બધી ગાણિતિક સત્યો સાપેક્ષ અને શરતી છે - C.P. STEINMETZ

4.1 પ્રસ્તાવના

અગાઉના પ્રકરણમાં, આપણે મેટ્રિક્સ અને મેટ્રિક્સના બીજગણિતનો અભ્યાસ કર્યો છે. આપણે એ પણ શીખ્યા છીએ કે બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેટ્રિક્સના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. આનો અર્થ એ છે કે, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ જેવી કે

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

ને $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. હવે, આ સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ છે કે નહીં, તે સંખ્યા $a_1 b_2-a_2 b_1$ દ્વારા નક્કી થાય છે. (યાદ કરો કે જો $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ અથવા, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, તો રેખીય

P.S. Laplace $(1749-1827)$ સમીકરણોનો અનન્ય ઉકેલ છે). સંખ્યા $a_1 b_2-a_2 b_1$ જે ઉકેલની અનન્યતા નક્કી કરે છે તે મેટ્રિક્સ $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ સાથે સંકળાયેલી છે અને તેને Aનો નિશ્ચાયક અથવા det A કહેવાય છે. નિશ્ચાયકોનો એન્જિનિયરિંગ, વિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર, સામાજિક વિજ્ઞાન, વગેરેમાં વ્યાપક ઉપયોગ છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે માત્ર વાસ્તવિક પ્રવેશો સાથે ત્રણ ક્રમ સુધીના નિશ્ચાયકોનો અભ્યાસ કરીશું. તેમજ, આપણે નિશ્ચાયકોના વિવિધ ગુણધર્મો, ગૌણ, સહઅવયવો અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવામાં, ચોરસ મેટ્રિક્સના સહાધારક અને વ્યસ્ત, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા અને અસુસંગતતા અને મેટ્રિક્સના વ્યસ્તનો ઉપયોગ કરીને બે અથવા ત્રણ ચલોમાં રેખીય સમીકરણોના ઉકેલમાં નિશ્ચાયકોના ઉપયોગનો અભ્યાસ કરીશું.

4.2 નિશ્ચાયક

દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સ $A=[a _{i j}]$ ક્રમ $n$ નો, આપણે એક સંખ્યા (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) સાંકળી શકીએ છીએ જેને ચોરસ મેટ્રિક્સ Aનો નિશ્ચાયક કહેવાય છે, જ્યાં $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ એ Aનો ઘટક છે.

આને એક ફંક્શન તરીકે વિચારી શકાય છે જે દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સને એક અનન્ય સંખ્યા (વાસ્તવિક અથવા જટિલ) સાથે સાંકળે છે. જો $M$ ચોરસ મેટ્રિક્સનો સમૂહ છે, $K$ સંખ્યાઓ (વાસ્તવિક અથવા જટિલ)નો સમૂહ છે અને $f: M \to K$ એ $f(A)=k$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે, જ્યાં $A \in M$ અને $k \in K$, તો $f(A)$ ને $A$ નો નિશ્ચાયક કહેવાય છે. તેને $|A|$ અથવા $det A$ અથવા $\Delta$ દ્વારા પણ દર્શાવવામાં આવે છે.

જો $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ , તો Aનો નિશ્ચાયક $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ તરીકે લખવામાં આવે છે

ટિપ્પણીઓ

(i) મેટ્રિક્સ A માટે, $|A|$ ને $A$ નો નિશ્ચાયક તરીકે વાંચવામાં આવે છે અને $A$ નો મોડ્યુલસ નહીં.

(ii) માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સમાં જ નિશ્ચાયકો હોય છે.

4.2.1 ક્રમ એકના મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક

ચાલો $A=[a]$ ક્રમ 1નો મેટ્રિક્સ હોય, તો $A$ નો નિશ્ચાયક $a$ ની બરાબર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે

4.2.2 ક્રમ બેના મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક

$\text{ચાલો}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ એ } 2 \times 2 \text{ ક્રમનો મેટ્રિક્સ હોય,} $

તો $A$ નો નિશ્ચાયક નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ઉદાહરણ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ નું મૂલ્યાંકન કરો.

ઉકેલ આપણી પાસે $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ છે.

ઉદાહરણ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ નું મૂલ્યાંકન કરો

ઉકેલ આપણી પાસે

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 ક્રમ $3 \times 3$ ના મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક

ક્રમ ત્રણના મેટ્રિક્સનો નિશ્ચાયક તેને બીજા ક્રમના નિશ્ચાયકોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીને નક્કી કરી શકાય છે. આને પંક્તિ (અથવા સ્તંભ) સાથે નિશ્ચાયકનો વિસ્તરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ક્રમ 3 ના નિશ્ચાયકને વિસ્તૃત કરવાની છ રીતો છે જે ત્રણ પંક્તિઓ $(R_1, R_2.$ અને $.R_3)$ અને ત્રણ સ્તંભો $(C_1, C_2.$ અને $C_3)$ ને અનુરૂપ છે જે નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે સમાન મૂલ્ય આપે છે.

