10.1 પ્રસ્તાવના

1637 માં ડેસકાર્ટેસે પ્રકાશનું કણ મોડલ આપ્યું અને સ્નેલનો નિયમ મેળવ્યો. તે એક ઇન્ટરફેસ પર પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમોને સમજાવ્યા. કણ મોડલે આગાહી કરી કે જો પ્રકાશનો કિરણ (વક્રીભવન પર) સામાન્ય તરફ વળે છે, તો બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ વધારે હશે. પ્રકાશના આ કણ મોડલને આઇઝેક ન્યૂટને તેમના પ્રખ્યાત પુસ્તક ઓપ્ટિક્સમાં વધુ વિકસિત કર્યું અને આ પુસ્તકની જબરદસ્ત લોકપ્રિયતાને કારણે, કણ મોડલ ઘણી વાર ન્યૂટનને આભારી છે.

1678 માં, ડચ ભૌતિકશાસ્ત્રી ક્રિશ્ચિયન હાયજેન્સે પ્રકાશનો તરંગ સિદ્ધાંત રજૂ કર્યો - આ પ્રકાશનું તરંગ મોડલ છે જે આપણે આ અધ્યાયમાં ચર્ચા કરીશું. જેમ આપણે જોઈશું, તરંગ મોડલ પરાવર્તન અને વક્રીભવનની ઘટનાઓને સંતોષકારક રીતે સમજાવી શક્યું; જો કે, તેની આગાહી કરી કે વક્રીભવન પર જો તરંગ સામાન્ય તરફ વળે છે, તો બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ ઓછી હશે. આ પ્રકાશના કણ મોડલનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવેલી આગાહીનો વિરોધાભાસ છે. તે ઘણી પછી પ્રયોગો દ્વારા પુષ્ટિ થઈ જ્યાં બતાવવામાં આવ્યું કે પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ હવામાં ઝડપ કરતાં ઓછી છે જે તરંગ મોડલની આગાહીની પુષ્ટિ કરે છે; ફોકોલ્ટે 1850 માં આ પ્રયોગ હાથ ધર્યો.

તરંગ સિદ્ધાંત સહેલાઈથી સ્વીકારવામાં આવ્યો ન હતો મુખ્યત્વે ન્યૂટનના અધિકારને કારણે અને એટલા માટે પણ કે પ્રકાશ નિર્વાત દ્વારા પ્રવાસ કરી શકે છે અને એવી લાગણી હતી કે તરંગને હંમેશા એક બિંદુથી બીજા સુધી પ્રસરવા માટે માધ્યમની જરૂર પડશે. જો કે, જ્યારે થોમસ યંગે 1801 માં તેમનો પ્રખ્યાત વ્યતિકરણ પ્રયોગ કર્યો, ત્યારે તે દૃઢપણે સ્થાપિત થયું કે પ્રકાશ ખરેખર એક તરંગ ઘટના છે. દૃશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઈ માપવામાં આવી અને તે અત્યંત નાની જોવા મળી; ઉદાહરણ તરીકે, પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ લગભગ $0.6 \mu \mathrm{m}$ છે. દૃશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઈની નાનકડાપણાને કારણે (સામાન્ય અરીસા અને લેન્સના પરિમાણોની સરખામણીમાં), પ્રકાશ લગભગ સીધી રેખાઓમાં પ્રવાસ કરે છે તેવું માની શકાય છે. આ ભૂમિતીય પ્રકાશિકાનું ક્ષેત્ર છે, જે આપણે પાછલા અધ્યાયમાં ચર્ચા કરી હતી. ખરેખર, પ્રકાશિકાની શાખા જેમાં કોઈ તરંગલંબાઈની મર્યાદિતતાને સંપૂર્ણપણે અવગણે છે તેને ભૂમિતીય પ્રકાશિકા કહેવામાં આવે છે અને તરંગલંબાઈ શૂન્ય તરફ વળે છે તે મર્યાદામાં ઊર્જા પ્રસારણના માર્ગ તરીકે કિરણને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

