“સમગ્ર વિજ્ઞાન એ રોજિંદા વિચારસરણીના સુધારા સિવાય બીજું કશું નથી.” - આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇન

5.1 પ્રસ્તાવના

આ પ્રકરણ અનિવાર્યપણે ધોરણ 11 માં આપણે શીખેલા વિધેયોના વિકલનના અભ્યાસનો સતતતા છે. આપણે કેટલાક વિધેયો જેમ કે બહુપદી વિધેયો અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયોનું વિકલન કરવાનું શીખ્યા હતા. આ પ્રકરણમાં, આપણે સાતત્ય, વિકલનીયતા અને તેમની વચ્ચેના સંબંધોના ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલોનો પરિચય કરાવીશું. આપણે વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વિકલનનું પણ શિક્ષણ લઈશું. વધુમાં, આપણે ઘાતાંકીય અને લઘુગણકીય વિધેયો નામના વિધેયોના નવા વર્ગનો પરિચય કરાવીશું. આ વિધેયો વિકલનની શક્તિશાળી તકનીકો તરફ દોરી જાય છે. આપણે વિકલન ગણિત દ્વારા કેટલીક ભૌમિતિક રીતે સ્પષ્ટ શરતોને દર્શાવીશું. આ પ્રક્રિયામાં, આપણે આ ક્ષેત્રમાંના કેટલાક મૂળભૂત પ્રમેયો શીખીશું.

5.2 સાતત્ય

આપણે આ ભાગની શરૂઆત સાતત્યની સમજણ મેળવવા માટે બે અનૌપચારિક ઉદાહરણોથી કરીએ છીએ. વિધેય

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

પર વિચાર કરો.

આ વિધેય અલબત્ત વાસ્તવિક રેખાના દરેક બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ વિધેયનો આલેખ આકૃતિ 5.1 માં આપેલ છે. આલેખમાંથી એવું અનુમાન કરી શકાય છે કે $x$-અક્ષ પર નજીકના બિંદુઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય $x=0$ સિવાય એકબીજાની નજીક રહે છે. 0 ની નજીક અને ડાબી બાજુના બિંદુઓ પર, એટલે કે, $-0.1,-0.01,-0.001$ જેવા બિંદુઓ પર, વિધેયનું મૂલ્ય 1 છે. 0 ની નજીક અને જમણી બાજુના બિંદુઓ પર, એટલે કે, $0.1,0.01$,

0.001 જેવા બિંદુઓ પર, વિધેયનું મૂલ્ય 2 છે. ડાબા અને જમણા હાથની સીમાની ભાષા વાપરીને, આપણે કહી શકીએ કે $f$ ની 0 પર ડાબી (અનુક્રમે જમણી) હાથની સીમા 1 (અનુક્રમે 2) છે. ખાસ કરીને, ડાબી અને જમણી હાથની સીમાઓ એકરૂપ થતી નથી. આપણે એ પણ નોંધીએ છીએ કે $x=0$ પર વિધેયનું મૂલ્ય ડાબી હાથની સીમા સાથે મળતું આવે છે. નોંધ કરો કે જ્યારે આપણે આલેખ દોરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે તેને એક જ ઘસારામાં દોરી શકતા નથી, એટલે કે, કાગળના સમતલ પરથી પેન ઊંચક્યા વિના, આપણે આ વિધેયનો આલેખ દોરી શકતા નથી. હકીકતમાં, જ્યારે આપણે ડાબી બાજુથી 0 પર આવીએ છીએ ત્યારે આપણે પેન ઊંચકવી પડે છે. આ $x=0$ પર વિધેય સતત ન હોવાનું એક ઉદાહરણ છે.

હવે, વિધેય

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય પર વિચાર કરો.

આ વિધેય પણ દરેક બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત છે. $x=0$ પર ડાબી અને જમણી હાથની સીમાઓ બંને 1 ની બરાબર છે. પરંતુ $x=0$ પર વિધેયનું મૂલ્ય 2 છે જે ડાબી અને જમણી હાથની સીમાઓના સામાન્ય મૂલ્ય સાથે મળતું નથી. ફરીથી, આપણે નોંધીએ છીએ કે આપણે પેન ઊંચક્યા વિના વિધેયનો આલેખ દોરી શકતા નથી. આ $x=0$ પર વિધેય સતત ન હોવાનું બીજું એક ઉદાહરણ છે.

સરળ રીતે, આપણે કહી શકીએ કે જો આપણે કાગળના સમતલ પરથી પેન ઊંચક્યા વિના તે બિંદુની આસપાસ વિધેયનો આલેખ દોરી શકીએ તો વિધેય એક નિશ્ચિત બિંદુ પર સતત છે.