ચોરસ મેટ્રિક્સ $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ ના નિશ્ચાયકને ધ્યાનમાં લો

$\text{અર્થાત્}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

પ્રથમ પંક્તિ સાથે વિસ્તરણ $(\mathbf{R} _1)$

પગલું 1 $\mathbf{R} _ {1}$ ના પ્રથમ ઘટક $ a _ {11}$ ને $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ વડે ગુણો અને $|A|$ ની પ્રથમ પંક્તિ $(R_1)$ અને પ્રથમ સ્તંભ $(C _ {1})$ ના ઘટકોને કાઢી નાખીને મળતા બીજા ક્રમના નિશ્ચાયક સાથે કારણ કે $a _ {11}$ એ $ R _ {1} $ અને $ C _ {1} $ માં આવેલો છે,

$\text{અર્થાત્,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

પગલું 2 $R_1$ ના બીજા ઘટક $a _{12}$ ને $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ વડે ગુણો અને $|A|$ ની પ્રથમ પંક્તિ $(R_1)$ અને બીજા સ્તંભ $(C_2)$ ના ઘટકોને કાઢી નાખીને મળતા બીજા ક્રમના નિશ્ચાયક સાથે કારણ કે $a _{12}$ એ $R_1$ અને $C_2$ માં આવેલો છે,

અર્થાત્, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

પગલું 3 $R_1$ ના ત્રીજા ઘટક $a _{13}$ ને $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ વડે ગુણો અને $|A|$ ની પ્રથમ પંક્તિ $(R_1)$ અને ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ ના ઘટકોને કાઢી નાખીને મળતા બીજા ક્રમના નિશ્ચાયક સાથે કારણ કે $a _{13}$ એ $R_1$ અને $C_3$ માં આવેલો છે,

અર્થાત્, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

પગલું 4 હવે A ના નિશ્ચાયકનો વિસ્તરણ, એટલે કે, $|A|$ ને પગલા 1,2 અને 3 માં મળેલા ત્રણેય પદોના સરવાળા તરીકે લખવામાં આવે છે જે નીચે મુજબ છે

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{અથવા} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

નોંધ આપણે બધા ચાર પગલાઓ એકસાથે લાગુ કરીશું.

બીજી પંક્તિ સાથે વિસ્તરણ $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ સાથે વિસ્તરણ કરતાં, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

પ્રથમ સ્તંભ સાથે વિસ્તરણ $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ સાથે વિસ્તરણ કરતાં, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

સ્પષ્ટ છે કે, $|A|$ ના મૂલ્યો (1), (2) અને (3) માં સમાન છે. $|A|$ ના મૂલ્યો $R_3, C_2$ અને $C_3$ સાથે વિસ્તરણ કરીને (1), (2) અથવા (3) માં મળેલ $|A|$ ના મૂલ્ય જેટલા છે તે ચકાસવાનું વાચક પર છોડવામાં આવે છે.

આથી, નિશ્ચાયકને કોઈપણ પંક્તિ અથવા સ્તંભ સાથે વિસ્તરણ કરવાથી સમાન મૂલ્ય મળે છે.

ટિપ્પણીઓ

(i) સરળ ગણતરી માટે, આપણે નિશ્ચાયકને તે પંક્તિ અથવા સ્તંભ સાથે વિસ્તૃત કરીશું જેમાં મહત્તમ સંખ્યામાં શૂન્યો હોય.

(ii) વિસ્તરણ કરતી વખતે, $(-1)^{i+j}$ વડે ગુણવાને બદલે, આપણે +1 અથવા -1 વડે ગુણી શકીએ છીએ જે $(i+j)$ સમ અથવા વિષમ હોય તે મુજબ.

(iii) ચાલો $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ અને $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$. પછી, તે ચકાસવું સરળ છે કે $A=2 B$. તેમજ $|A|=0-8=-8$ અને $|B|=0-2=-2$.

નોંધ લો કે, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ અથવા $|A|=2^{n}|B|$, જ્યાં $n=2$ એ ચોરસ મેટ્રિક્સ $A$ અને $B$ નો ક્રમ છે.

સામાન્ય રીતે, જો $A=k B$ જ્યાં $A$ અને $B$ એ ક્રમ $n$ ના ચોરસ મેટ્રિક્સ છે, તો $|A|=k^{n}$ $|B|$, જ્યાં $n=1,2,3$

ઉદાહરણ 3 નિશ્ચાયક $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ નું મૂલ્યાંકન કરો.

ઉકેલ નોંધ લો કે ત્રીજા સ્તંભમાં, બે પ્રવેશો શૂન્ય છે. તેથી ત્રીજા સ્તંભ $(C_3)$ સાથે વિસ્તરણ કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ નું મૂલ્યાંકન કરો

ઉકેલ $R_1$ સાથે વિસ્તરણ કરતાં, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ઉદાહરણ 5 $x$ ના મૂલ્યો શોધો જેના માટે $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$.

