બહુત વિજ્ઞાનોમાં એક પેઢી બીજી પેઢીએ બાંધેલું તોડી નાખે છે અને એકે સ્થાપિત કરેલું બીજું નાબૂદ કરે છે. ગણિતમાં એકલા દરેક પેઢી જૂની રચનામાં નવી માળખું બાંધે છે. - હર્મન હેન્કેલ

10.1 પ્રસ્તાવના

આપણા રોજબરોજના જીવનમાં, આપણે ઘણા પ્રશ્નો સામે આવીએ છીએ જેમ કે - તમારી ઊંચાઈ કેટલી છે? ફૂટબોલ ખેલાડીએ બોલને કેવી રીતે મારવો જોઈએ કે જેથી તે તેની ટીમના બીજા ખેલાડીને પાસ આપી શકે? નોંધ લો કે પ્રથમ પ્રશ્નનો સંભવિત જવાબ 1.6 મીટર હોઈ શકે છે, એક જથ્થો જે ફક્ત એક મૂલ્ય (પરિમાણ) ધરાવે છે જે વાસ્તવિક સંખ્યા છે. આવા જથ્થાઓને અદિશ કહેવામાં આવે છે. જોકે, બીજા પ્રશ્નનો જવાબ એક જથ્થો (બળ કહેવાય છે) છે જે સ્નાયુબળ (પરિમાણ) અને દિશા (જે દિશામાં બીજો ખેલાડી સ્થિત છે) ધરાવે છે. આવા જથ્થાઓને સદિશ કહેવામાં આવે છે. ગણિત, ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ઈજનેરીમાં, આપણે વારંવાર બંને પ્રકારના જથ્થાઓ સાથે મળીએ છીએ, એટલે કે, અદિશ જથ્થાઓ જેમ કે લંબાઈ, દળ, સમય, અંતર, ઝડપ, ક્ષેત્રફળ, ઘનફળ, તાપમાન, કાર્ય, પૈસો, વોલ્ટેજ, ઘનતા, પ્રતિરોધ વગેરે. અને સદિશ જથ્થાઓ જેમ કે સ્થાનાંતરણ, વેગ, પ્રવેગ, બળ, વજન, વેગમાન, વિદ્યુત ક્ષેત્ર તીવ્રતા વગેરે.

ડબ્લ્યુ.આર. હેમિલ્ટન $(1805-1865)$

આ પ્રકરણમાં, આપણે સદિશો વિશેના કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલો, સદિશો પરના વિવિધ ક્રિયાઓ, અને તેમના બીજગણિતીય અને ભૌમિતિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીશું. આ બંને પ્રકારના ગુણધર્મો, જ્યારે એકસાથે ગણવામાં આવે છે, ત્યારે સદિશોની ખ્યાલને સંપૂર્ણ સમજ આપે છે, અને ઉપર ઉલ્લેખિત વિવિધ ક્ષેત્રોમાં તેમની મહત્વપૂર્ણ લાગુ પાડવાની ક્ષમતા તરફ દોરી જાય છે.

10.2 કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલો

’ $l$ ’ ને સમતલ અથવા ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈ પણ સીધી રેખા લો. આ રેખાને તીરની નોક દ્વારા બે દિશાઓ આપી શકાય છે. આમાંથી એક દિશા નિર્ધારિત કરેલી રેખાને નિર્દેશિત રેખા કહેવામાં આવે છે (ફિગ 10.1 (i), (ii)).

ફિગ 10.1

હવે નોંધ લો કે જો આપણે રેખા $l$ ને રેખાખંડ AB સુધી મર્યાદિત કરીએ, તો રેખા $l$ પર બે દિશાઓમાંથી એક સાથે પરિમાણ નિર્ધારિત થાય છે, જેથી આપણને નિર્દેશિત રેખાખંડ મળે છે (ફિગ 10.1(iii)). આમ, નિર્દેશિત રેખાખંડ પરિમાણ તેમજ દિશા ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 1 એક જથ્થો જે પરિમાણ તેમજ દિશા ધરાવે છે તેને સદિશ કહેવામાં આવે છે.

નોંધ લો કે નિર્દેશિત રેખાખંડ એ સદિશ છે (ફિગ 10.1(iii)), જેને $\overrightarrow{{}AB}$ અથવા સરળ રીતે $\vec{a}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, અને ‘સદિશ $\overrightarrow{{}AB}$ ’ અથવા ‘સદિશ $\vec{a}$ ’ તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

બિંદુ $A$ જ્યાંથી સદિશ $\overrightarrow{{}AB}$ શરૂ થાય છે તેને તેનું પ્રારંભિક બિંદુ કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ $B$ જ્યાં તે સમાપ્ત થાય છે તેને તેનું અંતિમ બિંદુ કહેવામાં આવે છે. સદિશના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તેના પરિમાણ (અથવા લંબાઈ) કહેવાય છે, જેને $|\overrightarrow{{}AB}|$, અથવા $|\vec{a}|$, અથવા $a$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તીર સદિશની દિશા દર્શાવે છે.