1801 માં યંગના વ્યતિકરણ પ્રયોગ પછી, આગામી 40 વર્ષ અથવા તેથી વધુ સમય માટે, પ્રકાશ તરંગોના વ્યતિકરણ અને વિવર્તનને સમાવતા ઘણા પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવ્યા હતા; આ પ્રયોગો માત્ર પ્રકાશના તરંગ મોડલને ધારીને જ સંતોષકારક રીતે સમજાવી શકાયા હતા. આમ, ઓગણીસમી સદીની મધ્યમાં, તરંગ સિદ્ધાંત ખૂબ જ સારી રીતે સ્થાપિત થયેલો લાગતો હતો. એકમાત્ર મુખ્ય મુશ્કેલી એ હતી કે તરંગને તેના પ્રસારણ માટે માધ્યમની જરૂર હોવાનું માનવામાં આવતું હતું, પ્રકાશ તરંગો નિર્વાત દ્વારા કેવી રીતે પ્રસરી શકે છે. જ્યારે મેક્સવેલે પ્રકાશનો તેમનો પ્રખ્યાત વિદ્યુતચુંબકીય સિદ્ધાંત રજૂ કર્યો ત્યારે આ સમજાવવામાં આવ્યું હતું. મેક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના નિયમોનું વર્ણન કરતા સમીકરણોનો સમૂહ વિકસાવ્યો હતો અને આ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને તેણે તરંગ સમીકરણ મેળવ્યું જેમાંથી તેણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો* ના અસ્તિત્વની આગાહી કરી. તરંગ સમીકરણમાંથી, મેક્સવેલ મુક્ત અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપની ગણતરી કરી શક્યો અને તેને જાણવા મળ્યું કે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય પ્રકાશની ઝડપના માપેલા મૂલ્યની ખૂબ નજીક છે. આમાંથી, તેણે દલીલ કરી કે પ્રકાશ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ હોવો જોઈએ. આમ, મેક્સવેલ મુજબ, પ્રકાશ તરંગો બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો સાથે સંકળાયેલા છે; બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર સમય અને અવકાશ બદલતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય અને અવકાશ બદલતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના પરિણામે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (અથવા પ્રકાશ તરંગો) નું પ્રસરણ નિર્વાતમાં પણ થાય છે.

આ અધ્યાયમાં આપણે પહેલા હાયજેન્સ સિદ્ધાંતના મૂળ સૂત્રીકરણની ચર્ચા કરીશું અને પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમો મેળવીશું. વિભાગ 10.4 અને 10.5 માં, આપણે વ્યતિકરણની ઘટનાની ચર્ચા કરીશું જે સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. વિભાગ 10.6 માં આપણે વિવર્તનની ઘટનાની ચર્ચા કરીશું જે હાયજેન્સ-ફ્રેસ્નેલ સિદ્ધાંત પર આધારિત છે. છેલ્લે વિભાગ 10.7 માં આપણે ધ્રુવીકરણની ઘટનાની ચર્ચા કરીશું જે એ હકીકત પર આધારિત છે કે પ્રકાશ તરંગો આડા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.

• મેક્સવેલે લગભગ 1855 ની આસપાસ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી; તે ઘણું પછી (લગભગ 1890) હેનરિચ હર્ટ્ઝે પ્રયોગશાળામાં રેડિયો તરંગો ઉત્પન્ન કર્યા. જે.સી. બોઝ અને જી. માર્કોનીએ હર્ટ્ઝિયન તરંગોનો વ્યવહારિક ઉપયોગ કર્યો

10.2 હાયજેન્સ સિદ્ધાંત

આપણે પહેલા તરંગાગ્રની વ્યાખ્યા આપીશું: જ્યારે આપણે પાણીના શાંત તળાવ પર એક નાનો પથ્થર છોડીએ છીએ, ત્યારે અસરના બિંદુથી તરંગો ફેલાય છે. સપાટી પરનો દરેક બિંદુ સમય સાથે ઓસિલેટ થાય છે. કોઈપણ ક્ષણે, સપાટીનો ફોટોગ્રાફ ગોળાકાર રિંગ બતાવશે જેના પર વિક્ષોભ મહત્તમ છે. દેખીતી રીતે, આવા વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન કળામાં ઓસિલેટ થાય છે કારણ કે તેઓ સ્રોતથી સમાન અંતરે છે. આવા બિંદુઓનો સ્થાન, જે સમાન કળામાં ઓસિલેટ થાય છે તેને તરંગાગ્ર કહેવામાં આવે છે; આમ તરંગાગ્રને સતત કળાની સપાટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જે ઝડપથી તરંગાગ્ર સ્રોતથી બહાર તરફ જાય છે તેને તરંગની ઝડપ કહેવામાં આવે છે. તરંગની ઊર્જા તરંગાગ્રને લંબરૂપ દિશામાં પ્રવાસ કરે છે.

