જે વ્યક્તિ કોઈ ચોક્કસ સમસ્યા વિચાર્યા વિના પદ્ધતિઓ શોધે છે તે મોટે ભાગે વ્યર્થ શોધે છે. - ડી. હિલ્બર્ટ

9.1 પ્રસ્તાવના

કક્ષા XI અને વર્તમાન પુસ્તકના અધ્યાય 5 માં, આપણે ચર્ચા કરી હતી કે આપેલ ફલન $f$ ને સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં કેવી રીતે વિકલિત કરવું, એટલે કે, આપેલ ફલન $f$ માટે તેના વ્યાખ્યાના પ્રદેશમાં દરેક $x$ પર $f^{\prime}(x)$ કેવી રીતે શોધવું. વધુમાં, સંકલન કલનના અધ્યાયમાં, આપણે ચર્ચા કરી હતી કે એવું ફલન $f$ કેવી રીતે શોધવું જેનું વિકલિત ફલન $g$ છે, જેને નીચે પ્રમાણે પણ ઘડી શકાય છે:

આપેલ ફલન $g$ માટે, એવું ફલન $f$ શોધો કે જેથી

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

હેનરી પોઇનકેર $(1854-1912)$

સ્વરૂપ (1) ના સમીકરણને વિકલ સમીકરણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ઔપચારિક વ્યાખ્યા પછી આપવામાં આવશે.

આ સમીકરણો વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થતા ઉપયોગોમાંથી ઉદ્ભવે છે, ભલે તે ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, જીવવિજ્ઞાન, માનવશાસ્ત્ર, ભૂવિજ્ઞાન, અર્થશાસ્ત્ર વગેરેમાં હોય. તેથી, વિકલ સમીકરણોનો ઊંડાણપૂર્વકનો અભ્યાસ તમામ આધુનિક વૈજ્ઞાનિક તપાસોમાં મુખ્ય મહત્વ ધરાવે છે.

આ અધ્યાયમાં, આપણે વિકલ સમીકરણ સાથે સંબંધિત કેટલાક મૂળભૂત ખ્યાલો, વિકલ સમીકરણના સામાન્ય અને વિશિષ્ટ ઉકેલો, વિકલ સમીકરણોની રચના, પ્રથમ ક્રમ - પ્રથમ ઘાતના વિકલ સમીકરણને ઉકેલવાની કેટલીક પદ્ધતિઓ અને વિકલ સમીકરણોના વિવિધ ક્ષેત્રોમાં થતા કેટલાક ઉપયોગોનો અભ્યાસ કરીશું.

9.2 મૂળભૂત ખ્યાલો

આપણે પહેલાથી જ નીચેના પ્રકારના સમીકરણોથી પરિચિત છીએ:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

ચાલો સમીકરણ ધ્યાનમાં લઈએ:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણો (1), (2) અને (3) માં માત્ર સ્વતંત્ર અને/અથવા આધારિત ચલ(ઓ) સમાવિષ્ટ છે પરંતુ સમીકરણ (4) માં ચલો સાથે સ્વતંત્ર ચલ $x$ના સંદર્ભમાં આધારિત ચલ $y$ નું વિકલિત પણ સમાવિષ્ટ છે. આવા સમીકરણને વિકલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, સ્વતંત્ર ચલ(ઓ)ના સંદર્ભમાં આધારિત ચલના વિકલિત(ઓ) ધરાવતા સમીકરણને વિકલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

એક વિકલ સમીકરણ જેમાં આધારિત ચલના વિકલિતો માત્ર એક જ સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં હોય તેને સામાન્ય વિકલ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ એક સામાન્ય વિકલ સમીકરણ છે } $

અલબત્ત, એવા વિકલ સમીકરણો પણ છે જેમાં એક કરતાં વધુ સ્વતંત્ર ચલોના સંદર્ભમાં વિકલિતો હોય છે, જેને આંશિક વિકલ સમીકરણો કહેવામાં આવે છે પરંતુ આ સ્તરે આપણે માત્ર સામાન્ય વિકલ સમીકરણોના અભ્યાસ સુધી મર્યાદિત રહેશું. હવેથી, આપણે ‘સામાન્ય વિકલ સમીકરણ’ માટે ‘વિકલ સમીકરણ’ શબ્દનો ઉપયોગ કરીશું.

