“કેલ્ક્યુલસને ચાવી તરીકે લઈને, ગણિતને પ્રકૃતિની ગતિના સ્પષ્ટીકરણમાં સફળતાપૂર્વક લાગુ કરી શકાય છે.” - વ્હાઇટહેડ

6.1 પ્રસ્તાવના

પ્રકરણ 5 માં, આપણે સંયુક્ત વિધેયો, વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતીય વિધેયો, અસ્પષ્ટ વિધેયો, ઘાતાંકીય વિધેયો અને લઘુગણકીય વિધેયોનું વિકલિત કેવી રીતે શોધવું તે શીખ્યા. આ પ્રકરણમાં, આપણે વિકલિતના ઉપયોગોનો અભ્યાસ કરીશું, જે વિવિધ શાખાઓમાં, જેમ કે ઇજનેરી, વિજ્ઞાન, સામાજિક વિજ્ઞાન અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આપણે શીખીશું કે વિકલિતનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો (i) જથ્થાઓના ફેરફારનો દર નક્કી કરવા, (ii) કોઈ વક્ર પરના બિંદુ પર સ્પર્શક અને અભિલંબનાં સમીકરણો શોધવા, (iii) વિધેયના આલેખ પર મુડતા બિંદુઓ શોધવા જે બદલામાં આપણને એવા બિંદુઓ શોધવામાં મદદ કરશે જ્યાં વિધેયનું સૌથી મોટું અથવા નાનું મૂલ્ય (સ્થાનિક રીતે) આવે છે. આપણે વિધેય વધી રહ્યું છે કે ઘટી રહ્યું છે તે અંતરાલો શોધવા માટે પણ વિકલિતનો ઉપયોગ કરીશું. અંતે, આપણે ચોક્કસ જથ્થાઓનું અંદાજિત મૂલ્ય શોધવા માટે વિકલિતનો ઉપયોગ કરીશું.

6.2 જથ્થાઓના ફેરફારનો દર

યાદ કરો કે વિકલિત $\\ \frac{ds}{dt} $ દ્વારા, આપણો અર્થ અંતર $s$ ના સમય $t$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર થાય છે. એ જ રીતે, જ્યારે પણ એક જથ્થો $y$ બીજા જથ્થા $x$ સાથે બદલાય છે, અમુક નિયમ $y=f(x)$ ને સંતોષતો હોય, તો $\frac{d y}{d x}$ (અથવા $f^{\prime}(x)$) $y$ ના $x$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર દર્શાવે છે અને $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ અથવા $.f^{\prime}(x_0))$ $y$ ના $x$ ની સાપેક્ષે $x=x_0$ પર ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.

વધુમાં, જો બે ચલો $x$ અને $y$ બીજા ચલ $t$ ની સાપેક્ષે બદલાતા હોય, એટલે કે, જો $x=f(t)$ અને $y=g(t)$, તો ચેન રૂલ દ્વારા

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

આમ, $y$ ના $x$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર $y$ અને $x$ ના $t$ ની સાપેક્ષે ફેરફારના દરનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય.

ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ 1 વર્તુળના ક્ષેત્રફળના ત્રિજ્યા $r$ ની સાપેક્ષે પ્રતિ સેકન્ડ ફેરફારનો દર શોધો જ્યારે $r=5 cm$.

ઉકેલ ત્રિજ્યા $r$ વાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A $A=\pi r^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, ક્ષેત્રફળ A ના ત્રિજ્યા $r$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$. આમ, વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $10 \pi cm^{2} / s$ ના દરે બદલાય છે.

ઉદાહરણ 2 એક ઘનનું ઘનફળ 9 ઘન સેન્ટીમીટર પ્રતિ સેકન્ડના દરે વધી રહ્યું છે. જ્યારે કોઈ કિનારીની લંબાઈ 10 સેન્ટીમીટર હોય ત્યારે પૃષ્ઠફળ કેટલી ઝડપથી વધી રહ્યું છે?

ઉકેલ ધારો કે $x$ એ બાજુની લંબાઈ છે, $V$ એ ઘનફળ છે અને $S$ એ ઘનનું પૃષ્ઠફળ છે. તો, $V=x^{3}$ અને $S=6 x^{2}$, જ્યાં $x$ એ સમય $t$નું વિધેય છે.

હવે $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (આપેલ)

તેથી $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

અથવા $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

હવે $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

આથી, જ્યારે $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ઉદાહરણ 3 એક પથ્થર શાંત સરોવરમાં પડે છે અને તરંગો વર્તુળોમાં $4 cm$ પ્રતિ સેકન્ડની ઝડપે ફેલાય છે. જ્યારે વર્તુળાકાર તરંગની ત્રિજ્યા $10 cm$ હોય, ત્યારે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલી ઝડપથી વધી રહ્યું છે?