આકૃતિ 10.1 (a) એક બિંદુ સ્રોતમાંથી નીકળતો વિચલિત ગોળાકાર તરંગ. તરંગાગ્રો ગોળાકાર છે.

આકૃતિ 10.1 (b) સ્રોતથી મોટા અંતરે, ગોળાકાર તરંગનો નાનો ભાગ સમતલ તરંગ દ્વારા અંદાજીત કરી શકાય છે.

જો આપણી પાસે એક બિંદુ સ્રોત છે જે તમામ દિશાઓમાં સમાનરૂપે તરંગો ઉત્સર્જિત કરે છે, તો તે બિંદુઓનો સ્થાન જે સમાન કંપનવિસ્તાર અને સમાન કળામાં કંપન કરે છે તે ગોળાકાર છે અને આપણી પાસે ગોળાકાર તરંગ તરીકે ઓળખાય છે જે આકૃતિ 10.1(a) માં બતાવ્યા પ્રમાણે છે. સ્રોતથી મોટા અંતરે, ગોળાનો નાનો ભાગ સમતલ તરીકે ગણી શકાય છે અને આપણી પાસે સમતલ તરંગ તરીકે ઓળખાય છે [આકૃતિ 10.1(b)].

હવે, જો આપણે $t=0$ પર તરંગાગ્રનો આકાર જાણીએ છીએ, તો હાયજેન્સ સિદ્ધાંત અમને પછીના સમય $\tau$ પર તરંગાગ્રનો આકાર નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. આમ, હાયજેન્સ સિદ્ધાંત અનિવાર્યપણે ભૌમિતિક રચના છે, જે કોઈપણ સમયે તરંગાગ્રનો આકાર આપે છે તે અમને પછીના સમયે તરંગાગ્રનો આકાર નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ચાલો એક વિચલિત તરંગને ધ્યાનમાં લઈએ અને $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ ને $t=0$ (આકૃતિ 10.2) પર ગોળાકાર તરંગાગ્રના ભાગને રજૂ કરવા દો. હવે, હાયજેન્સ સિદ્ધાંત મુજબ, તરંગાગ્રનો દરેક બિંદુ ગૌણ વિક્ષોભનો સ્રોત છે અને આ બિંદુઓમાંથી નીકળતા તરંગો તરંગની ઝડપથી તમામ દિશાઓમાં ફેલાય છે. તરંગાગ્રમાંથી નીકળતા આ તરંગોને સામાન્ય રીતે ગૌણ તરંગો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને જો આપણે આ તમામ ગોળાઓ માટે સામાન્ય સ્પર્શક દોરીએ, તો આપણે પછીના સમયે તરંગાગ્રની નવી સ્થિતિ મેળવીએ છીએ.

આકૃતિ 10.2 $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ $t=0$ પર ગોળાકાર તરંગાગ્ર ($\mathrm{O}$ ને કેન્દ્ર સાથે) રજૂ કરે છે. $F_{1} F_{2}$ માંથી નીકળતા ગૌણ તરંગોનું આવરણ આગળની તરફ જતા તરંગાગ્ર $G_{1} G_{2}$ ઉત્પન્ન કરે છે. પાછળનો તરંગ $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ અસ્તિત્વમાં નથી.

આમ, જો આપણે $t=\tau$ પર તરંગાગ્રનો આકાર નક્કી કરવા માંગીએ છીએ, તો આપણે ગોળાકાર તરંગાગ્રના દરેક બિંદુ પરથી $v \tau$ ત્રિજ્યાના ગોળા દોરીએ છીએ જ્યાં $v$ માધ્યમમાં તરંગોની ઝડપ રજૂ કરે છે. જો આપણે હવે આ તમામ ગોળાઓ માટે સામાન્ય સ્પર્શક દોરીએ, તો આપણે $t=\tau$ પર તરંગાગ્રની નવી સ્થિતિ મેળવીએ છીએ. $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ તરીકે બતાવેલ નવો તરંગાગ્ર આકૃતિ 10.2 માં ફરીથી ગોળાકાર છે જેમાં બિંદુ $\mathrm{O}$ કેન્દ્ર છે.