નોંધ કારણ કે લંબાઈ ક્યારેય ઋણ નથી હોતી, સંકેત $|\vec{a}|<0$ નો કોઈ અર્થ નથી.

સ્થાન સદિશ

કક્ષા XI થી, ત્રિ-પરિમાણીય જમણા હાથના લંબચોરસ નિર્દેશાંક પ્રણાલી યાદ કરો (ફિગ 10.2(i)). અવકાશમાં એક બિંદુ $P$ ધ્યાનમાં લો, જે મૂળ બિંદુ $O(0,0,0)$ ની સાપેક્ષે $(x, y, z)$ નિર્દેશાંકો ધરાવે છે. તો, સદિશ $\overrightarrow{{}OP}$ જે $O$ અને $P$ ને અનુક્રમે તેના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ તરીકે ધરાવે છે, તેને બિંદુ $P$ નો મૂળ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ કહેવામાં આવે છે. અંતર સૂત્ર (કક્ષા XI થી) નો ઉપયોગ કરીને, $\overrightarrow{{}OP}$ (અથવા $\vec{r}$ ) નું પરિમાણ આપેલ છે

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

વ્યવહારમાં, બિંદુઓ $A, B, C$, વગેરેના સ્થાન સદિશો, મૂળ બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, વગેરે દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (ફિગ 10.2 (ii)).

ફિગ 10.2

દિશા કોસાઈન

ફિગ 10.3 માં બતાવ્યા પ્રમાણે બિંદુ $P(x, y, z)$ ના સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{{}OP}$ (અથવા $\vec{r}$ ) ધ્યાનમાં લો. સદિશ $\vec{r}$ દ્વારા $x, y$ અને $z$-અક્ષોની ધન દિશાઓ સાથે બનાવેલા ખૂણાઓ $\alpha$, $\beta, \gamma$ અનુક્રમે તેની દિશા ખૂણાઓ કહેવાય છે. આ ખૂણાઓના કોસાઈન મૂલ્યો, એટલે કે, $\cos \alpha, \cos \beta$ અને $\cos \gamma$ ને સદિશ $\vec{r}$ ના દિશા કોસાઈન કહેવામાં આવે છે, અને સામાન્ય રીતે અનુક્રમે $l, m$ અને $n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ફિગ 10.3 માંથી, કોઈ નોંધ શકે છે કે ત્રિકોણ OAP કાટકોણ ત્રિકોણ છે, અને તેમાં, આપણી પાસે $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ છે જે $|\vec{r}|)$ માટે ઊભું છે. તે જ રીતે, કાટકોણ ત્રિકોણ OBP અને OCP માંથી, આપણે $\cos \beta=\frac{y}{r}$ અને $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ લખી શકીએ છીએ. આમ, બિંદુ P ના નિર્દેશાંકોને $(l r, m r, n r)$ તરીકે પણ વ્યક્ત કરી શકાય છે. સંખ્યાઓ $l r, m r$ અને $n r$, જે દિશા કોસાઈનના પ્રમાણસર છે, તેને સદિશ $\vec{r}$ ના દિશા ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે, અને અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

નોંધ કોઈ નોંધ શકે છે કે $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ પરંતુ $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$, સામાન્ય રીતે.

10.3 સદિશોના પ્રકાર

શૂન્ય સદિશ એક સદિશ જેના પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એકરૂપ થાય છે, તેને શૂન્ય સદિશ (અથવા નલ સદિશ) કહેવામાં આવે છે, અને $\overrightarrow{{}0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. શૂન્ય સદિશને નિશ્ચિત દિશા સોંપી શકાતી નથી કારણ કે તેનું પરિમાણ શૂન્ય છે. અથવા, વૈકલ્પિક રીતે, તેને કોઈ પણ દિશા ધરાવતો ગણી શકાય. સદિશો $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ શૂન્ય સદિશનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે,

એકમ સદિશ એક સદિશ જેનું પરિમાણ એકતા (એટલે કે, 1 એકમ) છે, તેને એકમ સદિશ કહેવામાં આવે છે. આપેલ સદિશ $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશને $\hat{a}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

સહ-પ્રારંભિક સદિશો બે અથવા વધુ સદિશો જેનું પ્રારંભિક બિંદુ સમાન હોય તેને સહ-પ્રારંભિક સદિશો કહેવામાં આવે છે.