ગાણિતિક રીતે, તેને નીચે પ્રમાણે ચોક્કસ રીતે ઘડી શકાય છે:

વ્યાખ્યા 1 ધારો કે $f$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ઉપગણ પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય છે અને $c$ એ $f$ ના પ્રદેશમાંનું બિંદુ છે. તો $f$ એ $c$ પર સતત છે જો

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

વધુ વિગતવાર, જો ડાબી હાથની સીમા, જમણી હાથની સીમા અને $x=c$ પર વિધેયનું મૂલ્ય અસ્તિત્વમાં હોય અને એકબીજાની બરાબર હોય, તો $f$ એ $x=c$ પર સતત હોવાનું કહેવાય છે. યાદ કરો કે જો $x=c$ પર જમણી અને ડાબી હાથની સીમાઓ એકરૂપ થાય, તો આપણે કહીએ છીએ કે તે સામાન્ય મૂલ્ય $x=c$ પર વિધેયની સીમા છે. તેથી આપણે સાતત્યની વ્યાખ્યાને નીચે પ્રમાણે પણ ફરીથી ઘડી શકીએ: વિધેય $x=c$ પર સતત છે જો વિધેય $x=c$ પર વ્યાખ્યાયિત હોય અને જો $x=c$ પર વિધેયનું મૂલ્ય $x=c$ પર વિધેયની સીમા જેટલું હોય. જો $f$ એ $c$ પર સતત ન હોય, તો આપણે કહીએ છીએ કે $f$ એ $c$ પર અસતત છે અને $c$ એ $f$ નું અસાતત્ય બિંદુ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ 1 $f$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x)=2 x+3$ ની $x=1$ પર સાતત્ય તપાસો.

ઉકેલ પ્રથમ નોંધ કરો કે વિધેય આપેલ બિંદુ $x=1$ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને તેનું મૂલ્ય 5 છે. પછી $x=1$ પર વિધેયની સીમા શોધો. સ્પષ્ટ છે કે

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

આમ $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

તેથી, $f$ એ $x=1$ પર સતત છે.

ઉદાહરણ 2 તપાસો કે શું $f$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x)=x^{2}$ એ $x=0$ પર સતત છે.

ઉકેલ પ્રથમ નોંધ કરો કે વિધેય આપેલ બિંદુ $x=0$ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને તેનું મૂલ્ય 0 છે. પછી $x=0$ પર વિધેયની સીમા શોધો. સ્પષ્ટ છે કે

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

આમ $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

તેથી, $f$ એ $x=0$ પર સતત છે.

ઉદાહરણ 3 $f$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x)=|x|$ ની $x=0$ પર સાતત્યની ચર્ચા કરો.

ઉકેલ વ્યાખ્યા પ્રમાણે

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

સ્પષ્ટ છે કે વિધેય 0 પર વ્યાખ્યાયિત છે અને $f(0)=0$. $f$ ની 0 પર ડાબી હાથની સીમા છે

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

એ જ રીતે, $f$ ની 0 પર જમણી હાથની સીમા છે

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

આમ, ડાબી હાથની સીમા, જમણી હાથની સીમા અને વિધેયનું મૂલ્ય $x=0$ પર એકરૂપ થાય છે. તેથી, $f$ એ $x=0$ પર સતત છે.

ઉદાહરણ 4 દર્શાવો કે $f$ દ્વારા આપેલ વિધેય

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

એ $x=0$ પર સતત નથી.

ઉકેલ વિધેય $x=0$ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને $x=0$ પર તેનું મૂલ્ય 1 છે. જ્યારે $x \neq 0$, ત્યારે વિધેય એક બહુપદી દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ ની $x=0$ પરની સીમા $f(0)$ સાથે એકરૂપ ન થવાથી, વિધેય $x=0$ પર સતત નથી. નોંધ કરી શકાય છે કે $x=0$ એ આ વિધેય માટે એકમાત્ર અસાતત્ય બિંદુ છે.

ઉદાહરણ 5 તપાસો કે અચળ વિધેય $f(x)=k$ કયા બિંદુઓ પર સતત છે.

ઉકેલ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા પર તેનું મૂલ્ય $k$ બરાબર છે. ધારો કે $c$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તો

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ હોવાથી, વિધેય $f$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા પર સતત છે.

ઉદાહરણ 6 સાબિત કરો કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત સમાન વિધેય $f(x)=x$ એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા પર સતત છે.