આકૃતિ 10.3 જમણી તરફ પ્રસરતા સમતલ તરંગ માટે હાયજેન્સ ભૌમિતિક રચના. $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ $t=0$ પર સમતલ તરંગાગ્ર છે અને $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ પછીના સમય $\tau$ પર તરંગાગ્ર છે. રેખાઓ $\mathrm{A_1} \mathrm{~A_2}$, $\mathrm{B_1} \mathrm{~B_2} \ldots$ વગેરે, બંને $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ અને $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ માટે સામાન્ય છે અને કિરણો રજૂ કરે છે.

ઉપરોક્ત મોડલમાં એક ખામી છે: આપણી પાસે પાછળનો તરંગ પણ છે જે $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ તરીકે આકૃતિ 10.2 માં બતાવવામાં આવ્યો છે. હાયજેન્સે દલીલ કરી કે ગૌણ તરંગોનો કંપનવિસ્તાર આગળની દિશામાં મહત્તમ અને પાછળની દિશામાં શૂન્ય છે; આ adhoc ધારણા કરીને, હાયજેન્સ પાછળના તરંગની ગેરહાજરી સમજાવી શક્યા. જો કે, આ adhoc ધારણા સંતોષકારક નથી અને પાછળના તરંગની ગેરહાજરી વધુ કડક તરંગ સિદ્ધાંતથી ખરેખર ન્યાયી છે.

સમાન રીતે, આપણે માધ્યમ દ્વારા પ્રસરતા સમતલ તરંગ માટે તરંગાગ્રનો આકાર નક્કી કરવા માટે હાયજેન્સ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ (આકૃતિ 10.3).

10.3 હાયજેન્સ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમતલ તરંગોનું વક્રીભવન અને પરાવર્તન

10.3.1 સમતલ તરંગનું વક્રીભવન

હવે આપણે વક્રીભવનના નિયમો મેળવવા માટે હાયજેન્સ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીશું. $\mathrm{PP}^{\prime}$ ને માધ્યમ 1 અને માધ્યમ 2 ને અલગ કરતી સપાટી રજૂ કરવા દો, જેમ કે આકૃતિ 10.4 માં બતાવ્યા પ્રમાણે. $v_{1}$ અને $v_{2}$ ને અનુક્રમે માધ્યમ 1 અને માધ્યમ 2 માં પ્રકાશની ઝડપ રજૂ કરવા દો. આપણે સમતલ તરંગાગ્ર $\mathrm{AB}$ ને દિશા $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}$ માં પ્રસરતું ધારીએ છીએ જે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે કોણ $i$ પર ઇન્ટરફેસ પર આપાત થાય છે. $\tau$ ને તરંગાગ્ર દ્વારા BC અંતર પ્રવાસ કરવામાં લાગતો સમય થવા દો. આમ,

$B C=v _{1} \tau$

આકૃતિ 10.4 સમતલ તરંગ $\mathrm{AB}$ કોણ $i$ પર માધ્યમ 1 અને માધ્યમ 2 ને અલગ કરતી સપાટી $\mathrm{PP}^{\prime}$ પર આપાત થાય છે. સમતલ તરંગ વક્રીભવનથી પસાર થાય છે અને $\mathrm{CE}$ વક્રીભૂત તરંગાગ્ર રજૂ કરે છે. આકૃતિ $v_{2}<v_{1}$ ને અનુરૂપ છે જેથી વક્રીભૂત તરંગો સામાન્ય તરફ વળે છે.

ક્રિશ્ચિયન હાયજેન્સ (1629 – 1695) ડચ ભૌતિકશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી, ગણિતશાસ્ત્રી અને પ્રકાશના તરંગ સિદ્ધાંતના સ્થાપક. તેમનું પુસ્તક, ટ્રીટાઇઝ ઓન લાઇટ, આજે પણ આકર્ષક વાંચન છે. તેમણે પરાવર્તન અને વક્રીભવન ઉપરાંત આ કાર્યમાં ખનિજ કેલ્સાઇટ દ્વારા બતાવેલા ડબલ વક્રીભવનને શાનદાર રીતે સમજાવ્યું. તેઓ વર્તુળાકાર અને સરળ હાર્મોનિક ગતિનું વિશ્લેષણ કરનારા પ્રથમ વ્યક્તિ હતા અને સુધારેલ ઘડિયાળો અને ટેલિસ્કોપની રચના કરી અને બનાવ્યા. તેમણે શનિની વીંટીની સાચી ભૂમિતિ શોધી કાઢી.

