સંભાવનાનો સિદ્ધાંત એ ફક્ત તર્કનું પરિમાણાત્મક રીતે વર્ણન કરતું વિજ્ઞાન છે - C.S. PEIRCE

13.1 પ્રસ્તાવના

પિયર દ ફર્માટ $(1601-1665)$

પહેલાના વર્ગોમાં, આપણે સંભાવનાનો અભ્યાસ રેન્ડમ પ્રયોગમાં ઘટનાઓની અનિશ્ચિતતાના માપ તરીકે કર્યો છે. આપણે રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી, A.N. કોલ્મોગોરોવ (1903-1987) દ્વારા રચિત સ્વસિદ્ધ પદ્ધતિની ચર્ચા કરી અને સંભાવનાને પ્રયોગના પરિણામોના ફંક્શન તરીકે લીધી. સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામોના કિસ્સામાં, આપણે સ્વસિદ્ધ સિદ્ધાંત અને શાસ્ત્રીય સંભાવના સિદ્ધાંત વચ્ચે સમાનતા પણ સ્થાપિત કરી છે. આ સંબંધના આધારે, આપણે અસતત નમૂના અવકાશ સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓની સંભાવનાઓ મેળવી છે. આપણે સંભાવનાનો સરવાળો નિયમ પણ અભ્યાસ કર્યો છે. આ પ્રકરણમાં, આપણે એક ઘટનાની શરતી સંભાવનાની મહત્વપૂર્ણ સંકલ્પનાની ચર્ચા કરીશું, જ્યારે બીજી ઘટના થઈ ચૂકી હોય, જે બેયઝના પ્રમેય, સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ અને ઘટનાઓની સ્વતંત્રતાને સમજવામાં મદદરૂપ થશે. આપણે રેન્ડમ ચલ અને તેના સંભાવના વિતરણની મહત્વપૂર્ણ સંકલ્પના અને સંભાવના વિતરણનો મધ્યમાન અને વિચરણ પણ શીખીશું. પ્રકરણના છેલ્લા વિભાગમાં, આપણે દ્વિપદી વિતરણ નામના એક મહત્વપૂર્ણ અસતત સંભાવના વિતરણનો અભ્યાસ કરીશું. આખા પ્રકરણ દરમિયાન, જ્યાં સુધી અન્યથા ન કહેવામાં આવે, ત્યાં સુધી આપણે સમાન સંભાવના ધરાવતા પરિણામોવાળા પ્રયોગો લઈશું.

13.2 શરતી સંભાવના

સંભાવનામાં અત્યાર સુધી, આપણે ઘટનાઓની સંભાવના શોધવાની પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરી છે. જો આપણી પાસે સમાન નમૂના અવકાશમાંથી બે ઘટનાઓ હોય, તો શું એક ઘટના થવાની માહિતી બીજી ઘટનાની સંભાવનાને અસર કરે છે? ચાલો આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો પ્રયાસ કરીએ, એક રેન્ડમ પ્રયોગ લઈને જેમાં પરિણામો સમાન સંભાવના સાથે થવાની સંભાવના હોય.

ત્રણ નિષ્પક્ષ સિક્કાઓને ટૉસ કરવાના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ છે

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

સિક્કા નિષ્પક્ષ હોવાથી, આપણે દરેક નમૂના બિંદુને સંભાવના $\frac{1}{8}$ સોંપી શકીએ. ચાલો $E$ એ ઘટના ‘ઓછામાં ઓછા બે હેડ આવે’ અને $F$ એ ઘટના ‘પહેલો સિક્કો ટેલ બતાવે’ હોય. તો

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

અથવા $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

તેથી $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

અથવા $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ સાથે

તેથી $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

હવે, ધારો કે આપણને આપવામાં આવે છે કે પહેલો સિક્કો ટેલ બતાવે છે, એટલે કે F થાય છે, તો $E$ થવાની સંભાવના શું છે? $F$ થવાની માહિતી સાથે, $E$ ની સંભાવના શોધતી વખતે, જે કિસ્સાઓમાં પહેલો સિક્કો ટેલમાં પરિણમતો નથી તેને ધ્યાનમાં લેવા જોઈએ નહીં, તેની આપણને ખાતરી છે. આ માહિતી આપણા નમૂના અવકાશને સમૂહ $S$ માંથી તેના ઉપસમૂહ $E$ માટે $F$ સુધી ઘટાડે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધારાની માહિતી વાસ્તવમાં આપણને કહે છે કે પરિસ્થિતિને એક નવા રેન્ડમ પ્રયોગની ગણી શકાય, જેના નમૂના અવકાશમાં ફક્ત તે જ તમામ પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે જે ઘટના $F$ ના થવા માટે અનુકૂળ છે.

હવે, $F$ નું નમૂના બિંદુ જે ઘટના $E$ માટે અનુકૂળ છે તે THH છે.

