ગણિતનો અભ્યાસ એટલા માટે કરવો જોઈએ કારણ કે ગણિત દ્વારા જ પ્રકૃતિને સુસંગત સ્વરૂપમાં સમજી શકાય છે. - બિર્ખોફ

8.1 પ્રસ્તાવના

ભૂમિતિમાં, આપણે ત્રિકોણ, લંબચોરસ, સમલંબ ચતુષ્કોણ અને વર્તુળો સહિત વિવિધ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રો શીખ્યા છીએ. આવા સૂત્રો ઘણી વાસ્તવિક જીવનની સમસ્યાઓમાં ગણિતના ઉપયોગ માટે મૂળભૂત છે. પ્રાથમિક ભૂમિતિના સૂત્રો આપણને ઘણી સરળ આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા દે છે. જો કે, વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે તે અપૂરતા છે. તે માટે આપણને સંકલન કલનના કેટલાક ખ્યાલોની જરૂર પડશે.

અગાઉના પ્રકરણમાં, આપણે વક્ર $y=f(x)$, યામ $x=a$, $x=b$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બંધાયેલા ક્ષેત્રફળને શોધવાનો અભ્યાસ કર્યો હતો, જ્યારે નિશ્ચિત સંકલનને સરવાળાની ધારા તરીકે ગણતરી કરી હતી. અહીં, આ પ્રકરણમાં, આપણે સંકલનોના ચોક્કસ ઉપયોગનો અભ્યાસ કરીશું જે સરળ વક્રો હેઠળનું ક્ષેત્રફળ, રેખાઓ અને વર્તુળો, પરવલયો અને

A.L. Cauchy (1789-1857) લંબગોળ (માત્ર પ્રમાણિત સ્વરૂપો) ના ચાપો વચ્ચેના ક્ષેત્રફળને શોધવા માટે છે. આપણે ઉપરોક્ત કહેલા વક્રો દ્વારા બંધાયેલા ક્ષેત્રફળને શોધવા સાથે પણ વ્યવહાર કરીશું.

8.2 સરળ વક્રો હેઠળનું ક્ષેત્રફળ

અગાઉના પ્રકરણમાં, આપણે નિશ્ચિત સંકલનને સરવાળાની ધારા તરીકે અભ્યાસ કર્યો હતો અને કલનના મૂળભૂત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવું તે શીખ્યા હતા. હવે, આપણે વક્ર $y=f(x), x$-અક્ષ અને યામ $x=a$ અને $x=b$ દ્વારા બંધાયેલા ક્ષેત્રફળને શોધવાની સરળ અને સાહજિક રીત ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. આકૃતિ 8.1 માંથી, આપણે વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળને ઘણી બધી પાતળી ઊભી પટ્ટીઓથી બનેલા તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. ઊંચાઈ $y$ અને પહોળાઈ $d x$ ની એક મનસ્વી પટ્ટી ધ્યાનમાં લો, તો $d A$ (પ્રાથમિક પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ) $=y d x$, જ્યાં, $y=f(x)$.

આ ક્ષેત્રફળને પ્રાથમિક ક્ષેત્રફળ કહેવામાં આવે છે જે $x$ ના કેટલાક મૂલ્ય દ્વારા સ્પષ્ટ કરાયેલા પ્રદેશની અંદર મનસ્વી સ્થિતિ પર સ્થિત છે, જે $a$ અને $b$ વચ્ચે છે. આપણે $x$-અક્ષ, યામ $x=a, x=b$ અને વક્ર $y=f(x)$ વચ્ચેના પ્રદેશના કુલ ક્ષેત્રફળ A ને પ્રદેશ PQRSP ને આડઅસર કરતી પાતળી પટ્ટીઓના પ્રાથમિક ક્ષેત્રફળોને ઉમેરવાના પરિણામ તરીકે વિચારી શકીએ છીએ. પ્રતીકાત્મક રીતે, આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

વક્ર $x=g(y), y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=c$, $y=d$ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે પ્રમાણે આપવામાં આવે છે

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

અહીં, આપણે આકૃતિ 8.2 માં બતાવ્યા પ્રમાણે આડી પટ્ટીઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ

આકૃતિ 8.2

ટિપ્પણી જો વિચારણા હેઠળના વક્રની સ્થિતિ $x$-અક્ષની નીચે હોય, તો $f(x)<0$ $x=a$ થી $x=b$ સુધી હોવાથી, જેમ કે આકૃતિ 8.3 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, વક્ર, $x$-અક્ષ અને યામ $x=a, x=b$ દ્વારા બંધાયેલું ક્ષેત્રફળ નકારાત્મક આવે છે. પરંતુ, ફક્ત ક્ષેત્રફળના આંકડાકીય મૂલ્યને જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આમ, જો ક્ષેત્રફળ નકારાત્મક હોય, તો આપણે તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય લઈએ છીએ, એટલે કે, $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

