જે રીતે પર્વતારોહી પર્વત પર ચઢે છે - કારણ કે તે ત્યાં છે, તે જ રીતે એક સારો ગણિતનો વિદ્યાર્થી નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ કરે છે કારણ કે તે ત્યાં છે. - જેમ્સ બી. બ્રિસ્ટોલ

7.1 પ્રસ્તાવના

અવકલન ગણિતનું કેન્દ્ર વિકલિતની સંકલ્પના પર છે. વિકલિત માટેનું મૂળ પ્રેરણા એ કાર્યોના આલેખો માટે સ્પર્શક રેખાઓને વ્યાખ્યાયિત કરવાની અને આવી રેખાઓનો ઢાળ ગણવાની સમસ્યા હતી. સંકલન ગણિત એ કાર્યોના આલેખ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળને વ્યાખ્યાયિત કરવા અને ગણવાની સમસ્યા દ્વારા પ્રેરિત છે.

જો કોઈ કાર્ય $f$ અંતરાલ $I$ માં વિકલનીય હોય, એટલે કે, તેનું વિકલિત $f$ ’ $I$ ના દરેક બિંદુએ અસ્તિત્વમાં હોય, તો એક કુદરતી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે કે $f^{\prime}$ I ના દરેક બિંદુએ આપેલ હોય, તો શું આપણે કાર્ય નક્કી કરી શકીએ છીએ? જે કાર્યો સંભવિત રીતે આપેલ કાર્યને વિકલિત તરીકે આપી શકે છે તેને કાર્યના પ્રતિવિકલિત (અથવા આદિમ) કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, સૂત્ર જે આપે છે

જી.ડબ્લ્યુ. લીબનીટ્ઝ (1646 - 1716)

આ બધા પ્રતિવિકલિતોને કાર્યનું અનિશ્ચિત સંકલન કહેવામાં આવે છે અને પ્રતિવિકલિતો શોધવાની આવી પ્રક્રિયાને સંકલન કહેવામાં આવે છે. આ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઘણી વ્યવહારિક પરિસ્થિતિઓમાં ઊભી થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે કોઈ પદાર્થની કોઈ પણ ક્ષણે ત્વરિત વેગ જાણીએ, તો એક કુદરતી પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, એટલે કે, શું આપણે કોઈ પણ ક્ષણે પદાર્થની સ્થિતિ નક્કી કરી શકીએ છીએ? ઘણી આવી વ્યવહારિક અને સૈદ્ધાંતિક પરિસ્થિતિઓ છે જ્યાં સંકલનની પ્રક્રિયા સામેલ છે. સંકલન ગણિતનો વિકાસ નીચેના પ્રકારની સમસ્યાઓને ઉકેલવાના પ્રયાસોથી થાય છે:

(એ) કાર્ય શોધવાની સમસ્યા જ્યારે તેનું વિકલિત આપવામાં આવે છે,

(બી) ચોક્કસ શરતો હેઠળ કાર્યના આલેખ દ્વારા બંધાયેલા ક્ષેત્રફળને શોધવાની સમસ્યા.

આ બે સમસ્યાઓ સંકલનોના બે સ્વરૂપો તરફ દોરી જાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત સંકલનો, જે સાથે મળીને સંકલન ગણિતની રચના કરે છે.

અનિશ્ચિત સંકલન અને નિશ્ચિત સંકલન વચ્ચે એક જોડાણ છે, જેને કેલ્ક્યુલસનું મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે નિશ્ચિત સંકલનને વિજ્ઞાન અને ઇજનેરી માટે વ્યવહારિક સાધન તરીકે બનાવે છે. નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ અર્થશાસ્ત્ર, નાણાં અને સંભાવના જેવા વિવિધ વિષયોમાંથી ઘણી રસપ્રદ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે પણ થાય છે.

આ પ્રકરણમાં, આપણે અનિશ્ચિત અને નિશ્ચિત સંકલનો અને તેમના પ્રાથમિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે સીમિત રહેશું જેમાં સંકલનની કેટલીક તકનીકોનો સમાવેશ થાય છે.