વક્રીભૂત તરંગાગ્રનો આકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે બિંદુ $A$ થી બીજા માધ્યમમાં $v_{2} \tau$ ત્રિજ્યાનો ગોળો દોરીએ છીએ (બીજા માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v_{2}$ છે). $\mathrm{CE}$ ને બિંદુ $\mathrm{C}$ થી ગોળા પર દોરેલી સ્પર્શક સમતલ રજૂ કરવા દો. પછી, $\mathrm{AE}=v_{2} \tau$ અને $\mathrm{CE}$ વક્રીભૂત તરંગાગ્ર રજૂ કરશે. જો આપણે હવે ત્રિકોણ $\mathrm{ABC}$ અને $\mathrm{AEC}$ ધ્યાનમાં લઈએ, તો આપણે સરળતાથી મેળવીએ છીએ

$$ \begin{equation*} \sin i=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{1} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.1} \end{equation*} $$

અને

$$ \begin{equation*} \sin r=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{2} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.2} \end{equation*} $$

જ્યાં $i$ અને $r$ અનુક્રમે આપાત અને વક્રીભવનના ખૂણા છે. આમ આપણે મેળવીએ છીએ

$$ \begin{equation*} \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{1}}{v_{2}} \tag{10.3} \end{equation*} $$

ઉપરોક્ત સમીકરણમાંથી, આપણે મહત્વપૂર્ણ પરિણામ મેળવીએ છીએ કે જો $r<i$ (એટલે કે, જો કિરણ સામાન્ય તરફ વળે છે), તો બીજા માધ્યમ $\left(v_{2}\right)$ માં પ્રકાશ તરંગની ઝડપ પ્રથમ માધ્યમ $\left(v_{1}\right)$ માં પ્રકાશ તરંગની ઝડપ કરતાં ઓછી હશે. આ આગાહી પ્રકાશના કણ મોડલની આગાહીની વિરુદ્ધ છે અને પછીના પ્રયોગોએ બતાવ્યા પ્રમાણે, તરંગ સિદ્ધાંતની આગાહી સાચી છે. હવે, જો $c$ નિર્વાતમાં પ્રકાશની ઝડપ રજૂ કરે છે, તો,

$$ \begin{equation*} n_{1}=\frac{c}{v_{1}} \tag{10.4} \end{equation*} $$

અને

$$ \begin{equation*} n_{2}=\frac{c}{v_{2}} \tag{10.5} \end{equation*} $$

અનુક્રમે માધ્યમ 1 અને માધ્યમ 2 ના વક્રીભવનાંક તરીકે ઓળખાય છે. વક્રીભવનાંકના સંદર્ભમાં, સમીકરણ (10.3) ને આ રીતે લખી શકાય છે

$$ \begin{equation*} n_{1} \sin i=n_{2} \sin r \tag{10.6} \end{equation*} $$

આ વક્રીભવનો સ્નેલનો નિયમ છે. વધુમાં, જો $\lambda_{1}$ અને $\lambda_{2}$ અનુક્રમે માધ્યમ 1 અને માધ્યમ 2 માં પ્રકાશની તરંગલંબાઈઓ દર્શાવે છે અને જો અંતર $\mathrm{BC}$ $\lambda_{1}$ ની બરાબર છે તો અંતર $\mathrm{AE}$ $\lambda_{2}$ ની બરાબર હશે (કારણ કે જો $\mathrm{B}$ થી શિખર $\tau$ સમયમાં $\mathrm{C}$ સુધી પહોંચી ગયું છે, તો $\mathrm{A}$ થી શિખર $\tau$ સમયમાં $E$ સુધી પણ પહોંચી ગયું હોવું જોઈએ); આમ,

$$ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AE}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} $$

અથવા

$$ \begin{equation*} \frac{v_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{v_{2}}{\lambda_{2}} \tag{10.7} \end{equation*} $$

ઉપરોક્ત સમીકરણ સૂચવે છે કે જ્યારે તરંગ ગીચ માધ્યમ $\left(v_{1}>v_{2}\right)$ માં વક્રીભૂત થાય છે ત્યારે તરંગલંબાઈ અને પ્રસરણની ઝડપ ઘટે છે પરંતુ આવૃત્તિ $v(=v / \lambda)$ સમાન રહે છે.

10.3.2 વિરલ માધ્યમ પર વક્રીભવન

હવે આપણે વિરલ માધ્યમ પર સમત