નોંધ

1. આપણે વિકલિતો માટે નીચેના સંકેતોનો ઉપયોગ કરવાનું પસંદ કરીશું:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ઉચ્ચ ક્રમના વિકલિતો માટે, ઘણા બધા ડેશ સુપરસફિક્સ તરીકે વાપરવા અસુવિધાજનક હશે, તેથી આપણે $n$મા ક્રમના વિકલિત $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ માટે $y_n$ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

9.2.1 વિકલ સમીકરણનો ક્રમ

વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ આપેલ વિકલ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ સ્વતંત્ર ચલના સંદર્ભમાં આધારિત ચલના ઉચ્ચતમ ક્રમના વિકલિતના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

નીચેના વિકલ સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

સમીકરણો (6), (7) અને (8) માં અનુક્રમે પ્રથમ, બીજા અને ત્રીજા ક્રમના ઉચ્ચતમ વિકલિત સમાવિષ્ટ છે. તેથી, આ સમીકરણોના ક્રમ અનુક્રમે 1,2 અને 3 છે.

9.2.2 વિકલ સમીકરણની ઘાત

વિકલ સમીકરણની ઘાતનો અભ્યાસ કરવા માટે, મુખ્ય મુદ્દો એ છે કે વિકલ સમીકરણ વિકલિતોમાં બહુપદી સમીકરણ હોવું જોઈએ, એટલે કે, $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ વગેરે. નીચેના વિકલ સમીકરણો ધ્યાનમાં લો:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

આપણે જોઈએ છીએ કે સમીકરણ (9) એ $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ અને $y^{\prime}$ માં બહુપદી સમીકરણ છે, સમીકરણ (10) એ $y^{\prime}$ માં બહુપદી સમીકરણ છે ($y$ માં બહુપદી નથી છતાં). આવા વિકલ સમીકરણોની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. પરંતુ સમીકરણ (11) એ $y^{\prime}$ માં બહુપદી સમીકરણ નથી અને આવા વિકલ સમીકરણની ઘાત વ્યાખ્યાયિત કરી શકાતી નથી.

વિકલ સમીકરણની ઘાત દ્વારા, જ્યારે તે વિકલિતોમાં બહુપદી સમીકરણ હોય, ત્યારે આપણો અર્થ આપેલ વિકલ સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ ઉચ્ચતમ ક્રમના વિકલિતની ઉચ્ચતમ ઘાત (ધન પૂર્ણાંક ઘાતાંક) થાય છે.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યાના આધારે, કોઈ જોઈ શકે છે કે વિકલ સમીકરણો (6), (7), (8) અને (9) દરેકની ઘાત એક છે, સમીકરણ (10) ની ઘાત બે છે જ્યારે વિકલ સમીકરણ (11) ની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

નોંધ વિકલ સમીકરણનો ક્રમ અને ઘાત (જો વ્યાખ્યાયિત હોય તો) હંમેશા ધન પૂર્ણાંકો હોય છે.

ઉદાહરણ 1 નીચેના દરેક વિકલ સમીકરણનો ક્રમ અને ઘાત (જો વ્યાખ્યાયિત હોય તો) શોધો:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

ઉકેલ

(i) વિકલ સમીકરણમાં હાજર ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d y}{d x}$ છે, તેથી તેનો ક્રમ એક છે. તે $y^{\prime}$ માં બહુપદી સમીકરણ છે અને $\frac{d y}{d x}$ પર ઉઠાવેલી ઉચ્ચતમ ઘાત એક છે, તેથી તેની ઘાત એક છે.

(ii) આપેલ વિકલ સમીકરણમાં હાજર ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ છે, તેથી તેનો ક્રમ બે છે. તે $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ અને $\frac{d y}{d x}$ માં બહુપદી સમીકરણ છે અને $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ પર ઉઠાવેલી ઉચ્ચતમ ઘાત એક છે, તેથી તેની ઘાત એક છે.

(iii) વિકલ સમીકરણમાં હાજર ઉચ્ચતમ ક્રમનું વિકલિત $y^{\prime \prime \prime}$ છે, તેથી તેનો ક્રમ ત્રણ છે. આપેલ વિકલ સમીકરણ તેના વિકલિતોમાં બહુપદી સમીકરણ નથી અને તેથી તેની ઘાત વ્યાખ્યાયિત નથી.

9.3 વિકલ સમીકરણના સામાન્ય અને વિશિષ્ટ ઉકેલો

પહેલાની કક્ષાઓમાં, આપણે નીચેના પ્રકારના સમીકરણો ઉકેલ્યા છે:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

સમીકરણો (1) અને (2) ના ઉકેલો એ સંખ્યાઓ છે, વાસ્તવિક અથવા જટિલ, જે આપેલ સમીકરણને સંતોષશે એટલે કે, જ્યારે તે સંખ્યા આપેલ સમીકરણમાં અજ્ઞાત $x$ ને બદલે મૂકવામાં આવે, ત્યારે ડા.બા. (L.H.S.) જમણી બાજુ (R.H.S.) બરાબર થાય.