ઉકેલ ત્રિજ્યા $A$ વાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ A $r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી, ક્ષેત્રફળ A ના સમય $t$ ની સાપેક્ષે ફેરફારનો દર છે

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

આપેલ છે કે $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

તેથી, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

આમ, ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $80 \pi cm^{2} / s$ ના દરે વધી રહ્યું છે, જ્યારે $r=10 cm$.

નોંધ $\frac{d y}{d x}$ ધન છે જો $y$ વધે છે ત્યારે $x$ વધે છે અને ઋણ છે જો $y$ ઘટે છે ત્યારે $x$ વધે છે.

ઉદાહરણ 4 લંબચોરસની લંબાઈ $x$ $3 cm /$ પ્રતિ મિનિટના દરે ઘટી રહી છે અને પહોળાઈ $y$ $2 cm /$ પ્રતિ મિનિટના દરે વધી રહી છે. જ્યારે $x=10 cm$ અને $y=6 cm$, તો (a) પરિમિતિ અને (b) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના ફેરફારના દર શોધો.

ઉકેલ કારણ કે લંબાઈ $x$ ઘટી રહી છે અને પહોળાઈ $y$ સમયની સાપેક્ષે વધી રહી છે, આપણી પાસે છે

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) લંબચોરસની પરિમિતિ $P$ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

તેથી $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$ A=x \cdot y $

તેથી $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { કારણ કે } x=10 \mathrm{~cm} \text { અને } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ઉદાહરણ 5 $x$ એકમ વસ્તુના ઉત્પાદન સાથે સંકળાયેલ કુલ ખર્ચ $C(x)$ રૂપિયામાં, નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

જ્યારે 3 એકમ ઉત્પાદિત થાય ત્યારે સીમાંત ખર્ચ શોધો, જ્યાં સીમાંત ખર્ચ એટલે કોઈપણ આઉટપુટ સ્તરે કુલ ખર્ચનો તાત્કાલિક ફેરફાર દર.

ઉકેલ કારણ કે સીમાંત ખર્ચ એ આઉટપુટની સાપેક્ષે કુલ ખર્ચના ફેરફારનો દર છે, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} \text{ સીમાંત } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ જ્યારે } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

આમ, જરૂરી સીમાંત ખર્ચ ₹ 30.02 (લગભગ) છે.

ઉદાહરણ 6 $x$ એકમ ઉત્પાદનની વેચાણમાંથી પ્રાપ્ત કુલ આવક રૂપિયામાં $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સીમાંત આવક શોધો, જ્યારે $x=5$, જ્યાં સીમાંત આવક એટલે કોઈ ક્ષણે વેચાયેલી વસ્તુઓની સંખ્યાની સાપેક્ષે કુલ આવકના ફેરફારનો દર.

ઉકેલ કારણ કે સીમાંત આવક એ વેચાયેલ એકમોની સંખ્યાની સાપેક્ષે કુલ આવકના ફેરફારનો દર છે, આપણી પાસે છે

$ \begin{aligned} \text{ સીમાંત આવક } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ જ્યારે } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

આમ, જરૂરી સીમાંત આવક ₹ 66 છે.

6.3 વધતા અને ઘટતા વિધેયો

આ વિભાગમાં, આપણે એ શોધવા માટે વિકલનનો ઉપયોગ કરીશું કે વિધેય વધી રહ્યું છે કે ઘટી રહ્યું છે અથવા કોઈ નહીં.

વિધેય $f$ ને ધ્યાનમાં લો જે $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિધેયનો આલેખ આકૃતિ 6.1 માં આપેલ પરવલય છે.

મૂળની ડાબી બાજુના મૂલ્યો

જેમ આપણે ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ, આલેખની ઊંચાઈ ઘટે છે

જેમ આપણે ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ, આલેખની ઊંચાઈ વધે છે મૂળની જમણી બાજુના મૂલ્યો

પ્રથમ મૂળની જમણી બાજુના આલેખ (આકૃતિ 6.1) ને ધ્યાનમાં લો. નોંધો કે જેમ આપણે આલેખ સાથે ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ, આલેખની ઊંચાઈ સતત વધે છે. આ કારણસર, વિધેયને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x>0$ માટે વધતું કહેવાય છે.

હવે મૂળની ડાબી બાજુના આલેખને ધ્યાનમાં લો અને અહીં નોંધો કે જેમ આપણે આલેખ સાથે ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ, આલેખની ઊંચાઈ સતત ઘટે છે. પરિણામે, વિધેયને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x<0$ માટે ઘટતું કહેવાય છે.

હવે આપણે એક વિધેય માટે નીચેની વિશ્લેષણાત્મક વ્યાખ્યાઓ આપીશું જે કોઈ અંતરાલ પર વધી રહ્યું છે અથવા ઘટી રહ્યું છે.

