ગાણિતિક શોધની ગતિશીલ શક્તિ તર્ક નથી પરંતુ કલ્પના છે. - એ.ડીમોર્ગન

11.1 પ્રસ્તાવના

કક્ષા XI માં, બે પરિમાણોમાં વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અને ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિનો પરિચય, અમે માત્ર કાર્ટેશિયન પદ્ધતિઓ સુધી મર્યાદિત રહ્યા હતા. આ પુસ્તકના પાછલા અધ્યાયમાં, આપણે સદિશોના કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલોનો અભ્યાસ કર્યો છે. હવે આપણે ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ માટે સદિશ બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીશું. 3-પરિમાણીય ભૂમિતિ માટે આ અભિગમનો હેતુ એ છે કે તે અભ્યાયને સરળ અને સુઘડ* બનાવે છે.

આ અધ્યાયમાં, આપણે બે બિંદુઓને જોડતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ અને દિશા ગુણોત્તરનો અભ્યાસ કરીશું અને વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં અવકાશમાં રેખાઓ અને સમતલોના સમીકરણો, બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો, બે સમતલો, એક રેખા અને સમતલ, બે ત્રાંસી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર અને સમતલથી બિંદુનું અંતર વિશે પણ ચર્ચા કરીશું. ઉપરોક્ત પરિણામોમાંથી મોટાભાગના સદિશ સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત થાય છે. તેમ છતાં, આપણે આ પરિણામોને કાર્ટેશિયન સ્વરૂપમાં પણ અનુવાદિત કરીશું, જે ક્યારેક પરિસ્થિતિની વધુ સ્પષ્ટ ભૌમિતિક અને વિશ્લેષણાત્મક તસવીર પ્રસ્તુત કરે છે.

લિઓનહાર્ડ યુલર $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 રેખાની દિશા કોસાઇન્સ અને દિશા ગુણોત્તર

અધ્યાય 10 માંથી યાદ કરો કે જો મૂળમાંથી પસાર થતી નિર્દેશિત રેખા $L$, $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા $x, y$ અને $z$-અક્ષો સાથે અનુક્રમે બનાવે છે, જેને દિશા ખૂણા કહેવામાં આવે છે, તો આ ખૂણાઓના કોસાઇન, એટલે કે, $\cos \alpha, \cos \beta$ અને $\cos \gamma$ ને નિર્દેશિત રેખા $L$ ની દિશા કોસાઇન્સ કહેવામાં આવે છે.

જો આપણે $L$ ની દિશા ઉલટાવીએ, તો દિશા ખૂણાઓ તેમના પૂરક દ્વારા બદલાઈ જાય છે, એટલે કે, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ અને $\pi-\gamma$. આમ, દિશા કોસાઇન્સના ચિહ્નો ઉલટાઈ જાય છે.

આકૃતિ 11.1

નોંધ કરો કે અવકાશમાં આપેલી રેખા બે વિરુદ્ધ દિશાઓમાં વિસ્તારી શકાય છે અને તેથી તેની પાસે દિશા કોસાઇન્સના બે સમૂહો છે. અવકાશમાં આપેલી રેખા માટે દિશા કોસાઇન્સનો અનન્ય સમૂહ મેળવવા માટે, આપણે આપેલી રેખાને નિર્દેશિત રેખા તરીકે લેવી જોઈએ. આ અનન્ય દિશા કોસાઇન્સને $l, m$ અને $n$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી જો અવકાશમાં આપેલી રેખા મૂળમાંથી પસાર ન થાય, તો, તેની દિશા કોસાઇન્સ શોધવા માટે, આપણે મૂળમાંથી એક રેખા દોરીએ છીએ અને તે આપેલી રેખાને સમાંતર છે. હવે મૂળમાંથી એક નિર્દેશિત રેખા લો અને તેની દિશા કોસાઇન્સ શોધો કારણ કે બે સમાંતર રેખાઓમાં દિશા કોસાઇન્સનો સમાન સમૂહ હોય છે.

કોઈપણ ત્રણ સંખ્યાઓ જે રેખાની દિશા કોસાઇન્સના પ્રમાણસર હોય તેને રેખાના દિશા ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે. જો $l, m, n$ દિશા કોસાઇન્સ છે અને $a, b, c$ રેખાના દિશા ગુણોત્તર છે, તો $a=\lambda l, b=\lambda m$ અને $c=\lambda n$, કોઈપણ શૂન્યેતર $\lambda \in \mathbf{R}$ માટે.