હવે વિકલ સમીકરણ ધ્યાનમાં લો

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

પ્રથમ બે સમીકરણોની વિરુદ્ધમાં, આ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ એક ફલન $\phi$ છે જે તેને સંતોષશે એટલે કે, જ્યારે ફલન $\phi$ ને આપેલ વિકલ સમીકરણમાં અજ્ઞાત $y$ (આધારિત ચલ) ને બદલે મૂકવામાં આવે, ત્યારે ડા.બા. (L.H.S.) જમણી બાજુ (R.H.S.) બરાબર થાય.

વક્ર $y=\phi(x)$ ને આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ વક્ર (સંકલન વક્ર) કહેવામાં આવે છે. નીચે પ્રમાણે આપેલ ફલન ધ્યાનમાં લો

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

જ્યાં $a, b \in \mathbf{R}$. જ્યારે આ ફલન અને તેનું વિકલિત સમીકરણ (3) માં મૂકવામાં આવે, ત્યારે ડા.બા. = જ.બા.. તેથી તે વિકલ સમીકરણ (3) નો એક ઉકેલ છે.

ચાલો $a$ અને $b$ ને કેટલાક વિશિષ્ટ મૂલ્યો આપીએ, ધારો કે $a=2$ અને $b=\frac{\pi}{4}$, તો આપણને ફલન મળે છે

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

જ્યારે આ ફલન અને તેનું વિકલિત સમીકરણ (3) માં ફરીથી મૂકવામાં આવે, ત્યારે ડા.બા. = જ.બા.. તેથી $\phi_1$ પણ સમીકરણ (3) નો એક ઉકેલ છે.

ફલન $\phi$ માં બે મનસ્વી અચળાંકો (પરિમાણો) $a, b$ હોય છે અને તેને આપેલ વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે ફલન $\phi_1$ માં કોઈ મનસ્વી અચળાંકો નથી પરંતુ માત્ર પરિમાણો $a$ અને $b$ ના વિશિષ્ટ મૂલ્યો જ છે અને તેથી તેને આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે. ઉકેલ જેમાં મનસ્વી અચળાંકો હોય તેને વિકલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (પ્રાથમિક) કહેવામાં આવે છે.

મનસ્વી અચળાંકોથી મુક્ત ઉકેલ એટલે કે, સામાન્ય ઉકેલમાં મનસ્વી અચળાંકોને વિશિષ્ટ મૂલ્યો આપીને મેળવેલ ઉકેલને વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 2 ચકાસો કે ફલન $y=e^{-3 x}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ નો ઉકેલ છે.

ઉકેલ આપેલ ફલન $y=e^{-3 x}$ છે. સમીકરણની બંને બાજુઓને $x$ ના સંદર્ભમાં વિકલિત કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

હવે, (1) ને $x$ ના સંદર્ભમાં વિકલિત કરતાં, આપણી પાસે છે

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ અને $y$ ના મૂલ્યો આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતાં, આપણને મળે છે

ડા.બા. $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ જ.બા..

તેથી, આપેલ ફલન આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 3 ચકાસો કે ફલન $y=a \cos x+b \sin x$, જ્યાં, $a, b \in \mathbf{R}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ નો ઉકેલ છે.

ઉકેલ આપેલ ફલન છે

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓને $x$ ના સંદર્ભમાં ક્રમિક રીતે વિકલિત કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ અને $y$ ના મૂલ્યો આપેલ વિકલ સમીકરણમાં મૂકતાં, આપણને મળે છે

ડા.બા. $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ જ.બા.

તેથી, આપેલ ફલન આપેલ વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

9.4 પ્રથમ ક્રમ, પ્રથમ ઘાતના વિકલ સમીકરણો ઉકેલવાની પદ્ધતિઓ

આ વિભાગમાં આપણે પ્રથમ ક્રમ પ્રથમ ઘાતના વિકલ સમીકરણો ઉકેલવાની ત્રણ પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરીશું.