ઉકેલ આપણી પાસે $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ છે

અર્થાત્ $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{અર્થાત્}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

આથી $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ

અગાઉની કક્ષાઓમાં, આપણે અભ્યાસ કર્યો છે કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ છે, તે અભિવ્યક્તિ $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. હવે આ અભિવ્યક્તિ નિશ્ચાયકના સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

ટિપ્પણીઓ

(i) કારણ કે ક્ષેત્રફળ એ ધન પ્રમાણ છે, આપણે હંમેશા (1) માં નિશ્ચાયકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય લઈએ છીએ.

(ii) જો ક્ષેત્રફળ આપેલ હોય, તો ગણતરી માટે નિશ્ચાયકના ધન અને ઋણ બંને મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો.

(iii) ત્રણ સમરેખ બિંદુઓથી બનેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે.

ઉદાહરણ 6 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેના શિરોબિંદુઓ $(3,8),(-4,2)$ અને $(5,1)$ છે.

ઉકેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 7 $A(1,3)$ અને $B(0,0)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ નિશ્ચાયકોનો ઉપયોગ કરીને શોધો અને $k$ શોધો જો $D(k, 0)$ એવું બિંદુ છે કે ત્રિકોણ ABD નું ક્ષેત્રફળ 3 ચોરસ એકમ છે.

ઉકેલ ચાલો $P(x, y)$ એ $AB$ પરનું કોઈપણ બિંદુ હોય. તો, ત્રિકોણ ABP નું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય છે (કેમ?).

$\text{તેથી}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{આ આપે છે}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { અથવા } y=3 x $

જે જરૂરી રેખા $AB$ નું સમીકરણ છે.

તેમજ, કારણ કે ત્રિકોણ ABD નું ક્ષેત્રફળ 3 ચોરસ એકમ છે, આપણી પાસે

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ આ આપે છે, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, એટલે કે, $k=\mp 2$.

4.4 ગૌણ અને સહઅવયવો

આ વિભાગમાં, આપણે ગૌણ અને સહઅવયવોનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચાયકના વિસ્તરણને સંક્ષિપ્ત સ્વરૂપમાં લખવાનું શીખીશું.

વ્યાખ્યા 1 નિશ્ચાયકના ઘટક $a _{i j}$ નો ગૌણ એ તે $i$ મી પંક્તિ અને $j$ મો સ્તંભ કાઢી નાખીને મળતો નિશ્ચાયક છે જેમાં ઘટક $a _{i j}$ આવેલો છે. ઘટક $a _{i j}$ ના ગૌણને $M _{i j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

ટિપ્પણી ક્રમ $n(n \geq 2)$ ના નિશ્ચાયકના ઘટકનો ગૌણ એ ક્રમ $n-1$ નો નિશ્ચાયક છે.

ઉદાહરણ 8 નિશ્ચાયક $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ માં ઘટક 6 નો ગૌણ શોધો

ઉકેલ કારણ કે 6 બીજી પંક્તિ અને ત્રીજા સ્તંભમાં આવેલો છે, તેનો ગૌણ $M _{23}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ ( } \Delta \text{ માં } R_2 \text{ અને } C_3 \text{ કાઢીને મળે છે). } $

વ્યાખ્યા 2 ઘટક $a _{i j}$ નો સહઅવયવ, જેને $A _{i j}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, જ્યાં } M _{i j} \text{ એ } a _{i j} \text{ નો ગૌણ છે. } $

ઉદાહરણ 9 નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ ના તમામ ઘટકોના ગૌણ અને સહઅવયવો શોધો

ઉકેલ ઘટક $a _{i j}$ નો ગૌણ $M _{i j}$ છે

અહીં $a _{11}=1$. તેથી $M _{11}=$ $a _{11}=3$ નો ગૌણ

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

હવે, $a _{i j}$ નો સહઅવયવ $A _{i j}$ છે. તેથી

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 10 નિશ્ચાયક $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ માં ઘટકો $a _{11}, a _{21}$ ના ગૌણ અને સહઅવયવો શોધો.

ઉકેલ ગૌણ અને સહઅવયવોની વ્યાખ્યા મુજબ, આપણી પાસે છે

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ નો ગૌણ
$a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ નો સહઅવયવ
$a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ નો ગૌણ
$a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ નો સહઅવયવ

ટિપ્પણી નિશ્ચાયક $\Delta$ ને ઉદાહરણ 21 માં, $R_1$ સાથે વિસ્તરણ કરતાં, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, જ્યાં } A _{i j} \text{ એ } a _{i j} \text{ નો સહઅવયવ છે } \\ & =\text{ } R_1 \text{ ના ઘટકોના તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો } \end{aligned} $

એ જ રીતે, $\Delta$ ને અન્ય પાંચ રીતે વિસ્તરણ કરીને ગણી શકાય છે જે $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ અને $C_3$ સાથે છે.

આથી $\Delta$ = કોઈપણ પંક્તિ (અથવા સ્તંભ)ના ઘટકોના તેમના અનુરૂપ સહઅવયવો સાથેના ગુણાકારનો સરવાળો.

નોંધ જો પંક્તિ (અથવા સ્તંભ)ના ઘટકોને કોઈપણ અન્ય પંક્તિ (અથવા સ્તંભ)ના સહઅવયવો સાથે ગુણવામાં આવે, તો તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a