7.2 વિકલનની વિપરીત પ્રક્રિયા તરીકે સંકલન

સંકલન એ વિકલનની વિપરીત પ્રક્રિયા છે. કાર્યને વિભેદિત કરવાને બદલે, આપણને કાર્યનું વિકલિત આપવામાં આવે છે અને તેનું આદિમ, એટલે કે, મૂળ કાર્ય શોધવા માટે કહેવામાં આવે છે. આવી પ્રક્રિયાને સંકલન અથવા પ્રતિવિકલન કહેવામાં આવે છે. ચાલો નીચેના ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ:

$\text{ આપણે જાણીએ છીએ કે }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ અને }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

આપણે નોંધીએ છીએ કે (1) માં, કાર્ય $\cos x$ એ $\sin x$ નું વ્યુત્પન્ન કાર્ય છે. આપણે કહીએ છીએ કે $\sin x$ એ $\cos x$ નું પ્રતિવિકલિત (અથવા સંકલન) છે. તે જ રીતે, (2) અને (3) માં, $\frac{x^{3}}{3}$ અને $e^{x}$ અનુક્રમે $x^{2}$ અને $e^{x}$ ના પ્રતિવિકલિત (અથવા સંકલનો) છે. ફરીથી, આપણે નોંધીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $C$ માટે, સતત કાર્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે, તેનું વિકલિત શૂન્ય છે અને તેથી, આપણે (1), (2) અને (3) નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ છીએ:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

આમ, ઉપરોક્ત ઉલ્લેખિત કાર્યોના પ્રતિવિકલિત (અથવા સંકલનો) અનન્ય નથી. વાસ્તવમાં, આ દરેક કાર્યોના અનંત પ્રતિવિકલિતો અસ્તિત્વમાં છે જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી $C$ ને મનસ્વી રીતે પસંદ કરીને મેળવી શકાય છે. આ કારણોસર $C$ ને પરંપરાગત રીતે મનસ્વી અચળ કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવમાં, $C$ એ પરિમાણ છે જેને બદલીને કોઈ આપેલ કાર્યના વિવિધ પ્રતિવિકલિતો (અથવા સંકલનો) મેળવે છે.

વધુ સામાન્ય રીતે, જો કોઈ કાર્ય $F$ હોય જેમ કે $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (અંતરાલ), તો કોઈપણ મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા $C$ માટે, (સંકલનનો અચળાંક પણ કહેવાય છે)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

આમ, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

ટિપ્પણી સમાન વિકલિત ધરાવતા કાર્યો એક અચળાંકથી અલગ પડે છે. આ બતાવવા માટે, ચાલો $g$ અને $h$ એ બે કાર્યો હોય જેમણે અંતરાલ I પર સમાન વિકલિત ધરાવે છે.

કાર્ય $f=g-h$ ને વ્યાખ્યાયિત કરો $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ દ્વારા

પછી $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

અથવા $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

એટલે કે, $f$ નો $x$ ના સંદર્ભમાં ફેરફારનો દર $I$ પર શૂન્ય છે અને તેથી $f$ અચળ છે.

ઉપરોક્ત ટિપ્પણીના આધારે, એવું અનુમાન કાઢવું ન્યાયસંગત છે કે કુટુંબ $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ $f$ ના તમામ સંભવિત પ્રતિવિકલિતો પૂરા પાડે છે.

આપણે એક નવું પ્રતીક રજૂ કરીએ છીએ, એટલે કે, $\int f(x) d x$ જે પ્રતિવિકલિતોના સમગ્ર વર્ગનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે જેને $f$ નું $x$ ના સંદર્ભમાં અનિશ્ચિત સંકલન તરીકે વાંચવામાં આવે છે.

પ્રતીકાત્મક રીતે, આપણે $\int f(x) d x=F(x)+C$ લખીએ છીએ.

સંકેત આપેલ છે કે $\frac{d y}{d x}=f(x)$, આપણે $y=\int f(x) d x$ લખીએ છીએ.