9.4.1 ચલો અલગ પાડી શકાય તેવા વિકલ સમીકરણો

પ્રથમ ક્રમ-પ્રથમ ઘાતનું વિકલ સમીકરણ નીચેના સ્વરૂપનું હોય છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

જો $F(x, y)$ ને ગુણાકાર $g(x) h(y)$ તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય, જ્યાં, $g(x)$ એ $x$ નું ફલન છે અને $h(y)$ એ $y$ નું ફલન છે, તો વિકલ સમીકરણ (1) ને ચલો અલગ પાડી શકાય તે પ્રકારનું કહેવામાં આવે છે. વિકલ સમીકરણ (1) નું પછી નીચેનું સ્વરૂપ હોય છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

જો $h(y) \neq 0$ હોય, તો ચલોને અલગ કરીને, (2) ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

આમ, (4) આપેલ વિકલ સમીકરણના ઉકેલોને સ્વરૂપમાં પૂરા પાડે છે

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

અહીં, $H(y)$ અને $G(x)$ અનુક્રમે $\frac{1}{h(y)}$ અને $g(x)$ ના પ્રતિવિકલિત છે અને $C$ મનસ્વી અચળાંક છે.

ઉદાહરણ 4 વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ નો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ આપણી પાસે છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

સમીકરણ (1) માં ચલોને અલગ કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

સમીકરણ (2) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

જે સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 5 વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ નો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ કારણ કે $1+y^{2} \neq 0$, તેથી ચલોને અલગ કરીને, આપેલ વિકલ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

જે સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ 6 વિકલ સમીકરણ $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો, જ્યારે $x=0$ હોય ત્યારે $y=1$ આપેલ છે.

ઉકેલ જો $y \neq 0$ હોય, તો આપેલ વિકલ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ અને $x=0$ ને સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, આપણને મળે છે, $C=-1$.

હવે $C$ નું મૂલ્ય સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, આપણને આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ તરીકે મળે છે.

ઉદાહરણ 7 બિંદુ $(1,1)$માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો જેનું વિકલ સમીકરણ $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ છે.

ઉકેલ આપેલ વિકલ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

સમીકરણ (1) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

સમીકરણ (2) આપેલ વિકલ સમીકરણના ઉકેલ વક્રોના કુટુંબનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે પરંતુ આપણે તે કુટુંબના એક વિશિષ્ટ સભ્યના સમીકરણમાં રસ ધરાવીએ છીએ જે બિંદુ $(1,1)$માંથી પસાર થાય છે. તેથી સમીકરણ (2) માં $x=1, y=1$ મૂકતાં, આપણને $C=0$ મળે છે.

હવે $C$ નું મૂલ્ય સમીકરણ (2) માં મૂકતાં, આપણને જરૂરી વક્રનું સમીકરણ $y=x^{2}+\log |x|$ તરીકે મળે છે.

ઉદાહરણ 8 બિંદુ $(-2,3)$માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો, આપેલ છે કે કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર વક્રની સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2 x}{y^{2}}$ છે.

ઉકેલ આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રની સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{d y}{d x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

ચલોને અલગ કરીને, સમીકરણ (1) ને નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

સમીકરણ (2) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ ને સમીકરણ (3) માં મૂકતાં, આપણને $C=5$ મળે છે.

$C$ નું મૂલ્ય સમીકરણ (3) માં મૂકતાં, આપણને જરૂરી વક્રનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

ઉદાહરણ 9 એક બેંકમાં, મુખ્ય રકમ સતત 5% પ્રતિ વર્ષનો દરથી વધે છે. કેટલા વર્ષોમાં રૂ. 1000 બમણું થશે?

ઉકેલ ધારો કે કોઈપણ સમય $t$ પર મુખ્ય રકમ $P$ છે. આપેલ સમસ્યા મુજબ,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

સમીકરણ (1) માં ચલોને અલગ કરીને, આપણને મળે છે

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

સમીકરણ (2) ની બંને બાજુઓનું સંકલન કરતાં, આપણને મળે છે

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

હવે $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ અને $t$ ના મૂલ્યો (3) માં મૂકતાં, આપણને $C=1000$ મળે છે.

તેથી, સમીકરણ (3) આપે છે

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

ધારો કે મુખ્ય રકમને બમણી કરવા માટે $t$ વર્ષ જરૂરી સમય છે. તો

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

9.4.2 સમઘાત વિકલ સમીકરણો

$x$ અને $y$ માં નીચેના ફલનો ધ્યાનમાં લો

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

જો આપણે ઉપરોક્ત ફલનોમાં $x$ અને $y$ ને અનુક્રમે $\lambda x$ અને $\lambda y$ દ્વારા બદલીએ, કોઈપણ શૂન્યેતર અચળાંક $\lambda$ માટે, આપણને મળે છે

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{