વિશ્વમાં કદરૂપા ગણિત માટે કોઈ કાયમી સ્થાન નથી … . ગાણિતિક સૌંદર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવું ખૂબ જ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે પરંતુ તે કોઈ પણ પ્રકારના સૌંદર્ય માટે સાચું છે, આપણે સુંદર કવિતા દ્વારા શું અર્થ થાય છે તે જાણતા નથી, પરંતુ તે આપણને એક ઓળખવાથી રોકતું નથી જ્યારે આપણે તે વાંચીએ છીએ. - જી. એચ. હાર્ડી

1.1 પ્રસ્તાવના

યાદ કરો કે સંબંધો અને વિધેયોની વિભાવના, પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તારનો પરિચય ધોરણ XI માં વિવિધ પ્રકારના ચોક્કસ વાસ્તવિક મૂલ્યવાળા વિધેયો અને તેમના આલેખ સાથે કરવામાં આવ્યો હતો. ગણિતમાં ‘સંબંધ’ શબ્દની વિભાવના અંગ્રેજી ભાષામાં સંબંધના અર્થમાંથી લેવામાં આવી છે, જે મુજબ બે પદાર્થો અથવા જથ્થાઓ સંબંધિત છે જો તે બે પદાર્થો અથવા જથ્થાઓ વચ્ચે ઓળખી શકાય તેવું જોડાણ અથવા કડી હોય. ધારો કે A એક શાળાના ધોરણ XII ના વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે અને B એ જ શાળાના ધોરણ XI ના વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. તો $A$ થી $B$ સુધીના સંબંધોના કેટલાક ઉદાહરણો છે

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

લેજ્યુન ડિરિચલેટ (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a દ્વારા અંતિમ પરીક્ષામાં મેળવેલ કુલ ગુણ b દ્વારા અંતિમ પરીક્ષામાં મેળવેલ કુલ ગુણ કરતાં ઓછા છે $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ એ $b\}$ જેવી જ વસાહતમાં રહે છે. જો કે, આમાંથી અમૂર્ત કરીને, આપણે ગાણિતિક રીતે $A$ થી $B$ સુધીનો સંબંધ $R$ ને $A \times B$ ના મનસ્વી ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

જો $(a, b) \in R$, તો આપણે કહીએ છીએ કે $a$ એ $b$ સાથે સંબંધ $R$ હેઠળ સંબંધિત છે અને આપણે $a R b$ તરીકે લખીએ છીએ. સામાન્ય રીતે, $(a, b) \in R$, આપણે $a$ અને $b$ વચ્ચે ઓળખી શકાય તેવું જોડાણ અથવા કડી છે કે નહીં તેની ચિંતા કરતા નથી. ધોરણ XI માં જોયા મુજબ, વિધેયો એ ખાસ પ્રકારના સંબંધો છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે વિવિધ પ્રકારના સંબંધો અને વિધેયો, વિધેયોની સંયોજના, વ્યુત્ક્રમણીય વિધેયો અને દ્વિપદી ક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરીશું.

1.2 સંબંધોના પ્રકારો

આ વિભાગમાં, આપણે વિવિધ પ્રકારના સંબંધોનો અભ્યાસ કરવા માંગીએ છીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે ગણ $A$ માં સંબંધ એ $A \times A$ નો ઉપગણ છે. આમ, ખાલી ગણ $\phi$ અને $A \times A$ એ બે અત્યંત સંબંધો છે. ઉદાહરણ માટે, ગણ $A=\{1,2,3,4\}$ માં સંબંધ $R$ ને ધારો કે $R=\{(a, b): a-b=10\}$. આ ખાલી ગણ છે, કારણ કે કોઈ પણ જોડ $(a, b)$ શરત $a-b=10$ ને સંતોષતી નથી. તે જ રીતે, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ એ સમગ્ર ગણ $A \times A$ છે, કારણ કે A $\times$ A માંની બધી જોડીઓ $(a, b)$ એ $|a-b| \geq 0$ ને સંતોષે છે. આ બે અત્યંત ઉદાહરણો આપણને નીચેની વ્યાખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે.

વ્યાખ્યા 1 ગણ $A$ માં સંબંધ $R$ ને ખાલી સંબંધ કહેવામાં આવે છે, જો $A$ નો કોઈ પણ ઘટક $A$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત ન હોય, એટલે કે, $R=\phi \subset A \times A$.