સગવડ માટે, અમે નીચેના પ્રતીકો/શબ્દો/વાક્યાંશોનો નીચે ઉલ્લેખ કરીએ છીએ

કોષ્ટક 7.1

આપણે ઘણા મહત્વપૂર્ણ કાર્યોના વિકલિતો માટેના સૂત્રો પહેલેથી જ જાણીએ છીએ. આ સૂત્રોમાંથી, આપણે તરત જ આ કાર્યોના સંકલનો માટે અનુરૂપ સૂત્રો (માનક સૂત્રો તરીકે ઓળખાતા) નીચે સૂચિબદ્ધ તરીકે લખી શકીએ છીએ, જેનો ઉપયોગ અન્ય કાર્યોના સંકલનો શોધવા માટે થશે.

$ \begin{array}{ll} \text{વિકલિતો} & \text{સંકલનો (પ્રતિવિકલિતો)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{ખાસ કરીને, આપણે નોંધીએ છીએ કે} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

નોંધ વ્યવહારમાં, આપણે સામાન્ય રીતે તે અંતરાલનો ઉલ્લેખ કરતા નથી કે જેના પર વિવિધ કાર્યો વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. જો કે, કોઈપણ ચોક્કસ સમસ્યામાં એકને તે ધ્યાનમાં રાખવું પડશે.

7.2.1 અનિશ્ચિત સંકલનના કેટલાક ગુણધર્મો

આ ઉપ વિભાગમાં, આપણે અનિશ્ચિત સંકલનોના કેટલાક ગુણધર્મો મેળવીશું.

(I) વિકલન અને સંકલનની પ્રક્રિયાઓ નીચેના પરિણામોના અર્થમાં એકબીજાની વિપરીત છે:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

અને $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

સાબિતી ચાલો $F$ એ $f$ નું કોઈપણ પ્રતિવિકલિત હોય, એટલે કે,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ તેથી }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

તે જ રીતે, આપણે નોંધીએ છીએ કે

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

અને તેથી$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

જ્યાં $C$ એ મનસ્વી અચળાંક છે જેને સંકલનનો અચળાંક કહેવામાં આવે છે.

(II) સમાન વિકલિત ધરાવતા બે અનિશ્ચિત સંકલનો સમાન વળાંકોના કુટુંબ તરફ દોરી જાય છે અને તેથી તે સમકક્ષ છે.

સાબિતી ચાલો $f$ અને $g$ એવા બે કાર્યો હોય કે

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

અથવા $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

તેથી $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, જ્યાં $C$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે

અથવા $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

તેથી વળાંકોના કુટુંબ $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

અને $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

તેથી, આ અર્થમાં, $\int f(x) d x$ અને $\int g(x) d x$ સમકક્ષ છે.

નોંધ કુટુંબો $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ અને $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ ની સમકક્ષતા પરંપરાગત રીતે $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ લખીને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, પરિમાણનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

સાબિતી ગુણધર્મ (I) દ્વારા, આપણી પાસે છે

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

બીજી બાજુ, આપણે શોધીએ છીએ કે

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

આમ, ગુણધર્મ (II) ના આધારે, તે (1) અને (2) દ્વારા અનુસરે છે

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ માટે

સાબિતી ગુણધર્મ (I) દ્વારા, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

પણ $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

તેથી, ગુણધર્મ (II) નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ છે.

(V) ગુણધર્મો (III) અને (IV) ને મર્યાદિત સંખ્યામાં કાર્યો $f_1, f_2, \ldots, f_n$ અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, $k_1, k_2, \ldots, k_n$ આપીને સામાન્ય બનાવી શકાય છે

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

આપેલ કાર્યનું પ્રતિવિકલિત શોધવા માટે, આપણે સાહજિક રીતે એવા કાર્યની શોધ કરીએ છીએ જેનું વિકલિત આપેલ કાર્ય છે. પ્રતિવિકલિત શોધવા માટે જરૂરી કાર્યની શોધને નિરીક્ષણની પદ્ધતિ દ્વારા સંકલન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. અમે તેને કેટલાક ઉદાહરણો દ્વારા સમજાવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1 નિરીક્ષણની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના દરેક કાર્યો માટે એક પ્રતિવિકલિત લખો:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

ઉકેલ

(i) આપણે એવા કાર્યની શોધ કરીએ છીએ જેનું વિકલિત $\cos 2 x$ છે. યાદ રાખો કે

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

અથવા $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

તેથી, $\cos 2 x$ નું એક પ્રતિવિકલિત $\frac{1}{2} \sin 2 x$ છે.