નોંધ કેટલાક લેખકો દિશા ગુણોત્તરને દિશા સંખ્યાઓ પણ કહે છે.

ચાલો $a, b, c$ રેખાના દિશા ગુણોત્તર હોય અને ચાલો $l, m$ અને $n$ રેખાની દિશા કોસાઇન્સ (d.c’s) હોય. પછી

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

તેથી $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

પરંતુ $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

તેથી $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

અથવા $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

આથી, (1) માંથી, રેખાના d.c.’s છે $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

જ્યાં, $k$ ના ઇચ્છિત ચિહ્ન પર આધાર રાખીને, $l, m$ અને $n$ માટે કાં તો ધન અથવા ઋણ ચિહ્ન લેવામાં આવે છે. કોઈપણ રેખા માટે, જો $a, b, c$ રેખાના દિશા ગુણોત્તર હોય, તો $k a, k b, k c ; k \neq 0$ પણ દિશા ગુણોત્તરનો સમૂહ છે. તેથી, રેખાના દિશા ગુણોત્તરના કોઈપણ બે સમૂહો પણ પ્રમાણસર હોય છે. ઉપરાંત, કોઈપણ રેખા માટે દિશા ગુણોત્તરના અનંત સમૂહો હોય છે.

11.2.1 બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ

કારણ કે એક અને માત્ર એક જ રેખા બે આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, આપણે આપેલા બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરી શકીએ છીએ (આકૃતિ 11.2 (a)).

આકૃતિ 11.2

ચાલો $l, m, n$ રેખા PQ ની દિશા કોસાઇન્સ હોય અને ચાલો તે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ખૂણા $x, y$ અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે બનાવે છે.

$P$ અને $Q$ માંથી $XY$-સમતલ પર લંબ દોરો જેથી $R$ અને $S$ પર મળે. $P$ માંથી $QS$ પર લંબ દોરો જેથી $N$ પર મળે. હવે, કાટકોણ ત્રિકોણ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ માં (આકૃતિ 11.2 (b)).

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

તેથી આથી, બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખા ખંડની દિશા કોસાઇન્સ છે

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

જ્યાં $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

નોંધ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ ને જોડતા રેખા ખંડના દિશા ગુણોત્તર નીચે પ્રમાણે લઈ શકાય છે

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

ઉદાહરણ 1 જો એક રેખા $90^{\circ}, 60^{\circ}$ અને $30^{\circ}$ ખૂણા $x, y$ અને $z$-અક્ષની ધન દિશા સાથે અનુક્રમે બનાવે છે, તો તેની દિશા કોસાઇન્સ શોધો.

ઉકેલ ચાલો $d . c$. રેખાઓના ’ $s$ $l, m, n$ હોય. પછી $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ઉદાહરણ 2 જો એક રેખાના દિશા ગુણોત્તર 2, - 1, - 2 હોય, તો તેની દિશા કોસાઇન્સ નક્કી કરો.

ઉકેલ દિશા કોસાઇન્સ છે

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

અથવા $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

ઉદાહરણ 3 બે બિંદુઓ $(-2,4,-5)$ અને $(1,2,3)$ માંથી પસાર થતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ શોધો.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે બે બિંદુઓ $P(x_1, y_1, z_1)$ અને $Q(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

જ્યાં $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

અહીં $P$ $(-2,4,-5)$ છે અને $Q$ $(1,2,3)$ છે.

તેથી $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

આમ, બે બિંદુઓને જોડતી રેખાની દિશા કોસાઇન્સ છે

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

ઉદાહરણ 4 $x, y$ અને $z$-અક્ષની દિશા કોસાઇન્સ શોધો.

ઉકેલ $x$-અક્ષ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ અને $90^{\circ}$ ખૂણા $x, y$ અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે બનાવે છે. તેથી, $x$-અક્ષની દિશા કોસાઇન્સ $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ છે એટલે કે, $1,0,0$. એ જ રીતે, $y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષની દિશા કોસાઇન્સ અનુક્રમે $0,1,0$ અને $0,0,1$ છે.

ઉદાહરણ 5 દર્શાવો કે બિંદુઓ A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ અને $C(3,8,-11)$ સમરેખ છે.