વ્યાખ્યા 2 ગણ $A$ માં સંબંધ $R$ ને સાર્વત્રિક સંબંધ કહેવામાં આવે છે, જો $A$ નો દરેક ઘટક $A$ ના દરેક ઘટક સાથે સંબંધિત હોય, એટલે કે, $R=A \times A$.

ખાલી સંબંધ અને સાર્વત્રિક સંબંધ બંનેને કેટલીકવાર તુચ્છ સંબંધો કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 1 ધારો કે $A$ એ એક છોકરાઓની શાળાના બધા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ છે. બતાવો કે $A$ માં સંબંધ $R$ એ $R=\{(a, b): a$ એ $b\}$ ની બહેન છે દ્વારા આપવામાં આવેલ ખાલી સંબંધ છે અને $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ અને $b$ ની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત 3 મીટરથી ઓછો છે $\}$ એ સાર્વત્રિક સંબંધ છે.

ઉકેલ શાળા છોકરાઓની શાળા હોવાથી, શાળાનો કોઈ પણ વિદ્યાર્થી શાળાના કોઈ પણ વિદ્યાર્થીની બહેન હોઈ શકે નહીં. તેથી, $R=\phi$, જે દર્શાવે છે કે $R$ એ ખાલી સંબંધ છે. તે પણ સ્પષ્ટ છે કે શાળાના કોઈ પણ બે વિદ્યાર્થીઓની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત 3 મીટરથી ઓછો હોવો જોઈએ. આ દર્શાવે છે કે $R^{\prime}=A \times A$ એ સાર્વત્રિક સંબંધ છે.

ટિપ્પણી ધોરણ XI માં, આપણે સંબંધને રજૂ કરવાની બે રીતો જોઈ છે, એટલે કે રાસ્ટર પદ્ધતિ અને ગણ નિર્માણક પદ્ધતિ. જો કે, ગણ $\{1,2,3,4\}$ માં સંબંધ $R$ ને $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તેને ઘણા લેખકો દ્વારા $a R b$ જો અને માત્ર જો $b=a+1$ તરીકે પણ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આપણે આ સંકેતનો ઉપયોગ પણ કરી શકીએ છીએ, જ્યારે અનુકૂળ હોય ત્યારે.

જો $(a, b) \in R$, તો આપણે કહીએ છીએ કે $a$ એ $b$ સાથે સંબંધિત છે અને આપણે તેને $a R b$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.

સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંબંધોમાંનો એક, જે ગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે, તે સમતુલ્યતા સંબંધ છે. સમતુલ્યતા સંબંધનો અભ્યાસ કરવા માટે, આપણે પહેલા ત્રણ પ્રકારના સંબંધો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, એટલે કે પરાવર્તક, સંમિત અને સંક્રામક.

વ્યાખ્યા 3 ગણ $A$ માં સંબંધ $R$ ને કહેવામાં આવે છે

(i) પરાવર્તક, જો $(a, a) \in R$, દરેક $a \in A$ માટે,

(ii) સંમિત, જો $(a_{1}, a_{2}) \in R$ એ સૂચવે કે $(a_{2}, a_{1}) \in R$, બધા $a_{1}, a_{2} \in A$ માટે.

(iii) સંક્રામક, જો $(a_{1}, a_{2}) \in R$ અને $(a_{2}, a_{3}) \in R$ એ સૂચવે કે $(a_{1}, a_{3}) \in R$, બધા $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ માટે.

વ્યાખ્યા 4 ગણ $A$ માં સંબંધ $R$ ને સમતુલ્યતા સંબંધ કહેવામાં આવે છે જો $R$ પરાવર્તક, સંમિત અને સંક્રામક હોય.

ઉદાહરણ 2 ધારો કે $T$ એ સમતલમાં તમામ ત્રિકોણોનો ગણ છે જેમાં $T$ માં સંબંધ $R$ એ $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ એ $.T_{2}\}$ સાથે સર્વાગસમ છે દ્વારા આપવામાં આવે છે. બતાવો કે $R$ એ સમતુલ્યતા સંબંધ છે.