ઉકેલ વિધેય સ્પષ્ટપણે દરેક બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે $f(c)=c$ છે.

એટલું જ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

આમ, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ અને તેથી વિધેય દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા પર સતત છે.

આપેલ બિંદુ પર વિધેયની સાતત્ય વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી, હવે આપણે વિધેયની સાતત્યની ચર્ચા કરવા માટે આ વ્યાખ્યાનો કુદરતી વિસ્તાર કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 2 વાસ્તવિક વિધેય $f$ ને સતત કહેવાય છે જો તે $f$ ના પ્રદેશના દરેક બિંદુ પર સતત હોય. આ વ્યાખ્યાને થોડી વિગતવાર સમજાવવાની જરૂર છે. ધારો કે $f$ એ બંધ અંતરાલ $[a, b]$ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે, તો $f$ સતત હોવા માટે, તેને $[a, b]$ માં દરેક બિંદુ પર સતત હોવું જરૂરી છે જેમાં અંતિમ બિંદુઓ $a$ અને $b$ પણ સમાવિષ્ટ છે. $f$ ની $a$ પર સાતત્યનો અર્થ છે અને $f$ ની $b$ પર સાતત્યનો અર્થ છે

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

નોંધ કરો કે $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ અને $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ નો કોઈ અર્થ નથી. આ વ્યાખ્યાના પરિણામ સ્વરૂપ, જો f માત્ર એક જ બિંદુ પર વ્યાખ્યાયિત હોય, તો તે ત્યાં સતત છે, એટલે કે, જો $f$ નો પ્રદેશ એક જ બિંદુ હોય, તો $f$ એ સતત વિધેય છે.

ઉદાહરણ 7 શું $f(x)=|x|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એ સતત વિધેય છે?

ઉકેલ આપણે $f$ ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકીએ

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ઉદાહરણ 3 દ્વારા, આપણે જાણીએ છીએ કે $f$ એ $x=0$ પર સતત છે.

ધારો કે $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેમ કે $c<0$. તો $f(c)=-c$.

એટલું જ, $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ હોવાથી તમામ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર સતત છે.

હવે, ધારો કે $c$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે જેમ કે $c>0$. તો $f(c)=c$. એટલું જ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ હોવાથી તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર સતત છે. તેથી, $f$ એ તમામ બિંદુઓ પર સતત છે.

ઉદાહરણ 8 $f$ દ્વારા આપેલ વિધેય $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ ની સાતત્યની ચર્ચા કરો.

ઉકેલ સ્પષ્ટ છે કે $f$ એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ પર વ્યાખ્યાયિત છે અને $c$ પર તેનું મૂલ્ય $c^{3}+c^{2}-1$ છે. આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

આમ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, અને તેથી $f$ એ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા પર સતત છે. આનો અર્થ છે કે $f$ એ સતત વિધેય છે.

ઉદાહરણ 9 $f$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ ની સાતત્યની ચર્ચા કરો.

ઉકેલ કોઈપણ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ ને સ્થિર કરો, આપણી પાસે છે

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

એટલું જ, કારણ કે $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ માટે, આપણી પાસે $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ છે અને તેથી, $f$ એ $f$ ના પ્રદેશના દરેક બિંદુ પર સતત છે. આમ $f$ એ સતત વિધેય છે.

આપણે આ તકનો લાભ લઈને અનંતતાની સંકલ્પના સમજાવીએ છીએ. આપણે આ કાર્ય $f(x)=\frac{1}{x}$ ને $x=0$ ની નજીક વિશ્લેષણ કરીને કરીએ છીએ. આ વિશ્લેષણ કરવા માટે આપણે 0 ની નજીકની વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વિધેયનું મૂલ્ય શોધવાની સામાન્ય યુક્તિ અનુસરીએ છીએ. અનિવાર્યપણે આપણે $f$ ની 0 પર જમણી હાથની સીમા શોધવાનો પ્રયત્ન કરી રહ્યા છીએ. આપણે આને નીચેના કોષ્ટક (કોષ્ટક 5.1) માં દર્શાવીએ છીએ.