આમ, $E$ ની સંભાવના, $F$ ને નમૂના અવકાશ $=\frac{1}{4}$ તરીકે ધ્યાનમાં લેતા,

અથવા $\quad$ $E$ ની સંભાવના, જો કે ઘટના $F$ થઈ ચૂકી હોય $=\frac{1}{4}$

આ ઘટના $E$ ની સંભાવનાને $E$ ની શરતી સંભાવના કહેવામાં આવે છે, જો કે $F$ પહેલેથી જ થઈ ચૂકી હોય, અને તેને $P(E \mid F)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

નોંધ કરો કે $F$ ના તત્વો જે ઘટના $E$ ને અનુકૂળ છે, તે $E$ અને $F$ ના સામાન્ય તત્વો છે, એટલે કે $E \cap F$ ના નમૂના બિંદુઓ.

આમ, આપણે $E$ ની શરતી સંભાવના, જો કે $F$ થઈ ચૂકી હોય, તે આ રીતે પણ લખી શકીએ છીએ

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

અંશ અને છેદને નમૂના અવકાશના કુલ પ્રાથમિક ઘટનાઓ વડે ભાગતા, આપણે જોઈએ છીએ કે $P(EIF)$ ને આ રીતે પણ લખી શકાય છે

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

નોંધ કે (1) ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે $P(F) \neq 0$ એટલે કે, $F \neq \phi$ (કેમ?) આમ, આપણે શરતી સંભાવનાને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 1 જો $E$ અને $F$ એક જ રેન્ડમ પ્રયોગના સમાન નમૂના અવકાશ સાથે સંકળાયેલી બે ઘટનાઓ હોય, તો ઘટના $E$ ની શરતી સંભાવના, જો કે $F$ થઈ ચૂકી હોય, એટલે કે $P(E \mid F)$ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 શરતી સંભાવનાના ગુણધર્મો

ચાલો $E$ અને $F$ એક પ્રયોગના નમૂના અવકાશ $S$ ની ઘટનાઓ હોય, તો આપણી પાસે છે

ગુણધર્મ $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

આપણે જાણીએ છીએ કે $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

આમ $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

અથવા $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ગુણધર્મ 2 જો $A$ અને $B$ એ નમૂના અવકાશ $S$ ની કોઈપણ બે ઘટનાઓ હોય અને $F$ એ $S$ ની એક ઘટના હોય જેમ કે $P(F) \neq 0$, તો

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

ખાસ કરીને, જો $A$ અને $B$ અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો

આપણી પાસે છે $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

આપણે જાણીએ છીએ $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(સમૂહોના સંયોજનનો છેદન પર વિતરણ નિયમ દ્વારા)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

જ્યારે $A$ અને $B$ અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

જ્યારે $\mathrm{A}$ અને $\mathrm{B}$ અસંગત ઘટનાઓ હોય, તો $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ગુણધર્મ $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ગુણધર્મ 1 માંથી, આપણે જાણીએ છીએ કે $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ચાલો હવે કેટલાક ઉદાહરણો લઈએ.

ઉદાહરણ 1 જો $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ અને $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, તો $P(A \mid B)$ નું મૂલ્યાંકન કરો.

ઉકેલ આપણી પાસે $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ઉદાહરણ 2 એક પરિવારમાં બે બાળકો છે. ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો હોય તે આપેલ હોય, તો બંને બાળકો છોકરા હોય તેની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ ચાલો $b$ એ છોકરા માટે અને $g$ એ છોકરી માટે ઊભા રહે. પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ છે

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

ચાલો $E$ અને $F$ નીચેની ઘટનાઓ દર્શાવે:

E : ‘બંને બાળકો છોકરા છે’

$F$ : ‘ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે’

તો $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

હવે $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

આમ $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

તેથી $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ઉદાહરણ 3 1 થી 10 સુધી નંબરવાળા દસ કાર્ડ એક બોક્સમાં મૂકવામાં આવે છે, સારી રીતે ભેળવવામાં આવે છે અને પછી એક કાર્ડ રેન્ડમ રીતે દોરવામાં આવે છે. જો તે જાણીતું હોય કે દોરેલા કાર્ડ પરનો નંબર 3 કરતા વધારે છે, તો તે એક સમ સંખ્યા હોય તેની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ ચાલો A એ ઘટના ‘દોરેલા કાર્ડ પરનો નંબર સમ છે’ અને B એ ઘટના ‘દોરેલા કાર્ડ પરનો નંબર 3 કરતા વધારે છે’ હોય. આપણે $P(AlB)$ શોધવાનું છે.