ઉકેલ $R$ પરાવર્તક છે, કારણ કે દરેક ત્રિકોણ પોતાની સાથે સર્વાગસમ છે. વધુમાં, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ એ $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ સાથે સર્વાગસમ છે એ $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ સાથે સર્વાગસમ છે. તેથી, $R$ સંમિત છે. તદુપરાંત, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ એ $T_{2}$ સાથે સર્વાગસમ છે અને $T_{2}$ એ $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ સાથે સર્વાગસમ છે એ $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ સાથે સર્વાગસમ છે. તેથી, $R$ એ સમતુલ્યતા સંબંધ છે.

ઉદાહરણ 3 $ Let L$ એ સમતલમાં તમામ રેખાઓનો ગણ છે અને $R$ એ $L$ માં સંબંધ છે જેને $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ એ $.L_{2}\}$ પર લંબ છે તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બતાવો કે $R$ સંમિત છે પરંતુ ન તો પરાવર્તક છે અને ન તો સંક્રામક છે.

ઉકેલ $R$ પરાવર્તક નથી, કારણ કે રેખા $L_{1}$ પોતાની પર લંબ હોઈ શકે નહીં, એટલે કે, $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$. R સંમિત છે કારણ કે $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ સંક્રામક નથી. ખરેખર, જો $L_{1}$ એ $L_{2}$ પર લંબ છે અને $L_{2}$ એ $L_{3}$ પર લંબ છે, તો $L_{1}$ ક્યારેય $L_{3}$ પર લંબ હોઈ શકે નહીં. હકીકતમાં, $L_{1}$ એ $L_{3}$ ને સમાંતર છે, એટલે કે, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ પરંતુ $(L_{1}, L_{3}) \notin R$.

આકૃતિ 1.1

ઉદાહરણ 4 બતાવો કે ગણ $\{1,2,3\}$ માં સંબંધ $R$ એ R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે પરાવર્તક છે પરંતુ ન તો સંમિત છે અને ન તો સંક્રામક છે.

ઉકેલ $R$ પરાવર્તક છે, કારણ કે $(1,1),(2,2)$ અને $(3,3)$ એ $R$ માં આવેલા છે. તદુપરાંત, $R$ સંમિત નથી, કારણ કે $(1,2) \in R$ પરંતુ $(2,1) \notin R$. તે જ રીતે, $R$ સંક્રામક નથી, કારણ કે $(1,2) \in R$ અને $(2,3) \in R$ પરંતુ $(1,3) \notin R$.

ઉદાહરણ 5 બતાવો કે પૂર્ણાંકોના ગણ $\mathbf{Z}$ માં સંબંધ $R$ એ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે સમતુલ્યતા સંબંધ છે.

ઉકેલ $R$ પરાવર્તક છે, કારણ કે 2 એ $(a-a)$ ને વિભાજિત કરે છે બધા $a \in \mathbf{Z}$ માટે. વધુમાં, જો $(a, b) \in R$, તો 2 એ $a-b$ ને વિભાજિત કરે છે. તેથી, 2 એ $b-a$ ને વિભાજિત કરે છે. તેથી, $(b, a) \in R$, જે દર્શાવે છે કે $R$ સંમિત છે. તે જ રીતે, જો $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R$, તો $a-b$ અને $b-c$ એ 2 વડે વિભાજ્ય છે. હવે, $a-c=(a-b)+(b-c)$ એ સમ (કેમ?) છે. તેથી, $(a-c)$ એ 2 વડે વિભાજ્ય છે. આ દર્શાવે છે કે $R$ સંક્રામક છે. આમ, $R$ એ $\mathbf{Z}$ માં સમતુલ્યતા સંબંધ છે.

ઉદાહરણ 5 માં, નોંધો કે બધા સમ પૂર્ણાંકો શૂન્ય સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ વગેરે, $R$ માં આવેલા છે અને કોઈ વિષમ પૂર્ણાંક 0 સાથે સંબંધિત નથી, કારણ કે $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ વગેરે, $R$ માં આવેલા નથી. તે જ રીતે, બધા વિષમ પૂર્ણાંકો એક સાથે સંબંધિત છે અને કોઈ સમ પૂર્ણાંક એક સાથે સંબંધિત નથી. તેથી, બધા સમ પૂર્ણાંકોનો ગણ $E$ અને બધા વિષમ પૂર્ણાંકોનો ગણ $O$ એ $\mathbf{Z}$ ના ઉપગણો છે જે નીચેની શરતોને સંતોષે છે:

(i) $E$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને $O$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે.

