ગણિત, સામાન્ય રીતે, મૂળભૂત રીતે આકૃતિઓ અને સંબંધોનું વિજ્ઞાન છે. — ફેલિક્સ ક્લાઇન

2.1 પ્રસ્તાવના

પ્રકરણ 1 માં, આપણે અભ્યાસ કર્યો છે કે કોઈ વિધેય $f$ નો પ્રતિલોમ, જેને $f^{-1}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, અસ્તિત્વમાં હોય છે જો $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોય. ઘણા વિધેયો એવા છે જે એક-એક, વ્યાપ્ત અથવા બંને નથી અને તેથી આપણે તેમના પ્રતિલોમ વિશે વાત કરી શકતા નથી. કક્ષા XI માં, આપણે અભ્યાસ કર્યો હતો કે ત્રિકોણમિતીય વિધેયો તેમના કુદરતી પ્રદેશો અને વિસ્તારો પર એક-એક અને વ્યાપ્ત નથી અને તેથી તેમના પ્રતિલોમ અસ્તિત્વમાં નથી. આ પ્રકરણમાં, આપણે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના પ્રદેશો અને વિસ્તારો પરના નિયંત્રણો વિશે અભ્યાસ કરીશું જે તેમના પ્રતિલોમના અસ્તિત્વને સુનિશ્ચિત કરે છે અને તેમના વર્તનનું આલેખન રજૂઆત દ્વારા અવલોકન કરીશું. આ ઉપરાંત, કેટલાક પ્રાથમિક ગુણધર્મોની પણ ચર્ચા કરવામાં આવશે. પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો કેલ્ક્યુલસમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે કારણ કે તેઓ ઘણા સંકલનોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે સેવા આપે છે. પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની સંકલ્પનાઓનો ઉપયોગ વિજ્ઞાન અને ઈજનેરીમાં પણ થાય છે.

આર્યભટ્ટ

($476-550$ ઈ.સ.)

2.2 મૂળભૂત સંકલ્પનાઓ

કક્ષા XI માં, આપણે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનો અભ્યાસ કર્યો છે, જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે:

સાઈન વિધેય, એટલે કે, સાઈન : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

કોસાઈન વિધેય, એટલે કે, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ટેન્જેન્ટ વિધેય, એટલે કે, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

કોટેન્જેન્ટ વિધેય, એટલે કે, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

સેકન્ટ વિધેય, એટલે કે, સેક : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

કોસેકન્ટ વિધેય, એટલે કે, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

આપણે પ્રકરણ 1 માં એ પણ શીખ્યા હતા કે જો $f: X \rightarrow Y$ જેમ કે $f(x)=y$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોય, તો આપણે એક અનન્ય વિધેય $g: Y \rightarrow X$ વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ જેમ કે $g(y)=x$, જ્યાં $x \in X$ અને $y=f(x), y \in$ Y. અહીં, $g=$ નો પ્રદેશ = $f$ નો વિસ્તાર અને $g=$ નો વિસ્તાર = $f$ નો પ્રદેશ. વિધેય $g$ ને $f$ નો પ્રતિલોમ કહેવામાં આવે છે અને તેને $f^{-1}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. વધુમાં, $g$ પણ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે અને $g$ નો પ્રતિલોમ $f$ છે. આમ, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. આપણી પાસે પણ છે

અને $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

સાઈન વિધેયનો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે અને વિસ્તાર બંધ અંતરાલ $[-1,1]$ છે. જો આપણે તેના પ્રદેશને $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે જેનો વિસ્તાર $[-1,1]$ છે. વાસ્તવમાં, સાઈન વિધેય જો અંતરાલો $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે એક-એક બને છે અને તેનો વિસ્તાર $[-1,1]$ છે. તેથી, આપણે સાઈન વિધેયનો પ્રતિલોમ આ દરેક અંતરાલોમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. આપણે સાઈન વિધેયના પ્રતિલોમને $\sin ^{-1}$ (આર્ક સાઈન વિધેય) દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. આમ, $\sin ^{-1}$ એ એક વિધેય છે જેનો પ્રદેશ $[-1,1]$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અથવા $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે. આવા દરેક અંતરાલને અનુરૂપ, આપણને વિધેય $\sin ^{-1}$ની એક શાખા મળે છે. વિસ્તાર $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ધરાવતી શાખાને મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે, જ્યારે વિસ્તાર તરીકે અન્ય અંતરાલો $\sin ^{-1}$ની વિવિધ શાખાઓ આપે છે. જ્યારે આપણે વિધેય $\sin ^{-1}$નો સંદર્ભ લઈએ છીએ, ત્યારે આપણે તેને એવા વિધેય તરીકે લઈએ છીએ જેનો પ્રદેશ $[-1,1]$ છે અને વિસ્તાર $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે. આપણે લખીએ છીએ $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

પ્રતિલોમ વિધેયોની વ્યાખ્યામાંથી, તે અનુસરે છે કે $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ જો $-1 \leq x \leq 1$ અને $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ જો $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. બીજા શબ્દોમાં, જો $y=\sin ^{-1} x$, તો $\sin y=x$.