કોષ્ટક 5.1

આપણે નોંધીએ છીએ કે જેમ $x$ જમણી બાજુથી 0 ની નજીક આવે છે, તેમ $f(x)$ નું મૂલ્ય ઊંચું ચડે છે. આને નીચે પ્રમાણે ફરીથી ઘડી શકાય: ધન વાસ્તવિક સંખ્યાને 0 ની ખૂબ નજીક પસંદ કરીને $f(x)$ નું મૂલ્ય કોઈપણ આપેલ સંખ્યા કરતાં વધારે બનાવી શકાય છે. સંકેતોમાં, આપણે લખીએ છીએ

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(વાંચવું: $f(x)$ ની 0 પર જમણી હાથની સીમા ધન અનંત છે). આપણે ભાર મૂકવા માંગીએ છીએ કે $+\infty$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી અને તેથી $f$ ની 0 પર જમણી હાથની સીમા (વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે) અસ્તિત્વમાં નથી.

એ જ રીતે, $f$ ની 0 પર ડાબી હાથની સીમા શોધી શકાય. નીચેનું કોષ્ટક સ્વ-વ્યાખ્યાયિત છે.

કોષ્ટક 5.2

કોષ્ટક 5.2 માંથી, આપણે અનુમાન કરીએ છીએ કે 0 ની નજીકની ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા પસંદ કરીને $f(x)$ નું મૂલ્ય કોઈપણ આપેલ સંખ્યા કરતાં નાનું બનાવી શકાય છે. સંકેતોમાં, આપણે લખીએ છીએ

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(વાંચવું: $f(x)$ ની 0 પર ડાબી હાથની સીમા ઋણ અનંત છે). ફરીથી, આપણે ભાર મૂકવા માંગીએ છીએ કે $-\infty$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી અને તેથી $f$ ની 0 પર ડાબી હાથની સીમા (વાસ્તવિક સંખ્યા તરીકે) અસ્તિત્વમાં નથી. આકૃતિ 5.3 માં આપેલ પારસ્પરિક વિધેયનો આલેખ ઉપરોક્ત તથ્યોનું ભૌમિતિક નિરૂપણ છે.

આકૃતિ 5.3

ઉદાહરણ 10 $f$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયની સાતત્યની ચર્ચા કરો

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

ઉકેલ વિધેય $f$ વાસ્તવિક રેખાના તમામ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે.

કેસ 1 જો $c<1$, તો $f(c)=c+2$. તેથી, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

આમ, $f$ એ 1 કરતાં ઓછી તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર સતત છે.

કેસ 2 જો $c>1$, તો $f(c)=c-2$. તેથી,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

આમ, $f$ એ તમામ બિંદુઓ $x>1$ પર સતત છે.

કેસ 3 જો $c=1$, તો $f$ ની $x=1$ પર ડાબી હાથની સીમા છે

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ ની $x=1$ પર જમણી હાથની સીમા છે

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

$f$ ની $x=1$ પર ડાબી અને જમણી હાથની સીમાઓ એકરૂપ ન થવાથી, $f$ એ $x=1$ પર સતત નથી. તેથી

આકૃતિ 5.4

$x=1$ એ $f$ નું એકમાત્ર અસાતત્ય બિંદુ છે. વિધેયનો આલેખ આકૃતિ 5.4 માં આપેલ છે.

ઉદાહરણ 11 $f$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયના તમામ અસાતત્ય બિંદુઓ શોધો

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<1 \\ 0, \text{ if } \quad x=1 \\ x-2, \text{ if } x>1 \end{cases}. $$

ઉકેલ પાછલા ઉદાહરણની જેમ આપણે શોધીએ છીએ કે $f$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \neq 1$ પર સતત છે. $f$ ની $x=1$ પર ડાબી હાથની સીમા છે

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$f$ ની $x=1$ પર જમણી હાથની સીમા છે

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

કારણ કે, $f$ ની $x=1$ પર ડાબી અને જમણી હાથની સીમાઓ એકરૂપ નથી, $f$ એ $x=1$ પર સતત નથી. તેથી $x=1$ એ $f$ નું એકમાત્ર અસાતત્ય બિંદુ છે. વિધેયનો આલેખ આકૃતિ 5.5 માં આપેલ છે.

આકૃતિ 5.5

ઉદાહરણ 12 નીચે વ્યાખ્યાયિત વિધેયની સાતત્યની ચર્ચા કરો

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<0 \\ -x+2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ઉકેલ નોંધ કરો કે વિધેય 0 સિવાય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે. આ વિધેયનો વ્યાખ્યા પ્રદેશ છે

$ \begin{aligned} D_1 \cup D_2 \text{ where } D_1 & =\{x \in \mathbf{R}: x<0\} \text{ and } \\ & D_2=\{x \in \mathbf{R}: x>0\} \end{aligned} $

કેસ 1

જો $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ અને તેથી $f$ એ $D_1$ માં સતત છે

કેસ 2

$ If c \in D_2, then \