ગણિતનો સાર તેની સ્વતંત્રતામાં રહેલો છે. - કેન્ટર

3.1 પ્રસ્તાવના

ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં શ્રેણિકોનું જ્ઞાન આવશ્યક છે. શ્રેણિકો ગણિતના સૌથી શક્તિશાળી સાધનોમાંનું એક છે. અન્ય સીધી પદ્ધતિઓની સરખામણીમાં આ ગાણિતિક સાધન આપણું કાર્ય મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવાની સંક્ષિપ્ત અને સરળ પદ્ધતિઓ મેળવવાના પ્રયાસનું પરિણામ શ્રેણિકોની સંકલ્પનાનો વિકાસ છે. શ્રેણિકોનો ઉપયોગ માત્ર રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીમાં ગુણાંકોના નિરૂપણ તરીકે જ થતો નથી, પરંતુ શ્રેણિકોની ઉપયોગિતા તે ઉપયોગથી કહીં વધારે છે. વ્યક્તિગત કમ્પ્યુટર માટેના ઇલેક્ટ્રોનિક સ્પ્રેડશીટ પ્રોગ્રામમાં શ્રેણિક સંકેત અને ક્રિયાઓનો ઉપયોગ થાય છે, જે બદલામાં બજેટિંગ, વેચાણ પ્રક્ષેપણ, ખર્ચ અંદાજ, પ્રયોગના પરિણામોનું વિશ્લેષણ વગેરે જેવા વ્યવસાય અને વિજ્ઞાનના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે. આ ઉપરાંત, મોટાભાગની ભૌતિક ક્રિયાઓ જેમ કે વિસ્તરણ, પરિભ્રમણ અને સમતલ દ્વારા પરાવર્તનને ગાણિતિક રીતે શ્રેણિકો દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. શ્રેણિકોનો ઉપયોગ ક્રિપ્ટોગ્રાફીમાં પણ થાય છે. આ ગાણિતિક સાધનનો ઉપયોગ માત્ર વિજ્ઞાનની ચોક્કસ શાખાઓમાં જ નહીં, પરંતુ જનીનવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, સમાજશાસ્ત્ર, આધુનિક મનોવિજ્ઞાન અને ઔદ્યોગિક વ્યવસ્થાપનમાં પણ થાય છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે શ્રેણિક અને શ્રેણિક બીજગણિતના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોથી પરિચિત થવાનું રસપ્રદ લાગશે.

3.2 શ્રેણિક

ધારો કે આપણે રાધા પાસે 15 નોટબુક છે તે માહિતી વ્યક્ત કરવી છે. આપણે તેને [15] તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, એ સમજ સાથે કે [ ] ની અંદરની સંખ્યા રાધા પાસેની નોટબુકની સંખ્યા છે. હવે, જો આપણે એ વ્યક્ત કરવું હોય કે રાધા પાસે 15 નોટબુક અને 6 પેન છે. આપણે તેને $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ, એ સમજ સાથે કે [ ] ની અંદરની પ્રથમ સંખ્યા નોટબુકની સંખ્યા છે જ્યારે બીજી સંખ્યા રાધા પાસેના પેનની સંખ્યા છે. ચાલો હવે ધારીએ કે આપણે રાધા અને તેની બે મિત્રો ફૌઝિયા અને સિમરન દ્વારા નોટબુક અને પેનની માલિકીની માહિતી વ્યક્ત કરવી છે જે નીચે મુજબ છે:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

હવે આને નીચે મુજબ કોષ્ટકીય સ્વરૂપમાં ગોઠવી શકાય છે:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

અથવા

જેને નીચે મુજબ વ્યક્ત કરી શકાય છે:

પ્રથમ ગોઠવણીમાં પ્રથમ સ્તંભની પ્રવિષ્ટિઓ અનુક્રમે રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસેની નોટબુકની સંખ્યા દર્શાવે છે, અને બીજા સ્તંભની પ્રવિષ્ટિઓ અનુક્રમે રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસેના પેનની સંખ્યા દર્શાવે છે. તેવી જ રીતે, બીજી ગોઠવણીમાં, પ્રથમ પંક્તિની પ્રવિષ્ટિઓ અનુક્રમે રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસેની નોટબુકની સંખ્યા દર્શાવે છે. બીજી પંક્તિની પ્રવિષ્ટિઓ અનુક્રમે રાધા, ફૌઝિયા અને સિમરન પાસેના પેનની સંખ્યા દર્શાવે છે. ઉપરોક્ત પ્રકારની ગોઠવણી અથવા નિરૂપણને શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે. ઔપચારિક રીતે, આપણે શ્રેણિકને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ:

વ્યાખ્યા 1 સંખ્યાઓ અથવા ફલિતોનો ક્રમબદ્ધ લંબચોરસ bmatrix એ શ્રેણિક છે. સંખ્યાઓ અથવા ફલિતોને શ્રેણિકના ઘટકો અથવા પ્રવિષ્ટિઓ કહેવામાં આવે છે.