ટિપ્પણીઓ

(i) આપણે પ્રકરણ 1 માંથી જાણીએ છીએ કે જો $y=f(x)$ એક વ્યસ્ત વિધેય છે, તો $x=f^{-1}(y)$. આમ, $\sin^{-1}$ વિધેયનો આલેખ મૂળ વિધેયના આલેખમાંથી $x$ અને $y$ અક્ષોની અદલાબદલી કરીને મેળવી શકાય છે, એટલે કે, જો $(a, b)$ સાઈન વિધેયના આલેખ પર એક બિંદુ છે, તો $(b, a)$ સાઈન વિધેયના પ્રતિલોમના આલેખ પર અનુરૂપ બિંદુ બને છે. આમ, વિધેય $y=\sin ^{-1} x$નો આલેખ $y=\sin x$ના આલેખમાંથી $x$ અને $y$ મૂલ્યોની અદલાબદલી કરીને મેળવી શકાય છે. $y=\sin x$ અને $y=\sin ^{-1} x$ના આલેખ આકૃતિ 2.1 (i), (ii), (iii) માં આપેલા છે. $y=\sin ^{-1} x$ના આલેખનો ઘેરો ભાગ મુખ્ય મૂલ્ય શાખાને દર્શાવે છે.

(ii) તે બતાવી શકાય છે કે પ્રતિલોમ વિધેયનો આલેખ મૂળ વિધેયના અનુરૂપ આલેખમાંથી રેખા $y=x$ સાથે અરીસાની છબી (એટલે કે, પ્રતિબિંબ) તરીકે મેળવી શકાય છે. આને $y=\sin x$ અને $y=\sin ^{-1} x$ના આલેખોને સમાન અક્ષોમાં જોઈને કલ્પના કરી શકાય છે (આકૃતિ 2.1 (iii)).

સાઈન વિધેયની જેમ, કોસાઈન વિધેય એ એક વિધેય છે જેનો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે અને વિસ્તાર સમૂહ $[-1,1]$ છે. જો આપણે કોસાઈન વિધેયના પ્રદેશને $[0, \pi]$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે જેનો વિસ્તાર $[-1,1]$ છે. વાસ્તવમાં, કોસાઈન વિધેય જો અંતરાલો $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે વિસ્તાર $[-1,1]$ સાથે દ્વિઅર્થી (બાયજેક્ટિવ) છે. તેથી, આપણે કોસાઈન વિધેયનો પ્રતિલોમ આ દરેક અંતરાલોમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. આપણે કોસાઈન વિધેયના પ્રતિલોમને $\cos ^{-1}$ (આર્ક કોસાઈન વિધેય) દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. આમ, $\cos ^{-1}$ એ એક વિધેય છે જેનો પ્રદેશ $[-1,1]$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે. આવા દરેક અંતરાલને અનુરૂપ, આપણને વિધેય $\cos ^{-1}$ની એક શાખા મળે છે. વિસ્તાર $[0, \pi]$ ધરાવતી શાખાને વિધેય $\cos ^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે. આપણે લખીએ છીએ

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેયનો આલેખ $y=\sin ^{-1} x$ના આલેખ વિશે ચર્ચા કર્યા પછી તે જ રીતે દોરી શકાય છે. $y=\sin x$ અને $y=\cos ^{-1} x$ના આલેખ આકૃતિ 2.2 (i) અને (ii) માં આપેલા છે.