સમરેખ સદિશો બે અથવા વધુ સદિશોને સમરેખ કહેવામાં આવે છે જો તેઓ તે જ રેખાને સમાંતર હોય, તેમના પરિમાણો અને દિશાઓની પરવા કર્યા વિના.

સમાન સદિશો બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમાન કહેવાય છે, જો તેમનું પરિમાણ અને દિશા સમાન હોય તેમના પ્રારંભિક બિંદુઓની સ્થિતિની પરવા કર્યા વિના, અને $\vec{a}=\vec{b}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

સદિશનો ઋણ એક સદિશ જેનું પરિમાણ આપેલ સદિશ (ધારો કે, $\overrightarrow{{}AB}$ ) જેટલું જ છે, પરંતુ દિશા તેનાથી વિરુદ્ધ છે, તેને આપેલ સદિશનો ઋણ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સદિશ $\overrightarrow{{}BA}$ એ સદિશ $\overrightarrow{{}AB}$ નો ઋણ છે, અને $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ તરીકે લખવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી ઉપર વ્યાખ્યાયિત સદિશો એવા છે કે તેમાંથી કોઈ પણ તેના પરિમાણ અને દિશા બદલ્યા વિના તેના સમાંતર સ્થાનાંતરણને આધીન હોઈ શકે છે. આવા સદિશોને મુક્ત સદિશો કહેવામાં આવે છે. આ સમગ્ર પ્રકરણમાં, આપણે ફક્ત મુક્ત સદિશો સાથે વ્યવહાર કરીશું.

ઉદાહરણ 1 દક્ષિણના પશ્ચિમમાં $40 km, 30^{\circ}$ ના સ્થાનાંતરણનું ગ્રાફિકલી પ્રતિનિધિત્વ કરો.

ઉકેલ સદિશ $\overrightarrow{{}OP}$ જરૂરી સ્થાનાંતરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે (ફિગ 10.4).

ફિગ 10.4

ઉદાહરણ 2 નીચેના માપોને અદિશ અને સદિશ તરીકે વર્ગીકૃત કરો.

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ ઉત્તર તરફ

ઉકેલ

(i) સમય-અદિશ

(ii) ઘનફળ-અદિશ

(iii) બળ-સદિશ

(iv) ઝડપ-અદિશ

(v) ઘનતા-અદિશ

(vi) વેગ-સદિશ

ઉદાહરણ 3 ફિગ 10.5 માં, કયા સદિશો છે:

(i) સમરેખ

(ii) સમાન

(iii) સહ-પ્રારંભિક

ઉકેલ

(i) સમરેખ સદિશો: $\vec{a}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$.

(ii) સમાન સદિશો : $\vec{a}$ અને $\vec{c}$.

(iii) સહ-પ્રારંભિક સદિશો : $\vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$.

10.4 સદિશોનો સરવાળો

સદિશ $\overrightarrow{{}AB}$ નો સરળ અર્થ બિંદુ A થી બિંદુ $B$ સુધીનું સ્થાનાંતરણ છે. હવે એક પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લો કે એક છોકરી $A$ થી $B$ સુધી અને પછી $B$ થી $C$ સુધી ખસે છે (ફિગ 10.7). છોકરી દ્વારા બિંદુ $A$ થી બિંદુ $C$ સુધી કરવામાં આવેલું નીવેડણ સ્થાનાંતરણ, સદિશ $\overrightarrow{{}AC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત થાય છે

ફિગ 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

આને સદિશ સરવાળાનો ત્રિકોણ નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, જો આપણી પાસે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય (ફિગ 10.8 (i)), તો તેમને ઉમેરવા માટે, તેમને એવી રીતે સ્થિત કરવામાં આવે છે કે એકનું પ્રારંભિક બિંદુ બીજાના અંતિમ બિંદુ સાથે એકરૂપ થાય (ફિગ 10.8(ii)).

ફિગ 10.8

ઉદાહરણ તરીકે, ફિગ 10.8 (ii) માં, આપણે સદિશ $\vec{b}$ ને તેનું પરિમાણ અને દિશા બદલ્યા વિના ખસેડ્યો છે, જેથી તેનું પ્રારંભિક બિંદુ $\vec{a}$ ના અંતિમ બિંદુ સાથે એકરૂપ થાય. પછી, સદિશ $\vec{a}+\vec{b}$, જે ત્રિકોણ $ABC$ ની ત્રીજી બાજુ $AC$ દ્વારા રજૂ થાય છે, આપણને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સરવાળો (અથવા પરિણામી) આપે છે એટલે કે, ત્રિકોણ $ABC$ માં (ફિગ 10.8 (ii)), આપણી પાસે છે

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

હવે ફરીથી, કારણ કે $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$, ઉપરના સમીકરણ પરથી, આપણી પાસે છે

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે ત્રિકોણની બાજુઓ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, ત્યારે તે શૂન્ય પરિણામ તરફ દોરી જાય છે કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ એકરૂપ થાય છે (ફિગ 10.8(iii)).