આપણે શ્રેણિકોને મોટા અક્ષરો દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. નીચે શ્રેણિકોના કેટલાક ઉદાહરણો છે:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં, ઘટકોની આડી રેખાઓને શ્રેણિકની પંક્તિઓ બનાવે છે અને ઘટકોની ઊભી રેખાઓને શ્રેણિકના સ્તંભો બનાવે છે. આમ $A$ ની 3 પંક્તિઓ અને 2 સ્તંભો છે, $B$ ની 3 પંક્તિઓ અને 3 સ્તંભો છે જ્યારે $C$ ની 2 પંક્તિઓ અને 3 સ્તંભો છે.

3.2.1 શ્રેણિકનો ક્રમ

$m$ પંક્તિઓ અને $n$ સ્તંભો ધરાવતા શ્રેણિકને ક્રમ $m \times n$ નો શ્રેણિક અથવા સરળ રીતે $m \times n$ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે ($m$ દ્વારા $n$ શ્રેણિક તરીકે વાંચો). તેથી શ્રેણિકોના ઉપરોક્ત ઉદાહરણોનો સંદર્ભ આપતા, આપણી પાસે $A$ એ $3 \times 2$ શ્રેણિક છે, $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે અને $C$ એ $2 \times 3$ શ્રેણિક છે. આપણે નોંધીએ છીએ કે $A$ માં $3 \times 2=6$ ઘટકો છે, $B$ અને $C$ માં અનુક્રમે 9 અને 6 ઘટકો છે.

સામાન્ય રીતે, એક $m \times n$ શ્રેણિકનું નીચેનું લંબચોરસ bmatrix હોય છે:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

અથવા $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

આમ $i^{\text {th }}$ પંક્તિમાં ઘટકો $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ હોય છે, જ્યારે $j^{\text {th }}$ સ્તંભમાં ઘટકો $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ હોય છે,

સામાન્ય રીતે $a_{i j}$, એ $i^{\text {th }}$ પંક્તિ અને $j^{\text {th }}$ સ્તંભમાં રહેલો ઘટક છે. આપણે તેને $(i, j)^{\text {th }}$ નો $A$ ઘટક પણ કહી શકીએ છીએ. $m \times n$ શ્રેણિકમાં ઘટકોની સંખ્યા $m n$ જેટલી હશે.

નોંધ આ પ્રકરણમાં

1. આપણે સંકેતનું પાલન કરીશું, એટલે કે $A=[a_{i j}]_{m \times n}$, $A$ એ ક્રમ $m \times n$ નો શ્રેણિક છે તે સૂચવવા માટે.

2. આપણે માત્ર તે શ્રેણિકોને ધ્યાનમાં લઈશું જેના ઘટકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અથવા વાસ્તવિક મૂલ્યો લેતા ફલિતો છે.

આપણે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ ને સમતલમાં શ્રેણિક (સ્તંભ અથવા પંક્તિ) તરીકે $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (અથવા $.[x, y]$) તરીકે પણ નિરૂપિત કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે બિંદુ $P(0,1)$ ને શ્રેણિક નિરૂપણ તરીકે નીચે મુજબ આપી શકાય છે

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

નોંધ લો કે આ રીતે આપણે બંધ રેખીય આકૃતિના શિરોબિંદુઓને શ્રેણિકના સ્વરૂપમાં પણ વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચતુષ્કોણ $A B C D$ ને શિરોબિંદુઓ A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ સાથે ધ્યાનમાં લો.

હવે, ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને શ્રેણિક સ્વરૂપમાં, નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે

આમ, શ્રેણિકોનો ઉપયોગ સમતલમાં ભૌમિતિક આકૃતિઓના શિરોબિંદુઓના નિરૂપણ તરીકે થઈ શકે છે.

હવે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 ત્રણ ફેક્ટરી I, II અને III માં પુરુષ અને સ્ત્રી કામદારોની સંખ્યા વિશેની નીચેની માહિતી ધ્યાનમાં લો

ઉપરોક્ત માહિતીને $3 \times 2$ શ્રેણિકના સ્વરૂપમાં રજૂ કરો. ત્રીજી પંક્તિ અને બીજા સ્તંભમાંની પ્રવિષ્ટિ શું દર્શાવે છે?