આકૃતિ 8.3

સામાન્ય રીતે, એવું બની શકે છે કે વક્રનો કેટલાક ભાગ $x$-અક્ષની ઉપર હોય અને કેટલાક ભાગ $x$-અક્ષની નીચે હોય, જેમ કે આકૃતિ 8.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. અહીં, $A_1<0$ અને $A_2>0$. તેથી, વક્ર $y=f(x), x$-અક્ષ અને યામ $x=a$ અને $x=b$ દ્વારા બંધાયેલું ક્ષેત્રફળ A $A=|A_1|+A_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

આકૃતિ 8.4

ઉદાહરણ 1 વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ આકૃતિ 8.5 માંથી, આપેલા વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું સંપૂર્ણ ક્ષેત્રફળ $=4$ (વક્ર, $x$-અક્ષ અને યામ $x=0$ અને $x=a$ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશ AOBA નું ક્ષેત્રફળ) [કારણ કે વર્તુળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષ સંમિત છે]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

કારણ કે $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ આપે છે

આકૃતિ 8.5

પ્રદેશ AOBA પ્રથમ ચરણમાં આવેલો હોવાથી, $y$ ધન તરીકે લેવામાં આવે છે. સંકલન કરતાં, આપેલા વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલું સંપૂર્ણ ક્ષેત્રફળ મળે છે

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

વૈકલ્પિક રીતે, આકૃતિ 8.6 માં બતાવ્યા પ્રમાણે આડી પટ્ટીઓ ધ્યાનમાં લેતાં, વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું સંપૂર્ણ ક્ષેત્રફળ

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(શા માટે?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

આકૃતિ 8.6

ઉદાહરણ 2 લંબગોળ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો

ઉકેલ આકૃતિ 8.7 માંથી, લંબગોળ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશ $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ નું ક્ષેત્રફળ

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(કારણ કે લંબગોળ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેની સાપેક્ષ સંમિત છે)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ઊભી પટ્ટીઓ લેતાં)

હવે $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ આપે છે, પરંતુ પ્રદેશ AOBA પ્રથમ ચરણમાં આવેલો હોવાથી, $y$ ધન તરીકે લેવામાં આવે છે. તેથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ છે

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (શા માટે) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

આકૃતિ 8.7

વૈકલ્પિક રીતે, આકૃતિ 8.8 માં બતાવ્યા પ્રમાણે આડી પટ્ટીઓ ધ્યાનમાં લેતાં, લંબગોળનું ક્ષેત્રફળ છે

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

આકૃતિ 8.8

વિવિધ ઉદાહરણો

ઉદાહરણ 3 રેખા $y=3 x+2$, $x$-અક્ષ અને યામ $x=-1$ અને $x=1$ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ આકૃતિ 8.9 માં બતાવ્યા પ્રમાણે, રેખા $y=3 x+2$ $x$-અક્ષને $x=\frac{-2}{3}$ પર છેદે છે અને તેનો આલેખ $x$-અક્ષની નીચે $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ માટે અને $x$-અક્ષની ઉપર $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ માટે આવેલો છે.

જરૂરી ક્ષેત્રફળ $=$ પ્રદેશ $ACBA+$ નું ક્ષેત્રફળ પ્રદેશ ADEA નું ક્ષેત્રફળ

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

આકૃતિ 8.9

ઉદાહરણ 4 વક્ર $y=\cos x$ દ્વારા $x=0$ અને $x=2 \pi$ વચ્ચે બંધાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ઉકેલ આકૃતિ 8.10 માંથી, જરૂરી ક્ષેત્રફળ $=$ પ્રદેશ $OABO+$ નું ક્ષેત્રફળ પ્રદેશ $BCDB+$ નું ક્ષેત્રફળ પ્રદેશ DEFD નું ક્ષેત્રફળ.