(ii) આપણે એવા કાર્યની શોધ કરીએ છીએ જેનું વિકલિત $3 x^{2}+4 x^{3}$ છે. નોંધ કરો કે

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

તેથી, $3 x^{2}+4 x^{3}$ નું એક પ્રતિવિકલિત $x^{3}+x^{4}$ છે.

(iii) આપણે જાણીએ છીએ કે

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ અને $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

ઉપરોક્તને જોડીને, આપણને $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ મળે છે

તેથી, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ એ $\frac{1}{x}$ ના પ્રતિવિકલિતોમાંનું એક છે.

ઉદાહરણ 2 નીચેના સંકલનો શોધો:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

ઉકેલ

(i) આપણી પાસે છે

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

નોંધ હવેથી, આપણે અંતિમ જવાબમાં સંકલનનો માત્ર એક અચળાંક લખીશું.

(ii) આપણી પાસે છે $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) આપણી પાસે $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$ છે

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 3 નીચેના સંકલનો શોધો:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

ઉકેલ

(i) આપણી પાસે છે $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) આપણી પાસે છે $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) આપણી પાસે છે $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

ઉદાહરણ 4 $F$ નું પ્રતિવિકલિત $f$ શોધો જે $f(x)=4 x^{3}-6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, જ્યાં $F(0)=3$

ઉકેલ $f(x)$ નું એક પ્રતિવિકલિત $x^{4}-6 x$ છે કારણ કે

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

તેથી, પ્રતિવિકલિત $F$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે

આપેલ છે કે $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

તેથી, જરૂરી પ્રતિવિકલિત એ અનન્ય કાર્ય $F$ છે જે $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

ટિપ્પણીઓ

(i) આપણે જોઈએ છીએ કે જો $F$ એ $f$ નું પ્રતિવિકલિત છે, તો $F+C$ પણ છે, જ્યાં $C$ કોઈપણ અચળાંક છે. આમ, જો આપણે $F$ કાર્ય $f$ નું એક પ્રતિવિકલિત જાણીએ, તો આપણે $f$ ના અનંત પ્રતિવિકલિતો લખી શકીએ છીએ $F$ માં કોઈપણ અચળાંક ઉમેરીને જે $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે. કાર્યક્રમોમાં, વધારાની શરતને સંતોષવી જરૂરી છે જે પછી $C$ ની ચોક્કસ કિંમત નક્કી કરે છે જે આપેલ કાર્યનું અનન્ય પ્રતિવિકલિત આપે છે.

(ii) કેટલીકવાર, $F$ પ્રાથમિક કાર્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થઈ શકતું નથી, એટલે કે, બહુપદી, લઘુગણક, ઘાતાંકીય, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો અને તેમના વ્યસ્ત વગેરે. તેથી આપણે $\int f(x) d x$ શોધવા માટે અવરોધિત છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, $\int e^{-x^{2}} d x$ ને નિરીક્ષણ દ્વારા શોધવું શક્ય નથી કારણ કે આપણે એવું કાર્ય શોધી શકતા નથી જેનું વિકલિત $e^{-x^{2}}$ છે

(iii) જ્યારે સંકલનનું ચલ $x$ સિવાયના ચલ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ત્યારે સંકલન સૂત્રો તે મુજબ સુધારવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 સંકલનની પદ્ધતિઓ

પાછલા વિભાગમાં, અમે તે કાર્યોના સંકલનોની ચર્ચા કરી હતી જે કેટલાક કાર્યોના વિકલિતોમાંથી સરળતાથી મેળવી શકાય તેવા હતા. તે નિરીક્ષણ પર આધારિત હતું, એટલે કે, કાર્ય $F$ ની શોધ પર જેનું વિકલિત $f$ છે જે આપણને $f$ ના સંકલન તરફ દોરી ગયું. જો કે, આ પદ્ધતિ, જે નિરીક્ષણ પર આધારિત છે, ઘણા કાર્યો માટે ખૂબ