ઉકેલ માહિતીને $3 \times 2$ શ્રેણિકના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ રજૂ કરવામાં આવે છે:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

ત્રીજી પંક્તિ અને બીજા સ્તંભમાંની પ્રવિષ્ટિ ફેક્ટરી III માં સ્ત્રી કામદારોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

ઉદાહરણ 2 જો કોઈ શ્રેણિકમાં 8 ઘટકો હોય, તો તેના શક્ય ક્રમો શું હોઈ શકે?

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે જો કોઈ શ્રેણિક ક્રમ $m \times n$ નો હોય, તો તેમાં $m n$ ઘટકો હોય છે. આમ, 8 ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિકના તમામ શક્ય ક્રમો શોધવા માટે, આપણે તે તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ શોધીશું જેનો ગુણાકાર 8 છે.

આમ, તમામ શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ છે આથી, શક્ય ક્રમો $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$ છે

ઉદાહરણ 3 એક $3 \times 2$ શ્રેણિકની રચના કરો જેના ઘટકો $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે.

ઉકેલ સામાન્ય રીતે એક $3 \times 2$ શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

હવે $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

તેથી $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

આથી જરૂરી શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

3.3 શ્રેણિકોના પ્રકાર

આ વિભાગમાં, આપણે વિવિધ પ્રકારના શ્રેણિકોની ચર્ચા કરીશું.

(i) સ્તંભ શ્રેણિક

એક શ્રેણિકને સ્તંભ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેમાં માત્ર એક જ સ્તંભ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ એ ક્રમ $4 \times 1$ નો સ્તંભ શ્રેણિક છે.

સામાન્ય રીતે, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ એ ક્રમ $m \times 1$ નો સ્તંભ શ્રેણિક છે.

(ii) પંક્તિ શ્રેણિક

એક શ્રેણિકને પંક્તિ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેમાં માત્ર એક જ પંક્તિ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ એ પંક્તિ શ્રેણિક છે.

સામાન્ય રીતે, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ એ ક્રમ $1 \times n$ નો પંક્તિ શ્રેણિક છે.

(iii) વર્ગ શ્રેણિક

એક શ્રેણિક જેમાં પંક્તિઓની સંખ્યા સ્તંભોની સંખ્યા જેટલી હોય, તેને વર્ગ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે. આમ એક $m \times n$ શ્રેણિકને વર્ગ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો $m=n$ અને તેને ક્રમ ‘$n$’ નો વર્ગ શ્રેણિક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ એ ક્રમ 3 નો વર્ગ શ્રેણિક છે.

સામાન્ય રીતે, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ એ ક્રમ $m$ નો વર્ગ શ્રેણિક છે.

નોંધ જો $A=[a_{i j}]$ એ ક્રમ $n$ નો વર્ગ શ્રેણિક હોય, તો ઘટકો (પ્રવિષ્ટિઓ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

શ્રેણિક A નો વિકર્ણ બનાવે છે એમ કહેવાય. આમ, જો $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$.

તો A ના વિકર્ણના ઘટકો 1, 4, 6 છે.

(iv) વિકર્ણ શ્રેણિક

એક વર્ગ શ્રેણિક $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ને વિકર્ણ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ બિન-વિકર્ણ ઘટકો શૂન્ય હોય, એટલે કે શ્રેણિક $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ને વિકર્ણ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો $b_{i j}=0$, જ્યારે $i \neq j$.

ઉદાહરણ તરીકે, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, અનુક્રમે ક્રમ 1,2,3 ના વિકર્ણ શ્રેણિકો છે.

(v) અદિશ શ્રેણિક

એક વિકર્ણ શ્રેણિકને અદિશ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના વિકર્ણ ઘટકો સમાન હોય, એટલે કે, એક વર્ગ શ્રેણિક $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ને અદિશ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

ઉદાહરણ તરીકે $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

અનુક્રમે ક્રમ 1,2 અને 3 ના અદિશ શ્રેણિકો છે.

(vi) એકમ શ્રેણિક

એક વર્ગ શ્રેણિક જેમાં વિકર્ણમાં ઘટકો બધા 1 હોય અને બાકીના બધા શૂન્ય હોય તેને એકમ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં, વર્ગ શ્રેણિક $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ એક

એકમ શ્રેણિક છે, જો $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$.

આપણે ક્રમ $n$ ના એકમ શ્રેણિકને $I_{n}$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. જ્યારે ક્રમ સંદર્ભમાંથી સ્પષ્ટ હોય, ત્યારે આપણે તેને સરળતાથી I તરીકે લખીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ અનુક્રમે ક્રમ 1, 2 અને 3 ના એકમ શ્રેણિકો છે.