આકૃતિ 8.10

આમ, આપણી પાસે જરૂરી ક્ષેત્રફળ છે

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

સારાંશ

વક્ર $y=f(x), x$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=a$ અને $x=b(b>a)$ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ક્ષેત્રફળ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. વક્ર $x=\phi(y), y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y=c, y=d$ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: ક્ષેત્રફળ $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

ઐતિહાસિક નોંધ

સંકલન કલનનો ઉદ્ગમ ગણિતના વિકાસના પ્રારંભિક સમયગાળા સુધી પાછો જાય છે અને તે પ્રાચીન ગ્રીસના ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા વિકસિત કરાયેલી ખલાસીની પદ્ધતિ સાથે સંબંધિત છે. આ પદ્ધતિ સમતલ આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળ, ઘન પદાર્થોના પૃષ્ઠીય ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ વગેરેની ગણતરીની સમસ્યાઓના ઉકેલમાં ઉદ્ભવી હતી. આ અર્થમાં, ખલાસીની પદ્ધતિને સંકલનની પ્રારંભિક પદ્ધતિ તરીકે ગણી શકાય. પ્રારંભિક સમયગાળામાં ખલાસીની પદ્ધતિનો સૌથી મોટો વિકાસ યુડોક્સસ (440 બી.સી.) અને આર્કિમિડીઝ (300 બી.સી.) ના કાર્યોમાં મળ્યો હતો.

કલનના સિદ્ધાંતનો વ્યવસ્થિત અભિગમ 17મી સદીમાં શરૂ થયો હતો. 1665 માં, ન્યૂટને કલન પર તેમનું કાર્ય શરૂ કર્યું હતું જેને તેમણે ફ્લક્સિયન્સના સિદ્ધાંત તરીકે વર્ણવ્યું હતું અને વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ પર સ્પર્શક અને વક્રતા ત્રિજ્યા શોધવા માટે તેમના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ન્યૂટને વ્યસ્ત ફંક્શનની મૂળભૂત સંકલ્પના રજૂ કરી જેને પ્રતિવિકલિત (અનિશ્ચિત સંકલન) અથવા સ્પર્શકોની વ્યસ્ત પદ્ધતિ કહેવાય છે.

1684-86 દરમિયાન, લીબનીઝે એક્ટા એરુડિટોરમમાં એક લેખ પ્રકાશિત કર્યો હતો જેને તેમણે કેલ્ક્યુલસ સમ્મેટોરિયસ કહ્યો હતો, કારણ કે તે અનંત નાના ક્ષેત્રફળોના સરવાળા સાથે જોડાયેલો હતો, જેનો સરવાળો તેમણે ‘∫’ પ્રતીક દ્વારા દર્શાવ્યો હતો. 1696 માં, તેમણે J. બર્નૌલી દ્વારા કરાયેલા સૂચનને અનુસરીને આ લેખને કેલ્ક્યુલસ ઇન્ટિગ્રલીમાં બદલ્યો. આ ન્યૂટનની સ્પર્શકોની વ્યસ્ત પદ્ધતિને અનુરૂપ હતું.

ન્યૂટન અને લીબનીઝ બંને એકદમ સ્વતંત્ર અભિગમો અપનાવ્યા હતા જે મૂળભૂત રીતે અલગ હતા. જો કે, સંબંધિત સિદ્ધાંતોએ વ્યવહારીક રીતે સમાન પરિણામો પ્રાપ્ત કર્યા હતા. લીબનીઝે નિશ્ચિત સંકલનની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કર્યો હતો અને શું ચોક્કસ છે તે એ છે કે તેમણે પ્રથમ વખત પ્રતિવિકલિત અને નિશ્ચિત સંકલન વચ્ચેનો સંબંધ સ્પષ્ટ રીતે સમજ્યા હતા.

નિષ્કર્ષમાં, સંકલન કલનની મૂળભૂત સંકલ્પનાઓ અને સિદ્ધાંત અને મુખ્યત્વે વિકલન કલન સાથેના તેના સંબંધો 17મી સદીના અંતે P.de ફર્માટ, I. ન્યૂટન અને G. લીબનીઝના કાર્યમાં વિકસિત થયા હતા. જો કે, ધારાની સંકલ્પના દ્વારા આ ન્યાય 19મી સદીની શરૂઆતમાં A.L. કોશીના કાર્યોમાં જ વિકસિત થયો હતો. છેલ્લે, લી સોફીસના નીચેના ઉદ્ધરણને ઉલ્લેખ કરવો યોગ્ય છે:

“એવું કહી શકાય કે વિકલન ગુણોત્તર અને સંકલનની સંકલ્પનાઓ જેનો ઉદ્ગમ ચોક્કસપણે આર્કિમિડીઝ સુધી પાછો જાય છે તે વિજ્ઞાનમાં કેપ્લર, ડેસકાર્ટેસ, કાવાલિયરી, ફર્માટ અને વૉલિસની શોધખોળ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવી હતી …. વિકલન અને સંકલન વ્યસ્ત ક્રિયાઓ છે તે શોધ ન્યૂટન અને લીબનીઝની છે”.