વ્યાખ્યા 1 ધારો કે I એ વાસ્તવિક મૂલ્યવાળા વિધેય $f$ ના પ્રદેશમાં સમાયેલ અંતરાલ છે. તો $f$ નીચે પ્રમાણે કહેવાય છે

(i) I પર વધતું જો $x_1<x_2$ માં $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ બધા $x_1, x_2 \in I$ માટે.

(ii) $I$ પર ઘટતું, જો $x_1, x_2$ માં $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ બધા $x_1, x_2 \in I$ માટે.

(iii) $I$ પર અચળ, જો $f(x)=c$ બધા $x \in I$ માટે, જ્યાં $c$ અચળ છે.

(iv) I પર ઘટતું જો $x_1<x_2$ માં $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ બધા $x_1, x_2 \in I$ માટે.

(v) I પર સખત રીતે ઘટતું જો $x_1<x_2$ માં $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ બધા $x_1, x_2 \in I$ માટે.

આવા વિધેયોના ગ્રાફિકલ નિરૂપણ માટે આકૃતિ 6.2 જુઓ.

હવે આપણે વ્યાખ્યાયિત કરીશું કે ક્યારે વિધેય એક બિંદુ પર વધી રહ્યું છે અથવા ઘટી રહ્યું છે.

વ્યાખ્યા 2 ધારો કે $x_0$ એ વાસ્તવિક મૂલ્યવાળા વિધેય $f$ ની વ્યાખ્યાના પ્રદેશમાં બિંદુ છે. તો $f$ ને $x_0$ પર વધતું, ઘટતું કહેવાય છે જો ત્યાં $x_0$ ધરાવતો ખુલ્લો અંતરાલ I અસ્તિત્વમાં હોય કે જેમાં ⟦159⟯ અનુક્રમે I માં વધી રહ્યું છે, ઘટી રહ્યું છે.

ચાલો વધતા વિધેયના કિસ્સા માટે આ વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ કરીએ.

ઉદાહરણ 7 બતાવો કે વિધેય $f(x)=7 x-3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે $\mathbf{R}$ પર વધી રહ્યું છે.

ઉકેલ ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ $\mathbf{R}$ માં કોઈપણ બે સંખ્યાઓ છે. તો

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

આમ, વ્યાખ્યા 1 દ્વારા, તે અનુસરે છે કે $f$ $\mathbf{R}$ પર સખત રીતે વધી રહ્યું છે.

હવે આપણે વધતા અને ઘટતા વિધેયો માટે પ્રથમ વિકલિત પરીક્ષણ આપીશું. આ પરીક્ષણનો પુરાવો પ્રકરણ 5 માં અભ્યાસ કરેલ મધ્યમાન મૂલ્ય પ્રમેયની જરૂર પાડે છે.

પ્રમેય 1 ધારો કે $f$ $[a, b]$ પર સતત છે અને ખુલ્લા અંતરાલ $(a, b)$ પર વિકલનીય છે. તો

(a) $f$ $[a, b]$ માં વધી રહ્યું છે જો $f^{\prime}(x)>0$ દરેક $x \in(a, b)$ માટે

(b) $f$ $[a, b]$ માં ઘટી રહ્યું છે જો $f^{\prime}(x)<0$ દરેક $x \in(a, b)$ માટે

(c) $f$ $[a, b]$ માં અચળ વિધેય છે જો $f^{\prime}(x)=0$ દરેક $x \in(a, b)$ માટે

પુરાવો (a) ધારો કે $x_1, x_2 \in[a, b]$ એવા છે કે $x_1<x_2$.

તો, મધ્યમાન મૂલ્ય પ્રમેય (પ્રકરણ 5 માં પ્રમેય 8) દ્વારા, ત્યાં એક બિંદુ $c$ $x_1$ અને $x_2$ વચ્ચે અસ્તિત્વમાં છે કે જેથી

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

એટલે કે $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

એટલે કે $f(x_2)>f(x_1)$

આમ, આપણી પાસે છે $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

આથી, $f$ $[a, b]$ માં વધતું વિધેય છે.

ભાગ (b) અને (c) ના પુરાવા સમાન છે. તે વાચક માટે કસરત તરીકે છોડવામાં આવ્યું છે.