(ii) $E$ નો કોઈ ઘટક $O$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી અને ઊલટું.

(iii) $E$ અને $O$ અસંગત છે અને $\mathbf{Z}=E \cup O$.

ઉપગણ $E$ ને શૂન્ય ધરાવતો સમતુલ્યતા વર્ગ કહેવામાં આવે છે અને તેને [0] દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તે જ રીતે, $O$ એ 1 ધરાવતો સમતુલ્યતા વર્ગ છે અને તેને [1] દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. નોંધો કે $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ અને $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$. હકીકતમાં, આપણે ઉપર જોયું છે તે ગણ $X$ માં મનસ્વી સમતુલ્યતા સંબંધ $R$ માટે સાચું છે. મનસ્વી ગણ $X, R$ માં મનસ્વી સમતુલ્યતા સંબંધ $R$ એ $X$ ને પરસ્પર અસંગત ઉપગણો $A_{i}$ માં વિભાજિત કરે છે જેને $X$ ના વિભાજનો અથવા ઉપવિભાજનો કહેવામાં આવે છે જે નીચેનાને સંતોષે છે:

(i) $A_{i}$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, બધા $i$ માટે.

(ii) $A_{i}$ નો કોઈ ઘટક $A_{j}, i \neq j$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

(iii) $\cup A_{j}=X$ અને $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$.

ઉપગણો $A_{i}$ ને સમતુલ્યતા વર્ગો કહેવામાં આવે છે. પરિસ્થિતિનો રસપ્રદ ભાગ એ છે કે આપણે ઊલટું પણ જઈ શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ગણ $\mathbf{Z}$ ના ત્રણ પરસ્પર અસંગત ઉપગણો $A_{1}, A_{2}$ અને $A_{3}$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિભાજનને ધ્યાનમાં લો જેનું જોડાણ $\mathbf{Z}$ છે સાથે

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

સંબંધ $R$ ને $\mathbf{Z}$ માં વ્યાખ્યાયિત કરો જેને $R=\{(a, b): 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $a-b\}$ ને વિભાજિત કરે છે. ઉદાહરણ 5 માં ઉપયોગમાં લેવાયેલા દલીલો જેવા જ દલીલોને અનુસરીને, આપણે બતાવી શકીએ છીએ કે $R$ એ સમતુલ્યતા સંબંધ છે. તદુપરાંત, $A_{1}$ એ $\mathbf{Z}$ માંના બધા પૂર્ણાંકોના ગણ સાથે એકરુપ છે જે શૂન્ય સાથે સંબંધિત છે, $A_{2}$ એ બધા પૂર્ણાંકોના ગણ સાથે એકરુપ છે જે 1 સાથે સંબંધિત છે અને $A_{3}$ એ $\mathbf{Z}$ માંના બધા પૂર્ણાંકોના ગણ સાથે એકરુપ છે જે 2 સાથે સંબંધિત છે. આમ, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ અને $A_{3}=[2]$. હકીકતમાં, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ અને $A_{3}=[3 r+2]$, બધા $r \in \mathbf{Z}$ માટે.

ઉદાહરણ 6 ધારો કે $R$ એ ગણ $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ માં વ્યાખ્યાયિત સંબંધ છે જેને R=$\{(a, b) :$ દ્વારા આપવામાં આવે છે બંને a અને b એ ક્યાં તો વિષમ છે અથવા સમ છે $\}$. બતાવો કે $R$ એ સમતુલ્યતા સંબંધ છે. વધુમાં, બતાવો કે ઉપગણ $\{1,3,5,7\}$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને ઉપગણ $\{2,4,6\}$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ ઉપગણ $\{1,3,5,7\}$ નો કોઈ ઘટક ઉપગણ $\{2,4,6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત નથી.