ઉકેલ A અને B ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર છે

$1-2,-2-3,3+4$ એટલે કે, $-1,-5,7$.

$B$ અને $C$ ને જોડતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $3-1,8+2,-11-3$ છે, એટલે કે, $2,10,-14$.

તે સ્પષ્ટ છે કે $AB$ અને $BC$ ના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણસર છે, તેથી, $AB$ એ $BC$ ને સમાંતર છે. પરંતુ બિંદુ $B$ બંને $AB$ અને $BC$ માટે સામાન્ય છે. તેથી, $A, B, C$ સમરેખ બિંદુઓ છે.

11.3 અવકાશમાં રેખાનું સમીકરણ

આપણે કક્ષા XI માં બે પરિમાણોમાં રેખાઓના સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો છે, હવે આપણે અવકાશમાં રેખાના સદિશ અને કાર્ટેશિયન સમીકરણોનો અભ્યાસ કરીશું.

એક રેખા અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે જો

(i) તે આપેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને આપેલી દિશા ધરાવે છે, અથવા

(ii) તે બે આપેલા બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

11.3.1 આપેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ અને $\vec{a}$ આપેલા સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર

ચાલો $\vec{a}$ લંબચોરસ નિર્દેશાંક પ્રણાલીના મૂળ $O$ ના સંદર્ભમાં આપેલા બિંદુ A નો સ્થાન સદિશ હોય. ચાલો $l$ એ રેખા હોય જે બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને આપેલા સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે. ચાલો $\vec{r}$ રેખા પરના કોઈપણ મનસ્વી બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ હોય (આકૃતિ 11.3).

પછી $\overrightarrow{{}AP}$ સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે, એટલે કે, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, જ્યાં $\lambda$ કેટલાક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

પરંતુ $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

એટલે કે $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

વિપરીત, પરિમાણ $\lambda$ ના દરેક મૂલ્ય માટે, આ સમીકરણ રેખા પરના બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ આપે છે. તેથી, રેખાનું સદિશ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

ટિપ્પણી જો $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, તો $a, b, c$ રેખાના દિશા ગુણોત્તર છે અને વિપરીત, જો $a, b, c$ રેખાના દિશા ગુણોત્તર હોય, તો $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ રેખાને સમાંતર હશે. અહીં, $b$ ને $|\vec{b}|$ સાથે ગૂંચવવું ન જોઈએ. સદિશ સ્વરૂપમાંથી કાર્ટેશિયન સ્વરૂપની વ્યુત્પત્તિ

ચાલો આપેલા બિંદુ $A$ ના નિર્દેશાંક $(x_1, y_1, z_1)$ હોય અને રેખાના દિશા ગુણોત્તર $a, b, c$ હોય. કોઈપણ બિંદુ $P$ ના નિર્દેશાંક $(x, y, z)$ હોય તે ધ્યાનમાં લો. પછી

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

અને $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

આ મૂલ્યોને (1) માં બદલીને અને $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ ના ગુણાંક સરખાવતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

આ રેખાનાં પરિમાણીય સમીકરણો છે. પરિમાણ $\lambda$ ને (2) માંથી દૂર કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

આ રેખાનું કાર્ટેશિયન સમીકરણ છે.

નોંધ જો $l, m, n$ રેખાની દિશા કોસાઇન્સ હોય, તો રેખાનું સમીકરણ છે

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

ઉદાહરણ 6 બિંદુ $(5,2,-4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ અને કાર્ટેશિયન સમીકરણ શોધો જે સદિશ $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

તેથી, રેખાનું સદિશ સમીકરણ છે

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

હવે, $\vec{r}$ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y, z)$ નો સ્થાન સદિશ છે.

તેથી, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ ને દૂર કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

જે કાર્ટેશિયન સ્વરૂપમાં રેખાનું સમીકરણ છે.