હવે, એક સદિશ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ ની રચના કરો જેથી તેનું પરિમાણ સદિશ $\overrightarrow{{}BC}$ જેટલું જ હોય, પરંતુ તેનાથી વિરુદ્ધ દિશા હોય (ફિગ 10.8 (iii)), એટલે કે, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ પછી, ફિગ 10.8 (iii) માંથી ત્રિકોણ નિયમ લાગુ કરીને, આપણી પાસે છે $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

સદિશ $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના તફાવતનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે એમ કહેવાય છે.

હવે, નદીમાં એક હોડી ધ્યાનમાં લો જે નદીના પ્રવાહને લંબરૂપ દિશામાં નદીના એક કાંઠેથી બીજા કાંઠે જાય છે. પછી, તે બે વેગ સદિશો દ્વારા કાર્ય કરે છે-એક તેની એન્જિન દ્વારા હોડીને આપવામાં આવેલો વેગ છે અને બીજો નદીના પાણીના પ્રવાહનો વેગ છે. આ બંને વેગોના એકસાથે પ્રભાવ હેઠળ, હોડી વાસ્તવમાં જુદા જુદા વેગથી મુસાફરી શરૂ કરે છે. હોડીની અસરકારક ઝડપ અને દિશા (એટલે કે, પરિણામી વેગ) વિશે ચોક્કસ ખ્યાલ મેળવવા માટે, આપણી પાસે સદિશ સરવાળાનો નીચેનો નિયમ છે.

જો આપણી પાસે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય જે પરિમાણ અને દિશામાં સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બે અડીને બાજુઓ દ્વારા રજૂ થાય છે (ફિગ 10.9), તો તેમનો સરવાળો $\vec{a}+\vec{b}$ પરિમાણ અને દિશામાં તેમના સામાન્ય બિંદુમાંથી પસાર થતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણ દ્વારા રજૂ થાય છે. આને સદિશ સરવાળાનો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ફિગ 10.9

નોંધ ફિગ 10.9 માંથી, ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, કોઈ નોંધ શકે છે કે

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ અથવા $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (કારણ કે $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ )

જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે સદિશ સરવાળાના બે નિયમો એકબીજા સમતુલ્ય છે.

સદિશ સરવાળાના ગુણધર્મો

ગુણધર્મ 1 કોઈ પણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(ક્રમ-વિનિમય ગુણધર્મ) સાબિતી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ (ફિગ 10.10) ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ અને $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$, પછી ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણ $ABC$ માંથી, આપણી પાસે છે $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

હવે, કારણ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન અને સમાંતર હોય છે, ફિગ 10.10 માંથી, આપણી પાસે છે, $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ અને $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$. ફરીથી ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને,

ફિગ 10.10 ત્રિકોણ $ADC$ માંથી, આપણી પાસે છે

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

આથી

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

ગુણધર્મ 2 કોઈ પણ ત્રણ સદિશો $a, b$ અને $c$ માટે

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

સાબિતી સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને અનુક્રમે $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ અને $\overrightarrow{{}RS}$ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે, જેમ કે ફિગ 10.11(i) અને (ii) માં બતાવ્યા પ્રમાણે.

ફિગ 10.11

પછી $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

અને $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

તેથી $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

અને $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

આથી $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

ટિપ્પણી સદિશ સરવાળાનો સહયોગી ગુણધર્મ આપણને ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ નો સરવાળો કૌંસનો ઉપયોગ કર્યા વિના $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ તરીકે લખવાની સમર્થ બનાવે છે.

નોંધ લો કે કોઈ પણ સદિશ $a$ માટે, આપણી પાસે છે

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

અહીં, શૂન્ય સદિશ $\overrightarrow{{}0}$ ને સદિશ સરવાળા માટે સરવાળાત્મક ઓળખ કહેવામાં આવે છે.

10.5 સદિશનો અદિશ વડે ગુણાકાર

ધારો કે $\vec{a}$ એક આપેલ સદિશ છે અને $\lambda$ એક અદિશ છે. તો સદિશ $\vec{a}$ નો અદિશ $\lambda$ વડે ગુણાકાર, જેને $\lambda \vec{a}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તેને સદિશ $\vec{a}$ નો અદિશ