હવે, પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ છે $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

તો $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

અને $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

એટલું જ $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ઉદાહરણ 4 એક શાળામાં 1000 વિદ્યાર્થીઓ છે, જેમાંથી 430 છોકરીઓ છે. તે જાણીતું છે કે $430,10 \%$ છોકરીઓ બારમા ધોરણમાં અભ્યાસ કરે છે. રેન્ડમ રીતે પસંદ કરેલો વિદ્યાર્થી બારમા ધોરણમાં અભ્યાસ કરે છે તે આપેલ હોય કે પસંદ કરેલો વિદ્યાર્થી છોકરી છે, તો તેની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ ચાલો E એ ઘટના દર્શાવે કે રેન્ડમ રીતે પસંદ કરેલો વિદ્યાર્થી બારમા ધોરણમાં અભ્યાસ કરે છે અને $F$ એ ઘટના હોય કે રેન્ડમ રીતે પસંદ કરેલો વિદ્યાર્થી છોકરી છે. આપણે $P(EIF)$ શોધવાનું છે.

હવે $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ અને $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (કેમ?)

તો $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ઉદાહરણ 5 એક પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે છે. ઘટનાઓ A અને B નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે:

A : ત્રીજી ફેંક પર 4

B : પહેલી ફેંક પર 6 અને બીજી ફેંક પર 5

A ની સંભાવના શોધો, જો કે B પહેલેથી જ થઈ ચૂકી હોય.

ઉકેલ નમૂના અવકાશમાં 216 પરિણામો છે.

હવે

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

અને $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

હવે $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

તો $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ઉદાહરણ 6 એક પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે છે અને દેખાતા સંખ્યાઓનો સરવાળો 6 જોવામાં આવે છે. શરતી સંભાવના શું છે કે નંબર 4 ઓછામાં ઓછી એક વાર દેખાયો હોય?

ઉકેલ ચાલો $E$ એ ઘટના હોય કે ‘નંબર 4 ઓછામાં ઓછી એક વાર દેખાય છે’ અને $F$ એ ઘટના હોય કે ‘દેખાતી સંખ્યાઓનો સરવાળો 6 છે’.

તો, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

અને આપણી પાસે છે $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

એટલું જ $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

તેથી $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

આથી, જરૂરી સંભાવના $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ઉપર ચર્ચા કરેલ શરતી સંભાવના માટે, આપણે પ્રયોગની પ્રાથમિક ઘટનાઓને સમાન સંભાવના ધરાવતી ગણી છે અને ઘટનાની સંભાવનાની અનુરૂપ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કર્યો છે. જો કે, સમાન વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ સામાન્ય કિસ્સામાં પણ કરી શકાય છે જ્યાં નમૂના અવકાશની પ્રાથમિક ઘટનાઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી, સંભાવનાઓ $P(E \cap F)$ અને $P(F)$ તે મુજબ ગણવામાં આવે છે. ચાલો નીચેનું ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 7 એક સિક્કાને ટૉસ કરવાના પ્રયોગને ધ્યાનમાં લો. જો સિક્કો હેડ બતાવે, તો તેને ફરીથી ટૉસ કરો પરંતુ જો તે ટેલ બતાવે, તો પાસો ફેંકો. ઘટનાની શરતી સંભાવના શોધો કે ‘પાસો 4 કરતા વધારે નંબર બતાવે’ જો કે ‘ઓછામાં ઓછી એક ટેલ છે’.

ઉકેલ પ્રયોગના પરિણામો નીચેની ચિત્રાત્મક રીતે રજૂ કરી શકાય છે જેને ‘વૃક્ષ આકૃતિ’ કહેવામાં આવે છે.

પ્રયોગનો નમૂના અવકાશ નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય છે

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

જ્યાં $(H, H)$ દર્શાવે છે કે બંને ટૉસ હેડમાં પરિણમે છે અને $(T, i)$ દર્શાવે છે કે પહેલી ટૉસ ટેલમાં પરિણમે છે અને નંબર $i$ પાસા પર $i=1,2,3,4,5,6$ માટે દેખાય છે. આમ, 8 પ્રાથમિક ઘટનાઓને સોંપેલી સંભાવનાઓ

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ અનુક્રમે $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ છે

જે ફિગ 13.2 માં સ્પષ્ટ છે.

ચાલો $F$ એ ઘટના હોય કે ‘ઓછામાં ઓછી એક ટેલ છે’ અને $E$ એ ઘટના હોય ‘પાસો 4 કરતા વધારે નંબર બતાવે છે’.

તો $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

હવે $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

અને $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

આથી $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 સંભાવના પર ગુણાકાર પ્રમેય

ચાલો $E$ અને $F$ નમૂના અવકાશ $S$ સાથે સંકળાયેલી બે ઘટનાઓ હોય. સ્પષ્ટ છે કે સમૂહ $E \cap F$ એ ઘટનાને દર્શાવે છે કે બંને $E$ અને $F$ થઈ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, $E \cap F$ એ ઘટનાઓ $E$ અને $F$ ની એકસાથે થવાની ઘટનાને દર્શાવે છે. ઘટના $E \cap F$ ને $EF$ તરીકે પણ લખવામાં આવે છે.