ઉકેલ A માં કોઈ પણ ઘટક $a$ આપેલ છે, બંને $a$ અને $a$ એ ક્યાં તો વિષમ અથવા સમ હોવા જોઈએ, જેથી $(a, a) \in R$. વધુમાં, $(a, b) \in R \Rightarrow$ બંને $a$ અને $b$ એ ક્યાં તો વિષમ અથવા સમ હોવા જોઈએ $\Rightarrow(b, a) \in R$. તે જ રીતે, $(a, b) \in R$ અને $(b, c) \in R \Rightarrow$ બધા ઘટકો $a, b, c$, એકસાથે ક્યાં તો સમ અથવા વિષમ હોવા જોઈએ $\Rightarrow(a, c) \in R$. તેથી, $R$ એ સમતુલ્યતા સંબંધ છે. વધુમાં, $\{1,3,5,7\}$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે આ ઉપગણના બધા ઘટકો વિષમ છે. તે જ રીતે, ઉપગણ $\{2,4,6\}$ ના બધા ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, કારણ કે તે બધા સમ છે. તદુપરાંત, ઉપગણ $\{1,3,5,7\}$ નો કોઈ ઘટક $\{2,4,6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધિત હોઈ શકે નહીં, કારણ કે $\{1,3,5,7\}$ ના ઘટકો વિષમ છે, જ્યારે $\{2,4,6\}$ ના ઘટકો સમ છે.

1.3 વિધેયોના પ્રકારો

વિધેયની વિભાવના સાથે કેટલાક ખાસ વિધેયો જેમ કે ઓળખ વિધેય, અચળ વિધેય, બહુપદી વિધેય, પરિમેય વિધેય, મૉડ્યુલસ વિધેય, સિગ્નમ વિધેય વગેરે તેમના આલેખ સાથે ધોરણ XI માં આપવામાં આવ્યા છે.

બે વિધેયોનો સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. કારણ કે વિધેયની વિભાવના ગણિતમાં અને અન્ય શાખાઓમાં પણ અત્યંત મહત્વની છે, આપણે જ્યાંથી અગાઉ સમાપ્ત કર્યું હતું ત્યાંથી વિધેય વિશેના અભ્યાસને વિસ્તૃત કરવા માંગીએ છીએ. આ વિભાગમાં, આપણે વિવિધ પ્રકારના વિધેયોનો અભ્યાસ કરવા માંગીએ છીએ.

વિધેયો $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ અને $f_{4}$ ને નીચેના આકૃતિઓ દ્વારા આપેલા ધ્યાનમાં લો.

આકૃતિ 1.2 માં, આપણે જોઈએ છીએ કે $X_{1}$ ના અલગ અલગ ઘટકોની છબીઓ વિધેય $f_{1}$ હેઠળ અલગ અલગ છે, પરંતુ $X_{1}$ ના બે અલગ અલગ ઘટકો 1 અને 2 ની છબી $f_{2}$ હેઠળ સમાન છે, એટલે કે $b$. વધુમાં, $X_{2}$ માં કેટલાક ઘટકો જેવા કે $e$ અને $f$ છે જે $X_{1}$ ના કોઈ પણ ઘટકની છબીઓ નથી $f_{1}$ હેઠળ, જ્યારે $X_{3}$ ના બધા ઘટકો $X_{1}$ ના કેટલાક ઘટકોની છબીઓ છે $f_{3}$ હેઠળ. ઉપરોક્ત અવલોકનો નીચેની વ્યાખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે:

વ્યાખ્યા 5 $ A$ વિધેય $f: X \rightarrow Y$ ને એક-એક (અથવા એકેશી) વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જો $X$ ના અલગ અલગ ઘટકોની છબીઓ $f$ હેઠળ અલગ અલગ હોય, એટલે કે, દરેક $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ માટે એ સૂચવે છે કે $x_{1}=x_{2}$. નહિંતર, $f$ ને અનેક-એક કહેવામાં આવે છે.

વિધેય $f_{1}$ અને $f_{4}$ આકૃતિ 1.2 (i) અને (iv) માં એક-એક છે અને વિધેય $f_{2}$ અને $f_{3}$ આકૃતિ 1.2 (ii) અને (iii) માં અનેક-એક છે.

વ્યાખ્યા 6 વિધેય $f: X \rightarrow Y$ ને પ્રતિ (અથવા વ્યાપ્ત) કહેવામાં આવે છે, જો $Y$ નો દરેક ઘટક $X$ ના કેટલાક ઘટકની છબી હોય $f$ હેઠળ, એ