આકૃતિ. 2.2 (i)

આકૃતિ 2.2 (ii)

ચાલો હવે $\csc^{-1} x$ અને $\sec^{-1} x$ નીચે પ્રમાણે ચર્ચા કરીએ:

કારણ કે, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, કોસેક વિધેયનો પ્રદેશ સમૂહ $\{x: x \in \mathbf{R}$ અને $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ છે અને વિસ્તાર સમૂહ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ અથવા $y \leq -1\}$ એટલે કે, સમૂહ $\mathbf{R}-(-1,1)$ છે. તેનો અર્થ છે કે $y=cosec x$ $-1<y<1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે અને $\pi$ના પૂર્ણાંક ગુણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આપણે કોસેક વિધેયના પ્રદેશને $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે અને તેનો વિસ્તાર સમૂહ $\mathbf{R}-(-1,1)$ તરીકે હોય છે. વાસ્તવમાં, કોસેક વિધેય જો અંતરાલો $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે દ્વિઅર્થી છે અને તેનો વિસ્તાર તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ $\mathbf{R}-(-1,1)$ છે. આમ $cosec^{-1}$ ને એક વિધેય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેનો પ્રદેશ $\mathbf{R}-(-1,1)$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે. વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ને અનુરૂપ વિધેયને $cosec^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે. આમ આપણી પાસે મુખ્ય શાખા તરીકે છે

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ અને $y=\csc^{-1} x$ના આલેખ આકૃતિ 2.3 (i), (ii) માં આપેલા છે.

એ જ રીતે, કારણ કે $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$નો પ્રદેશ સમૂહ $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ છે અને વિસ્તાર સમૂહ $\mathbf{R}-(-1,1)$ છે. તેનો અર્થ છે કે સેક (સેકન્ટ વિધેય) $-1<y<1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે અને $\frac{\pi}{2}$ના વિષમ ગુણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આપણે સેકન્ટ વિધેયના પ્રદેશને $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે અને તેનો વિસ્તાર સમૂહ $\mathbf{R}-(-1,1)$ તરીકે હોય છે. વાસ્તવમાં, સેકન્ટ વિધેય જો અંતરાલો $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે દ્વિઅર્થી છે અને તેનો વિસ્તાર $\mathbf{R}-{-1,1}$ છે. આમ $\sec ^{-1}$ ને એક વિધેય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેનો પ્રદેશ $\mathbf{R}-(-1,1)$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે. આમાંથી દરેક અંતરાલને અનુરૂપ, આપણને વિધેય $sec^{-1}$ની વિવિધ શાખાઓ મળે છે. વિસ્તાર $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ધરાવતી શાખાને વિધેય $sec^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે. આમ આપણી પાસે છે

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

વિધેયો $y=\sec x$ અને $y=\sec^{-1} x$ના આલેખ આકૃતિ 2.4 (i), (ii) માં આપેલા છે.

અંતે, આપણે હવે $\tan ^{-1}$ અને $\cot ^{-1}$ની ચર્ચા કરીએ

આપણે જાણીએ છીએ કે ટેન વિધેય (ટેન્જેન્ટ વિધેય)નો પ્રદેશ સમૂહ $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ છે અને વિસ્તાર $\mathbf{R}$ છે. તેનો અર્થ છે કે વિધેય $\frac{\pi}{2}$ના વિષમ ગુણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આપણે ટેન્જેન્ટ વિધેયના પ્રદેશને $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત બને છે અને તેનો વિસ્તાર $\mathbf{R}$ તરીકે હોય છે. વાસ્તવમાં, ટેન્જેન્ટ વિધેય જો અંતરાલો $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે દ્વિઅર્થી છે અને તેનો વિસ્તાર $\mathbf{R}$ છે. આમ $\tan ^{-1}$ ને એક વિધેય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેનો પ્રદેશ $\mathbf{R}$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક હોઈ શકે છે. આ અંતરાલો વિધેય $\tan ^{-1}$ની વિવિધ શાખાઓ આપે છે. વિસ્તાર $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ધરાવતી શાખાને વિધેય $\tan ^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે. આમ આપણી પાસે છે

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

વિધેય $y=\tan x$ અને $y=\arctan x$ના આલેખ આકૃતિ 2.5 (i), (ii) માં આપેલા છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોટ વિધેય (કોટેન્જેન્ટ વિધેય)નો પ્રદેશ સમૂહ $\{x: x \in \mathbf{R}$ અને $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ છે અને વિસ્તાર $\mathbf{R}$ છે. તેનો અર્થ છે કે કોટેન્જેન્ટ વિધેય $\pi$ના પૂર્ણાંક ગુણાંક માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. જો આપણે કોટેન્જેન્ટ વિધેયના પ્રદેશને $(0, \pi)$ પર પ્રતિબંધિત કરીએ, તો તે વિસ્તાર $\mathbf{R}$ સાથે દ્વિઅર્થી છે. હકીકતમાં, કોટેન્જેન્ટ વિધેય જો અંતરાલો $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એકમાં પ્રતિબંધિત કરવામાં આવે, તો તે દ્વિઅર્થી છે અને તેનો વિસ્તાર $\mathbf{R}$ છે. આમ $\cot ^{-1}$ ને એક વિધેય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે જેનો પ્રદેશ $\mathbf{R}$ છે અને વિસ્તાર અંતરાલો $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ વગેરેમાંથી કોઈ પણ એક તરીકે હોય છે. આ અંતરાલો વિધેય $\cot ^{-1}$ની વિવિધ શાખાઓ આપે છે. વિસ્તાર $(0, \pi)$ ધરાવતા વિધેયને વિધેય $\cot ^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખા કહેવામાં આવે છે. આમ આપણી પાસે છે