નોંધ લો કે અદિશ શ્રેણિક એક એકમ શ્રેણિક હોય છે જ્યારે $k=1$. પરંતુ દરેક એકમ શ્રેણિક સ્પષ્ટપણે એક અદિશ શ્રેણિક છે.

(vii) શૂન્ય શ્રેણિક

એક શ્રેણિકને શૂન્ય શ્રેણિક અથવા નલ શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે જો તેના તમામ ઘટકો શૂન્ય હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ બધા શૂન્ય શ્રેણિકો છે. આપણે શૂન્ય શ્રેણિકને $O$ દ્વારા દર્શાવીએ છીએ. તેનો ક્રમ સંદર્ભમાંથી સ્પષ્ટ થશે.

3.3.1 શ્રેણિકોની સમાનતા

વ્યાખ્યા 2 બે શ્રેણિકો $A=[a_{i j}]$ અને $B=[b_{i j}]$ સમાન કહેવાય છે જો

(i) તે સમાન ક્રમના હોય

(ii) $A$ નો દરેક ઘટક $B$ ના અનુરૂપ ઘટક જેટલો હોય, એટલે કે $a_{i j}=b_{i j}$ બધા $i$ અને $j$ માટે.

ઉદાહરણ તરીકે, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ સમાન શ્રેણિકો છે પરંતુ $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ સમાન શ્રેણિકો નથી. સંકેતિક રીતે, જો બે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ સમાન હોય, તો આપણે $A=B$ લખીએ છીએ.

$ \text { જો }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, તો }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

ઉદાહરણ 4 જો $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ અને $z$ ના મૂલ્યો શોધો.

ઉકેલ આપેલ શ્રેણિકો સમાન હોવાથી, તેથી, તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ. અનુરૂપ ઘટકોની તુલના કરતા, આપણને મળે છે

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

સરળ કરતા, આપણને મળે છે

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

ઉદાહરણ 5 નીચેના સમીકરણમાંથી $a, b, c$, અને $d$ ના મૂલ્યો શોધો:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

ઉકેલ બે શ્રેણિકોની સમાનતા દ્વારા, અનુરૂપ ઘટકોની સમાનતા કરતા, આપણને મળે છે

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

આ સમીકરણો ઉકેલતા, આપણને મળે છે

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

3.4 શ્રેણિકો પરની ક્રિયાઓ

આ વિભાગમાં, આપણે શ્રેણિકો પરની ચોક્કસ ક્રિયાઓનો પરિચય આપીશું, એટલે કે, શ્રેણિકોનો સરવાળો, અદિશ દ્વારા શ્રેણિકનો ગુણાકાર, તફાવત અને શ્રેણિકોનો ગુણાકાર.

3.4.1 શ્રેણિકોનો સરવાળો

ધારો કે ફાતિમા પાસે A અને B સ્થળોએ બે ફેક્ટરી છે. દરેક ફેક્ટરી છોકરાઓ અને છોકરીઓ માટે સ્પોર્ટ શૂઝ 1,2 અને 3 તરીકે લેબલ કરેલી ત્રણ અલગ-અલગ કિંમતની શ્રેણિઓમાં ઉત્પાદન કરે છે. દરેક ફેક્ટરી દ્વારા ઉત્પાદિત માત્રા નીચે આપેલ શ્રેણિકો તરીકે રજૂ થાય છે:

ધારો કે ફાતિમા દરેક કિંમતની શ્રેણિમાં સ્પોર્ટ શૂઝનું કુલ ઉત્પાદન જાણવા માંગે છે. તો કુલ ઉત્પાદન

શ્રેણિ 1 માં : છોકરાઓ માટે $(80+90)$, છોકરીઓ માટે $(60+50)$

શ્રેણિ 2 માં : છોકરાઓ માટે $(75+70)$, છોકરીઓ માટે $(65+55)$

શ્રેણિ 3 માં : છોકરાઓ માટે $(90+75)$, છોકરીઓ માટે $(85+75)$

આને શ્રેણિક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

આ નવો શ્રેણિક ઉપરોક્ત બે શ્રેણિકોનો સરવાળો છે. આપણે નોંધીએ છીએ કે બે શ્રેણિકોનો સરવાળો એ આપેલ શ્રેણિકોના અનુરૂપ ઘટકો ઉમેરીને મેળવેલ શ્રેણિક છે. વધુમાં, બે શ્રેણિકો સમાન ક્રમના હોવા જોઈએ.

આમ, જો $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ એ $2 \times 3$ શ્રેણિક હોય અને $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ બીજો

$2 \times 3$ શ્રેણિક હોય. તો, આપણે $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

સામાન્ય રીતે, જો $A=[a_{i j}]$ અને $B=[b_{i j}]$ એ સમાન ક્રમના બે શ્રેણિકો હ