાહીનું દળ $m=\rho V=\rho h A$ હોય છે જેથી

$$ \begin{equation*} P_{2}-P_{1}=\rho g h \tag{9.6} \end{equation*} $$

આકૃતિ 9.3 ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પ્રવાહી. ગુરુત્વાકર્ષણની અસર ઊર્ધ્વદિશા નળાકાર સ્તંભ પરના દબાણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે.

દબાણનો તફાવત બિંદુઓ (1 અને 2) વચ્ચેની ઊર્ધ્વદિશા અંતર $h$, પ્રવાહીની દળ ઘનતા $\rho$ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ પર આધારિત છે. જો ચર્ચા હેઠળનું બિંદુ 1 પ્રવાહી (જેમ કે, પાણી)ની ટોચ પર ખસેડવામાં આવે, જે વાતાવરણ માટે ખુલ્લું છે, તો $\mathrm{P}_1$ ને વાતાવરણીય દબાણ $\left(\mathrm{P}_a\right)$ દ્વારા બદલી શકાય છે અને આપણે $\mathrm{P}_2$ ને P દ્વારા બદલીએ છીએ. પછી સમીકરણ (9.6) આપે છે

$$ \begin{equation*} P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h \tag{9.7} \end{equation*} $$

આમ, વાતાવરણ માટે ખુલ્લા પ્રવાહીની સપાટીથી નીચે $P$ ઊંડાઈ પર દબાણ $\rho g h$ જથ્થા દ્વારા વાતાવરણીય દબાણ કરતાં વધારે હોય છે. $P-P_{\mathrm{a}}$ ઊંડાઈ $h$ પર વધારાનું દબાણ, તે બિંદુ પર ગેજ દબાણ કહેવાય છે.

સમીકરણ (9.7) માં સંપૂર્ણ દબાણના સમીકરણમાં નળાકારનું ક્ષેત્રફળ દેખાતું નથી. આમ, પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ મહત્વપૂર્ણ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અથવા પાયાનું ક્ષેત્રફળ અથવા કન્ટેનરનો આકાર નથી. પ્રવાહી દબાણ સમાન આડા સ્તર (સમાન ઊંડાઈ) પરના બધા જ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે. પરિણામ હાઇડ્રોસ્ટેટિક પેરાડોક્સના ઉદાહરણ દ્વારા સમજી શકાય છે. ત્રણ પાત્રો A, B અને C [આકૃતિ 9.4] ને ધ્યાનમાં લો જે વિવિધ આકાર ધરાવે છે. તેઓ તળિયે આડી પાઇપ દ્વારા જોડાયેલા છે. પાણીથી ભરતાં, ત્રણેય પાત્રોમાં સ્તર સમાન હોય છે, તેમ છતાં તેઓ જુદા જુદા જથ્થામાં પાણી ધરાવે છે. આ એટલા માટે છે કારણ કે તળિયે રહેલું પાણી પાત્રના દરેક વિભાગની નીચે સમાન દબાણ ધરાવે છે.

આકૃતિ 9.4 હાઇડ્રોસ્ટેટિક પેરાડોક્સનું દર્શન. ત્રણેય પાત્રો A, B અને C જુદા જુદા જથ્થામાં પ્રવાહી ધરાવે છે, બધા સમાન ઊંચાઈ સુધી.

ઉદાહરણ 9.2 સરોવરની સપાટીથી $10 \mathrm{~m}$ નીચે તરતા વ્યક્તિ પર દબાણ કેટલું હોય છે?

ઉત્તર અહીં

$h=10 \mathrm{~m}^{2}$ અને $\rho=1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$.

$\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ લો

સમીકરણ (9.7) માંથી

$P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$

$=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}+1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \times 10 \mathrm{~m}$

$=2.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\approx 2 \mathrm{~atm}$

આ સપાટી સ્તરથી દબાણમાં $100 %$ વધારો છે. $1 \mathrm{~km}$ ઊંડાઈ પર, દબાણમાં વધારો $100 \mathrm{~atm}$ છે! સબમરીન આવા વિશાળ દબાણોને સહન કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે.

9.2.3 વાતાવરણીય દબાણ અને ગેજ દબાણ

કોઈપણ બિંદુ પર વાતાવરણનું દબાણ એકમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા હવાના સ્તંભના વજન જેટલું હોય છે જે તે બિંદુથી વાતાવરણની ટોચ સુધી વિસ્તરે છે. સમુદ્ર સપાટી પર, તે $1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \mathrm{(1} \mathrm{atm).} \mathrm{Italian} \mathrm{scientist}$ છે. એવાન્જેલિસ્ટા ટોરિસેલી (1608-1647) એ પ્રથમ વખત વાતાવરણીય દ