ઘણી વાર આપણે ઘટના EF ની સંભાવના શોધવાની જરૂર પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે કાર્ડ એક પછી એક દોરવાના પ્રયોગમાં, આપણે ‘રાજા અને રાણી’ ઘટનાની સંભાવના શોધવામાં રસ લઈ શકીએ છીએ. ઘટના EF ની સંભાવના શરતી સંભાવનાનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે જે નીચે મુજબ છે:

આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $E$ ની શરતી સંભાવના, જો કે $F$ થઈ ચૂકી હોય, તેને $P(E \mid F)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે અને તે આપવામાં આવે છે

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

આ પરિણામમાંથી, આપણે લખી શકીએ છીએ

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

એટલું જ, આપણે જાણીએ છીએ કે

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

આમ, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) અને (2) ને જોડીને, આપણે શોધીએ છીએ કે

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

ઉપરનું પરિણામ સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ તરીકે ઓળખાય છે.

ચાલો હવે એક ઉદાહરણ લઈએ.

ઉદાહરણ 8 એક કળશમાં 10 કાળા અને 5 સફેદ દડા છે. બે દડા કળશમાંથી એક પછી એક બદલી ના લીધા વગર દોરવામાં આવે છે. બંને દોરેલા દડા કાળા હોય તેની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ ચાલો $E$ અને $F$ અનુક્રમે ઘટનાઓ દર્શાવે કે પહેલો અને બીજો દોરેલો દડો કાળો છે. આપણે $P(E \cap F)$ અથવા $P(EF)$ શોધવાનું છે.

હવે $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

એટલું જ આપેલ છે કે પહેલો દોરેલો દડો કાળો છે, એટલે કે, ઘટના $E$ થઈ ચૂકી છે, હવે કળશમાં 9 કાળા દડા અને પાંચ સફેદ દડા બાકી છે. તેથી, બીજો દોરેલો દડો કાળો હોય તેની સંભાવના, જો કે પહેલા દોરામાં દડો કાળો હોય, તે $F$ ની શરતી સંભાવના સિવાય બીજું કંઈ નથી, જો કે $E$ થઈ ચૂકી હોય.

એટલે કે $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ દ્વારા, આપણી પાસે છે

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

બે કરતા વધુ ઘટનાઓ માટે સંભાવનાનો ગુણાકાર નિયમ જો $E, F$ અને $G$ નમૂના અવકાશની ત્રણ ઘટનાઓ હોય, તો આપણી પાસે છે

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

એ જ રીતે, સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમને ચાર અથવા વધુ ઘટનાઓ માટે વિસ્તારી શકાય છે.

નીચેનું ઉદાહરણ ત્રણ ઘટનાઓ માટે સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમના વિસ્તરણને સમજાવે છે.

ઉદાહરણ 9 ત્રણ કાર્ડ સતત, બદલી ના લીધા વગર, 52 સારી રીતે ફેરવેલા કાર્ડના પેકમાંથી દોરવામાં આવે છે. પ્રથમ બે કાર્ડ રાજા હોય અને ત્રીજું દોરેલું કાર્ડ એક્કો હોય તેની સંભાવના શું છે?

ઉકેલ ચાલો $K$ એ ઘટના દર્શાવે કે દોરેલું કાર્ડ રાજા છે અને $A$ એ ઘટના હોય કે દોરેલું કાર્ડ એક્કો છે. સ્પષ્ટ છે, આપણે P (KKA) શોધવાનું છે

હવે $$ P(K)=\frac{4}{52} $$

એટલું જ, $P(K \mid K)$ એ બીજા રાજાની સંભાવના છે, આ શરત સાથે કે એક રાજો પહેલેથી દોરાઈ ચૂક્યો છે. હવે $(52-1)=51$ કાર્ડમાં ત્રણ રાજા છે.

તેથી $$ P(K \mid K)=\frac{3}{51} $$

છેલ્લે, $P(A \mid KK)$ એ ત્રીજા દોરેલા કાર્ડના એક્કો હોવાની સંભાવના છે, આ શરત સાથે કે બે રાજા પહેલેથી દોરાઈ ચૂક્યા છે. હવે બાકીના 50 કાર્ડમાં ચાર એક્કા છે.

તેથી $$ P(A \mid KK)=\frac{4}{50} $$

સંભાવનાના ગુણાકારના નિયમ દ્વારા, આપણી પાસે છે

$$ \begin{aligned} P(KKA) & =P(K) \quad P(K \mid K) \quad P(A \mid KK) \\ & =\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525} \end{aligned} $$

13.4 સ્વતંત્ર ઘટનાઓ

52 રમત કાર