11.4 બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો

ચાલો $L_1$ અને $L_2$ એ બે રેખાઓ હોય જે મૂળમાંથી પસાર થાય છે અને જેમના દિશા ગુણોત્તર અનુક્રમે $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ છે. ચાલો $P$ એ $L_1$ પરનો બિંદુ હોય અને $Q$ એ $L_2$ પરનો બિંદુ હોય. આકૃતિ 11.6 માં આપેલી તરીકે નિર્દેશિત રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ ધ્યાનમાં લો. ચાલો $\theta$ એ OP અને OQ વચ્ચેનો લઘુકોણ હોય. હવે યાદ કરો કે નિર્દેશિત રેખા ખંડ OP અને OQ એ સદિશો છે જેમના ઘટકો અનુક્રમે $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ છે. તેથી, તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે

$\sin \theta$ ના સંદર્ભમાં રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

નોંધ જો રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ મૂળમાંથી પસાર ન થાય, તો આપણે રેખાઓ $L_1^{\prime}$ અને $L_2^{\prime}$ લઈ શકીએ છીએ જે અનુક્રમે $L_1$ અને $L_2$ ને સમાંતર છે અને મૂળમાંથી પસાર થાય છે.

જો રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ માટે દિશા ગુણોત્તરને બદલે, દિશા કોસાઇન્સ, એટલે કે, $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ માટે અને $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ માટે આપવામાં આવે છે, તો (1) અને (2) નીચેનું સ્વરૂપ લે છે:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

અને $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

દિશા ગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ ધરાવતી બે રેખાઓ

(i) લંબરૂપ છે એટલે કે જો $\theta=90^{\circ}$ (1) દ્વારા

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) સમાંતર છે એટલે કે જો $\theta=0$ (2) દ્વારા

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

હવે, જ્યારે રેખાઓના સમીકરણો આપવામાં આવે છે ત્યારે આપણે બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધીએ છીએ. જો $\theta$ લઘુકોણ હોય તો રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ વચ્ચેનો ખૂણો કાર્ટેશિયન સ્વરૂપમાં, જો $\theta$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો હોય

તો $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

અને $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

જ્યાં, $a_1, b _{1,} c_1$ અને $a _{2,}, b_2, c_2$ અનુક્રમે રેખાઓ (1) અને (2) ના દિશા ગુણોત્તર છે, તો

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

ઉદાહરણ 7 આપેલી રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

અને $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

ઉકેલ અહીં $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ અને $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

તેથી $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

ઉદાહરણ 8 રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો શોધો

અને $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

ઉકેલ પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તર 3, 5, 4 છે અને બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $1,1,2$ છે. જો $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો હોય, તો

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

તેથી, જરૂરી ખૂણો $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ છે.

11.5 બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર

જો અવકાશમાં બે રેખાઓ એક બિંદુ પર છેદે છે, તો તેમની વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર શૂન્ય છે. ઉપરાંત, જો અવકાશમાં બે રેખાઓ સમાંતર હોય, તો તેમની વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર લંબ અંતર હશે, એટલે કે એક રેખા પરના બિંદુમાંથી બીજી રેખા પર દોરેલા લંબની લંબાઈ.

વધુમાં, અવકાશમાં, એવી રેખાઓ હોય છે જે ન તો છેદતી હોય છે અને ન સમાંતર હોય છે. હકીકતમાં, આવી રેખાઓની જોડી સમતલીય નથી હોતી અને ત્રાંસી રેખાઓ કહેવાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો 1, 3, 2 એકમના કદનો ઓરડો ધ્યાનમાં લઈએ

આકૃતિ 11.5 $x, y$ અને $z$-અક્ષો સાથે અનુક્રમે આકૃતિ 11.5.

રેખા GE જે છત પર ત્રાંસી જાય છે અને રેખા DB એ છતના એક ખૂણામાંથી પસાર થાય છે જે A ની ઉપર સીધી છે અને દીવાલ પર ત્રાંસી નીચે જાય છે. આ રેખાઓ ત્રાંસી છે કારણ કે તે સમાંતર નથી અને ક્યારેય મળતી પણ નથી.

બે રેખાઓ વચ્ચેના લઘુતમ અંતરથી આપણો અર્થ એક રેખામાંના એક બિંદુને બીજી રેખા પરના એક બિંદુ સાથે જોડવાનો છે જેથી મળેલા ખંડની લંબાઈ સૌથી નાની હોય. ત્રાંસી રેખાઓ માટે, લઘુતમ અંતરની રેખા બંને રેખાઓ પર લંબરૂપ હશે.

11.5.1 બે ત્રાંસી રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર

હવે આપણે બે ત્રાંસી રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર નીચેની રીતે નક્કી કરીશું: ચાલો $l_1$ અને ⟦242