ટિપ્પણીઓ

ત્યાં વધુ સામાન્ય પ્રમેય છે, જે જણાવે છે કે જો $f \phi(x)>0$ $x$ માટે અંતિમ બિંદુઓ સિવાયના અંતરાલમાં અને $f$ તે અંતરાલમાં સતત હોય, તો $f$ વધી રહ્યું છે. તે જ રીતે, જો $f \phi(x)<0$ $x$ માટે અંતિમ બિંદુઓ સિવાયના અંતરાલમાં અને $f$ તે અંતરાલમાં સતત હોય, તો $f$ ઘટી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 8 બતાવો કે વિધેય $f$ નીચે પ્રમાણે આપેલ છે

તે $\mathbf{R}$ પર વધી રહ્યું છે.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

ઉકેલ નોંધો કે

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

તેથી, વિધેય $f$ $\mathbf{R}$ પર વધી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 9 સાબિત કરો કે વિધેય $f(x)=\cos x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે

(a) $(0, \pi)$ માં ઘટી રહ્યું છે

(b) $(\pi, 2 \pi)$ માં વધી રહ્યું છે, અને

(c) $(0,2 \pi)$ માં ન તો વધી રહ્યું છે અને ન ઘટી રહ્યું છે.

ઉકેલ નોંધો કે $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) કારણ કે દરેક $x \in(0, \pi), \sin x>0$ માટે, આપણી પાસે $f^{\prime}(x)<0$ છે અને તેથી $f$ $(0, \pi)$ માં ઘટી રહ્યું છે.

(b) કારણ કે દરેક $x \in(\pi, 2 \pi)$ માટે, $\sin x<0$, આપણી પાસે $f^{\prime}(x)>0$ છે અને તેથી $f$ $(\pi, 2 \pi)$ માં વધી રહ્યું છે.

(c) દેખીતી રીતે ઉપર (a) અને (b) દ્વારા, $f$ $(0,2 \pi)$ માં ન તો વધી રહ્યું છે અને ન ઘટી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 10 અંતરાલો શોધો જેમાં વિધેય $f$ $f(x)=x^{2}-4 x+6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે (a) વધી રહ્યું છે (b) ઘટી રહ્યું છે

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ અથવા \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

તેથી, $f^{\prime}(x)=0$ $x=2$ આપે છે. હવે બિંદુ $x=2$ વાસ્તવિક રેખાને બે અસંગત અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે, $(-\infty, 2)$ અને $(2, \infty)$ (આકૃતિ 6.3). અંતરાલ $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ માં $-4<0$.

તેથી, $f$ આ અંતરાલમાં ઘટી રહ્યું છે. તેમજ, અંતરાલ $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ માં અને તેથી વિધેય $f$ આ અંતરાલમાં વધી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 11 અંતરાલો શોધો જેમાં વિધેય $f$ $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 દ્વારા આપવામાં આવે છે તે (a) વધી રહ્યું છે (b) ઘટી રહ્યું છે.

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

તેથી, $f^{\prime}(x)=0$ $x=-2,3$ આપે છે. બિંદુઓ $x=-2$ અને $x=3$ વાસ્તવિક રેખાને ત્રણ અસંગત અંતરાલોમાં વિભાજિત કરે છે, એટલે કે, $(-\infty,-2),(-2,3)$

આકૃતિ 6.4 અને $(3, \infty)$.

અંતરાલો $(-\infty,-2)$ અને $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ માં ધન છે જ્યારે અંતરાલ $(-2,3)$ માં, $f^{\prime}(x)$ ઋણ છે. પરિણામે, વિધેય $f$ અંતરાલો $(-\infty,-2)$ અને $(3, \infty)$ માં વધી રહ્યું છે જ્યારે વિધેય અંતરાલ $(-2,3)$ માં ઘટી રહ્યું છે. જો કે, $f$ $\mathbf{R}$ માં ન તો વધી રહ્યું છે અને ન ઘટી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 12 અંતરાલો શોધો જેમાં વિધેય $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તે (a) વધી રહ્યું છે (b) ઘટી રહ્યું છે.

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$f(x) =\sin 3 x $

અથવા $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

તેથી, $f^{\prime}(x)=0$ $\cos 3 x=0$ આપે છે જે બદલામાં $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ આપે છે (કારણ કે $x \in 0, \frac{\pi}{2}$ એ $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ સૂચવે છે). તેથી $x=\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{2}$. બિંદુ $x=\frac{\pi}{6}$ અંતરાલ $0, \frac{\pi}{2}$ ને બે અસંગત અંતરાલો $[0, \frac{\pi}{6})$ અને $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$ માં વિભાજિત કરે છે.

આકૃતિ 6.5

હવે, $f^{\prime}(x)>0$ બધા $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ માટે કારણ કે $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ અને $f^{\prime}(x)<0$ બધા $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ માટે કારણ કે $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$.

તેથી, $f$ $[0, \frac{\pi}{6})$ માં વધી રહ્યું છે અને $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ માં ઘટી રહ્યું છે.

એટલું જ, આપેલ વિધેય $x=0$ અને $x=\frac{\pi}{6}$ પર સતત છે. તેથી, પ્રમેય 1 દ્વારા, $f$ $ [0, \frac{\pi}{6}]$ પર વધી રહ્યું છે અને $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ પર ઘટી રહ્યું છે.

ઉદાહરણ 13 અંતરાલો શોધો જ