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ અને $y=\cot^{-1} x$ના આલેખ આકૃતિ 2.6 (i), (ii) માં આપેલા છે.

નીચેનું કોષ્ટક પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો (મુખ્ય મૂલ્ય શાખાઓ) તેમના પ્રદેશો અને વિસ્તારો સાથે આપે છે.

નોંધ

1. $\sin ^{-1} x$ ને $(\sin x)^{-1}$ સાથે ગૂંચવવું ન જોઈએ. હકીકતમાં $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ અને એ જ રીતે અન્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટે.

2. જ્યારે પણ પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયની કોઈ શાખા ઉલ્લેખિત ન હોય, ત્યારે આપણે તે વિધેયની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો અર્થ લઈએ છીએ.

3. પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયનું મૂલ્ય જે મુખ્ય શાખાના વિસ્તારમાં આવેલું હોય તેને તે પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયનું મુખ્ય મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે.

ચાલો હવે કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ:

ઉદાહરણ 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધો.

ઉકેલ ધારો કે $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$. તો, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ છે અને $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$. તેથી, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{\pi}{4}$ છે

ઉદાહરણ 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$નું મુખ્ય મૂલ્ય શોધો

ઉકેલ ધારો કે $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$. તો,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}$ની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાનો વિસ્તાર $(0, \pi)$ છે અને $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$. તેથી, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$નું મુખ્ય મૂલ્ય $\frac{2 \pi}{3}$ છે

2.3 પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ગુણધર્મો

આ વિભાગમાં, આપણે પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના કેટલાક મહત્ત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો સાબિત કરીશું. અહીં એ ઉલ્લેખ કરી શકાય કે આ પરિણામો અનુરૂપ પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની મુખ્ય મૂલ્ય શાખાઓ અંદર અને જ્યાં તેઓ વ્યાખ્યાયિત છે ત્યાં માન્ય છે. કેટલાક પરિણામો પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના પ્રદેશોની તમામ મૂલ્યો માટે માન્ય ન હોઈ શકે. હકીકતમાં, તેઓ ફક્ત $x$ની કેટલીક મૂલ્યો માટે જ માન્ય હશે જેના માટે પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધેયો વ્યાખ્યાયિત છે. આપણે પ્રદેશમાં $x$ની આ મૂલ્યોના વિગતવાર વિશ્લેષણમાં નહીં જઈએ કારણ કે આ ચર્ચા આ પાઠ્યપુસ્તકની અવધિની બહાર જાય છે.

ચાલો યાદ કરીએ કે જો $y=\sin ^{-1} x$, તો $x=\sin y$ અને જો $x=\sin y$, તો $y=\sin ^{-1} x$. આ નીચેની સમકક્ષ છે

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

પ્રદેશમાં યોગ્ય મૂલ્યો માટે, બાકીના ત્રિકોણમિતીય વિધેયો માટે સમાન પરિણામો મળે છે. ચાલો હવે કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

સાબિત કરો કે

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

ઉકેલ

(i) ધારો કે $x=\sin \theta$. તો $\sin ^{-1} x=\theta$ $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ માટે. આપણી પાસે છે

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ લો, તો ઉપરની જેમ આગળ વધતા, આપણને મળે છે, $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

ઉદાહરણ 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ને સરળતમ સ્વરૂપમાં દર્શાવો.

ઉકેલ આપણે લખીએ છીએ

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ ને સરળતમ સ્વરૂપમાં લખો.

ઉકેલ ધારો કે $x=\sec \theta$, તો $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

તેથી, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, જે સરળતમ સ્વરૂપ છે.

વિવિધ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$નું મૂલ્ય શોધો

આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1}(\sin x)=x$. તેથી, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

પરંતુ $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, જે $\sin ^{-1} x$ની મુખ્ય શાખા છે

પરંતુ $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ અને $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

તેથી $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

સારાંશ

પ્રતિલોમ ત્રિકોણમિતીય વિધ